2020年北师版数学必修二 1.1.1
第一章§1 1.1
A级基础巩固
一、选择题
1．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是(C)
A．圆柱B．圆锥
C．球D．圆台
[解析]圆柱的轴截面是矩形面，圆锥的轴截面是三角形面，球的轴截面是圆面，圆台的轴截面是等腰梯形面．
2．图甲是由图中哪个平面图旋转得到的(A)
[解析]该简单组合体为一个圆台和一个圆锥，因此平面图应由一个直角三角形和一个直角梯形构成．B旋转后为两共底的圆锥；C旋转后为一个圆柱与一个圆锥的组合体；D旋转后为两圆锥与一圆柱．
3．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为(B)
A．10B．20
C．40 D．15
[解析]圆柱的轴截面是矩形，矩形的长宽分别为5、4，则面积为4×5＝20．
4．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是(B) A．圆锥B．圆柱
C．球体D．以上均有可能
[解析]圆锥、球体被平面截后不可能是四边形，而圆柱被截后可能是四边形．
5．充满气的车轮内胎可由图中哪个图形绕对称轴旋转生成(C)
[解析]汽车内胎是圆形筒状几何体．
6．(2019·潍坊高一检测)如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体
形状为( B )
A ．一个球体
B ．一个球体中间挖出一个圆柱
C ．一个圆柱
D ．一个球体中间挖去一个长方体
[解析] 圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱． 二、填空题
7．已知圆台的轴与母线所在直线的夹角为45°，若上底面的半径为1，高为1，则圆台的下底面半径为__2__．
[解析] 设下底面半径为r ，则r －11＝tan45°，∴r ＝2．
8．有下列说法：
①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段； ②球的直径是球面上任意两点间的线段； ③用一个平面截一个球，得到的是一个圆； ④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球． 其中正确的有__①__．
[解析] 球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封闭的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．
三、解答题
9．已知圆锥的母线长为10mm ，高为5mm ． (1)求过顶点作圆锥的截面中，最大截面的面积． (2)这个截面是轴截面吗？为什么？ [解析] 如图所示：
(1)∵OA ＝10mm ，OH ＝5mm ，
∴∠OAH ＝30°.∴∠AOB ＝120°． ∴S 截面＝1
2OA ·OB ·sin θ(0<θ≤120°)．
∴S max ＝1
2×10×10×sin90°＝50(mm 2)．
(2)S △AOB ＝1
2×10×10×sin120°＝253(mm 2)．
∵253<50，∴该截面不是轴截面．
10．如图所示，用一个平行于圆锥SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的小圆锥的母线长是3 cm ，求圆台OO ′的母线长．
[解析] 设圆台的母线长为l ，由截得圆台上、下底面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面半径分别为r ,4r .过轴SO 作截面
，如图所示．
则△SO ′A ′∽△SOA ， ∴
SA ′SA ＝O ′A ′
OA
． 又SA ′＝3，SA ＝3＋l ，O ′A ′＝r ，OA ＝4r ， ∴
33＋l ＝r 4r ＝1
4
.解得l ＝9． 即圆台的母线长为9 cm ．
B 级 素养提升
一、选择题
1．下列命题中，错误的是( B )
A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D ．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
[解析]当圆锥的轴截面顶角大于90°时，面积不是最大的．
2．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是(B)
A．4B．3
C．2D．1
[解析]如图，设球的半径为R，
两截面圆的半径分别为r1，r2，
则πr21＝5π，πr22＝8π，
∴r1＝5，r2＝22．
又O1O2＝1，取OO2＝x，
则有R2＝5＋(x＋1)2，R2＝8＋x2，
∴5＋(x＋1)2＝8＋x2，
∴x＝1，∴R＝3．
二、填空题
3．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为__103__cm．
[解析]h＝20cos30°＝20×
3
2＝103(cm)．
4．圆台两底面半径分别为2 cm和5 cm，母线长为310 cm，则它的轴截面的面积是__63_cm2__．
[解析]画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝AB2－BM2＝9(cm)，
∴S四边形ABCD＝(4＋10)×9
2＝63(cm
2)．
三、解答题
5．如图所示几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个平面去截这个几何体，请画出截面图形．(要求：①至少画两个，②不要求大小，只要求形状，③平面图形包含内部部分时，用阴影标出)
[解析]参考图形如下：(任选其二)
6．轴截面为正三角形的圆锥叫作等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为3，求该圆锥的底面半径、高和母线长．
[解析]如图△SAB为等边圆锥的轴截面，
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
则在轴截面△SAB中，
有OB＝r，SO＝h，SB＝l，
且∠SBO＝60°．
在直角△SOB中，h＝3r，l＝2r，
所以S△SAB＝1
2×AB×SO＝rh＝3r
2，
根据题意得3r2＝3，
解得r＝1，所以l＝2r＝2，h＝3r＝3．
即该圆锥的底面半径为1，高为3，母线长为2．
C级能力拔高
一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
[解析](1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图)．
因为圆台上底面面积为4πcm 2， 所以上底面半径为2cm ．
又因为圆台下底面面积为25πcm 2， 所以下底面半径为5cm ，
所以高为AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．
(2)延长BA ，CD 相交于点S ，设截得此圆台的圆锥的母线长为l ， 因为Rt △SAO 1∽Rt △SBO ， 所以SA SB ＝AO 1
BO ，即l －12l ＝25，
解得l ＝20(cm)，
即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm ．