组合知识点及题型归纳总结

组合知识点及题型归纳总结

知识点精讲

1.单纯组合问题

2.分选问题和选排问题

①分选问题，几个集合按要求各选出若干元素并成一组的方法数. ②选排问题，分选后的元素按要求再进行排列的排列数. 3.分组问题和分配问题

①分组问题，把一个集合中的元素按要求分成若干组的方法数； ②分配问题，把一个集合中的元素按要求分到几个去处的方法数.

题型归纳及思路提示

题型1 单纯组合应用问题 思路提示

把所给问题归结为从n 个不同元素中取m 个元素，可用分类相加、分布相乘，也可用总数减去对立数. 例12.21 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生当选；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选；（5）既要有队长，又要有女生当选.

分析 注意理解组合与排列问题的不同——取出的元素有无顺序.

解析 （1）1名女生，4名男生，故共有3504

815=C C （种）.

（2）只需从剩余的11人中选择3人即可，故有1653

11=C （种）.

（3）解法一：（直接法）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长，故共有

8253112241112=+C C C C （种）.

解法二：（间接法）采用排除法825511513=-C C （种）.

（4）至多两名女生含有3类情形：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故选法为：

9665848153825=++C C C C C 种.

（5）解法一：（直接法）分两类：①女队长当选，故有4

12C 种；②男队长当选，故至少需要另外

4名女生中的一名，故4

4173427243714C C C C C C C +++种. 综上可知，选法有4

12C +44173427243714C C C C C C C +++=790种.

解法二：分两类：①女队长当选，故有4

12C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名.

若另外的4人都是男生，则有4

7C 种方法，故男队长当选，且至少有一名女生（且为非女队长）的方法有()474111C C -?种，故共有412C +()

47411C C -=790种.

变式1 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，10人中甲、乙不能都去，共有（ ）种邀请方法.

A.84

B.98

C.112

D.140

变式2 在四面体的顶点和各棱中共10个点中选4个点不共面，共有（ ）种不同取法. A.150 B.147 C.141 D.142 变式3 若

A x ∈1，就称A 为有伴关系的集合，集合?

??

???-=4,3,2,1,21,31,1M ，则M 的非空子集中，具有有伴关系的集合有（ ）个.

A.15

B.16

C.82

D.5

2

例12.22 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴上5个点和y 轴上3个点连成15条线段，这些线段在第一象限交点最多有（ ）个.

A.30

B.35

C.20

D.15

解析 如图12-21所示，在x 轴正半轴上5个点中取两点B A ,，在y 轴正半轴上3个点中取两点D C ,，确定四边形ABCD ，其对角线P BC AD =?是第一象限的点，能确定多少个四边形，就可以确定多少个

符合第一象限的点，这些点互不重合（这是可以做到的），得这样的点最多有302

325=C C 个，故选A.

评注 解决与几何有关的组合问题，必须注意几何问题本身的限制条件，解题时可借助图形来帮助. 变式1 AOB ∠的边OA 上有4321,,,A A A A 四个点，OB 边上有4321,,,B B B B ，5B 五个点，共9个点，连接线断j i B A ()51,41≤≤≤≤j i ，若其中两条线段不相交，则称之为和睦线对，则共有和睦线（ ）对.

A.30

B.60

C.120

D.160

变式2 在坐标平面上有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，若经5次跳动质点落在()0,3处，则质点共有______种跳法；若经过m 次跳动质点落在()0,n 处，

0,1,≥≥≥n m n m 且n m +为偶数，则质点共有______种跳法.

题型2 分选问题和选排问题 思路提示

两个集合B A ,，()()21,n B card n A card ==.

A 选1m ，

B 选2m ，共有2

211

m n m n C C 种方法，选排为选出再排列. 例12.23 6女4男选出4人.

（1）女选2，男选2有多少种选法？再安排4个不同工作，有多少方法？（2）至少有一女有多少种选法？（3）至多3男有多少选法？（4）男女都有，有多少种选法？（5）选男甲不选女A,B ，有多少种选法？

解析 （1）女选2，男选2有902624=C C 种选法，再安排4个不同工作有21604

42624=A C C 种方法.

（2）加法：20946143624263416=+++C C C C C C C ；减法：2094

4410=-C C . （3）减法：2094

4410=-C C .

（4）加法：194143624263416=++C C C C C C ；减法：1944

446410=--C C C .

（5）从10-3=7人中选3人，353

7=C .

评注 涉及“至多”、“至少”的问题通常用排除法；

变式1 有7名翻译，4人会英语，4人会日语，从中选2名英语翻译和2名日语翻译，共有多少种选法？ 变式2 9名水手，6人会左舵位，6人会右舵位.现选3名右舵手和3名左舵手分坐于6个舵位，共有多少种安排方法？

变式3 甲组5男3女，乙组6男2女，两组各选2人，则选出的4人中恰有1女，共有（ ）种取法.

A.150

B.180

C.300

D.345 例12.24 （2012浙江理6）若从9,3,2,1，?这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）种.

