直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定

[新知初探]

1．直线与平面平行的判定

[点睛]用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：

(1)直线a在平面α外，即a?α；

(2)直线b在平面α内，即b?α；

(3)两直线a，b平行，即a∥b.

2．平面与平面平行的判定

[点睛](1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．

(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α()

(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行()

(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行()

答案：(1)× (2)× (3)×

2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b ?α，a ∥b

B ．b ?α，c ∥α，a ∥b ，a ∥c

C ．b ?α，A ，B ∈a ，C ，

D ∈b ，且AC ∥BD D ．a ?α，b ?α，a ∥b

解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D 正确．

3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )

A ．一定平行

B ．一定相交

C ．平行或相交

D ．以上判断都不对

解析：选C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．

直线与平面平行的判定

[典例] 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是BC ，CC 1，BB 1的中点，求证：EF ∥平面AD 1G .

[证明] 连接BC 1，则由E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，知EF ∥BC 1. 又AB 綊A 1B 1綊D 1C 1，所以四边形ABC 1D 1是平行四边形， 所以BC 1∥AD 1，所以EF ∥AD 1. 又EF ?平面AD 1G ，AD 1?平面AD 1G ， 所以EF ∥平面AD 1G .

利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平

面内

找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等．

已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE .

证明：如图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQ BD .

∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ . 又∵AB ＝CD ，∴PM 綊QN ，

∴四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN . 又∵PQ ?平面CBE ，MN ?平面CBE ， ∴PQ ∥平面CBE .

平面与平面平行的判定

[典例] 已知，点P 是△ABC 所在平面外一点，点A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PAC ，△PAB 的重心．

(1)求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC . (2)求A ′B ′∶AB 的值．

[解] (1)证明：如图，连接PA ′，并延长交BC 于点M ，连接PB ′，并延长交AC 于点N ，连接PC ′，并延长交AB 于点Q ，连接MN ，NQ .

∵A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△PAC ，△PAB 的重心， ∴M ，N ，Q 分别是△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点，且PA ′A ′M ＝

PB ′

B ′N ＝2，∴A ′B ′∥MN .

同理可得B ′C ′∥NQ .

∵A ′B ′∥MN ，MN ?平面ABC ，A ′B ′?平面ABC ， ∴A ′B ′∥平面ABC . 同理可证B ′C ′∥平面ABC .

又∵A ′B ′∩B ′C ′＝B ′，A ′B ′?平面A ′B ′C ′，B ′C ′?平面A ′B ′C ′， ∴平面A ′B ′C ′∥平面ABC .

(2)由(1)知A ′B ′∥MN ，且A ′B ′MN ＝PA ′PM ＝23，

即A ′B ′＝2

3

MN .

∵M ，N 分别是BC ，AC 的中点，∴MN ＝1

2AB .

∴A ′B ′＝23MN ＝23×12AB ＝1

3AB ，

∴A ′B ′AB ＝13，即A ′B ′∶AB 的值为1

3

.

两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．

如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别 是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点． 求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .

证明：(1)∵GH 是△A 1B 1C 1的中位线， ∴GH ∥B 1C 1.

又B 1C 1∥BC ，∴GH ∥BC ， ∴B ，C ，H ，G 四点共面．

(2)∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴EF ∥BC . ∵EF ?平面BCHG ，BC ?平面BCHG ， ∴EF ∥平面BCHG .

∵A 1G 綊EB ，∴四边形A 1EBG 是平行四边形， ∴A 1E ∥GB .

∵A 1E ?平面BCHG ，GB ?平面BCHG ， ∴A 1E ∥平面BCHG .

∵A 1E ∩EF ＝E ，∴平面EFA 1∥平面BCHG .

平行中探索存在性问题

[典例] 在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．

[解] 如图，取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，

AC 1的交点．

由已知，O 为AC 1的中点．

连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线， 所以MD 綊12AC ，OE 綊1

2AC ，

因此MD 綊OE .

连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO . 因为直线DE ?平面A 1MC ，MO ?平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .

即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .

平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系．

[活学活用]

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，

C1D1，DD1，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中

找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D.

解：由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平

面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直

线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可．连接HN，HF，NF，

易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，

G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件．

层级一学业水平达标

1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是()

A．直线m在平面α外

B．直线m与平面α内的两条直线平行

C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行

D．直线m与平面α内的一条直线平行

解析：选C选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m?α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．

2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是()

A．平面α内有一条直线与平面β平行

B．平面α内有两条直线与平面β平行

C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行

D．平面α与平面β不相交

解析：选D选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.

3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，

则直线AC与平面DEF的位置关系是()

A．平行B．相交

C．直线AC在平面DEF内D．不能确定

解析：选A∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF?平面DEF，AC?平面DEF，∴AC∥平面DEF.

