广东省实验中学2020至2021学年高一上学期期中模块考试卷数学
广东实验中学2020-2021学年（上）高一级模块一考试
数 学
本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。考试用时120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用
2B 铅笔填涂学号．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第一部分 基础检测(共100分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{|1}A x x =>,下列关系中正确的为（ ）
A ．1A -∈．
B ．0A ∈
C ．1A ∈．
D ．2A ∈．
2．二次函数225y x x =-+的值域是（ ） A ．[4，+∞) B ．(4，+∞) C ．(,4]-∞ D ．（－∞，4）
3．设集合}21|{≤≤=x x A ，}41|{≤≤=y y B ，则下述对应法则f 中，不能构成A 到
B 的映射的是（ ） A ．2
:x y x f =→ B ．23:-=→x y x f C ．4:+-=→x y x f D ．2
4:x y x f -=→
4．设{}|10A x x =-<,{}2|log 0B x x =< ,则B A ?等于（ ）
A ．{|01}x x <<
B ．{|1}x x <
C ．{|0}x x <
D ．?
5．不等式2
20ax bx ++>的解集是)3
1
,21(-
，则a b +的值是( ) A ． 10 B ．–10 C ． 14 D ． –14
6．三个数20.6
20.6,log 0.6,2a b c ===之间的大小关系是（ ）
A ．b c a <<.
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
7．设1322,2()((2))log 2.(1)x e x f x f f x x -??
=?≥?-?
＜，则的值为1
，（ ） A ．2e
B ．22
e C ．2
D ．
22e
8．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是（ ） A ．y x =43
B ．y x =32
C ．y x =-2
D ．y x
=-
14
x
1)<的图象的大致形状是
（ ）
10．若)(x f 是R 上的减函数，且)(x f 的图象经过点A （0，4）和点B （3，－2），则当不
等式3|1)(|<-+t x f 的解集为（－1，2）时，t 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．已知22)1(++=-x x x f ，则()f x =
12．若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图象不经过第 象限.
13．函数)(x f ＝
(]1,,2
1
2∞-∈-+x x x 的值域为 . 14．若函数(1)y f x =-的定义域为（1，2]，则函数1
()y f x
=的定义域为
C ．
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．化简或求值：（本题满分8分）
（1）220.533
27492()()(0.008)8925
---+? （2）计算1
.0lg 2
1
036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2
3--+?.
16．（本题满分10分）
已知集合{}24260,A x x ax a x R =-++=∈，集合{}
0B x x =<，若A B ≠?，
求实数a 的取值范围.
17．（本小题满分12分）
（1判断函数f(x)=x x 4
+在),0(+∞∈x 上的单调性并证明你的结论？ （2猜想函数)0(,)(>+=a x
a
x x f 在),0()0,(+∞?-∞∈x 上的单调性？（只需写出结论，
不用证明）
（3）利用题（2）的结论，求使不等式029
2<+-+m m x
x 在][5,1∈x 上恒成立时的实数m 的取值范围？
第二部分 能力检测(共50分)
四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．
18．已知函数f (x )=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是
19．设偶函数()log ||a f x x b =+在(0，＋∞)上单调递增，则f(b －2) f(a ＋1)(填等号或
不等号)
五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（本小题满分13分）
已知函数)(x f 对任意实数x 、y 都有)(xy f =)(x f ·)(y f ，且(1)1f -=，(27)9f =，当
01x ≤<时，0≤)(x f ＜1．
（1）判断)(x f 的奇偶性；
（2）判断)(x f 在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明； （3）若0a ≥且)1(+a f ≤39，求a 的取值范围．
21．（本题满分13分）
设a ∈R ，函数 f (x ) = x 2 +2 a | x －1 | , x ∈R. （1）讨论函数f (x )的奇偶性； （2）求函数f (x )的最小值.
22．（本小题满分14分）
已知函数 ???
?
?
????∈--∈---∈+=]2,21[,1)21,1[,2)1,2[,1)(x x x x x x x x f .
（1）求()f x 的值域；
（2）设函数()2g x ax =-,[2,2]x ∈-，若对于任意1[2,2]x ∈-, 总存在0[2,2]x ∈-，使得
01()()g x f x =成立，求实数a 的取值范围.