A.60

B.63

C.65

D.66

解析 由数字特征可知，9,7,5,3,1共5个奇数，8,6,4,2共四个偶数，取出四个不同的数，和为偶数有以下几类：

四个均为奇数，有54

5=C 种取法；两个奇数，两个偶数，有602524

=C C 种取法；四个均为偶数，有144=C 种取法.共有66种不同的取法，故选D.

变式1 从7,6,5,4,3,2,1这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成无重复数字的四位数，其中有（ ）个奇数.

A.432

B.288

C.216

D.108

变式2 由数字6,5,4,3,2,1,0组成的没有重复数字的四位数中，个、十、百3位数字之和为偶数的有______个（用数字回答）.

变式3 从10~1这10个数字中任取4个数，其中第二个大的数字是7的取法有（ ）种. A.18 B.20 C.45 D.84

例12.25 （2012陕西理8）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，所有可能出现的情形各人输赢局次的不同视为不同情形，则共有（ ）种. A.10 B.15 C.20 D.30 解析 根据题意可分3类：

当比赛3场结束时，有332C =2种不同的情形；当比赛4场结束时，有621

3=C 种；当比赛5场结

束时，有1222

4=C 种不同情形.故共有201262=++种不同的情形.故选C.

变式1 5名乒乓球运动员，有2名老队员和3名新队员，从中选出3人排成3,2,1号参加团体比赛，则其中至少一名老队员，且2,1号至少一名新队员，有______种排法（用数字作答）.

变式2 已知集合{}{

}{}4,3,1,2,1,5===C B A ，从3个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系的一个点的坐标()z y x ,,，则共可确定（ ）个点的坐标. A.33 B.34 C.35 D.36

变式3 用4张分别标有4,3,2,1的红色卡片和4张分别标有4,3,2,1的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出来的4张卡片的数字之和为10，则共有______种排法（用数字作答）.

题型3 平均分组和分配问题 思路提示

分组定义：把一个非空有限集A 按要求分成若干个互相没有公共元素的非空子集的并集. ①分组三原则：一组一组的分出来（与顺序无关）；

②有若干组为含单一元素的集合，不去管他们，分出其他组即可；

③由若干（m 个）元素不为1的组，且元素个数相同，把①②的结果除以m

m A .

分配定义：把一个非空有限集A 的元素按要求分到若干个去处，每个去处分配元素至少为1个. 分配问题共四个类型：

逐方向分配即可，共有分配数：m m

n

n n n n m n n m n m C C C C N ?=---321211（额配法） . ②不定方向分配问题：各分配方向名额不确定.先把A 按要求分成若干组（分组问题），再把每组打包成一

个元素，在m 个分配方向上排列（组排法）.

③信箱问题.3封不同信任意投入4信箱，共有3

4种投法. ④相同元素的分配问题（不定方程组的个数）——隔板问题.

?????≤∈∈?=+?++n

m N n m N x x x n x x x m m ,,,,,,*

*

2121，共有11--m n C 组不同的解. 例12.26 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ （1）平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；（2）平均分成3份，每份2本；（3）分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（5）分成3份，一份4本，另两份各1本；（6）甲、乙、丙3人，一人得4本，另外两个人每人得1本；（7）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本. 解析 （1）解法一：（分步计数原理）因为要分给甲、乙、丙3人，可分三步完成，先从6本书中选择2

本分给甲，其方法有26C 种；再从余下的4本中选2本分给乙，其方法有2

4C 种，最后的两本分给丙，方法有22C 种.有分步计数原理，故所求的分配方法有2

6C 24C 22C =90种.

解法二：（定序问题全排消序法）把分配给甲、乙、丙的3堆书看成无序排列（分到每个人的两本书是无

序的）即定序问题，故考虑使用定序问题全排消序法求解，共有22

22226

6

A A A A 种分法.

解法三：（先（平均）分组后分配）把6本书平均分成3份，每份2本的方法有3

3

22

2426A C C C 种，再分配3个人的方法有3

3A

种。故有

3

3

222426A C C C 33A =2

22426C C C 种. （2）把6本不同的书分成3堆，每堆2本，与把6本不同的书分给甲、乙、丙3人，每人2本的区别在于，后者相当于把6本不同的书，平均分成3堆后，再把每次分得的3堆书分给甲、乙、丙3人，因此，设把6本不同的书，平均分成3堆的方法有x 种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙3人每人2本的分法有3

3xA

种，即

33xA

=

2

22426C

C C ，从而

=x 3

3

222426A C C C =15种. （3）因为不是均匀分组问题，可以分为3个步骤完成，先在6本书中任取一本，作为一堆，有1

6C 种取法；再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有25C 种取法；然后从余下的3本书中取3本作为一堆，有33C 种取法，故共有分法16C 25C 33

C =60种； （4）组排可以利用先选后排的步骤完成，第一步，方法有16C 25C 33C =60种.第二步，其分配有33A 种，16C 25C 33C 3

3

A =360种. （5）部分均匀问题，解法一：从中取4本作为一堆的方法有4

6C 种，剩余2本分成两堆的方法只有1种，从而有46C 151=?种.

