平方差公式与完全平方公式试题(含答案)

乘法公式的复习

一、复习:(a+b)(a-b)=a 2

-b 2

(a+b)2

=a 2

+2ab+b 2

(a-b)2

=a 2

-2ab+b 2

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：

① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2

-y 2

② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2

-y 2

= x 2

-y 2

③ 指数变化，(x 2

+y 2

)(x 2

-y 2

)=x 4

-y 4

④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2

-b 2

⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2

-(z +m )2

= x 2y 2

-(z 2

+2zm +m 2

)=x 2y 2

-z 2

-2zm -m 2

⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2

-z 2

=x 2

-2xy +y 2

-z 2

⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2

+y 2

)=(x 2

-y 2

)(x 2

+y 2

)=x 4

-y 4

⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2

-(x +y -z )2

=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz

例1．已知2=+b a ，1=ab ，求2

2b a +的值。

解：∵=+2

)(b a 222b ab a ++ ∴2

2b a +=ab b a 2)(2-+

∵2=+b a ，1=ab ∴2

2b a +=21222

=?-

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2

)(b a -的值。

解：∵=+2

)(b a 222b ab a ++ =-2

)(b a 2

22b ab a +-

∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2

)(b a -

∵8=+b a ，2=ab ∴=-2

)(b a 562482

=?-

例3：计算19992

-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。 解：19992

-2000×1998 =19992

-（1999+1）×（1999-1） =19992

-（19992

-12

）=19992

-19992

+1 =1 例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2

+b 2

和(a-b)2

的值。 〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。 解：a 2

+b 2

=(a+b)2

-2ab=4-2=2 （a-b)2

=(a+b)2

-4ab=4-4=0

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2

-z 2

的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2

-z 2

是由x+z 和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2

-z 2

=（x+z ）(x-z)=14×4=56。 例6：判断（2+1）（22

+1）（24

+1）……（2

2048

+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。

解：（2+1）（22

+1）（24

+1）……（2

2048

+1）+1

=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048

+1）+1

=24096

=16

1024

因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。 例7．运用公式简便计算

（1）1032

（2）1982

解：（1）1032

=(100+3)2

=1002

+2?100?3+32

=10000+600+9 =10609 （2）1982

=(200-2)2

=2002

-2?200?2+22

=40000-800+4 =39204

例8．计算

（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)

解：（1）原式=[(a -3c )+4b ][(a -3c )-4b ]=(a -3c )2

-(4b )2

=a 2

-6ac +9c 2

-16b 2

（2）原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2

-( y 2

-4y +4)=9x 2

-y 2

+4y -4

例9．解下列各式

（1）已知a 2

+b 2

=13，ab =6，求(a +b )2

，(a -b )2

的值。 （2）已知(a +b )2

=7，(a -b )2

=4，求a 2

+b 2

，ab 的值。

（3）已知a (a -1)-(a 2

-b )=2，求222

a b ab +-的值。

（4）已知13x x -=，求441

x x

+的值。

分析：在公式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 中，如果把a +b ，a 2+b 2

和ab 分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。 解：（1）∵a 2

+b 2

=13，ab =6

∴(a +b )2

=a 2

+b 2

+2ab =13+2?6=25 (a -b )2

=a 2

+b 2

-2ab =13-2?6=1 （2）∵(a +b )2

=7，(a -b )2

=4

∴ a 2

+2ab +b 2

=7 ① a 2

-2ab +b 2

=4 ② ①+②得 2(a 2

+b 2

)=11，即2211

2

a b += ①-②得 4ab =3，即34

ab =

（3）由a (a -1)-(a 2-b )=2 得a -b =-2

()22221222a b ab a b ab +∴-=+-()()22

112222

a b =-=?-=

（4）由13x x -=，得19x x 2

?

?-= ??? 即22129x x +-= 22111x x ∴+=

221121x x 2

?

?∴+= ??

? 即4412121x x ++= 441119x x +=

例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？

分析：由于1?2?3?4+1=25=52

2?3?4?5+1=121=112

3?4?5?6+1=361=192

…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。 解：设n ，n +1，n +2，n +3是四个连续自然数

则n (n +1)(n +2)(n +3)+1 =[n (n +3)][(n +1)(n +2)]+1 =(n 2

+3n )2

+2(n 2

+3n )+1

=(n 2

+3n )(n 2

+3n +2)+1 =(n 2

+3n +1)2

∵n 是整数，∴ n 2

，3n 都是整数 ∴ n 2

+3n +1一定是整数

∴(n 2

+3n +1)是一个平方数 ∴四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。

二、乘法公式的用法

(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1. 计算：()()

53532222x y x y +- 解：原式()()

=-=-5325922

22

44x

y x y

(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。 例2. 计算：()()()()

111124-+++a a a a 解：原式()()(

)

=-++111224a a a

()(

)=-+=-111448

a a a

例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+-- 解：原式()()[]()()[]

=-++--+25312531y z x y z x

()()

=--+=-+---253149252061

22

2

2

2

y z x y x z yz x

三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4. 计算：()()5785782

2

a b c a b c +---+

解：原式()()[]()()[]

=+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c

()=-=-101416140160a b c ab ac

四、变用: 题目变形后运用公式解题。 例5. 计算：()()x y z x y z +-++26 解：原式()[]()[]=

++-+++x y z z x y z z 2424

()()

=++-=+-+++x y z z x y z xy xz yz

24122442

2

2

2

2

五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

()()()()()

()()ab b a b a b a b a b a b a ab b a b a ab b a 4.42.32.22.12

2

222

2

222

222

=--++=-+++=+-+=-+

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。 例6. 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。 解：()a b a b ab 222

2242526+=-+=+?= 例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-2

2

解：原式()()

[]

()()[]=++-++--b c a d b c a d 2

2

()()

[

]

=++-=++++-222224422

2222b c a d a b c d bc ad

三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”． 例1 计算(-2x 2

-5)(2x 2

-5)

分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2

”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2

-b 2

中的a ，而“2x 2

”则是公式中的b ．

解：原式=(-5-2x 2

)(-5+2x 2

)=(-5)2

-(2x 2)2

=25-4x 4

．

例2 计算(-a 2

+4b )2

分析：运用公式(a +b )2

=a 2

+2ab +b 2

时，“-a 2

”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2

时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2

”就是公式中的b ．（解略） （二）、注意为使用公式创造条件 例3 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．

