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高考数学一轮复习精品教学案8.7 抛物线(教师版) 新人教版

2013年高考数学一轮复习精品教学案8.7 抛物线

【考纲解读】

1．理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 2．理解数形结合的思想．【考点预测】

高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:

1.平面解析几何是历年来高考重点内容之一,经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.

2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 抛物线的概念

平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

方程

()022>=p px y 叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2p ,0），它的准线方程是2p

x -

= ；

2．抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方

程还有其他几种形式：px y 22-=，py x 22=，

py x 22-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程

22(0)y px p =>

22(0)

y px p =->

22(0)x py p =>

22(0)

x py p =->

图形

焦点坐标 (,0)p

(,0)2p - (0,)2p (0,)

2p - 准线方程 2p x =-

2p x =

2p y =-

2p y =

范围

0x ≥ 0x ≤

0y ≥

0y ≤

o F

x y

F l

x y

o F

对称性 x 轴 x 轴

y 轴

顶点

(0,0) (0,0)

(0,0)

离心率 1e = 1e = 1e = 1e = 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离。【例题精析】

考点一抛物线的定义及标准方程

例1. (2012年高考四川卷文科9)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点

0(2,)

M y 。若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（）

A 、22

B 、23

C 、4

D 、25 【答案】B

1. （2012年高考安徽卷文科14）过抛物线

24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =______

考点二抛物线的几何性质及综合应用

例2.（2010年高考四川卷文科3）抛物线

y x

=的焦点到准线的距离是（）

(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8

【答案】C

【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4

又交点到准线的距离就是p。

【名师点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质,考查了学生分析问题、解决问题的能力.

【变式训练】

2.（2011年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为2

x=-，则抛物线的方程是（）

（A）

y x

=-（B）24

y x

=-(C) 28

y x

=(D) 24

y x

【答案】C

【解析】设抛物线方程为

y ax

=，则准线方程为4

x=-

于是

-=-

?=故选C。

【易错专区】

问题：综合应用

例.(2012年高考福建卷理科8)双曲线

x y

的右焦点与抛物线

y12

的焦点重合，则该双

曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A．5B．2

4C．3 D．5

1.（2011年高考海南卷文科9)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B 两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ABP

?的面积为( )

A.18

B.24

C.36

D.48

【答案】C

【解析】因为AB过抛物线的焦点且与对称轴垂直,所以线段AB是抛物线的通径,长为212

p=,所以

p=,又点P到AB的距离为焦参数p,所以ABP

?的面积为

236

p p p

?==

,故选C.

2．(2011年高考广东卷文科8)设圆C与圆外切，与直线

y=相切．则C的圆心

轨迹为（）

A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆

3.(2012年高考安徽卷理科9)过抛物线

y x

=的焦点F的直线交抛物线于,A B两点，点O是原点，

若

AF=

,则AOB

?的面积为（）

()A

2()B2()

()

D22

4. （2011年高考山东卷文科9)设M(0

x ，

y )为抛物线C ：28x y =上一点，F 为抛物线C 的焦点，

以F 为圆心、

为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则

y 的取值范围是（）

(A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞)

【答案】C

【解析】设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心, 抛物线C 的准线方程为2y =-,由圆与准线相切知4

x ，

y )为抛物线C ：2

8x y =上一点，所以有2008x y =,又点M(0x ，0y )在圆

222(2)x y r +-= ,所以22200(2)16x y r +-=>,所以2

008(2)16y y +->,即有

2004120

y y +->,解得

y >或

y <-, 又因为

y ≥, 所以

y >, 选C.

5. （2009年高考山东卷文科第10题）设斜率为2的直线l 过抛物线2

(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A.若(OAF O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )

A.24y x =±

B. 28y x =±

C. 24y x =

28y x =

6．（2009年高考湖南卷文科第2题）抛物线

8y x =-的焦点坐标是( ) A ．（2，0） B ．（- 2，0） C ．（4，0） D ．（- 4，0）

【答案】B

【解析】由

y x

=-,易知焦点坐标是

(

,0)(2,0)

-=-

，故选B.

7.(2012年高考重庆卷理科14)过抛物线

y x

=的焦点F作直线交抛物线于,A B两点，若

AB AF BF

则

= 。

1.(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查理科)抛物线

的准线方程为（）A.1-

x B. 1

x C.1-

y D.1

【答案】A

【解析】

p=1-

2．（2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线

y x

=的焦点，A．B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为（）

(A)

4(B)1 (C)

4(D)

3. (2011年高考全国卷理科10)已知抛物线C：

y x

=的焦点为F，直线24

y x

=-与C交于A，B两点．则cos AFB

∠=（）

(A)

5(B)

5(C)

(D)

4.（2012年高考辽宁卷文科12）已知P,Q 为抛物线x2=2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为（） (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D)

-8

5．（2010年高考陕西卷文科9）已知抛物线y2＝2px （p>0）的准线与圆（x －3）2＋y2＝16相切，则p 的值为（）

（A ）1

（B ）1 （C ）2 （D ）4

【答案】C

【解析】由题设知，直线

2p x -

=与圆()1632

2=+-y x 相切，从而2423=?=??? ??--p p .故选

C .