4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a?α，b?α，c?β，d?β，则α与β的位置关系是()

A．平行B．相交

C．平行或相交D．以上都不对

解析：选C根据图1和图2可知α与β平行或相交．

5．如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是()

解析：选C在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.

6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m?α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．

解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l?α”．

答案：l?α

7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．

解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．

答案：0或1

8.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别

是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．

解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF

为矩形，∴CF∥DE，

∴MN∥DE.又MN?平面ADE，DE?平面ADE，

∴MN∥平面ADE.

答案：平行

9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P?平面ABCD.

求证：平面PAB∥平面EFG.

证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，

又∵CD∥AB，∴EF∥AB.

又EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB.

同理可证EG∥平面PAB.

又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG.

10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.

证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.

又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，

∴BF∥ED.

∵DE?平面ADE，而BF?平面ADE，

∴BF∥平面ADE.

层级二应试能力达标

1．若直线l不平行于平面α，且l?α，则()

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

解析：选B若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l?α，故l∥α，这与题意矛盾．2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1H与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

解析：选A画出相应的截面如图所示，即可得答案．

3．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的有()

A．3个B．6个

C．9个D．12个

解析：选A因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.

4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有()

A．0个B．1个

C．无数个D．以上都有可能

解析：选D若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l 平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．

5．已知三棱柱ABC-A1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF 与平面ABC的位置关系是________．

解析：∵D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，

∴在平行四边形AA1B1B与平行四边形BB1C1C中，

DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，∴平面DEF ∥平面ABC.

答案：平行

6.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，

G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面

四个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线

EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是________．

解析：作出立体图形，可知平面EFGH ∥平面ABCD ；PA ∥平面BDG ；EF ∥HG ，所以EF ∥平面PBC ；直线EF 与平面BDG 不平行．

答案：①②③

7.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC 和SC 的中点．求证：平面EFG ∥平面BDD 1B 1.

证明：如图所示，连接SB ，SD ， ∵F ，G 分别是DC ，SC 的中点， ∴FG ∥SD .

又∵SD ?平面BDD 1B 1，FG ?平面BDD 1B 1， ∴FG ∥平面BDD 1B 1. 同理可证EG ∥平面BDD 1B 1， 又∵EG ?平面EFG ，

FG ?平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.

8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥P -ABCD ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？若存在，请证明你的结论，并说出点F 的位置；若不存在，请说明理由．

解：当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .

因为FM ?平面AEC ， EC ?平面AEC ， 所以FM ∥平面AEC .

由EM ＝1

2PE ＝ED ，得E 为MD 的中点，连接BM ，BD ，

设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点． 连接OE ，则BM ∥OE .

因为BM ?平面AEC ，OE ?平面AEC ， 所以BM ∥平面AEC .

又因为FM ?平面BFM ，BM ?平面BFM ，FM ∩BM ＝M ， 所以平面BFM ∥平面AEC ，

所以平面BFM 内的任何直线与平面AEC 均没有公共点． 又BF ?平面BFM ，

所以BF 与平面AEC 没有公共点，

所以BF∥平面AEC.

直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)

直线与平面、平面与平面平行的判定 [学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题. 知识点一直线与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行，则该直线与此平面平行 ?? ? ?? a?α b?α a∥b ?a∥α 思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？ 答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. 知识点二平面与平面平行的判定定理 语言叙述符号表示图形表示 一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行 ?? ? ?? a?α，b?α a∩b＝A a∥β，b∥β ?α∥β 思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. 题型一直线与平面平行的判定定理的应用 例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、 DA的中点. 求证：(1)EH∥平面BCD； (2)BD∥平面EFGH. 证明(1)∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD.

∵EH?平面BCD，BD?平面BCD， ∴EH∥平面BCD. (2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH， EH?平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 跟踪训练1在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC. 证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两 点，连接PQ. 因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心， 所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1. 所以MN∥PQ. 又因为MN?平面ADC，PQ?平面ADC， 所以MN∥平面ADC. 题型二面面平行判定定理的应用 例2如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1. 证明由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC， 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D， 又C1D?平面ADC1， EB?平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB綊BD，

《直线与平面平行的判定》教案

直线与平面平行的判定 教学目标 1.知识目标 ⑴进一步熟悉掌握空间直线与平面的位置关系; ⑵理解并掌握直线与平面平行的判定定理、图形语言、符号语言、文字语言; ⑶灵活运用直线与平面的判定定理,把“线面平行”转化为“线线平行”。 2.能力训练 ⑴掌握由“线线平行”证得“线面平行”的数学证明思想; ⑵进一步培养学生的观察能力、空间想象力与类比、转化能力,提高学生的逻辑推理能力。 3.德育渗透 ⑴培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度; ⑵建立“实践——理论——再实践”的科学研究方法。 教学重点 直线与平面平行的判定定理 教学难点 直线与平面平行的判定定理的应用 教学方法 启发式、引导式、观察分析、理论联系实际 教具 模型、尺、多媒体设备 教学过程 （一） 内容回顾 师:在上节课我们介绍了直线与平面的位置关系,有几种？可将图形给以什么作为划分的标准？ 直线与平面平行 直线与平面相交 直线在平面内 //a α a α ?{} a A α=I

