三角函数的平移与伸缩变换_整理
函数)sin(A ?ω+=x y 的图像
令狐采学
（1）物理意义：sin()y A x ω?=+（A ＞0，ω＞0），x ∈[0,+ ∞）表示一个振动量时，A 称为振幅，T = ω
π
2，1
f
T
=
称为频率，x ω?
+称为相位，?称为初相。
（2）函数sin()y A x k ω?=++的图像与sin y x =图像间的关系：
① 函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图像；
② 函数()sin y x ?=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
，得到函数()sin y x ω?=+的图像；
③ 函数()sin y x ω?=+图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的
A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图像；
④ 函数sin()y A x ω?=+图像的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图像。
要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图像，则向左或向右平移应平移||?ω
个单位。
?对)sin(?+=x y 图像的影响
一般地，函数)sin(?+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当?>0时)或向______(当?<0时)平移?个单位长度得到的
注意：左右平移时可以简述成“______________”
ω对x y ωsin =图像的影响
函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ，的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω
1
倍（纵坐标不变）。 A 对x y sin A =的影响
函数x y sin A =，
)1A 0A (≠>∈且R x 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A (>或_______)1A 0(<<到原来的A 倍得到的
由x y sin =到)sin(A ?ω+=x y 的图像变换 先平移后伸缩： 先伸缩后平移： 【典型例题】
例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ??
=++ ??
?
的图象．
练习：将x y cos =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ??
=- ??
?
的图象．
例2、把)3
42cos(3π
+
=x y 作如下变换： （1）向右平移2
π
个单位长度；
（2）纵坐标不变，横坐标变为原来的31；
（3）横坐标不变，纵坐标变为原来的4
3
；
（4）向上平移1.5个单位长度，则所得函数解析式为________. 练习：将2)5
42sin(2++
=π
x y 做下列变换： （1）向右平移2
π个单位长度；
（2）横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变； （3）纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变；
（4）沿y 轴正方向平移1个单位，最后得到的函数
._________)(==x f y
例3、把)(x f y =作如下变换：
（1）横坐标伸长为原来的1.5倍，纵坐标不变； （2）向左平移3
π个单位长度；
（3）纵坐标变为原来的5
3
，横坐标不变；
（4）沿y 轴负方向平移2个单位，最后得到函数),4
2
3sin(43π
+=x y 求
).(x f y =
练习1：将)48
sin(4π
π+=x y 作何变换可以得到.sin x y =
练习
2：对于)5
3
6sin(3x y +=π作何变换可以得到.sin x y =
例4、把函数)2
||,0)(sin(π?ω?ω<>+=x y 的图象向左平移3
π个单位长度，所得曲线的一部分图象如图所示，则（ ） A.6
,1π?ω== B.6
,1π
?ω-
==
C.3
,2π
?ω=
= D.3
,2π
?ω-
==
练习：7、右图是函数))(sin(R x x A y ∈+=?ω在区间)6
5,6(π
π-
上的图象，只要将
（1）x y sin =的图象经过怎样的变换？ （2）x y 2cos =的图象经过怎样的变换？ 【课堂练习】
1、为了得到函数)6
3sin(π
+=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象
（ ）
A 、向左平移6
π B 、向左平移
18π C 、向右平移6
π
D 、
x
向右平移18
π
2、为得到函数πcos 23y x ??
=+
??
?
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）
A 、向左平移5π12
个长度单位B 、向右平移5π12
个长度单位
C 、向左平移5π6
个长度单位
D 、向右平移5π6
个长度单位
3、要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π??
=- ?3?
?
的图象（ ）
A 、向右平移π
6个单位B 、向右平移π3个单位C 、向左平移π3
个单位D 、向左平移π6
个单位
4、为了得到函数)6
2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象
（）
A 、向右平移6
π个单位长度B 、向右平移3
π个单位长度
C 、向左平移6
π个单位长度
D 、向左平移3
π
个单位长度
5、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3
π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A 、sin(2)3y x π
=-
，x R ∈ B 、sin(
)26x y π
=+，x R ∈
C 、sin(2)3y x π=+，x R ∈
D 、sin(2)3
2y x π
=+，x R ∈
6、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π=+的
图像（ ）
A 、向左平移4
π个长度单位 B 、向右平移4
π个
长度单位
C 、向左平移2
π个长度单位 D 、向右平移2
π个
长度单位
7、已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
??=+∈>的最小正周期为π，为了得
到函数
()cos g x x ?=的图象，只要将()y f x =的图象（
）
A 、向左平移8
π个单位长度 B 、 向右平移8
π
个单位长度
C 、 向左平移4
π个单位长度 D 、 向右平移4
π个单位长度
8.将函数y=sinx 的图象向左平移?(0≤?＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6
x π
-
的图象，则?等于（
）
A ．6
π B ．56
π C. 76
π D.
116
π
专练：
1.(2009山东卷理)将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A.cos 2y x = B.12cos +=x y C.)4
2sin(1π
++=x y
D.22sin y x =
2.（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
??=+∈>的最小正
周期为π，为了得到函数()cos g x x ?=的图象，只要将()y f x =的图
象
A 向左平移8π个单位长度
B 向右平移8
π个单位长度
C 向左平移4π个单位长度
D 向右平移4
π个单位长度3．（09山东）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π??
=-
?3?
?
的图象（ ）
A 、向右平移π6个单位
B 、向右平移π3个单位
C 、向左平移π
3
个单位
D 、向左平移π
6
个单位
4．（10江苏卷）为了得到函数R x x y ∈+=),6
3
sin(2π的图像，只需把函
数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点
A 、向左平移6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原
来的3
1倍（纵坐标不变）
B 、向右平移6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原
来的3
1倍（纵坐标不变）
C 、向左平移6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原
来的3倍（纵坐标不变）
D 、向右平移6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原
来的3倍（纵坐标不变）
5、（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3
y x π=-的图像，
只需把函数sin(2)6
y x π=+的图像
A 、向左平移4
π个长度单位 B 、向右平移4
π个长
度单位
C 、向左平移2
π个长度单位 D 、向右平移2
π个
长度单位
6、（2010辽宁）设0ω>,函数sin()23
y x πω=++的图像向右平移43
π个
单位后与原图像重合，则ω的最小值是 A 、23
B 、43
C 、
3
2
D 、
3