分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x ”、“5”两项同号，“y ”、“z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．

解：原式=〔(2x +5)+(y -z )〕〔(2x +5)-(y -z )〕=(2x +5)2

-(y -z )2

=4x 2

+20x +25-y +2yz -z 2

．

例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．

分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．

解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)

=（28-1）（28+1）=216-1

（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．

例6 计算(2x+y-3)2

解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式

例7 (2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．

分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，

(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单．

解：(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．

例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．

分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决．

解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]

=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2

=4a2+4b2+4c2

（五）、注意乘法公式的逆运用

例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．

分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．

解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac．

例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2

分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．

解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=[(2a+3b)+(4a-5b)]2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2．

四、怎样熟练运用公式：

（一）、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．

（二）、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

1、位置变化 如（3x +5y ）（5y －3x ）交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了．

2、符号变化 如（－2m －7n ）（2m －7n ）变为－（2m +7n ）（2m －7n ）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）

3、数字变化 如98×102，992

，912

等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2

，（90+1）2

后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化 如（4m +

2n ）（2m －4n ）变为2（2m +4n ）（2m －4

n

）后即可用平方差公式进行计算了． 5、项数变化 如（x +3y +2z ）（x －3y +6z ）变为（x +3y +4z －2z ）（x －3y +4z +2z ）后再适当分组就可以用乘法公式来解了

（四）、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a 2

+1）2

·（a 2

－1）2

，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a 2

+1）（a 2

－1）]2

=（a 4

－1）2

=a 8

－2a 4

+1．

对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－2

21

）（1－

231）（1－241）…（1－2

91）（1－2101），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注

意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．

即原式=（1－2

1

）（1+2

1）（1－3

1）（1+3

1）×…×（1－

101）（1+101）=21×23×32×34×…×109×1011 =21×1011=20

11．

有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a 2

+b 2

=（a +b ）2

－2ab ，a 2

+b 2

=（a －b ）2

+2ab 等．

用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效． 如已知m +n =7，mn =－18，求m 2

+n 2

，m 2

－mn + n 2

的值． 面对这样的问题就可用上述变式来解，

即m 2

+n 2

=（m +n ）2

－2mn =72

－2×（－18）=49+36=85，

m 2－mn + n 2= （m +n ）2－3mn =72－3×（－18）=103．

下列各题，难不倒你吧？！ 1、若a +

a 1=5，求（1）a 2+21a

，（2）（a －a 1）2

的值． 2、求（2+1）（22

+1）（24

+1）（28

+1）（216

+1）（232

+1）（264

+1）+1的末位数字． （答案：1.（1）23；（2）21．2. 6 ）

五、乘法公式应用的五个层次

乘法公式：(a ＋b)(a －b)=a 2

－b 2

，(a ±b)=a 2

±2ab ＋b 2

，

(a ±b)(a 2

±ab ＋b 2

)=a 3

±b 3

．

第一层次──正用

即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．

例1计算

(2)(－2x－y)(2x－y)．

(2)原式=[(－y)－2x][(－y)＋2x]=y2－4x2．

第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．

例2计算

(1)19982－1998·3994＋19972；

解(1)原式=19982－2·1998·1997＋19972 =(1998－1997)2=1

第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．

例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．

分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．

解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1

=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．

例4计算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)

分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：－1=2－3，5=2＋3，使用公式巧解．

解原式=(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)

=[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]=(2－3y)2－(2x－3)2=9y2－4x2＋12x－12y－5．

第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，则求解十分简单、明快．

例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3的值．

解：∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－2·14)=106，

a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)=93－3·14·9=351

第五层次──综合后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2综合，

可得 (a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；

等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．

例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．

解：原式=1

4

[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-

1

4

[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2

=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2

六、正确认识和使用乘法公式

1、数形结合的数学思想认识乘法公式：

对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。

如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。

2、乘法公式的使用技巧：

①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。 例1、 运用乘法公式计算：

（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2

解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=12

-(3x)2

=1-9x 2

. （2） (-2m-1)2

=[-(2m+1)]2

=(2m+1)2

= 4m 2

+4m+1.

②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显. 例2、 运用乘法公式计算：

（1）(13a-14b )(-14b -a 3 ); （2）(x-1/2)(x 2

+1/4)(x+1/2)

解：（1）(13a-14b )(-14b -a 3 )=(-14b+ 13a )(-14b -1

3

a )

=(14b- 13a )(14b +13a )=(14b)2- (13a)2 = 116b 2- 19

a 2

(2) (x-1/2)(x 2

+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x 2

+1/4)

=(x 2

-1/4) (x 2

+1/4)= x 2

-1/16.

③逆用公式

将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a 2

-b 2

= (a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得a n b n

=(ab)n

,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。

例3、 计算：

（1）(x/2+5)2

-(x/2-5)2

; （2）(a-1/2)2

(a 2

+1/4) 2

(a+1/2)

2

解：（1）(x/2+5)2

-(x/2-5)2

=[(x/2+5)+(x/2-5)] [(x/2+5)-(x/2-5)]

=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x ·10=10x.

（2）(a-1/2)2

(a 2

+1/4) 2

(a+1/2)

2

=[(a-1/2)(a 2

+1/4)

(a+1/2)] 2 =[(a-1/2 ) (a+1/2) (a 2+1/4)] 2

=[(a 2

-1/4

) (a 2

+1/4)] 2

=(a 4

-1/16 )

2

=a 8-a 4

/8+1/256.

④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。

计算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).

解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= [1+(x+y)][1-(x+y)]=12

-(x+y)

2

=1-(x 2

+2xy+y 2

)= 1-x 2

-2xy-y 2

.

（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)

=[ (2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]

= (2x+5)2

-(y-z)2

=(4x 2

+20x+25)-(y 2

-2yz+z 2

) = 4x 2

+20x+25-y 2

+2yz-z 2

= 4x 2

-y 2

-z 2

+2yz +20x+25 .