(二)新课导入 1、如何判定直线与平面平行 师:请同学回忆,我们昨天就是受用了什么方法证明直线与平面平行？有直线在平面外能不能说明直线与平面平行？ 生:借助定义,说明直线与平面没有公共点。 师:判断直线与平面有没有公共点,需要将直线与平面延展开瞧它们有没有交点,但延展判断并不方便灵敏,那就需要我们挖掘一种新的判定方法。我们来瞧瞧生活中的线面平行能给我们什么启发呢？ 若将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,观察封面边缘所在直线l 与 书本所在的平面具有怎样的位置关系？ 师:您们能用自己的话概括出线面平行的判定定理不？ 生:如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线与这个平面平行。 2、分析判定定理的三种语言 师:定理的条件细分有几点？ 生:线在平面外,线在平面内,线线平行 (师生互动共同整理出定理的图形语言、符号语言、文字语言) 图形语言 符号语言 文字语言 线线平行, 则线面平行。 (三)例题讲解 师:如果要证明线面平行,关键在哪里？ 生:在平面内找到一条直线,证明线线平行。 例1 已知:如图空间四边形ABCD 中,E 、F 分别就是AB 、AD 的中点。求证:EF ∥平面BCD 。 证明:连结BD AE ＝ EB ? EF ∥BD AF ＝FD EF ?平面BCD ?EF ∥平面BCD BD ?平面BCD 着重强调:①要证EF ∥平面BCD,关键就是在平面BCD 中找到与EF 平行的直线; ②注意证明的书写,先说明图形中增加的辅助点与线,证明步骤严谨。 例2 如图,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 为DD 1的中点,证明BD 1∥平面AEC 。 观察 l b a αααα////a b a b a ??? ? ?? ??

直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案

直线、平面平行的判定及其性质 1. 下列命题中，正确命题的是 ④ . ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α; ②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③ 3. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ?α，n ∥α，则m ∥n ④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ,b ,平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ,b ?α,则a ∥α; ②若a ∥b ,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b . 其中真命题的个数是 . 答案 0 5. 直线a //平面M ,直线b ? /M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A .充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要 6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A.b a b a //，，αα?? B.b a b //，α? C.c a b a c b //////，，，αα? D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈?，，，，α且BD AC = 7. 如果直线a 平行于平面α,则 A.平面α内有且只有一直线与a 平行 B.平面α内无数条直线与a 平行 C.平面α内不存在与a 平行的直线 D.平面α内的任意直线与直线a 都平行 8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系 A.相交 B.α//b C.α?b D .α//b 或α?b 9. 下列命题正确的个数是

直线与平面平行的判定定理

§2.2.1 直线与平面平行的判定 一、学习目标： （1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理； （2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 二、学习重点与难点 重点：直线与平面平行的判定定理及应用。 难点：直线与平面平行的判定定理的探索及应用。 三、教学过程 (一)知识准备、新课引入 α 提问2：今天我们针对直线与平面平行的位置关系进行探究。根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。 （二）探求判定定理 1、直观感知 提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？ 2、动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示： 当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以的感觉， 当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象是 3、探究思考 (1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？ (2)如果平面外的直线a与平面α内的一条直线b平行，那么直线a与平面α平行吗？

4、归纳确认： 直线和平面平行的判定定理： 文字语言： 图形语言： 符号语言： 简单概括：（内外）线线平行 线面平行 温馨提示： 作用：判定或证明线面平行。 关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。 思想：空间问题转化为平面问题 5、思考：你能否尝试证明一下线面平行判定定理？ （三）应用定理，巩固与提高 例1：已知：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 试判断EF 与平面BCD 的关系，并予以证明 变式：空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 上的点， 且AE= 31AB ，AF=3 1AD 求证：EF ∥平面BCD ． A B C D E F