解法二：分三步，第一步从6本书中取4本，有46C 种，第二步，从剩余2本书中取1本，有1

2C 种方法；第三步，从剩余1本书中取1本，有11C 种方法，由分步计数原理，共有4

6

C 12C 11C 种方法，但是其中每堆都是1本的两堆是不计算顺序的，故得6本书分成3堆，一堆4，另两堆各1本的分法有2

2

1

1

1246A C C C =15种.

（6）组排部分均匀问题，可以采用先分组后分配的步骤方法，共有2

21

11246A C C C 903

3=?A 种，也可以转化视角，即从6本书中选4本看作一个元素，再与其余2本作全排列，共有903

346=A C 种.

（7）解法一：（分类讨论）因为分给甲、乙、丙3人，每人至少1本有3种情况：①甲、乙、丙每人2本，

有2

22426C C C 种分法；②甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有36033332516

=A C C C 种分法；③甲、乙、丙3人，一人4本，其余两人一人1本，有3

346A C 种分法，所以不同的分法有222426C C C +33332516A C C C +3

346A C =540种.

解法二：（间接法）6本书全部分给3个人中的1人，有1

3C 种分法；6本书全部分给3人中的2人，

且每人至少1本，则共有6

3种方法；由上可知，6本书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少1本，应有

63-()[]

1

262313

2C C C -+=540种. 评注 解决分配问题的关键是区分是否与顺序有关，对于平均分组要注意顺序，按先分组再分配的原

则去计算，平均分组与非平均分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型，解决此类问题的关键是正确判断分组是平均分组还是非平均分组，无序平均分组要除以平均组数的阶乘数，还要充分考虑是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.

变式1 有编号为4,3,2,1的4张不同的卡片，按照下列方法处理，各有几种分法？

（1）甲得2张，乙得2张； （2）平均分成2堆，每堆2张.

变式2 9个人分到3个单位，下面各有多少种分配方法. （1）甲单位2人，乙单位3人，丙单位4人； （2）每个单位3人；

（3）每个单位各2人，一单位5人.

例12.27（2012山东理11）现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ ）.

A.232

B.252

C.472

D.484 解析 利用分类计数原理解决本题.

第1类，含一张红色卡片，有2642

1214=?C C 种不同的取法；

第2类，不含红色卡片，有20833

4312=-C C 种不同的取法.共有472208264=+（种）不同的取法.故选C.

变式1 将4个相同的白球，5个相同的黑球，6个相同的红球放入4个不同的盒子中的3个，使4个盒子中的1个为空，其他盒子中球色齐全，共有______种不同方法（用数字作答）.

变式2 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法有（ ）种.

A.4

B.10

C.18

D.20

变式3 将标号为6,5,4,3,2,1的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号2,1的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）.

A.4种

B.18种

C.36种

D.54种

例12.28 8个球队中有甲、乙两个强队，现把8个球队平均分成两组，如下各有多少种分法？ （1）甲、乙不在同组；（2）甲、乙在同组.

解析 （1）甲、乙不在同组，看为6个非强队平均分成两组，一组为“甲组”，一组“乙组”.定序分组，

共203

63336==C C C 种方法.

（2）甲、乙同组，看为把6个非强队分为一组2（与甲、乙并为4），一组4，共有2

226C C =2

6

C =15种方法.

变式1 把4名男乒乓球选手和4名女乒乓球选手同时平均分成两组，进行混合双打比赛，共有______种不同的分配方法（混合双打是一男一女对一男一女，用数字作答）.

变式2 （2012新课标理2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共（ ）. A.12种 B.10种 C.9种 D.8种 变式3 甲、乙、丙、丁4个公司承包8项工程，甲承包3项，乙承包1项，丙、丁各承包2项，共有（ ）种不同的承包方案.

A.3360

B.2240

C.1680

D.1120

例12.29 6个不同的小球放入5个小盒，按下面要求各有多少种放法？

（1）每盒至少1球；（2）恰有1盒空；（3）任意分.

解析（1）先分组6=2+1+1+1+1，分组方法有26C 种.五组在五盒排列，共18005526=A C 种放法.

（2）先分组6=3+1+1+1=2+2+1+1，652

2

2

4

2636

=+A C C C ，四组在5盒排列，共78006545=?A 种. （3）1562556

=种.

变式1 某外商计划在4个候选城市投资3个不同项目，且在同一城市投资的项目部超过2个，则该外商共有（ ）种投资方案.

A.16

B.36

C.42

D.60

变式2 将4个颜色互不相同的球全部放入编号1和2的两个盒子中，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒的编号，共有（ ）种放法. A.10 B.12 C.36 D.52 变式3 把20个相同的小球放入6个盒中.

（1）每盒至少一球有多少种方法？（2）每盒至少二球有多少种方法？（3）随便放（即可有若干盒中无球）有多少种方法？

有效训练题 1.在5,4,3,2,1这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的有（ ）个.