七、巧用公式做整式乘法

整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。

一. 先分组，再用公式

例1. 计算：()()a b c d a b c d -+-----

简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式()a b c d -+-运用加法交换律和结合律变形为()()--++b d a c ；将另一个整式()----a b c d 变形为()()---+b d a c ，则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。 解：原式[

]()()[]=--++---+()()b d a c b d a c

=---+=++---()()b d a c b bd d a ac c

22

2

2

2

2

22

二. 先提公因式，再用公式 例2. 计算：8244x y x y +

?

?

???-?? ??

? 简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x 的系数成倍数，y 的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为244x y +

??

?

?

?，则可利用乘法公式。 解：原式=+

??

???-?? ??

?24444x y x y

()=-?? ??????????

?=-

244328

22

2

2x y x y

三. 先分项，再用公式

例3. 计算：()()232236x y x y ++-+

简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x 的系数相同，y 的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与-2的和，将6分解成4与2的和，再

分组，则可应用公式展开。 解：原式=[

]()()[]()()24232423x y x y +--++-

()

=+--=+++-()24234161212922

2

2

x y x x y y

四. 先整体展开，再用公式 例4. 计算：()()a b a b +-+221

简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即[]()a b -+21，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。

解：原式[]=+-+()()a b a b 221 =+-++=-++()()()a b a b a b a b a b

222422

2

五. 先补项，再用公式

例5. 计算：3313131318

4

2

+++++()()()()

简析：由观察整式()31+，不难发现，若先补上一项()31-，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。

解：原式=+++++-331313131312

842()()()()()

=+

+++-=+

++-=++-=+

-=+3313131312

33131312

33131233125232

8422844881616()()()()()()()()()

()

六. 先用公式，再展开 例6. 计算：1121131141110

2222-

??

???-?? ???-?? ???-?? ?

??… 简析：第一个整式1122-?

? ???可表示为11222-?? ?????????

??，由简单的变化，可看出整式符合平方差公式，其它因式类

似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。

解：原式=+??

???-?? ???+?? ???-?? ???+?? ???-?? ??

?+

??

???-?? ??

?11211211311311411411101110…

=???????=

3

2

1

2

4

3

2

3

5

4

3

4

11

10

9

10

11

20

…

七. 乘法公式交替用

例7. 计算：()()()()

x z x xz z x z x xz z

+-+-++

2222

22

简析：利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。

解：原式[][]

=+++-+-

()()()()

x z x xz z x xz z x z

2222

22

[][]

=++--

()()()()

x z x z x z x z

22

[]

=+-

=+-

=-

=-+-

()()

()()

()

x z x z

x z x z

x z

x x z x z z

33

3

223

642246

33

八、中考与乘法公式

1. 结论开放

例1.（02年济南中考）请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一

个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。

分析：利用面积公式即可列出()()

x y x y x y

+-=-

22

或()()

x y x y x y

22

-=+-或()

x y x xy y

-=-+

222

2

在上述公式中任意选一个即可。

例2.（03年陕西中考）

如图2，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a b

>），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。

分析：利用面积公式即可列出()()a b a b a b +-=-22或()()a b a b a b 22

-=+-

2. 条件开放

例3. （03年四川中考）多项式912x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。

分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出

()9163122x x x ++=+ 或()9163122

x x x +-=-只要再动点脑筋，还会得出

()

9181492191132422

22

x x x x x ++=+?? ?

??

+-= 9191222x x +-= 故所加的单项式可以是±6x ，或

814

4

x ，或-1，或-92x 等。 3. 找规律

例4. （01年武汉中考） 观察下列各式：

()()()()()()x x x x x x x x x x x x -+=--++=--+++=-111

111111

223324……

由猜想到的规律可得()()

x x x x x n n n -+++++=--1112…____________。 分析：由已知等式观察可知 ()(

)

x x x

x x x n

n n n -+++++=---+1111

21…

4. 推导新公式

例5. 在公式()a a a +=++1212

2中，当a 分别取1，2，3，……，n 时，可得下列n 个等式

()()()

()111211212221

313231121

222222

2

2+=+?++=+?++=+?++=++…

…

n n n

将这n 个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：

123++++=…n __________（用含n 的代数式表示）

分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已知等式左右两边分别相加，得：

()n n n +=+?+?++?+112122222… 移项，整理得：

()1231

2

1++++=

+…n n n 例6. （04年临汾中考）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，

实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：()()22322

a b a b a ab b ++=++ 就可以用图4或图5等图表

示。

（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________；

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：

()()a b a b a ab b ++=++34322

（3）请仿照上述方法另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。

解：（1）()()2222522

a b b a a b ab ++=++

（2）如图7

平方差公式和完全平方公式基础拔高练习(含答案)

平方差公式 令狐采学 ◆基础训练 1．（a2+b2）（a2－b2）=（____）2－（____）2=______． 2．（－2x2－3y2）（2x2－3y2）=（____）2－（____）2=_____． 3．20×19=（20+____）（20－____）=_____－_____=_____． 4．9.3×10.7=（____－_____）（____+____）=____－_____． 5．20062－2005×2007的计算结果为（） A．1 B．－1 C．2 D．－2 6．在下列各式中，运算结果是b2－16a2的是（） A．（－4a+b）（－4a－b）B．（－4a+b）（4a－b） C．（b+2a）（b－8a）D．（－4a－b）（4a－b）

7．运用平方差公式计算． （1）102×98 （2）2×3（3）－2.7×3.3 （4）1007×993 （5）12×11（6）－19×20 （7）（3a+2b）（3a－2b）－b（a－b）（8）（a－1）（a－2）（a+1）（a+2） （9）（a+b）（a－b）+（a+2b）（a－2b）（10）（x+2y）（x－2y）－（2x+5y）（2x－5y）（11）（2m－5）（5+2m）+（－4m－3）（4m－3） （12）（a+b）（a－b）－（a－3b）（a+3b）+（－2a+3b）（－2a－3b） ◆综合应用 8．（3a+b）（____）=b2－9a2；（a+b－m）（____）=b2－（a－m）2． 9．先化简，再求值:（3a+1）（3a－1）－（2a－3）（3a+2），其中a=－． 10．运用平方差公式计算:

平方差公式

平方差公式 教学目标 1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理水平。 2．会推导平方差公式，并能使用公式实行简单计算。 3．理解平方差及其几何背景，使学生明白数形结合的思想。 4．在合作、交流和讨论中发掘知识，并体验学习的乐趣。 5．培养学生灵活使用知识、勇于探求科学规律的意识。 教学重点：体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会使用公式实行简单的计算。 教学难点：从广泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会使用公式实行计算。 教学准备 1．为每位学习准备一张正方形纸片（边长为15c m）。 2．教师准备两张正方形（一大一小）纸板和三块矩形纸板。 3．多媒体课件。 教学流程 一、创设问题情境，引导学生观察、设想。 教师发给每个学生一张正方形纸片（边长15c m），并用多媒体课件与正方形纸板显示正方形。 师：在一块45c m的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为15c m的正方形（如图），请问剩下部分的面积有多少平方厘米？ 师：计算剩下部分的面积能够有哪些方法？ 小组讨论： 1．能够用大正方形面积减去小正方形面积得到。 2．能够把剩下的部分切割成几个矩形来计算。 师：从今天的问题来看，用哪一种方法比较好？你们小组能列出算式吗？ 或许有学生能迅速列出算式，得出答案是1800平方厘米。 师：为了容易理解，我现在把小正方形放在大正方

形 的角落（如图）。 师 ：刚才我们说过计算面积的方法不止一种，我们现在试 着用分割的方法来计算面积。请参照老师的做法，先在 你们的纸上画一条虚线，然后把刚才画的小正方形剪下 来（或撕去），就像要挖去这部分一样，再沿虚线把小长 方形剪下来，并把小长方形拼到大长方形的一边，刚好又变成一个新的长方形（如图）。 师：若按照我们刚开始的题目要求，现在新的大长方形的长、宽各是多少？它的面积又是多少呢？ 生：大长方形的长是(45+15)c m ，宽是(45-15)c m 。 长方形的面积=(45+15)×(45-15)=60×30=1800（平方厘米）。 师：还记得两种方式的列式吗？ 生：第一种方法的式子是 452-152， 第二种方法的式子是(45+15)×(45-15)。 师：两个式子都能求出剩下的面积，它们之间有什么关系呢？ 生：相等。 二、交流对话，探求新知。 看谁算得快： （1）（x +2）（x -2） （2）（1+3a ）（1-3a ） （3）（x +5y ）（x -5y ） （4）（-m +n ）（-m -n ） 师：你们能发现什么规律？ 师：再想想看，如果今天的题目换成：“在一块边长为a 厘米的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为b 厘米的小正方形，请问剩下的面积有多少？”我们该怎样列代数式来表示？ 生：我们能够用a 2-b 2来表示剩下的面积。 师：还有没有别的方法？ 生：也能够用（a +b ）（a -b ）来表示剩下的面积。 师：今天我们除了要找一个比较方便的方法来求面积外，更重要的是我们能从图形中了解到（a +b ）（a -b ） = a 2-b 2这个性质。上一节课我们已经学过多项式的乘法，你能利用计算多项式乘法的方法，把（a +b ）（a -b ）的答案计算出来吗？ 5 30 15 30

(完整版)平方差完全平方公式提高练习题

平方差公式专项练习题 一、选择题 1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b）C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a）D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1个B．2个C．3个D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题5．（－2x+y）（－2x－y）=______．6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． 7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 三、计算题9．利用平方差公式计算：202 3 ×21 1 3 ．10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）． （1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）；（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 ． 2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082． （1）一变：利用平方差公式计算： 22007 200720082006 -?．（2）二变：利用平方差公式计算： 2 2007 200820061 ?+ ． 二、知识交叉题3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）． C卷：课标新型题 1．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（?1+x+x2+x3）=1－x4． （1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数） （2）根据你的猜想计算：①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）．③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______．（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______．③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．

专题02 平方差公式(基础版)(解析版)

专题02 平方差公式（基础版） 【学习目标】 1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是 两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单 项式或多项式. 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——平方差公式 例1、下列各式能用平方差公式分解因式的有（ ） ①x 2+y 2；②x 2﹣y 2；③﹣x 2﹣y 2；④﹣x 2+y 2；⑤﹣x 2+2xy ﹣y 2． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【思路点拨】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，进而可得答案． 【答案与解析】解：下列各式能用平方差公式分解因式的有；②x 2﹣y 2；④﹣x 2+y 2；，共2个，故选：B ． 【总结升华】能否运用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断．分别从项数、符号、平方项等方面来判断． ()()22a b a b a b -=+-a b a b

平方差与完全平方公式教案与答案

平方差与完全平方公式教案与答案

15.2.1 平方差公式 知识导学 1．平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2. 平方差公式的灵活运用：通过变形，转化为符合平方差公式的形式，也可以逆用平方差公式，连续运用平方差公式，都可以简化运算。 典例解悟 例1. 计算：（1）(2x+3y)(2x-3y) (2) (-4m2-1)(-4m2+1) 解：（1）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x2-9y2 (2) (-4m2-1)(-4m2+1)=(-4m2)2-12=16m4-1 感悟：正确掌握平方差公式的结构，分清“相同项”与“相反项”，再结合已学知识计算本题。其中第（2）题中的相同项是-4m2,不能误以为含有负号的项一定是相反项。 例2.先化简，再求值：(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y),其中x=8,y=-8. 解：原式=(x2-4y2)-(y2-4x2)=5x2-5y2. 当x=8，y=-8时，原式=5×82-5×(-8)2=0.