直线与平面平行的判定和性质同步练习.doc.docx

高二下9.3 直线与平面平行的判定和性质同步练习 基础练习 1．给出下列四个命题： ①若一直线与一个平面内的一条直线平行，则这直线与这个平面平行． ②若一直线与一平面内的两条直线平行，则这直线与这个平面平行． ③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． ④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行． 其中正确命题的个数是（）． A ． 0B． 1C． 2D． 3 2．梯形 ABCD 中， AB∥ CD ，AB平面，CD平面，则直线 CD 与平面内的直 线的位置关系只能是（）． A ．平行B．平行或异面 C．平行或相交D．异面或相交 3．（ 1）若直线 a、 b 均平行于平面a，那么 a 与 b 的位置关系是 __________； （2）若直线 a∥ b，且 a∥平面，则 b 与的位置关系是 __________； （3）若直线 a、 b 是异面直线，且 a∥，则 b 与的关系是 __________ ． 4．如图 9－空间四边形ABCD 中， E 是边 AB 上的一点，求作过C、E 的一个平面，使对角线 BD 平行于这个平面，并说明理由． 图 9－5．在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E、F 分别为A1C1和CC1的中点，求证：直线A1C ∥平面 B1EF ． 综合练习 1．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）． A．一条直线不相交 2．给出以下命题，不正确的是（）． A．如果两条平行线中的一条与一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交 B．如果直线 a 和直线 b 平行，那么直线 a 平行于经过 b 的所有的平面 C．如果 a 和 b 是异面直线，那么经过 a 有且只有一个平面与直线 b 平行

直线与平面平行的判定定理教案设计

直线与平面平行的判定定理教案设计 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

§2.2.1 直线与平面平行的判定 （选自人教A版必修②第二章第二节第一课时） 一、教材分析 本节教材选自人教A版数学必修②第二章第二节第一课时，主要内容是直线与平面平行的判定定理的探究与发现、归纳概括、练习与应用。它是在前面已学空间点、线、面的位置关系的基础上，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。学线面平行判定是三大平行判定（线线平行、线面平行、面面平行）的核心，也是高考的高频考点之一，学好线面平行对后续学习面面平行及三大垂直的判定与性质等内容，具有良好的示范作用，同时，它在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课的学习对培养学生空间想象能力与逻辑推理能力起到重要作用。线面平行的判定蕴含的数学思想方法主要有数形结合与化归与转化思想。 二、学情分析 本节课的教学对象是高一的学生，他们具备一定的由形象思维转化为逻辑思维的能力。学生在此前已经学习了直线与直线平行的性质及判定、直线与平面平行的定义，对直线与平面平行有了一定的认识，这些都为学生学习本节课做了准备。同时，由于本节课与生活实际相结合，学生的学习兴趣、参与度会比较大。但是由于学生处于学习空间立体几何的初始阶段，学习立体几何所具备的语言表达及空间感与空间想象能力不够，特别是对线面平行（空间立体）转化为线线平行（平面）的化归与转化思想，这是学生首次接触的思想方法，应加以必要的强化与引导。 三、教学目标 （一）知识技能目标 （1）理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用； （2）培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力。 （二）过程方法目标

高中数学-直线与平面平行判定和性质

高中数学-立体几何典型例题一 例1 简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线?a 平面α，直线A a b =I ，则b 和α的位置关系如何？ （2）直线α?a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？ 分析：（1）由图（1）可知：α?b 或A b =αI ； （2）由图（2）可知：α//b 或α?b ． 说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法． 典型例题二 例2 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 是PA 的中点，求证：//PC 平面BDQ ． 分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了． 证明：如图所示，连结AC ，交BD 于点O ， ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴CO AO =，连结OQ ，则OQ 在平面BDQ 内， 且OQ 是 APC ?的中位线， ∴OQ PC //． ∵PC 在平面BDQ 外， ∴//PC 平面BDQ ． 说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？ 由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为： 过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行． 典型例题三

例3 经过两条异面直线a ，b 之外的一点P ，可以作几个平面都与a ，b 平行？并证明你的结论． 分析：可考虑P 点的不同位置分两种情况讨论． 解：（1）当P 点所在位置使得a ，P （或b ，P ）本身确定的平面平行于b （或a ）时，过P 点再作不出与a ，b 都平行的平面； （2）当P 点所在位置a ，P （或b ，P ）本身确定的平面与b （或a ）不平行时，可过点P 作a a '//，b b //'．由于a ，b 异面，则a '，b '不重合且相交于P ．由于P b a =''I ，a '，b '确定的平面α，则由线面平行判定定理知：α//a ，α//b ．可作一个平面都与a ，b 平行． 故应作“0个或1个”平面． 说明：本题解答容易忽视对P 点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论． 典型例题四 例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线b a //，//a 平面α，α?b ． 求证：α//b ． 证明：如图所示，过a 及平面α内一点A 作平面β． 设c =βαI ， ∵α//a ， ∴c a //． 又∵b a //， ∴c b //． ∵α?b ，α?c ， ∴α//b ． 说明：根据判定定理，只要在α内找一条直线b c //，根据条件α//a ，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a 作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化． 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的． 典型例题五 例5 已知四面体ABC S -的所有棱长均为a ．求： （1）异面直线AB SC 、的公垂线段EF 及EF 的长； （2）异面直线EF 和SA 所成的角． AB SC 、分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可 采取平移