A.36

B.24

C.18

D.6

2.某小组4人负责周一至周五的值日，每天只安排一人，每人至少一天，共有（ ）种安排方法. A.480 B.300 C.240 D.120

3.从甲，乙等6名同学中挑选3人参加某公益活动，要求甲，乙至少有1人参加，不同的挑选方法有（ ）. A.16种 B.20种 C.24种 D.120种

4.3名医生和6名护士分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）.

A.90种

B.180种

C.270种

D.540种 5.掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有（ ）. A.4

43

42

4C C C ++种 B.4

43

42

4A A A ++种 C.

4

22

1?种 D.不同于C B A ,,的结论 6.10021,,,l l l ?为100条共面且不同的直线，若其中编号为k 4(

)*

N

k ∈的直线相互平行，编号为34-k 的

直线都过定点A ，则这100条直线的交点最多有（ ）.

A.4350个

B.4351个

C.4900个

D.4901个

7.如图12-22所示为一个54?长方形表，一个“兵”从A 走到B ，每步向左或向右或向上行一格，最少______步该“兵”由A 走到B .按这样的步数从A 走到B 共有______种走法（用数字作答）.

8.安排3人到6所学校任教，每校至多2人，共有______种分配方案（用数字作答）.

9.正方体的8个顶点能构成多少个不同的三棱锥？

10.6人分成3组，各有多少种方法？

（1）一组3人，一组2人，一组1人；

（2）第一组3人，第二组2人，第三组1人；

（3）平均分成三组；

（4）第一组2人，第二组2人，第三组2人；

（5）任意分成3组.

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析

排列组合知识点总结+典型例题及答案解析 一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -=+---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!! !! 10 =n C 规定： 组合数性质： .2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011 =+++=+=+--…… ，， ①；②；③；④ 111 12111212211 r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-++++ +=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

初二物理知识点归纳总结

初二物理知识点 复习梳理归纳 第一章机械运动 长度的测量 1、长度的测量：长度的测量是最基本的测量，最常用的工具是刻度尺。 2、长度的单位及换算 长度的国际单位是米(m)，常用的单位有千米（Km），分米（dm）厘米（cm），毫米（mm）微米（um）纳米（nm） 1km=1000m=103m 1dm=0.1m=10-1m 1cm=0.01m=10-2m 1mm=0.001m=10-3m 1μm =0.000001m=10-6m 1nm=0.000000001m=10-9m 3、正确使用刻度尺 （1）使用前要注意观察零刻度线、量程、分度值 量程是指它的测量范围；分度值是指相邻两刻度线之间的长度 （2）使用时要注意 ①尺子要沿着所测长度放，尺边对齐被测对象，必须放正重合，不能歪斜。②不利用磨损的零刻度线，如因零刻线磨损而取另一整刻度线为零刻线的，切莫忘记最后读数中减掉所取代零刻线的刻度值。③厚尺子要垂直放置④读数时，视线应与尺面垂直

4、正确记录测量值：测量结果由数字和单位组成 （1）只写数字而无单位的记录无意义（2）读数时，要估读到刻度尺分度值的下一位 5、误差：测量值与真实值之间的差异 误差不能避免，能尽量减小，错误能够避免是不该发生的 减小误差的基本方法：多次测量求平均值，另外，选用精密仪器，改进测量方法也可以减小误差 6、特殊方法测量 （1）累积法如测细金属丝直径或测张纸的厚度等（2）卡尺法（3）代替法 时间的测量 1h=60min 1min=60s 运动描述 1、机械运动物体位置的变化叫机械运动 一切物体都在运动，绝对不动的物体是没有的，这就是说运动是绝对的，我们平常说的运动和静止都是相对于另一个物体（参照物）而言的，所以，对物体的运动和静止的描述是相对的 2、参照物研究机械运动时被选作标准的物体叫参照物 （1）参照物并不都是相对地面静止不动的物体，只是选哪个物体为参照物，我们就假定物体不动。

地理各模块知识点总结

地理各模块知识点总结 地理知识点总结了一篇又一篇，每次都是以不一样的视角去告诉学生，如果考试是这样考的，这样的知识点就必须要记住，今天也不例外，每块知识都是从不同角度来分析，这一定就是我们需要掌握的知识！ 一、生态问题 1 水土流失问题 我国典型地区：黄土高原、南方低山丘陵地区 产生的原因： （1）自然原因：季风气候降水集中，多暴雨；地表植被稀少；黄土土质疏松黄土高原）。 （2）人为原因：植被的破坏；不合理的耕作制度；开矿。 治理的措施：压缩农业用地，扩大林、草种植面积；植树造林；小流域综合治理。 治理的意义： 有利于因地制宜地进行产业结构的调整，使农林牧副渔全面发展，可以增加农民收入，促进当地经济发展，改善农民生活条件，提高生活质量；有利于改善当地的生态环境，建立良性生态系统；建立生态农业模式，有利于促进生态和经济可持续发展。 2 荒漠化问题 我国典型的地区：西北地区（新疆、青海、内蒙等地） 产生的原因： （1）自然原因：全球变暖，蒸发旺盛；处于内陆地区，降水少；鼠害；蝗害。 （2）人为原因：过度放牧；过度樵采；过度开垦；水资源的不合理利用；交通线等工程建设保护不当。 治理措施： 制定草场保护的法律、法规，加强管理；控制载畜量；营造“三北防护林”建设；退耕还林、还牧；建设人工草场；推广轮牧；禁止采伐发菜等 治理意义： 有利于因地制宜地进行产业结构的调整，使农林牧副渔全面发展，可以增加农民收入，促进当地经济发展，改善农民生活条件，提高生活质量；有利于保护土地资源改善当地的生态环境；有利于促进生态和经济可持续发展。 3 干旱缺水问题 我国典型地区：华北地区、西北、长江中下游地区 华北地区：