感悟：本题是整式的混合运算，其中两个多项式相乘符合平方差公式的特征。在本题(2x-y)(-2x-y)中，相同项是-y，相反项是2x与-2x，应根据加法的交换律，将此式转化为（-y+2x）（-y-2x）。阶梯训练 A级 1.下列各多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A.(-a-b)(a+b) B.(-a-b)(a-b) C.(-a+b)(a-b) D.(a+b)(a+b) 2.在下列各式中，计算结果是a2 -16b2 的是（） A．（-4b+a）（-4b-a） B.(-4b+a)(4b-a) C．（a+2b）（a-8b） D.(-4b-a)(4b-a) 3.下列各式计算正确的是（） A.（x+3）（x-3）=x2 -3 B．（2x+3）（2x-3）=2x2 -9 C.（2x+3）（x-3）=2x2 -9 D．（2x+3）（2x-3）=4x2 -9 4．（0.3x-0.1）（0.3x+0.1）=_________ 5. (2 3x+3 4 y) (2 3 x-3 4 y) = _________ 6.（-3m-5n）（3m-5n）=_________

平方差公式练习题精选(含答案)

For personal use only in study and research; not for commercial use 平方差公式 1、利用平方差公式计算： （1）(m+2) (m-2) (2)(1+3a) (1-3a) (3) (x+5y)(x-5y) (4)(y+3z) (y-3z) 2、利用平方差公式计算 （1）(5+6x)(5-6x) (2)(x-2y)(x+2y) (3)(-m+n)(-m-n) 3利用平方差公式计算 （1）(1)(-41x-y)(-4 1x+y) (2)(ab+8)(ab-8) (3)(m+n)(m-n)+3n 2 4、利用平方差公式计算 (1)(a+2)(a-2) (2)(3a+2b)(3a-2b) (3)(-x+1)(-x-1) (4)(-4k+3)(-4k-3) 5、利用平方差公式计算 （1）803×797 （2）398×402 7．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A ．（a+b ）（b+a ） B ．（－a+b ）（a －b ） C ．（13a+b ）（b －13a ） D ．（a 2－b ）（b 2+a ） 8．下列计算中，错误的有（ ） ①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4；②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；

③（3－x ）（x+3）=x 2－9；④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）= －x 2－y 2． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．－6 D ．－5 10．（－2x+y ）（－2x －y ）=______． 11．（－3x 2+2y 2）（______）=9x 4－4y 4． 12．（a+b －1）（a －b+1）=（_____）2－（_____）2． 13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减 去较小的正方形的面积，差是_____． 14．计算：（a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）． 完全平方公式 1利用完全平方公式计算： （1）（21x+3 2y)2 (2)(-2m+5n)2 (3)（2a+5b)2 (4)(4p-2q)2 2利用完全平方公式计算： （1）(21x-3 2y 2)2 (2)(1.2m-3n)2 (3)(-21a+5b)2 (4)(-43x-3 2y)2 3 (1)(3x-2y)2+(3x+2y)2 (2)4(x-1)(x+1)-（2x+3)2 (a+b)2-(a-b)2 (4)(a+b-c)2 (5)(x-y+z)(x+y+z) (6)(mn-1)2— （mn-1)(mn+1) 4先化简，再求值：(x+y)2-4xy,其中x=12,y=9。 5已知x ≠0且x+1x =5,求441x x 的值. 平方差公式练习题精选(含答案) 一、基础训练 1．下列运算中，正确的是（ ）

初一数学平方差公式专题提高训练

初一数学平方差公式专题提高训练 1．（2015春?莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算： （1）1232﹣124×122 （2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b） 2．（2015秋?宁津县校级月考）探索题： （x﹣1）（x+1）=x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+1）=x4﹣1 （x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）=x5﹣1 （1）根据以上规律，求（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+1） （2）判断22013+22012+…+22+2+1的值的个位数是几？ 3．（2014春?东海县校级期末）乘法公式的探究及应用 （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，面积是（写成多项式乘法的形式）； （3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式； （4）运用你所得到的公式，计算：（a+b﹣2c）（a﹣b+2c）． 4．（2014春?江山市校级期中）如图，将左图中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如右图的长方形． （1）根据两个图中阴影部分的面积相等，可以得到一个数学公式，这个公式的名称叫． （2）根据你在（1）中得到的公式计算下列算式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）． 5．（2014春?宝安区校级月考）观察下列式子． ①32﹣12=（3+1）（3﹣1）=8； ②52﹣32=（5+3）（5﹣3）=16；

③72﹣52=（7+5）（7﹣5）=24； ④92﹣72=（9+7）（9﹣7）=32． （1）求212﹣192=． （2）猜想：任意两个连续奇数的平方差一定是，并给予证明． 6．（2014春?汕尾校级月考）看图解答 （1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为．（2）运用你所得到的公式，计算下题： ①10.3×9.7 ②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p） 7．（2014春?黄冈月考）对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）不用计算器，计算它的结果； （2）求出它的末位数字． 8．（2013秋?无为县期末）计算下列各题： （1）填空：（x﹣1）（x+1）=．（x﹣1）（x2+x+1）=．（x﹣1）（x3+x2+x+1）=．… （2）根据前面各式的规律，填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）=．（3）根据这一规律，计算1+2+22+23+…+298+299． 9．（2013秋?安岳县期末）乘法公式的探究及应用： （1）如图1所示，阴影部分的面积是（写成平方差的形式） （2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是 （写成多项式相乘的形式）． （3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：． （4）应用所得的公式计算：2（1+）（1+）（1+）（1+）+． 10．（2012春?阜阳期末）计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y） 11．（2011春?泰州期中）通过学习同学们已经体会到灵活运用乘法公式给整式的乘法运算带来的方便、快捷．相信通过下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算195×205． 解：195×205

完全平方公式与平方差公式

《完全平方公式与平方差公式》教学设计 第1课时完全平方公式 1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；(重点) 2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．(重点、难点) 一、情境导入 计算： (1)(x＋1)2; (2)(x－1)2； (3)(a＋b)2; (4)(a－b)2. 由上述计算，你发现了什么结论？ 二、合作探究 探究点：完全平方公式 【类型一】直接运用完全平方公式进行计算 利用完全平方公式计算： (1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2. 解析：直接运用完全平方公式进行计算即可． 解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；

(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题 【类型二】构造完全平方式 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值． 解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m 的值． 解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61. 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】运用完全平方公式进行简便计算 利用完全平方公式计算： (1)992; (2)1022. 解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801； (2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404. 方法总结：利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成

最新中考数学专题复习-平方差公式及其应用(含解析)