直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定 [新知初探] 1．直线与平面平行的判定 [点睛]用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件： (1)直线a在平面α外，即a?α； (2)直线b在平面α内，即b?α； (3)两直线a，b平行，即a∥b. 2．平面与平面平行的判定 [点睛](1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的． (2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α() (2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行() (3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行()

答案：(1)× (2)× (3)× 2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b ?α，a ∥b B ．b ?α，c ∥α，a ∥b ，a ∥c C ．b ?α，A ，B ∈a ，C ， D ∈b ，且AC ∥BD D ．a ?α，b ?α，a ∥b 解析：选D 由线面平行的判定定理可知，D 正确． 3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．平行或相交 D ．以上判断都不对 解析：选C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交． 直线与平面平行的判定 [典例] 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是BC ，CC 1，BB 1的中点，求证：EF ∥平面AD 1G . [证明] 连接BC 1，则由E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，知EF ∥BC 1. 又AB 綊A 1B 1綊D 1C 1，所以四边形ABC 1D 1是平行四边形， 所以BC 1∥AD 1，所以EF ∥AD 1. 又EF ?平面AD 1G ，AD 1?平面AD 1G ， 所以EF ∥平面AD 1G . 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平 面内 找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等． 已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不同在一个平面内，P ，Q 分别是对角线AE ，BD 上的点，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面CBE . 证明：如图，作PM ∥AB 交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，连接MN ，则PM ∥QN ，PM AB ＝EP EA ，QN CD ＝BQ BD . ∵EA ＝BD ，AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ . 又∵AB ＝CD ，∴PM 綊QN ，

直线与平面平行的判定定理教案设计

§2.2.1 直线与平面平行的判定 （选自人教A版必修②第二章第二节第一课时） 一、教材分析 本节教材选自人教A版数学必修②第二章第二节第一课时，主要内容是直线与平面平行的判定定理的探究与发现、归纳概括、练习与应用。它是在前面已学空间点、线、面的位置关系的基础上，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。学线面平行判定是三大平行判定（线线平行、线面平行、面面平行）的核心，也是高考的高频考点之一，学好线面平行对后续学习面面平行及三大垂直的判定与性质等内容，具有良好的示范作用，同时，它在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课的学习对培养学生空间想象能力与逻辑推理能力起到重要作用。线面平行的判定蕴含的数学思想方法主要有数形结合与化归与转化思想。 二、学情分析 本节课的教学对象是高一的学生，他们具备一定的由形象思维转化为逻辑思维的能力。学生在此前已经学习了直线与直线平行的性质及判定、直线与平面平行的定义，对直线与平面平行有了一定的认识，这些都为学生学习本节课做了准备。同时，由于本节课与生活实际相结合，学生的学习兴趣、参与度会比较大。但是由于学生处于学习空间立体几何的初始阶段，学习立体几何所具备的语言表达及空间感与空间想象能力不够，特别是对线面平行（空间立体）转化为线线平行（平面）的化归与转化思想，这是学生首次接触的思想方法，应加以必要的强化与引导。 三、教学目标 （一）知识技能目标 （1）理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用； （2）培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力。 （二）过程方法目标 （1）启发式：以实物（门、书、直角梯形卡纸）为媒介，启发、诱导学生逐步经历定理的直观感知过程；

直线与平面平行的判定及性质教学设计

2.2.1 直线与平面平行的判定及性质教学设计 一、教材分析 直线与平面问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 二、教学目标 1、知识与技能 （1）通过直观感知、操作确认，理解直线与平面平行的判定定理并能进行简单应用。 （2）进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想像能力。 2、过程与方法 （1）启发式：以实物（门、书、景色）为媒体，启发、诱思学生逐步经历定理的直观感知过程。 （2）指导学生进行合情推理。对于立体几何的学习，学生已初步入门，让学生自己主动地去获取知识、发现问题、教师予以指导，帮助学生合情推理、澄清概念、加深认识、正确运用。 3、情感态度与价值观 （1）让学生亲身经历数学研究的过程，体验创造的激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。 （2）在培养学生逻辑思维能力的同时，养成学生办事认真仔细的习惯及合情推理的探究精神。 三、教学的重点与难点 教学重点：直线和平面平行的判定定理的发现及其应用。 教学难点：从生活经验归纳发现直线和平面平行的判定定理。 四、教学过程 （一）引入新课 1、内容回顾，老师带领学生复习直线与平面的已学内容。 直线与平面有两个公共点——直线在平面内(直线上所有的 点都在这个平面内） 直线与平面只有一个公共点——直线与平面相交 直线与平面没有公共点——直线与平面平行

直线与平面平行 2、直观感知 老师提问学生：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？ 学生举例：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。 门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。 （二）新授内容 1、如何判定直线与平面平行： 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，那 么这条直线和这个平面平行。 老师给学生讲解例题： 例1：求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于 经过另外两边的平面。 已知：如图空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的 中点。求证：EF∥平面BCD AE＝EB ?EF∥BD AF＝FD EF ?平面BCD ?EF∥平面BCD BD ?平面BCD 2．直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和