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

排列组合知识点汇总及典型例题(全)

一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集， 所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分 类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （43．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

小学二年级数学知识点归纳整理

小学二年级数学知识点归纳2017.12 二年级上册 知识点概括总结 1.长度单位：是指丈量空间距离上的基本单元，是人类为了规范长度而制定的基本单位。其国际单位是“米”（符号“m”），常用单位有毫米（mm）、厘米（cm）、分米（dm）、千米（km）等等。长度单位在各个领域都有重要的作用。 2.米：国际单位制中，长度的标准单位是“米”，用符号“m”表示。 3.分米：分米(dm)是长度的公制单位之一，1分米相当于1米的十分之一。 4.厘米：厘米,长度单位。简写(符号)为:cm. 有关厘米的单位转换: 1厘米=10毫米=0.1分米=0.01米=0.00001千米。 5.毫米：英文缩写MM（或mm、㎜） 进率关：1毫米=0.1厘米； 6.进位：加法运算中，每一数位上的数等于基数时向前一位数进一。 以个位向十位进位为例：基数为10（2进制的基数是2，类推），个位这个数位上的数量达到了10的情况下，则个位向前一位进1，成为一个十。 在十进制的算法中，个位满十，在十位中加1；十位满十，在百位中加一。 7.不退位减：减法运算中不用向高位借位的减法运算。例：56-22=34。6能够减去2，所以不用向高位5借位。 8.退位减：减法运算中必须向高位借位的减法运算。例：51-22=39. 1不能够减去2，所以必须向高位的5借位。 9.连加：多个数字连续相加叫做连加。例如：28+24+23=85. 10.连减：多个数字连续相减叫做连减。例如：85-40-26=19. 11.加减混合：在运算中既有加法又有减法的运算。例如：67-25+28=70。 12.角：具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。 符号：∠ 13.乘法算式中各数的名称：是指将相同的数加法起来的快捷方式。其运算结果称为积。 “×”是乘号，乘号前面和后面的数叫做因数，“=”是等于号，等于号后面的数叫做积。

最新外研版(新)八年级上册英语各模块知识点归纳总结

英语初二上册重点知识点讲解 Module 1 How to learn English 1．pair n. (相关的)两个人，一对，一双，一副 a pair of socks一双袜子 a pair of gloves一副手套two pairs of trousers两条裤子 e.g.A pair of teenage boys are watching a football game.两个青少年正在看足球赛。 2．correct （1）v. 改正，纠正 e.g.The teacher returned to her room to correct exercise books.老师回到房间去改练习本。 Correct the spelling.纠正拼写。 （2）adj.正确的；恰当的 e.g.correct pronunciation 正确发音 Do you have the correct time？你的表走得准吗？ 3．advice （1）n.意思是“意见，建议”，为不可数名词，可用some，much，a piece of，pieces of等修饰，不能说an advice或many/a few advices。 （2）表示“有关……的建议”时，用介词on，接名词、代词或由疑问词引导的不定式。 advice on what to do next. 我们去征求一下他的意见下一步该怎么办。 e.g.Let’s ask for his 常见搭配： take/follow one’s advice接受某人的建议 ask for advice 征求意见 接受（拒绝）某人的建议 accept/refuse one’s advice offer advice to sb. 向某人提供建议 拓展： advise vt．建议 常见搭配：advise sb. to do sth.

(完整版)排列组合知识点与方法归纳

排列组合知识点与方法归纳 一、知识要点 1.分类计数原理与分步计算原理 （1）分类计算原理（加法原理）： 完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办 法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完 成这件事共有N= m1+ m2+…+ m n种不同的方法。 （2）分步计数原理（乘法原理）： 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m1× m2×…× m n种不同的方法。 2.排列 （1）定义 从n个不同元素中取出m（）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的排列数，记为 . （2）排列数的公式与性质 a)排列数的公式： =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）= 特例：当m=n时， =n！=n（n-1）（n-2）…×3×2×1规定：0！ =1 b)排列数的性质： （Ⅰ） =（Ⅱ） （Ⅲ） 3.组合 （1）定义

