概率论知识点总结材料
概率论总结
目录
一、前五章总结
第一章随机事件和概率 (1)
第二章随机变量及其分布 (5)
第三章多维随机变量及其分布 (10)
第四章随机变量的数字特征 (13)
第五章极限定理 (18)
二、学习概率论这门课的心得体会 (20)
一、前五章总结
第一章随机事件和概率
第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结
果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用E表示。
在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。
不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。
必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。
2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体
样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集，复合事件—多点集
一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。
3、定义：事件的包含与相等
若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A
或A?B。
若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。
定义：和事件
“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件
A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。
定义：积事件
称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩
B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。
定义：差事件
称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差
事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。
定义：互不相容事件或互斥事件
如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件
B是互不相容事件或互斥事件。
定义6：逆事件/对立事件
称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A
∪ā= S,且Aā=Φ。
运算律：
设A，B，C为事件，则有
（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA
（2）结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C
A(BC)=(AB)C=ABC
（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)
A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC
（4）德摩根律：B
A
=
A
B
=
A
B
A
B
小结：
事件的关系、运算和运算法则可概括为
四种关系：包含、相等、对立、互不相容；
四种运算：和、积、差、逆；
四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。
第二节：
1、 设试验E 是古典概型, 其样本空间S 由n 个样本点组成 , 事件A
由k 个样本点组成 . 则定义事件A 的概率为：P(A)＝k/n ＝A 包含的样本点数/S 中的样本点数。
2、 几何概率：设事件A 是S 的某个区域，它的面积为 μ(A )，则
向区域S 上随机投掷一点，该点落在区域A 的概率为：
P （A ）=μ（A ）/μ（S ） 假如样本空间S 可用
一线段，或空间中某个区域表示，并且向S 上随机投掷一点的
含义如前述，则事件A 的概率仍可用（*）式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.
概率的性质：
（1）P(φ)=0,
（2）
（3） （4） 若A ?B ，则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ≥ P(A).
第四节：条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为A 对B 的条件概率，记作P (A |B ).
而条件概率P (A |B )是在原条件下又添加“B 发生”这个条件时A 发生的可能性大小，即P (A |B )仍是概率.
()∑∞=∞==???? ??11m m P P ΦΦ ();,,,,2,1,,,1
1∑===???? ??≠=n k k n k k j i A P A P j i n j i A A 则两两互不相容，),
(1)(A P A P -=()()
B P AB P B A P =)|(
乘法公式： 若P (B )>0,则P (AB )=P (B )P (A |B )
P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)
全概率公式：设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分，且
P (A i )>0，i =1,2,…,n , B 是任一事件, 则
贝叶斯公式：设A 1,A 2,…,A n 是试验E 的样本空间Ω的一个划分，且
P (A i )>0，i =1,2,…,n , B 是任一事件且P (B )>0, 则
第五节 ：若两事件A 、B 满足 P (AB )= P (A ) P (B ) 则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立. 将两事件独立的定义推广到三个事件：
对于三个事件A 、B 、C ，若
P (AC )= P (A )P (C ) P (AB )= P (A )P (B )
P (ABC )= P (A )P (B )P (C ) P (BC )= P (B )P (C ) 四个等式同时 成立,则称事件 A 、B 、C 相互独立.
第六节：定理 对于n 重贝努利试验，事件A 在n 次试验中出现k 次的概率为 总结：
1. 条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，
在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。
2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用，
请牢固掌握。
3. 独立性是概率论中的最重要概念之一，亦是概率论特有的概念，
应正确理解并应用于概率的计算。
4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一，在应用上相当广
泛。
第二章：随机变量及其分布
1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。
分布函数：设 X 是一个 r.v ，x 为一个任意实数，称函数
∑==n i i i A B P A P B P 1)
()()(｜∑==n
j j
j i i i A B P A P A B P A P B A P 1)()()()()|(｜｜p
q n k q p C k P k n k k n n -===-1,,,1,0)(
F(X)=P （X ≤x ）为 X 的分布函数。X 的分布函数是F(x)记作 X ～ F(x) 或 F X (x).
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X 落在区间 （x ≤X ）。
3、 离散型随机变量及其分布
定义1 ：设x k (k =1,2, …)是离散型随机变量X 所取的一切
可能值，称等式P(X=x k )=P K ,
为离散型随机变量X 的概率函数或分布律，也称概率分布. 其中P K,≥0；ΣP k =1 分布律与分布函数的关系：
（1）已知随机变量X 的分布律，可求出X 的分布函数：
①设一离散型随机变量X 的分布律为
P{X=x k }=p k (k=1，2，…)
由概率的可列可加性可得X 的分布函数为
②已知随机变量X 的分布律, 亦可求任意随机事件的概率。
（2）已知随机变量X 的分布函数，可求出X 的分布律：
一、 三种常用离散型随机变量的分布
. 1（0－1）分布：
∑∑≤≤===≤=x x k
x x k k k p x F x X P x X P x F )(}
{}{)(即
,3,2,1)0()(}{=--==k x F x F x X P k k k
设随机变量X 只可能取0与1两个值，它的分布律为
P{X=k}=p k (1-p)1-k , k=0，1. (0 则称X 服从（0－1）分布,记为X ~（0－1）分布。 （0－1）分布的分布律用表格表示为： X 0 1 P 1-p p 易求得其分布函数为 2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X 的分布律为 其中0 X ~B(n,p). 4、 泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X 所有可能取的值 为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为： 其中 入 >0 是常数,则称 X 服从参数为 入 的泊松分布,记作 X ~P (入).、 连续型随机变量 1概率密度f(x)的性质 （1）f(x)≥0 （2） (3).X 落在区间(x 1，x 2)的概率 几何意义：X 落在区间(x 1，x 2)的概率P{x 1 (4).若f(x)在点x 处连续，则有F ′(x)=f(x)。 ．概率密度f(x )与分布函数F(x )的关系： (1)若连续型随机变量X 具有概率密度f(x )，则它的分布函数为 (2)若连续型随机变量X 的分布函数为F(x )，那么它的概率密度为f(x )=F ′(x ). 注意：对于F(x )不可导的点x 处，f(x )在该点x 处的函数值可任意给出。 ?????≥<≤-<=110100)(x p x p x x F {}n k q p C k X P k k k n ,,1,01 ===-, ,,,,!)( 210===-k k e k X P k λλ1)(=?∞+∞-dt t f {}?=-=≤<21)()()(1221x x dx x f x F x F x X x P dt t f x F x ?∞ -=)()(