平方差公式及其应用（含解析） 一、单选题 1. 3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 2.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（） A. （x+a）（x﹣a） B. （﹣x﹣b）（x﹣b） C. （a+b）（﹣a﹣b） D. （b+m）（m﹣b） 3.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（） A. （x-y）（-x+y） B. （-x+y）（-x-y） C. （-x-y）（x-y） D. （x+y）（-x+y） 4.下列各式能用平方差公式计算的是( ) A. (2a＋b)(2b－a) B. C. (a＋b)(a－2b) D. (2x－1)(－2x＋1) 5.下列各式中能用平方差公式的是（） A. （2a﹣3）（﹣2a+3） B. （a+b）（﹣a﹣b） C. （3a+b）（b﹣3a） D. （a+1）（a﹣2） 6.计算（a+b）(-a+b)的结果是（） A. b -a B. a -b C. -a -2ab+b D. -a +2ab+b 7.下列各式中，能用平方差公式计算的是（） A. （2a-b）（-2a+b） B. （a-2b）（2a+b） C. （2a-b）（-2a-b） D. （-2a-b）（2a+b） 8.下列能用平方差公式计算的是（） A. （﹣a+b）（a﹣b） B. （x+2）（2+x） C. D. （x﹣2）（x+1） 9.若（x+m）2=x2+kx+4是一个完全平方式，则k的值是（） A. 2 B. 4 C. ±2 D. ±4 10.下列各式中，不能用平方差公式计算的是（） A. （-a-1）（-a+1） B. （-a-1）（-a+1） C. （-a-1）（-a+1） D. （a-1）（-a-1） E. （a-1）（-a-1）

平方差公式计算题

平方差公式 1.计算 （1） （2） （3） (4）（-1+3x ）（-1-3x ） （5） （6） (7)（a+2）（a 2+4）（a 4 +16）（a －2） (8) )1)(1)(1)(124-+++x x x x （ （9） 19982-1997×1999 （10） 2003×2001－2002 2 (11) 2009×2007-2008 2 (12)201220102011 2?- 2. 计算 ⑴)13)(13()3)(3(----+-+n n n n ⑵）（1()1)(1)(142+--++m m m m ⑶)43)(34()23)(32(y x x y x y y x +--+- ⑷ a 4 +(1－a)(1+a)(1+a 2) ⑸()()()()x x x x 3223113-+--+- ⑹)4)(1()3)(3(+---+a a a a 3. 先化简，再求值： ⑴ )2)(32()34)(43(n m n m m n n m -+-+-，其中1,1-==n m . ⑵ (3x+2)(3x-2) -(x+1)(x-1),其中x=-1 4. 解方程： (1)x （x+2）+（2x+1）（2x －1）=5（x 2 +3）． ⑵x x x x x x 2)1)(1()3)(322++-+=-+（ 5. 计算: )52)(52(22--+-x x )4)(4(-+ab ab )14)(14(---a a )49)(23)(23(22b a b a b a ++-)1)(1)(1)(1(42a a a a +++-

⑴ ⑵ ⑵ 22007200720082006-? ⑷ 22007200820061 ?+ 6.广场内有一块边长为2a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？ )12()12)(12)(12(42++++n 2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++

平方差+完全平方公式

1．若M (3x －y 2)＝y 4－9 x 2，则代数式M 应是 ( ) A ．－(3 x +y 2) B ．y 2－3x C ．3x + y 2 D ．3 x － y 2 2．( )(1－2x )＝1—4 x 2． 3．(－3x +6 y 2)(－6 y 2－3 x )＝ ． 4．(x －y+z )( )＝z 2－( x －y )2． 5．(4 x m －5 y 2) (4 x m +5y 2)＝ ． 6．(x+y －z ) (x －y －z )＝( ) 2－( ) 2． 7．(m+n+p+q ) (m －n －p －q )＝( ) 2－( ) 2． 8．计算． (1)(0.25 x － 41)(0.25 x +0.25)； (2)(x －2 y )(－2y － x )－(3x +4 y )(－3 x +4 y )； (3)(2 a + b －c －3d ) (2 a －b －c+3d )； (4) ( x －2)(16+ x 4) (2+x )(4+x 2)． 9．某农村中学进行校园改造建设，他们的操场原来是正方形，改建后变为长方形，长方形的长比原来的边长多5米，宽比原来的边长少5米，那么操场的面积是比原来大了，还是比原来小了呢?相差多少平方米? 10．化简． (1)( x － y )( x + y ) ( x 2+ y 2) ( x 4+ y 4)·…·(x 16+ y 16)； (2)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)． 11．先化简，再求值．(a 2 b －2 ab 2－ b 3)÷b －( a+b )(a －b )，其中a ＝ 2 1，b ＝－1．

平方差公式专题练习50题有答案

平方差公式专项练习50题（有答案） 知识点： (a+b)(a-b)=a 2-b 2 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差 特点: 具有完全相同的两项 具有互为相反数的两项 使用注意的问题： 1、是否符合平方差公式使用的特点 2、判断公式中的“a ”和“b ”是一个数还是一个代数式 3、对“式”平方时要把全部平方，切忌出现漏乘系数的错误，如（a+2b ）（a-2b ）不要计算成a 2-2b 2 4、最好先把能用平方差的式子变形为（a+b ）（a-b ）的形式，再利用公式进行计算。 专项练习： 1．9.8×10.2 2.（x-y+z ）（x+y+z ） 3.（12x+3）2-（12 x -3）2 4.（2a-3b ）（2a+3b ） 5.（-p 2+q ）（-p 2-q ） 6.（-1+3x ）（-1-3x ） 7.(x+3) (x 2+9) (x-3) 8.(x+2y-1)(x+1-2y) 9.（x-4）（4+x ） 10．（a+b+1)（a+b-1） 11.（8m+6n ）（8m-6n ） 12． （4a -3b ）（-4a -3 b ） 13． （a+b)（a-b ）（a 2+b 2） 14． ． 15． ． 16． ． 17.． ，则

18. 1.01×0.99 19. 20. 21. 22. 23. 25. 26. 27. 28. 29.（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）=（4a2-b2）（4a2+b2）31.（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）． 32. 202 3 ×19 1 3 33.（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）． 34.（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）； 35.（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 36. 2009×2007－20082． 37. 22007 200720082006 -? ． 38. 2 2007 200820061 ?+ ． 39．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）． 40.x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）， 41．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？ 42.先化简，再求值，其中