a)从n个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合 b)从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。 （2）组合数的公式与性质 a)组合数公式：（乘积表示） （阶乘表示） 特例： b)组合数的主要性质： （Ⅰ）（Ⅱ） 4.排列组合的区别与联系 （1）排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。 （2）注意到获得（一个）排列历经“获得（一个）组合”和“对取出元素作全排列”两个步骤，故得排列数与组合数之间的关系： 二、经典例题 例1、某人计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60、70元的单片软件和盒装磁盘，要求软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式是（） A .5种 B.6种 C. 7种 D. 8种 解：注意到购买3片软件和2盒磁盘花去320元，所以，这里只讨论剩下的180元如何使用，可从购买软件的情形入手分类讨论：第一类，再买3片软件，不买磁盘，只有1种方法；第二类，再买2片软件，不买磁盘，只有1种方法； 第三类，再买1片软件，再买1盒磁盘或不买磁盘，有2种方法；第四类，不买软件，再买2盒磁盘、1盒磁盘或不买磁盘，有3种方法；于是由分类计数原理可知，共有

初中科学知识点归纳整理

初中科学知识点归纳整理 一、科学在我们身边 作为科学的入门，本节内容从自然界的一些奇妙现象入手，通过对这些自然现象的疑问，引发学生的探究兴趣，从而理解科学的本质——科学是一门研究各种自然现象，并寻找相应答案的学科。 观察、实验、思考是科学探究的重要方法。 科学技术的不断发展改变着世界，但是我们要辩证地来看待这个问题。它对我们的生活既带来了正面的影响，也带来了负面的影响，从而理解学习科学知识的重要性，并使之更好地为人类服务。 二、实验和观察 观察和实验是学习科学的基础，实验又是进行科学研究最重要的环节。要进行实验，就要了解一些常用的仪器及其用途和实验室的 操作规程。 试管：是少量试剂的反应容器，可以加热，用途十分广泛。试管加热时要用试管夹(长 柄向内，短柄向外，手握长柄)。给试管内的液体加热时，液体 体积不能超过试管容积的1/3，试管夹应夹在距离试管口1/3处。 加热时试管要倾斜45度。，并先均匀预热，再在液体集中部位加热。热的试管不能骤冷，以免试管破裂。 停表：用来测量时间，主要是测定时间间隔。 天平和砝码：配套使用，测量物体的质量。 电流表：测定电流的大小。 电压表：测定电压的大小。 显微镜：用来观察细胞等肉眼无法观察的微观世界的物质及变化。

酒精灯：是常用的加热仪器，实验室的主要热源。使用时用它的外焰加热。 烧杯：能用于较多试剂的反应容器，并能配制、稀释溶液等。 表面皿：可暂时盛放少量的固体和液体。 药匙：用来取用少量固体。 玻璃棒：主要用于搅拌、引流、转移固体药品。 认识自然界的事物要从观察开始。首先要有正确的观察态度，不能为了观察而观察，要明确观察目的，全面、细致地观察实验现象，通过比较、分析，正确地描述、记录实验现象。 由于人体感官具有局限性，所以运用感觉器官的观察——直接观察往往不能对事物做出可靠的判断。为了能正确地进行观察，做出 准确的判断，我们可以借助工具，扩大观察的范围和进行数据的测量。 三、长度和体积的测量 测量和观察是我们进行科学探究的基本技能。所谓测量是指将一个待测的量和一个公认的标准量进行比较的过程。根据不同的测量 要求，测量对象，我们应能选用合适的测量工具和测量方法，尽可 能使用国际公认的主单位——即公认的标准量。 1、长度的测量。 国际公认的长度主单位是米，单位符号是m。了解一些常用的长 度单位，并掌握它们之间的换算关系。 l千米(km)=1000米(m) 1米(m)=10分米(dm)=100厘米(cm)=1000毫米(mm)=106微米(m)=109纳米(nm) 测量长度使用的基本工具是刻度尺。正确使用刻度尺的方法是本节的重点和难点。

人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结

第十一章三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形 的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间 的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对 角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用 多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. n-·180° ⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2) ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. n-条对角 ⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)

线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2 n n -条对角线. 第十二章 全等三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶 角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识

高中数学排列组合公式大全_高中数学排列组合重点知识 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 pn,m表示. pn,m=nn-1n-2……n-m+1= n!/n-m!规定0!=1. 2.组合及计算公式 从n个不同元素中，任取mm≤n个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 cn,m 表示. cn,m=pn,m/m!=n!/n-m!*m!;cn,m=cn,n-m; 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=pn,r/r=n!/rn-r!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/n1!*n2!*...*nk!. k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为cm+k-1,m. 排列Pnmn为下标，m为上标 Pnm=n×n-1....n-m+1;Pnm=n!/n-m!注：!是阶乘符号;Pnn两个n分别为上标和下标=n!;0!=1;Pn1n为下标1为上标=n 组合Cnmn为下标，m为上标 Cnm=Pnm/Pmm ;Cnm=n!/m!n-m!;Cnn两个n分别为上标和下标 =1 ;Cn1n为下标1为上标=n;Cnm=Cnn-m 加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。 排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

