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最新幂函数的性质、常考题型及对应练习

幂函数

分数指数幂

正分数指数幂的意义是：m n m n

a a =（0a >，m 、n N ∈，且1n >）负分数指数幂的意义是：m n

a a

（0a >，m 、n N ∈，且1n >）

一、幂函数的定义

一般地，形如

y x α

=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如

112

,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.

二、幂函数的图像

幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11

2,1,,,323

n =±±±

的图像和性质，列表如下．

从中可以归纳出以下结论：

① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．

② 11

,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．

③ 1

,1,22

a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．

④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

三、幂函数基本性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结

1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；

2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型．四、幂函数的应用题型一.幂函数的判断

例1．在函数22031

,3,,y y x y x x y x x

===-=中，幂函数的个数为 ( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

练1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（）

A ．3x y -=

B ．3-=x y

C ．32x y =

D ．

-=x y 题型二.幂函数图像问题

例 2.幂函数n m

y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有

（） ()A m 、n 为奇数且1m

n <

()B m 为偶数，n 为奇数，且

n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1m

n <

()D m 奇数，n 为偶数，且1m

练2.右图为幂函数

y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是

（）

()A a b c d >>> ()B b a d c >>>

()C a b d c >>>

()D a d c b >>>

解：取12

x =

，由图像可知：11112222c

????????

>>> ? ? ? ?????????

，

a b d c ?>>>，应选()C ．题型三.幂函数比较大小的问题例3.比较下列各组数的大小：（1）131.5，13

1.7，1；

（2

）(37

，(37

；

（3

）23

2-?- ??

，23

107-??

- ???，()431.1--．解：（1）底数不同，指数相同的数比大小，

可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．

∵13

y x =在()0,+∞上单调递增，且1.7 1.51>>，

∴1133

1.7 1.51>>．

（2）底数均为负数，可以将其转化为()

)337

7=-

，())337

7=-

，()

)

337

．

∵3

y x =在()0,+∞

上单调递增，且>>， ∴

)))3

33777>>，即)

)

3337

-<-

<-，

∴()()()

333777

<<．

（3）先将指数统一，底数化成正数．

223

-?= ??

，223

101077-

-= ? ?????

，()()42

331.1 1.21---=． ∵23

y x -

=在()0,+∞

上单调递减，且

7 1.21102

<<，

∴()223

37 1.21102-

-???>> ? ??

??，

即：()22

37 1.1102---???->->- ? ????

．点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．题型四.幂函数含参数问题

例4.若()()113

132a a -

+<-，求实数a 的取值范围．分析：若113

y -

-<，

则有三种情况0x y <<，0y x <<或0y x <<．解：根据幂函数的性质，

有三种可能：10320a a +?或10320132a a a a +-?或10

320132a a a a

+>??

->??+>-?

，

解得：()23,1,32a ??

-∞- ??∈?

U ．

练4．已知幂函数2

m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m

的值．

解：∵幂函数2

m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，

∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；

∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．

练5．幂函数()3521----=m x m m y ，当x ∈(0,+∞)时为减函数，则实数m 的值为( )

A. m ＝2

B. m ＝－1

C. m ＝－1或m ＝2

D. 2

1±≠m

题型五、幂函数与函数的性质综合题

例5、求函数y ＝5

2x ＋2x 5

1＋4（x ≥－32）值域．

解析：设t ＝x 5

1，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．

∴函数y ＝5

2x ＋2x 5

1＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．

练6．已知f(x)＝2

2，(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性并证明；(2)当x∈[1，＋∞)时，求f(x)的最

大值．

解：函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．证明如下：

任取x 1、x 2∈(0，＋∞)，且x 1

f(x 1)－f(x 2)＝2x 12－2x 22＝2(x 22－x 12)x 12x 22＝2(x 2＋x 1)(x 2－x 1)

x 12x 22

∵00，x 2－x 1>0，x 12x 22>0. ∴f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为(0，＋∞)，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为f(1)＝2.

【同步练习】

1. 下列函数中不是幂函数的是（）

Ａ．y = Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -= 答案：Ｃ

2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（）

Ａ．13

y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 答案：Ｂ

3. 下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（）

Ａ．23

y x = Ｂ．32

y x = Ｃ．23

y x -= Ｄ．32

y x -= 答案：Ｄ

4．函数y ＝（x 2

－2x ）

1－

的定义域是（）

A ．{x |x ≠0或x ≠2}

B ．（－∞，0）Y （2，＋∞）

C ．（－∞，0）］Y ［2，＋∞］

D ．（0，2）

解析：函数可化为根式形式，即可得定义域．答案：B

5．函数y ＝（1－x 2

）2

1的值域是（）

A ．［0，＋∞］

B ．（0，1）

C ．（0，1）

D ．［0，1］解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t ＝1－x 2，则y ＝t ． ∵－1≤x ≤1，∴0≤t ≤1，∴0≤y ≤1．答案：D