直线与平面平行的判定及其性质(老师版)

5、空间中的平行问题 （1）直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行?线面平行 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。线面平行?线线平行 （2）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 （1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （线面平行→面面平行）， （2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 （线线平行→面面平行）， （3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理 （1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行） （2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行） 练习： 一、选择题 1.直线a //平面M ,直线b ? /M ,那么a //b 是b //M 的 条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要 2.已知l 、m 、n 为两两垂直且异面的三条直线，过l 作平面α与m 垂直，则直线n 与平面α的关系是 A.n //α B.n //α或n ?α C.n ?α或n 不平行于α D.n ?α 3.能保证直线a 与平面α平行的条件是 A.b a b a //，，αα?? B.b a b //，α? C.c a b a c b //////，，，αα? D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈?，，，，α且BD AC = 4.如果直线a 平行于平面α,则 A.平面α内有且只有一直线与a 平行 B.平面α内无数条直线与a 平行 C.平面α内不存在与a 平行的直线 D.平面α内的任意直线与直线a 都平行 5.如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系 A.相交 B.α//b C.α?b D.α//b 或α?b 6.下列命题正确的个数是 （1）若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α （2）若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一直线平行 （3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行

《直线与平面平行的判定》教学设计

《直线与平面平行的判定》教学设计 一、教学内容分析: 本节课内容选自人教A版数学必修②第二章第一节课，本节内容在立体几何学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感知与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。 二、学生学习情况分析： 本人任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立体几何所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。 三、设计思想 本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直 线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在 观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自 主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数 学逻辑思维能力。 四、教学三维目标 （一）知识与技能：通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。 （二）过程与方法：培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。（三）情感态度与价值观：让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。 五、教学重点与难点 重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立体几何空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。 六、教学过程设计 （一）知识准备、新课引入 提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？并完成下表：(多媒体幻灯片演示) 我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为a 提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈

直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细复习资料

直线、平面平行的判定及其性质 1.下列命题中，正确命题的是④ . ①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥; ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l与平面平行，则l 与平面内的任意一条直线都没有公共点. 2.下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序 号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案 ①②③ 3.对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题是 （填序号）. ①若m⊥，m⊥n，则n∥ ②若m∥，n∥，则m∥n

③若m，n∥，则m∥n ④若m、n与所成的角相等，则m∥n 答案①②④ 4.已知直线,平面，则以下三个命题： ①若a∥,则a∥; ②若a∥∥,则b∥; ③若a∥∥,则a∥b. 其中真命题的个数是 . 答案0 5.直线平面M,直线,那么是的条件. A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要 6.能保证直线a与平面平行的条件是 A. B. C. D.且 7.如果直线a平行于平面,则 A.平面内有且只有一直线与a平行 B.平面内无数条 直线与a平行 C.平面内不存在与a平行的直线 D.平面内的任意直 线与直线a都平行

8.如果两直线a∥b,且a∥平面,则b与的位置关系 A.相交 B. C. D.或 9.下列命题正确的个数是 10.（1）若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α（2）若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 （4）若一直线a和平面α内一直线b平行,则a∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11.b是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b∥α是 与α内的一条直线不相交与α内的两条直线不相交 与α内的无数条直线不相交与α内的所有直线不相交 12.已知两条相交直线a、b，a∥平面α，则b与α的位置 关系 ∥α与α相交α∥α或b与α相交 13.如图所示，已知S是正三角形所在平面外的一点，且， 为△上的高，D、E、F分别是、、的中点，试判断与平面的位置关系，并给予证明.

直线与平面平行的判定优秀教案

直线与平面平行的判定 教学目标 1．知识目标⑴进一步熟悉掌握空间直线和平面的位置关系；⑵理解并掌握直线与平面平行的判定定理、图形语言、符号语言、文字语言；⑶灵活运用直线和平面的判定定理，把“线面平行”转化为“线线平行”。．能力训练2 ⑴掌握由“线线平行”证得“线面平行”的数学证明思想；提高学生的逻辑空间想象力和类比、⑵进一步培养学生的观察能力、转化能力，推理能力。3．德育渗透⑴培养学生的认真、仔细、严谨的学习态度；⑵建立“实践——理论——再实践”的科学研究方法。教学重点直线与平面平行的判定定理教学难点直线与平面平行的判定定理的应用教学方法启发式、引导式、观察分析、理论联系实际教具模型、尺、多媒体设备教学过程（一）内容回顾有几种？可将图形给以什么作师：在上节课我们介绍了直线与平面的位置关系，为划分的标准？ 直线与平平行面交面与直内平线直在面线平相