八年级上册英语外研版各模块知识点归纳总结

八年级上册英语外研版各模块知识点归纳总结

Module 1 How to learn English advice take/follow one’s advice接受某人的建议ask for advice 征求意见accept/refuse one’s advice接受（拒绝）某人的建议 offer advice to sb. 向某人提供建议 try to （1）try to do sth .努力做某事try doing sth.试着做某事 try/do one’s best to do sth. 尽某人的全力做某事 5.as…as possible/one can time at a time一次，每一次at one time曾经，一度 at times /from time to time 有时，偶尔on time 准时 all the time 总是，一直in time及时，迟早 ①It’s time for sb. to do sth./It’s (high) time sb. did sth. Suggest

（2）形容词比较级用法 ①表示两者进行比较时用形容词比较级，最明显的提示词是than，其结构为“A…+比较级+than+B”。 ②有表示程度的副词a little，a bit，a few，a lot，much，even，still，far，rather，any等修饰时，用形容词比较级。 ③比较级前面可以加上表示具体数量差别的结构,表示具体“大多少”，“小多少”，“长多少”，“短多少”等。 ④表示“两者之间最……一个(of the two)”时，常用“the+比较级”结构。 ⑤表示“越来越……”，用比较级重叠结构，即“比较级+and+比较级”，多音节词和部分双音节词时用“more and more+形容词原级”。 ⑥表示“越……就越……”时，用“the+比较级，the+比较级”结构。 Module 4 Planes, ships and trains 形容词最高比较级用法 ①表示三者或三者以上的人或物进行比较时，用最高级形式。形容词最高级前必须加定冠词the，句末常跟一个in/of短语来表示范围。（of表示同范围，in 表示不同范围）

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)教学内容

高中数学排列组合知识点与典型例题总结二十一类21题型(生)

排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有 m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有 m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4 个舞蹈,2个相声,3个独唱 ,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 九.小集团问题先整体后局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？ 十.元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种 一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列共有1m n A n 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究. 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗? 将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个 空隙中，所有分法数为11m n C --

两个计数原理与排列组合知识点及例题

两个计数原理与排列组合知识点及例题两个计数原理内容 1、分类计数原理： 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法. 2、分步计数原理： 完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法. 例题分析 例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种？ 分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择 第二步配一个素菜有5种选择 第三步配一个汤有2种选择 共有N=3×5×2=30（种） 例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ （2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？ （1）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算。 解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择 第二类从下层取一本书有4种选择 共有N=5+4=9（种） （2）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择 第二步从下层取一本书有4种选择 共有N=5×4=20（种） 例3、有1、2、3、4、5五个数字. （1）可以组成多少个不同的三位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的三位数？ （3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？ （1）分析： 1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 略解：N=5×5×5=125（个） 【例题解析】 1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？

心理测量学重点知识整理

1、著名美国学者波林指出；在测验领域中．“19世纪80年代是高尔顿的10年，90年代是卡特尔的10年，20世纪头10年则是比奈的10年。 2、比奈与其助手西蒙发表《诊断异常儿童智力的新方法》，在这篇文章中介绍的就是第一个智力量表——比西量表。 3、心理测量的性质：（1）心理测量的间接性（2）心理测量的相对性（3）心理测量的客观性 4、心理测验的种类：(一)按测验的功能分类1．能力测验 2．学绩测验 3．人格测验 (二)按测验的对象分类 1．个别测验 2．团体测验 (三)按测验材料分类 1．文字测验 2．非文字测验 (四)，按测验的目的分类 1．描述性测验 2．诊断性测验 3．预示性测验(五）按测验的难度和时限分类1．速度测验2．难度测验(六)按测验的要求分类 1．最高作为测验2.典型作为测验 (七)按测验的性质分类 1．构造性测 2．投射性测验(八)按测验的应用分类1．教育测验 2．职业测验 3．临床测验 5、下面是两种常见的排列方式： 1．并列直进式 2．混合螺旋式 6、对测验项目的分析包括定性分析和定量分析两个方面。 7、误差的种类：一种是随机误差，又叫可变误差，这是由与测量目的无关的偶然因素引起而又不易控制的误差，它使多次测量产生了不一致的结果。此种误差的方向和大小的变化完全是随机的，无规律可循。另一种是系统误差，又叫常定误差，这是由与测量目的无关的变因引起的一种恒定而有规律的效应，稳定地存在于每一次测量中，此时测值虽然一致，但不正确。8、经典测量理论的基本思想：把任何一个测验成绩都看做是真分数和测量误差的和，即：X=T+E （这里X为实得分数或观测分数，T是假设的真分数，E是测量误差） 9、估计信度的方法：①再测信度②复本信度③分半信度④同质性信度⑤评分者信度 10、信度系数有两个实际用处：一是用来评价测验，二是用来对分数作解释。 11、效度分为内容效度、构想效度和校标效度。 12、测验间法：①相容效度②区分效度③因素效度 13、分数的合成类型：①项目的组合②分测验或量表的组合③测验或预测源的组合 14、根据测量对象的性质和特点，不同形式的测量可分为：物理测量、胜利测量、社会测量（对社会现象的测量)、心理测量。 15、测量的参照点：a) 绝对参照点：以绝对的零点作为测量的起点b) 相对参照点：以人为确定的零点为测量的起点 16、Stevens将量表从低到高分为4个等级：a）命名量表：用数字来代表事物或对事物进行分类b)顺序量表：给个体赋值，使数值的大小次序与个体在所测量的心理特性上的多少、大小、高低等的次序相符合c）等距量表：给个体赋值，使数值间的差不仅能够反映出对应个体在所测量心理特性上的排序，而且能够反映出对应个体在该特性上的差异程度d）比率量表：给个体赋值，使数值间的比率能够反映对应个体在测量心理特性上比率 17、心理与教育测量的理论基础：1918年，桑代克曾提出：“凡客观存在的事物都具有其数量”。1939年，麦柯尔进一步指出：“凡是有其数量的事物都可以测量。” 1、心理测验：通过观察人的少数有代表性的行为，对于贯穿在人的全部行为活动中的心理特点作出推论和数量化分析一种科学手段 2、难度：测验项目的难易程度 3、区分度：指测验项目对被试的心理特性的区分能力 4、误差：是在测量中与目的无关的变因所产生的不准确或不一致的效应。 5、真分数：就是在测量没有误差时所得到的真值。 6、信度：人们通常把测量结果的可靠性称之为信度。 7、效度：指的是测量的有效性，即一个测验对它所要测量的特质准确测量的程度。 8、内容效度：是指项目对欲测的内容或行为范围取样的适当程度。

