备战中考数学 一元二次方程 培优易错试卷练习(含答案)附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．
【答案】（1）k ＞
34；（2 【解析】
【分析】
（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，
利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.
【详解】
（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，
∴k ＞34
； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，
设方程的两个根为m ，n ，
∴m ＋n ＝5，mn ＝5，
∴
=
=.
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．
2．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业
解：x 2﹣7x+10=0
a=1 b=﹣7 c=10
∵b 2﹣4ac=9＞0
∴73
2
±
∴x1=5，x2=2
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．
探究应用：请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的两边是关于x的方程x2﹣mx+m
2
﹣
1
4
=0的两个实数根．
（1）当m=2时，求△ABC的周长；
（2）当△ABC为等边三角形时，求m的值．
【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC的周长为7
2
；（2）当
△ABC为等边三角形时，m的值为1．
【解析】
【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．
（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣
m）2﹣4（m
2
﹣
1
4
）=m2﹣2m+1，可求得m.
【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5．错误原因：此时不能构成三角形．
（1）当m=2时，方程为x2﹣2x+3
4
=0，
∴x1=1
2，x2=
3
2
．
当1
2
为腰时，
1
2
+
1
2
<
3
2
，
∴1
2、
1
2
、
3
2
不能构成三角形；
当3
2
为腰时，等腰三角形的三边为
3
2
、
3
2
、
1
2
，
此时周长为3
2
+
3
2
+
1
2
=
7
2
．
答：当m=2时，△ABC的周长为7
2
．
（2）若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
∴△=（﹣m）2﹣4（m
2﹣
1
4
）=m2﹣2m+1=0，
∴m1=m2=1．
答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．
【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.
3．解下列方程：
(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；
(2)(x＋1)2＝6x＋6.
【答案】(1)x1＝1＋
6
2
，x2＝1－
6
2
(2) x1＝－1，x2＝5.
【解析】
试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；
（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.
试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝1
2
，∴x2－2x＋1＝
3
2
.
∴(x－1)2＝3
2
.
∴x－1＝±3
2＝±
6
.
∴x1＝1＋6，x2＝1－6.
(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.
∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.
∴x1＝－1，x2＝5.
4．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；
（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．
【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．
【解析】
试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.
试题解析：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；
（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，
∵x12x22+4x1+4x2=1，
∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，
∵a≤3，
∴a=﹣1．
5．阅读下面的例题，
范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2
请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0．
【答案】x 1=4，x 2=﹣5．
【解析】
【分析】
分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可．
【详解】
当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；
当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5，
故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．
6．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．
(1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.
【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.
【解析】
分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m ?（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x 1=
3m ，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，
∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，
∴△=（m -3）2-4m ×（-3）
=（m +3）2，
∵（m +3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x =
()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m
，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m =-1或-3．
点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
7．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．
(1)求n 的取值范围；
(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．
【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．
【解析】
【分析】
(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ?=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.
【详解】
(1)根据题意知，[]
224(2)41(1)0b ac n ?=-=--??-->
解之得：0n >；
(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，
∴1n =，
则方程为220x x -=，
即(2)0x x -=，
解得120,2x x ==．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ?=-的关系（①当>0? 时，方程有两个不相等的实数根；②当0?= 时方程有两个相等的实数根；③当?<0 时，方程无实数根）是解题关键.
8．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
【答案】共有35名同学参加了研学游活动．
【解析】
试题分析：由该班实际共支付给旅行社3150元，可以判断出参加的人数在30人以上，等量关系为：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数=3150，得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可．
试题解析：∵100×30=3000＜3150，∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．
设九（1）班共有x 人去旅游，则人均费用为[100﹣2（x ﹣30）]元，由题意得： x[100﹣2（x ﹣30）]=3150，
整理得x 2﹣80x+1575=0，解得x 1=35，x 2=45，
当x=35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合题意．
当x=45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学旅游活动．
考点：一元二次方程的应用．
9．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.
解: 22228160m mn n n -+-+=，
222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=
22()(4)0m n n ∴-+-=，
0,40m n n ∴-=-=，
4,4n m ∴==.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.
（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.
（3） 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.
【答案】（1）2（2）6（3）7
【解析】
【分析】
（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；
（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；
（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值．
【详解】
（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0
∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0
∴（x +y ）2+（y +1）2=0
∴x +y =0 y +1=0
解得：x =1，y =﹣1
∴x ﹣y =2；
（2）∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0
∴（a 2﹣6a +9）+（b 2﹣8b +16）=0
∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2=0
∴a ﹣3=0，b ﹣4=0
解得：a =3，b =4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c ＜a +b ，c ＜3+4，∴c ＜7．又∵c 是正整数，∴△ABC 的最大边c 的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；
（3）∵a ﹣b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2﹣6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c 2﹣6c +9）=（b +2）2+（c ﹣3）2=0，∴b +2=0，且c ﹣3=0，即b =﹣2，c =3，a =2，则a ﹣b +c =2﹣（﹣2）+3=7．
故答案为7．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
10．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.
（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？
（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.
【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.
【详解】
（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.
由题得：()()18344282a b a b +=??+++=?
解之得：108
a b =??=? 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克
（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=
解之得：12x =，27x =
经检验，12x =，27x =均符合题意
答：x 的值为2或7.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.