(完整版)平方差公式题型总结

平方差公式练习题 一、选择题 1、下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A.(x+y)(－x －y) B.(2x+3y)(2x －3z) C.(－a －b)(a －b) D.(m －n)(n －m) 2、下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a －b )(－b+a) B.(xy+z) (xy －z) C.(－2a －b) (2a+b) D.(0.5x －y) (－y －0.5x) 4、(42x －5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( ) A.－42x －5y B.－42x +5y C.(42x －5y ） D.(4x+5y) 5、4a +(1－a)(1+a)(1+2a )的计算结果是( ) A.－1 B.1 C.24a －1 D.1－24a 6.下列计算正确的是( ) A.(2x+3)(2x －3)=22x －9 B.(x+4)(x －4)=2x －4 C.(5+x)(x －6)=2x －30 D.(－1+4b)(－1－4b)=1－162b 7.下列各式运算结果是x 2－25y 2的是( ) A.(x+5y)(－x+5y) B.(－x －5y)(－x+5y) C.(x －y)(x+25y) D.(x －5y)(5y －x) 8.下列式中能用平方差公式计算的有( ) ①(x-1 2y)(x+1 2y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.下列式中,运算正确的是( ) ①222(2)4a a =, ②21 1 1 (1)(1)1339x x x -++=-, ③235(1)(1)(1)m m m --=-, ④232482a b a b ++??=. A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 10.乘法等式中的字母a 、b 表示( ) A.只能是数 B.只能是单项式 C.只能是多项式 D.单项式、?多项式都可以 11．（－a ＋1）（a ＋1）（a 2＋1）等于………………（ ） （A ）a 4－1 （B ）a 4＋1（C ）a 4＋2a 2＋1 （D ）1－a 4 二．填空题 1、(x －1)(x +1)=_____, (2a +b )(2a －b )=_____, (31 x －y )(31 x +y )=_____. 2、(x +4)(－x +4)=_____, (x +3y )(_____)=9y 2－x 2, (－m －n )(_____)=m 2－n 2 3、98×102=(_____)(_____)=( )2－( )2=_____. 4、－(2x 2+3y )(3y －2x 2)=_____. 5、(a －b )(a +b )(a 2+b 2)=_____. 6、(_____－4b )(_____+4b )=9a 2－16b 2 ,(_____－2x )(_____－2x )=4x 2－25y 2 7、(xy －z )(z +xy )=_____, (65x －0.7y )(65x +0.7y )=_____. 8、(41x +y 2)(_____)=y 4－161 x 2

平方差和完全平方公式教案(经典)

平方差公式、完全平方公式、整式的化简 【平方差公式】 ()()b a b a b a ——+=22（b a ,可以表示任何数或者代数式，善于观察） 例：（1）()()77—x x + （2）()()1111———m m + （3）()()t s t s 310310+— （4）()()2 2212x x —+ 变式：下列计算对吗？如果不对，请改正 （1）()()22422a b b a a b ——=+ （2）()()2 2n m n m n m —————= 例：计算（1）108112× （2）7 1117610× （3）5.495.50× （4）2567956805678—× （5） ()()b a b a 3232+— （6）()()()() 112121212842+++++ 变式：当41=x 时，求())2 12(21234—）（—x x x x ++ 例：甲、乙两家超市3月份的销售额均为a 万元，在4月和5月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长 X ％，而乙超市的销售额平均每月减少x ％ （1）5月份甲超市的销售额比乙超市多多少 （2）若a=150，x=2，则5月份甲超市的销售额比乙超市多多少 变式：有两块底面呈正方形的长方体金块，它们的高都为h ，较大一块的底面边长比0.5大acm ，较小一块的 底面边长比0.5小acm ，已知金块的密度为19.33 /cm g ,问两金块的质量相差多少？请表示出来

【完全平方公式】 ()2222b ab a b a ++=+（b a ,可以表示任何数或者代数式，善于观察） ()2222b ab a b a +=——（b a ,可以表示任何数或者代数式，善于观察） 例：计算（1）()22b a + （2）()23y x +— （3）()2 32y x —— （4）()2 c b a ++ 例：一块方巾铺在正方形的茶几上，四周都刚好垂下15cm,如果设方巾的边长为a,,怎样求茶几的面积？请用a 的多项式表示 变式：将一张边长为a 的正方形纸板的四角各剪去一个边长为x 的小正方形，然后把它折成一个无盖纸盒，求 纸盒的容积，结果用a ，x 的多项式表示。 ? 例：已知4 5,3= =+xy y x ，你能求出22y x +、()2y x — 、22y x —吗？ 【利用公式对整式化简】 整式的化简应遵循：先乘方、再乘除、最后算加减的顺序，能运用乘法公式的则运用公式。总而言之，怎么 简单怎么做，计算顺序不能错 例：口算：（1）298 = （2）2 51= （3）101×99 = （4）2515121+×— =

平方差公式计算

平方差公式计算 一、选择题 1.下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( ) A.(x+y)(－x －y) B.(2x+3y)(2x －3z) C.(－a －b)(a －b) D.(m －n)(n －m) 2.下列计算正确的是( ) A ． ()()()()222 2425252525y x y x y x y x -=-=-+ B ．22291)3()1()31)(31(a a a a +=+-=--+- C ．()()()()222249232332x y x y x y y x -=-=--- D ． ()()8242-=-+x x x 3.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( ) A.(－a －b)(－b+a) B.(xy+z)(xy －z) C.(－2a －b)(2a+b) D.(0.5x －y)(－y －0.5x) 4.( 245x y -)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( ) A. 245x y - B.－245x y - C. ( ) 2 2 45x y - D. ( ) 2 2 45x y + 5. 4 a +(1－a)(1+a)(1+2 a )的计算结果是( ) A.－1 B.1 C.24 a －1 D.1－24 a 6.下列各式运算结果是2 x －2 25y 的是( ) A.(x+5y)(－x+5y) B.(－x －5y)(－x+5y) C.(x －y)(x+25y) D.(x －5y)(5y －x) 7.下列式中能用平方差公式计算的有( ) ①(x-12y)(x+1 2 y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.下列式中,运算正确的是( ) ①222 (2)4a a =, ②2111 (1)(1)1339 x x x - ++=-, ③235 (1)(1)(1)m m m --=-, ④23 2482 a b a b ++??=. A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 9.乘法等式中的字母a 、b 表示( ) A.只能是数 B.只能是单项式 C.只能是多项式 D.单项式、?多项式都可以 二、计算： （a+3）(a-3) ( 2a+3b)(2a-3b) (1+2c)(1-2c)