6．函数y ＝5

2x 的单调递减区间为（）

A ．（－∞，1）

B ．（－∞，0）

C ．［0，＋∞］

D ．（－∞，＋∞）解析：函数y ＝5

2x 是偶函数，且在［0，＋∞）上单调递增，由对称性可知选B ．答案：B 7．若a 2

＜a

1－，则a 的取值范围是（）

A ．a ≥1

B ．a ＞0

C ．1＞a ＞0

D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质，选C ．答案：C

8．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是。

解析：由（15＋2x －x 2）3≥0．∴15＋2x －x ＜20．∴－3≤x ≤5．

答案：A 9．函数y ＝

21m m x

－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是________．

解析：m 的取值应该使函数为偶函数．故m ＝－1．

答案：m ＝－1

10、讨论函数y ＝5

2x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．

思路：函数y ＝52x 是幂函数．

（1）要使y ＝5

2x ＝52x 有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ．

（2）∵x ∈R ，∴x 2≥0．∴y ≥0．

（3）f （－x ）＝52)(x －＝52x ＝f （x ）， ∴函数y ＝5

2x 是偶函数；

（4）∵n ＝

＞0， ∴幂函数y ＝52x 在［0，＋∞］上单调递增．

由于幂函数y ＝5

2x 是偶函数，

∴幂函数y ＝5

2x 在（－∞，0）上单调递减．（5）其图象如下图所示．

12．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间．

解析：这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ，（1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．

（2）∵函数的定义域为［－5，3］且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1，

∴x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小．

又∵函数y ＝4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，

∴函数y ＝42215x x －－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3］．答案：（1）定义域为［－5，3］，值域为［0，2］；（2）函数即不是奇函数，也不是偶函数；（3）（1，3］．

幂函数的概念及其性质测试题(含答案)

幂函数的概念及其性质一、单选题(共12道，每道8分) 1.下列命题正确的是( ) A.幂函数在第一象限都是增函数 B.幂函数的图象都经过点(0，0)和(1，1) C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象 2.下列函数中既是偶函数，又在(-∞，0)上是增函数的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用 3.若幂函数上是减函数，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 4.当时，幂函数为减函数，在实数m的值是( ) A.2 B.﹣1 C.﹣1或2 D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性5.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象

6.若是幂函数，且满足，则的值是( ) A. B. C.2 D.4 答案：B 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的解析式及运算 7.已知幂函数在区间上是单调递增函数，且函数的图象关于y轴对称，则的值是( ) A.16 B.8 C.﹣16 D.﹣8 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：幂函数的图象与性质 8.若，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：幂函数的单调性 9.已知，，下列不等式：①；②；③；

高中数学必修一幂函数及其性质

幂函数及其性质专题一、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x - ===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质（1）y x = （2）12 y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x = 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义对数函数的定义：一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．幂函数的定义：一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. ②性质对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；

过点（1，0），即当x =1，y =0；在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，在[0，+∞]上，y x =、2y x =、3 y x =、1 2 y x =是增函数，在（0，+∞）上， 1y x -=是减函数。【例题选讲】例1．已知函数()() 2 53 1m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =- （4）2 5 m =-（5）1m =- 变式训练：已知函数()()2 223 m m f x m m x --=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。简解：2 20230 m m m m ?+>??-->??解得：()(),13,m ∈-∞-+∞ 例2．比较大小：（1）1122 ,1.7 （2）33 ( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.5 30.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值．解：∵幂函数223 m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点， ∴2 230m m --≤，∴13m -≤≤； ∵m Z ∈，∴2 (23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2 23m m --是奇数，∴0m =或2m =．例4、设函数f （x ）＝x 3，（1）求它的反函数；（2）分别求出f － 1（x ）＝f （x ），f － 1（x ）＞f （x ），f － 1（x ）＜f （x ）的实数x 的范围．解析：（1）由y ＝x 3两边同时开三次方得x ＝3y ，∴f － 1（x ）＝x 3 1 ．（2）∵函数f （x ）＝x 3和f －1 （x ）＝x 3 1 的图象都经过点（0，0）和（1，1）．

指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

(一）指数与指数函数 1.根式（1）根式的概念（２)．两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③０的正分数指数幂等于０，0的负分数指数幂没有意义．注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2)有理数指数幂的性质 ①a r ａｓ =a r+ｓ（ａ＞0,r 、ｓ∈Ｑ）; ②（a r )s ＝a rs (a>0,r 、s ∈Q ）; ③(ａb)r =a r ｂs (a>０,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y ＝ａｘ a>1 0

图象定义域R 值域(０，+∞) 性质(１)过定点（0，1) （2)当ｘ＞0时，y>1; x<０时，00时，０d1＞1>a1>b1,∴ｃ>d>１>a>ｂ。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义如果(01) x a N a a =>≠ 且，那么数x叫做以a为底，N的对数,记作log N a x=，其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 (2 对数形式特点记法一般对数底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为1０ lg N 自然对数底数为e ln N 2 (1)对数的性质(0,1 a a >≠ 且）：①1 log0 a =，②log1 a a =,③log N a a N =,④log N a a N =。（2）对数的重要公式：