广东实验中学2020-2021学年高一级模块考试
参考答案
第一部分
一、选择题（每小题5分，共50分） 1～10 ：DADAD CDCDC
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. )1(54)(2
-≥++=x x x x f 12.第一象限 13.{|32}y y -≤< 14.{|1}x x ≥ 三、解答题（共30分） 15.（本小题满分8分）
（1）原式=22
133284910002
()()(
)279825
-+? 472171
252932599
=
-+?=-+= ………………………4分 （2）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2
=++=++；…6分
分母=4100
6
lg 26lg 101100036lg
)26(lg =-+=?-+； ∴原式=
4
3
. ……………………………………………………………8分 16.（本小题满分10分） 解1：因为A
B ≠?，所以方程24260x ax a -++=有负根；……………………1分
设方程的根为12,x x
1） 恰有一个负根：1200x x ?>??
0,0x x ?>??=
解得：3311
22
33
a a a a a a ??
><-><-??????<-=-??或或或………………………5分 即3a ≤-………………………6分
2） 恰有2个负根：1212
00x x x x ?≥??
>??+
解得：31203a a a a ?≥≤-??
-??
或………………………8分
即31a -<≤-………………………9分
所以a 的取值范围是{|1}a a ≤-………………………10分
解2：因为2
4260x ax a -++=有负根，所以2
642
x a x +=-(0)x <有解，
设2
6(0)42
x y x x +=
<-， 令422t x =-<-，换元得241001100
(4)11616t t y t t t
++=
=++≤- 所以1a ≤-
17.（本小题满分12分）
解：（1）)(x f 在(]2,0上是减函数，在[)+∞,2上是增函数。…………………1分
证明：设任意()+∞∈<,021x x ，则2
121211
1)()(x x x x x f x f -+
-=-………2分 =2
121214
)
(x x x x x x -- …………………3分
又设(]2,021∈
∴)(x f 在(]2,0上是减函数 …………………………4分 又设[)+∞∈<,221x x ，则0)()(21<-x f x f ∴)()(21x f x f <
∴)(x f 在[)+∞,2上是增函数。 …………………5分 （2）由上及f(x)是奇函数，可猜想：f(x)在(]a -∞-,和
[
)
+∞,a 上是增函数，
f(x)在[)0,a -和(]
a ,0上是减函数 …………………7分 （3）∵029
2<+-+
m m x
x 在][5,1∈x 上恒成立
∴m m x
x -<+
229
在][5,1∈x 上恒成立 …………………………8分 由（2）中结论，可知函数x
x t 9
+=在][5,1∈x 上的最大值为10，
此时x=1 …………………………10分 要使原命题成立，当且仅当1022
>-m m ∴01022
>--m m 解得2
5,2>-<或m ∴实数m 的取值范围是?
??
???>
-<25,2m m m 或 …………………………12分 第二部分
18.[0,4] 19.< 20.（本小题满分13分）
解：⑴令y =－1，则)(x f -=)(x f ·)1(-f ，
∵)1(-f =1，∴)(x f -=
)(x f ，且x R ∈ 所以)(x f 为偶函数．……………4分
⑵若x≥0，则()f x
=f
=f
·f
=[f ]2
≥0．……………5分
若存在000,()0x f x >=使得，则0000
2727
(27)()()()0f f x f x f x x =?==，矛盾，所以 当0x >时，()0f x >……………6分 设0≤x 1＜x 2，则0≤
2
1
x x ＜1， ∴)(1x f =)(
221x x x f ?=)(2
1x x
f ·)(2x f ，……………8分 ∵当x≥0时()f x ≥0，且当0≤x ＜1时，0≤)(x f ＜1． ∴0≤)(
2
1
x x f ＜1，∴)(1x f ＜)(2x f ，故函数)(x f 在[0，＋∞)上是增函数．……9分 ⑶∵)27(f =9，又)93(?f =)3(f ·)9(f =)3(f ·)3(f ·)3(f = [)3(f ]3
，
∴9 = [)3(f ]3
，∴)3(f =39，……………10分
∵)1(+a f ≤39，∴)1(+a f ≤)3(f ，……………11分 ∵a≥0，(a ＋1)，3∈[0，＋∞)，函数在[0，＋∞)上是增函数． ∴a ＋1≤3，即a≤2， ……………12分 又a≥0，故0≤a≤2．……………13分
21.（本小题满分13分） 解：f (x )=x 2+2 a |x －1|,x ∈R .