6．（安徽省皖南八校2012届高三第二次联考理科）双曲线22

1(0,0)x y m n m n -=>>的离心率为2，

有一个焦点与抛物线2

4y mx =的焦点重合，则n 的值为（）

A 、1

B 、4

C 、8

D 、12

7. (2012年高考陕西卷文科14)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米。

备战2021届高考数学二轮复习热点难点突破专题15 数形结合思想(解析版)

专题15 数形结合思想专题点拨数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合． (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种： ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围； ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围； ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系； ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； ⑤构建立体几何模型研究代数问题； ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； ⑦构建方程模型，求根的个数； ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等． (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： ①准确画出函数图像，注意函数的定义域； ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解． (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； ④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．例题剖析一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用【例1】若方程x2－4x＋3＋m＝0在x∈(0，3)时有唯一实根，求实数m的取值范围．【解析】利用数形结合的方法，直接观察得出结果．

2016上海高考理科数学真题及答案

2016上海高考理科数学真题及答案一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1ax y x by +=?? +=? 无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点 P 落在第一象限的概率是. 二、选择题（5×4=20） 15.设R a ∈，则“1>a ”是“12 >a ”的（）

初中抛物线常见结论汇总(教师版)

初中抛物线常见结论汇总（教师版） 1. （唯一交点或最值）（1）已知抛物线y=x 2－2x －3，过点D （0,-4）求与抛物线有且只有一个公共点的直线的解析式。 (判别式) （2）已知抛物线y=x 2－2x －3，在第四象限的抛物线上求点P ，使四边形ACPB 的面积最大。 2. (焦点—准线：顶点上下14a 个单位)已知抛物线y ＝12 x 2－x ＋1，直线过点P （1，1）与抛物线交于A 、B 。过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N 。（1）连PM 、PN ，求证：△PMN 为直角三角形；（2）①求证：AB ＝AM+BN ；②求1AP ＋1BP 的值。（3）已知点D （1，0），求证：DP 经过△AB D 的内心。 3. 如图，抛物线y ＝12x 2﹣x －32 顶点为D ，对称轴上有一点E （1，4），在抛物线上求点P ，使∠EPD=90°。 4. （定直角特殊点——特殊）已知抛物线y=12 x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点A 、B 和O 点构成以O 点为直角顶点的直角三角形，求P 点坐标。（定点：顶点向上平移1/a 个单位长度）

5. （定直角特殊点——半特殊）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，交点C 向上平移t 个单位长度到D ，过D 作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠ECF＝90°。求t 与a 的关系。 6. （定直角特殊点——一般）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点P （m,n ）为抛物线上任意一点，过D （0，n+t ）作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠EPF＝90°。求t 与a 的关系。 7. （纵向平分对称点——特殊）已知抛物线y=12 x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点为A 、B ，在对称轴负半轴上有点Q （0，-2），且∠AQB 被对称轴平分，求P 点坐标。 8. （纵向平分对称点——一般）如图，抛物线y ＝x 2-x －2与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点D 和点C 关于对称轴对称，MN ∥AD ，交抛物线于M 、N ，直线MD 、ND 分别交y 轴于E 、F 。求证：CF ＝CE 。

2016高考数学二轮复习微专题强化练习题：27转化与化归思想、数形结合思想

第一部分二 27 一、选择题 1．已知f (x )＝2x ，则函数y ＝f (|x －1|)的图象为( ) [答案] D [解析] 法一：f (|x －1|)＝2|x － 1|. 当x ＝0时，y ＝2.可排除A 、C ．当x ＝－1时，y ＝4.可排除B ．法二：y ＝2x →y ＝2|x |→y ＝2|x － 1|，经过图象的对称、平移可得到所求． [方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求： ①会画各种简单函数的图象； ②能依据函数的图象判断相应函数的性质； ③能用数形结合的思想以图辅助解题． 2．作图、识图、用图技巧 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行． (2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系． (3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． 3．利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换： y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位 h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换： y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )，

y ＝f (x ) ――→01，纵坐标伸长到原来的A 倍 y ＝Af (x )． ③对称变换： y ＝f (x )――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )， y ＝f (x ) ――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )， y ＝f (x )――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． 2．(文)(2014·哈三中二模)对实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝????? a ，a － b ≤1 b ，a －b >1 ，设函数f (x ) ＝(x 2＋1)*(x ＋2)，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．(2,4]∪(5，＋∞) B ．(1,2]∪(4,5] C ．(－∞，1)∪(4,5] D ．[1,2] [答案] B [解析] 由a *b 的定义知，当x 2＋1－(x ＋2)＝x 2－x －1≤1时，即－1≤x ≤2时，f (x )＝x 2＋1；当x <－1或x >2时，f (x )＝x ＋2，∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，∴方程f (x )－c ＝0恰有两不同实根，即y ＝c 与y ＝? ???? x 2 ＋1 (－1≤x ≤2)， x ＋2 (x <－1或x >2)，的图象恰有两个交点，数形结合易得1