排列组合知识点总结

排列组合 二项式定理 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列 出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同 3，组合 组合定义 从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 组合数 从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m n C m n C = ! !()! n m n m - 性质 m n C =n m n C - 1 1m m m n n n C C C -+=+

排列组合题型总结 一． 直接法 1 .特殊元素法 例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。 分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择 25A ，其余 2位有四个可供选择 24A ，由乘法原理： 25A 24A =240 2．特殊位置法 （2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有1 4A 种，余下的 有 24A ，共有14A 1 4A 24A =192所以总共有192+60=252 二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法 2 435462A A A +-=252 Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0与1，2与3，4与5，6与7，8与9， 将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数3 33352A C ??个，其中0在百 位的有22 4 2?C ?22A 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352A C ??-22 4 2?C ?22A =432 Eg 三个女生和五个男生排成一排

人教版九年级英语各单元知识点总结

九年级英语全册各单元知识点总结 Unit 1 How can we become good learners? 一、短语： 1.have conversation with sb. 同某人谈话 2.connect …with… 把…和…连接/联系起来 3.the secret to… ……的秘诀 4.be afraid of doing sth./to do sth. 害怕做某事 5.look up 查阅 6.repeat out loud 大声跟读 7.make mistakes in 在……方面犯错误8.get bored 感到厌烦 9.be stressed out 焦虑不安的10.pay attention to 注意；关注 11.depend on 取决于；依靠12.the ability to do sth. 做某事的能力 二、知识点： 1. by + doing：通过……方式（by是介词，后面要跟动名词，也就是动词的ing形式）； 2. a lot：许多，常用于句末； 3. aloud, loud与loudly的用法，三个词都与“大声”或“响亮”有关。 ①aloud是副词，通常放在动词之后。 ①loud可作形容词或副词。用作副词时，常与speak, talk, laugh等动词连用，多用于比较级， 须放在动词之后。 ①loudly是副词，与loud同义，有时两者可替换使用，可位于动词之前或之后。 4. not …at all：一点也不，根本不，not经常可以和助动词结合在一起，at all 则放在句尾； 5. be / get excited about sth.：对…感到兴奋； 6. end up doing sth：终止/结束做某事；end up with sth.：以…结束； 7. first of all：首先（这个短语可用在作文中，使得文章有层次）； 8. make mistakes：犯错make a mistake 犯一个错误； 9. laugh at sb.：笑话；取笑（某人）（常见短语） 10. take notes：做笔记/记录； 11. native speaker 说本国语的人； 12. make up：组成、构成； 13. deal with：处理、应付； 14. perhaps = maybe：也许； 15. go by：（时间）过去； 16.each other：彼此； 17.regard… as … ：把…看作为…； 18.change… into…：将…变为…； 19. with the help of sb. = with one's help 在某人的帮助下（注意介词of和with，容易出题） 20. compare … to …：把…比作… compare with 拿…和…作比较； 21. instead：代替，用在句末，副词； instead of sth / doing sth：代替，而不是（这个地方考的较多的就是instead of doing sth，也就是说如果of后面跟动词时，要用动名词形式，也就是动词的ing形式） 22.Shall we/ I + do sth.? 我们/我…好吗？ 23. too…to：太…而不能，常用的句型是too+形容词/副词+ to do sth.

高中数学排列组合知识点

高中数学排列组合知识 点 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

排列组合 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有m 种不同 的方法，…，做第n 步有n m 不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 4 34288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花 盆里，问有多少不同的种法 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元 素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好 的6个元素中间包含首尾两个空位共有种4 6A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不 同顺序共有54 56A A 种 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进 行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种 数是：73 73/A A