??a???//a?A?a 1 / 4 （二）新课导入、如何判定直线与平面平行1请同学回忆，我们昨天是受用了什么方法证明直线与平面平行？有直线在师：平面外能不能说明直线与平面平行？生：借助定义，说明直线与平面没有公共点。判断直线与平面有没有公共点，需要将直线和平面延展开看它们有没有交师：我们来看但延展判断并不方便灵敏，那就需要我们挖掘一种新的判定方法。点，看生活中的线面平行能给我们什么启发呢？观察l若将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线与书本所在的平面具有怎样的位置关系？ l师：你们能用自己的话概括出线面平行的判定定理吗？如果平面外一条直

线和这个平面内的一条直线平行，生：那么这条直线和这个平面平行。、分析判定定理的三种语言2 师：定理的条件细分有几点？生：线在平面外，线在平面内，线线平行（师生互动共同整理出定理的图形语言、符号语言、文字语言）文字语言符号语言图形语言 a??a?线线平行，???//??ab?则线面平行。b?ba//?（三）例题讲解?师：如果要证明线面平行，关键在哪里？生：在平面内找到一条直线，证明线线平行。的中点。求证：ADF分别是AB、1 例已知：如图空间四 边形ABCD中，E、。EF∥平面BCD A BD 证明：连结FE?BD EFEB ∥＝AE DB?? EF∥平面BCD AF＝FD EF 平面BCD C?平面BD BCD 着重强调：①要证EF∥平面BCD，关键是在平面BCD中找到和EF平行的直线； ②注意证明的书写，先说明图形中增加的辅助点和线，证明步骤严谨。例2 如图，正方体ABCD－ABCD中，E为DD的中点，证明BD∥平面111111AEC。 2 / 4 EO O,连结证明：连结BD交AC于BDD中，在∧D11C1与BD的中点∵E,O分别为DD B11A1∴OE//BD1 E?平面AEC BD 又∵OE∥平面AEC ?1DC?平面AECBD 1O着重强调：如果题目条件中出现中点，则辅助点经常取某BA条线中点构成三角形形成中位线，得到线线平行。 （四）巩固练习 ?平行的充要条件是（a与平面）练习1 直线?内的一条直线平行与平面Ａ．直线a?内两条直线不相交与平面Ｂ．直线a?内的任一条直线都不相交与平面Ｃ．直线a?内的无数条直线平行与平面Ｄ．直线a目的：考察直线和平面 的位置关系，引导学生发挥想象力，借助教室或书本实物想象，举反例 CD11 C D各面中，B2 在长方体ABCD- A练习1111 B1A1与直线AB平行的平面有：(1) AA1平行的平面有：(2)与直线 目的：学生们能够叙述清楚证明线面平行必须满足的DC三个条件——面内、面外、线线平行。BA是平行四边如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD3 练习 MN//的中点．求证：平面PAD．形，M，N分别是AB,PC P目的：①锻炼

直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)

— 直线与平面、平面与平面平行的判定 [学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题. 知识点一直线与平面平行的判定定理 思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗 答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误. 知识点二平面与平面平行的判定定理

思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗 答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. ? 题型一直线与平面平行的判定定理的应用 例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的 中点. 求证：(1)EH∥平面BCD； (2)BD∥平面EFGH. 证明(1)∵EH为△ABD的中位线， ∴EH∥BD. ∵EH?平面BCD，BD?平面BCD， ∴EH∥平面BCD. ` (2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH， EH?平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 跟踪训练1 在四面体A－BCD中，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ADC. 证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点， 连接PQ. 因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心， 所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1. >

所以MN∥PQ. 又因为MN?平面ADC，PQ?平面ADC， 所以MN∥平面ADC. 题型二面面平行判定定理的应用 例2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC 1. 证明由棱柱性质知， B1C1∥BC，B1C1＝BC， ] 又D，E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D， 又C1D?平面ADC1， EB?平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB1綊BD， 所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B. ！ 因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)， 所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，

直线和平面平行的判定(练习题)

?选择题（共5小题） 1. ( 2010 ?宁德模拟)正方体ABCD A l B l C l D l中M , N , Q分别是棱D i C i, (1) MN // 面APC ; (2) C i Q// 面APC ; (3) A, P , M三点共线; （4）面MNQ //面APC .正确的序号为（） A. (1) (2) B. (1) (4) C. ( 2) (3) D. ( 3) (4) iff AC〃平面EFG，P B 〃平面EG则〕（ 线面平行的判定 A. . B. 1 C.[ D. 2 A1D1, BC 的 中占 I P在对角线BDi上，且p,--—| _给出下面四个命题 : 2 .如图，P是厶ABC所在平面外一点, E, F, G 分别在AB , BC , PC 上, 且PG=2GC ,

3. （2015秋？葫芦岛月考）已知长方体ABCD A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为BB1 的中点，与EF 平行的长方体的面有（） A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个 4. （2014秋？临海市校级月考）I是平面a外一条直线，过I作平面使all 3,这样的3 （） A ?只能作一个B.至少可以作一个 C ?不存在 D ?至多可以作一个 5. （2014秋？临 潼区校级月考）平面a与平面3平行的条件可以是（） A . a内有无穷多条直线与3平行 B .直线a ll a, a l 3 C .直线a? a,直线b? 3,且a ll 3, b ll a D . a内的任何直线都与3平行 二.填空题（共 3 小题） 6. （2014 春?巴彦淖尔校级期末）如图,在四棱锥P A ABCD 中, ABCD 是平行四边形, M, N分别是AB , PC的中点，求证：MN //平面PAD .