（1）当a =0时, f (x )=x 2, 函数是偶函数；当a ≠ 0时函数没有奇偶性。……2分
因为f (1)=1 ,f (－1)=1+4a ≠ f (1) , 即a ≠ 0时函数不是偶函数；……3分 当a ≠ －12 时f (－1)=1+4a ≠－ f (1),函数不是奇函数；当a =－1
2 时，
f(x)=x 2－| x －1 |.,f(2)=3,f(－2)=1,f(－2) ≠ －f(2),所以函数不是奇函数。……5分
综上，当a =0时, f (x )=x 2, 函数是偶函数；当a ≠ 0时函数没有奇偶性。
(2) f (x ) = ??? x 2 + 2ax －2a ，x ≥1 x 2－2ax + 2a ，x < 1 = ??? (x + a ) 2－a 2－2a ，x ≥1
(x －a ) 2－a 2 + 2a ，x < 1
……7分
1? a ≥1时，x ≥1时，f (x )≥x 2≥1 = f (1) ? f (x )min = 1……8分
x < 1时，对称轴 x = a > 1 ? f (x ) 在 (－∞,1) 上为减函数 ? f (x ) > f (1) = 1 综上，a ≥1时，f (x )min = 1………………………………………………10分 2? a < 1时，若 x < 1，f (x )min = f (a ) = －a 2 + 2a = 2a －a 2……11分 而 x ≥1时，f (x )min ≥－a 2－2a > －a 2 > 2a －a 2…………12分 ∴ a < 1时，f (x ) min = 2a －a 2
∴ f (x ) min = ??? 1，a ≥0
2a －a 2，a < 0
……13分
（2）参考解法：?????<+-≥-+=)
1(,22)
1(,22)(22x a ax x x a ax x x f ……6分 先分段求出函数的最小值：
当1≥x 时，对称轴为a x -=
①当1≤-a ，即1-≥a 时，)(x f 在),1[+∞递增，1)1()(min ==∴f x f ； ……7分 ②当1>-a ，即1- min --=-= ……8分 当1 ①当1≥a 时，)(x f 在)1,(-∞递减，1)1()(min =>∴f x f ； ……9分 ②当1 min +-== ……10分 再比较合并函数的最小值 ①当1≥a 时，1)1()(min ==f x f ②当1- 222a a a a ->--，a a x f 2)(2 min +-= ③当11<≤-a 时，比较1与a a 22 +-大小，0)1()2(12 2 >-=+--a a a ， a a x f 2)(2min +-= 综上所述：? ? ?≥<-=)1(,1) 1(,2)(2min a a a a x f ……13分 22.（本小题满分14分） (1) 任取 x 1、x 2 ∈ [－2,－1)，x 1 < x 2 ? x 1－x 2 < 1，1－1 x 1 x 2 > 0， ? f (x 1)－f (x 2) = x 1 + 1x 1 －(x 2 + 1x 2 ) = (x 1－x 2) (1－1x 1 x 2 ) < 0 ? f (x 1) < f (x 2) ? f (x ) 在 [－2,－1) 为增函数。 同理可证f (x ) 在 [ 1 2 ,2] 也为增函数。 ∴ x ∈ [－2,－1) 时，f (x ) ∈ [－5 2 ,－2) ……2分 x ∈ [12 ,2] 时，f (x ) ∈ [－32 ,3 2 ] ……4分 ∴ f (x ) 的值域 A = [－52 ,－2]∪[－32 ,3 2 ]…………………6分 (2) 解法一：设 g (x ) 的值域为 B ，则 B = [－2 | a |－2, 2 | a |－2] …………………8分 依题意，A ? B ? ?? ? －2 | a |－2≤－ 52 2 | a |－2≥ 3 2 ………………10分 ? ? ?? | a |≥ 14 | a |≥ 74 ? | a |≥7 4 ……………12分 ∴ a 的取值范围是 (－∞,－74 ]∪[7 4 ,+∞).…………………14分 解法二：① 若0=a ，,2)(-=x g 对于任意]2,2[1-∈x ，]2 3 ,23[]2,25[)(1--- ∈ x f ，不存在]2,2[0-∈x 使得)()(10x f x g = 成立 ……7分 ② 若当0>a 时， 2)(-=ax x g 在[-2，2]是增函数，]22,22[)(---∈a a x g 任给]2,2[1-∈x ，]2 3 ,23[]2,25[)(1--- ∈ x f ， 若存在]2,2[0-∈x ，使得)()(10x f x g =成立， 则]22,22[]2 3 ,23[]2,25[---?--- a a ?? ?? ?
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