平方差公式完全平方公式

乘法的平方差公式 平方差公式的推导 两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，22 (a+b)(a-b)=a-b，平方差公式结构特征： 左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ①右边是乘式中两项的平方差。即用相同项的平方减去相反项的平方 熟悉公式：公式中的a和b既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。 22 (a+b)(a-b)=a-b (5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b (5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b (x-2y)(x+2y)中是公式中的a，是公式中的b (-m+n)(-m-n)中是公式中的a，是公式中的b （a+b+c）(a+b-c)中是公式中的a，是公式中的b （a-b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b （a+b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b 填空： 1、(2x-1)( )=4x2-1 2、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2 第一种情况：直接运用公式 1.（a+3）(a-3) 2..( 2a+3b)(2a-3b) 3. (1+2c)(1-2c) 4. (-x+2)(-x-2) 5. (2x+1 2)(2x-1 2 ) 6. (a+2b)(a-2b) 7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b)

第二种情况：运用公式使计算简便 1、1998×2002 2、498×502 3、999×1001 4、1.01×0.99 5、30.8×29.2 6、（100-1 3）×（99-2 3 ）7、（20-1 9 ）×（19-8 9 ） 第三种情况：两次运用平方差公式 1、（a+b）(a-b)(a2+b2) 2、(a+2)(a-2)(a2+4) 3、(x- 1 2)(x2+ 1 4 )(x+ 1 2 ) 第四种情况：需要先变形再用平方差公式 1、（-2x-y）(2x-y) 2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)

实用版平方差、完全平方公式专项练习题(精品)汇编

平方差与完全平方式 一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。 2、即：（a+b）(a-b) = 相同符号项的平方 - 相反符号项的平方 3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。 3、能否运用平方差公式的判定 ①有两数和与两数差的积即：（a+b）(a-b)或（a+b）(b-a) ②有两数和的相反数与两数差的积即：（-a-b）(a-b)或（a+b）(b-a) ③有两数的平方差即：a2-b2 或-b2+a2 二、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 1、完全平方公式也可以逆用，即a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 2、能否运用完全平方式的判定 ①有两数和（或差）的平方 即：(a+b)2或(a-b)2或(-a-b)2或(-a+b)2 ②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。即：a2+2ab+b2或a2-2ab+b2-a2-2ab-b2或-a2+2ab-b2随堂练习： 1.下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 （1）()()c a b a- +（2）()()x y y x+ - + （3）()() ab x x ab- - -3 3（4）()()n m n m+ - - 2.判断： （1）()()2 2 4 2 2b a a b b a- = - +（）（2）1 2 1 1 2 1 1 2 1 2- = ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? +x x x（）（3）()()2 2 9 3 3y x y x y x- = + - -（）（4）()()2 2 4 2 2y x y x y x- = + - - -（）（5）()()6 3 22- = - +a a a（）（6）()()9 3 3- = - +xy y x（）3、计算： （1）)4 )( 1 ( )3 )( 3 (+ - - - +a a a a（2）2 2)1 ( )1 (- - +xy xy （3）)4 )( 1 2(3 )3 2(2+ - - +a a a（4）)3 )( 3 (+ - - -b a b a 更多精品文档

平方差公式和完全平方公式强化练习答案

平方差公式 公式： ( a+b)(a-b)= a 2-b 2 语言叙述：两数的 和乘以这两个数的差等 于这两个数的平方差 ， . 。 公式结构特点： 左边： (a+b)(a-b) 右边： a 2-b 2 熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。 (5+6x)(5-6x) 中 （5+6x) 是公式中的a ， (5-6x) 是公式中的b (5+6x) (5+6x) 中 (5+6x) 是公式中的a ， (5+6x) 是公式中的b (x-2y)(x+2y) 中 (x+2y)是公式中的a ， (x-2y) 是公式中的b (-m+n)(-m-n) 中 (-m-n) 是公式中的a ， (-m+n) 是公式中的b （a+b+c ）(a+b-c) 中 （a+b+c ） 是公式中的a ， (a+b-c) 是公式中的b （a-b+c ）(a-b-c) 中 （a-b+c ） 是公式中的a ， (a-b-c) 是公式中的b （a+b+c ）(a-b-c) 中 （a+b+c ） 是公式中的a ， (a-b-c) 是公式中的b 填空： 1、(2x-1)( （2x+1 )=4x 2-1 2、(-4x- 7y )( 7y -4x)=16x 2-49y 2 第一种情况：直接运用公式 1.（a+3）(a-3) 2..( 2a+3b)(2a-3b) = a 2-9 =4a 2 -9b 2 3. (1+2c)(1-2c) 4. (-x+2)(-x-2) =1-4C 2 =x 2-42平方差公式和完全平方公式强化练习答案 5. (2x+12)(2x-12) 6. (a+2b)(a-2b) =4x 2-1/4 =a 2-4b 2 7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b) =4a 2-25b 2 =4a 2-9b 2 第二种情况：运用公式使计算简便 1、 1998×2002 2、498×502 =(2000-2)(2000+2) =(500-2)(500+2) =4000000-4 =250000-4 =3999996 =249996 3、999×1001 4、1.01×0.99 =(1000-1)(1000+1) =(1+0.1)(1-0.1) =1000000-1 =1-0.01 =999999 =0.99 5、30.8×29.2 6、（100-13）×（99-23） =(30+0.8)(30-0.8) = =900-0.64 =899.46 7、（20-19）×（19-89） =(19+8/9)(19-8/9) =361-64/81 =11032/27 第三种情况：两次运用平方差公式 1、（a+b ）(a-b)(a 2+b 2) =(a 2-b 2) (a 2+b 2) =a 4-b 4 2、(a+2)(a-2)(a 2+4) =(a 2-4) (a 2+4) =a 4-16 3、(x- 12)(x 2+ 14)(x+ 12 ) =(x 2-1/4)( (x 2+ 14) =x 4-1/16 第四种情况：需要先变形再用平方差公式