《直线与平面平行的判定》教学设计说明

《直线与平面平行的判定》教学设计 教材：普通高中课程标准实验教材数学人教A版 课题：数学必修1第二章2.2.1直线与平面平行的判定 课时：1课时 一、教材结构与容简析 （一）本节容在全书及章节的地位； 本节选自新课标人教A版必修2第2.2.1节，本节之前学生已经学习了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系, 这是学习本节容的基础。直线和平面平行关系在本章中的应用较多，而直线和平面平行的判定又是本大节的重点，是下一节平面与平面平行判定的基础，同时也是学习线面平行、面面平行性质的基础，因此，本节容在本章中有着极其重要的地位。 （二）数学思想方法分析： 1．按照新课标理念设计思路，定理可从感性认识入手，通过对实物观察得出几何关系，并不要求做出证明。但为了逐步培养学生严格的逻辑思维和逆向思维的能力，定理因从理性上做一个简单的分析。 2．判定定理将“线面平行”化归为“线线平行”，即把空间问题转化到平面中来加以解决，这也正是数学的化归“降维”思想的应用。 二教学目标： 根据上述教材结构与容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：1．能够通过对几何关系的观察概括出判定定理；理解直线与平面平行判定定理中条件的必要性；初步利用定理判定线与面平行的位置关系；能通过定理的得出过程逐步培养学生观察、分析、转化问题的能力。 2．通过对定理成立条件的分析，养成学生对待知识的科学态度、勇于探索和创新的精神。3．在、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。 三教学重点、难点： 教学重点：判定定理的分析和归纳过程；判定定理的初步应用。

突出方法：通过定理的得出与判断题的练习强化定理成立的条件；利用具体实例训练判定定理的用法。 教学难点：判定线面平行时“平面的一条直线”的确定。 突破方法：利用多媒体的演示功能，让学生感受并体会寻找这条平行线的方法。 四教学模式及学法 （1）把教学知识点，转化为一串数学问题，用问题组织教学，使学生在解决问题中掌握知识的发生发展过程、知识结构和运用规律。（2）让学生在认知过程中，注重联系实际,用发现法学习，能积极思考和发言，运用多媒体交互、生动、主动地学习。 五教学流程图 开始 ↓ 温故 ↓ 激发兴趣——→思新 ↓ 实验探索———教师引导 ↓ 得出定理——判定,评价,表扬 ↓ 定理的描述——教师引导 ↓ 定理辨析 ↓ 定理的简单应用 ↓ 课堂小结 六教学过程设计

直线与平面平行的判定定理

2.2.1 直线与平面平行的判定 菏泽市巨野县实验中学--徐文涛 一、学习目标 1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景； 2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行. 二、重点难点 重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面平行的判定定理。 难点：操作确认并概括出直线与平面平行的判定定理及其初步运用。 三、学习过程 （一）复习引入 空间直线与平面的位置关系有哪几种?分情况画出图形，写出符号语言和交点个数? 思考:如何判定一条直线和一个平面平行呢？ （二）自主探究：直线与平面平行的判定定理 问题1：在生活中，注意到门扇的两边是平行的．当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象． 问题2：将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？

【探究】如图，平面α外的直线a 平行于平面α内的直线b . （1）直线a 与直线b 共面吗？ （2）直线a 与平面α相交吗？ 【自主总结】直线与平面平行的判定定理： 用符号语言可概括为： 实质： （三）初步应用 【例1】空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，证明:直线EF 与平面BCD 平行 a α b

[变式1如图，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，若FD AF EB AE ，则EF 与平面BCD 的位置关系是_____________. 【变式2】 如图,四棱锥A —DBCE 中,O 为底面正方形DBCE 对角线的交点,F 为AE 的中点. 求证:AB//平面DCF. 反思~领悟： 1. 线面平行,通常可以转化为来处理. 2. 寻找平行直线可以通过等来完成。 3、证明的书写三个条件缺一不可。 小试牛刀： 1．如图长方体中， （1）与AB 平行的平面是； （2）与AA 1平行的平面是； （3）与AD 平行的平面是； A B C D E F O A A 1 1 D