2020高考数学专项复习《三角函数总结大全》
| x |2
+ | y |2
x 2
+ y
2
三角函数
（一）任意角的三角函数及诱导公式
1. 任意角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角。旋转开始时的射线OA 叫做角的始边， OB 叫终边， 射线的端点O 叫做叫的顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2. 象限角、终边相同的角、区间角
角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差 2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}， 根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
5 5 区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α| ≤α≤
}=[ ，
]。
3. 弧度制
6 6
6
6
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角，记作 1 rad ，或 1 弧度，或 1(单位可以省略不写)。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。
l
角的弧度数的绝对值是：
=
，其中，l 是圆心角所对的弧长， r 是半径。
r 角度制与弧度制的换算主要抓住180? = rad 。弧度与角度互换公式：1rad ＝
180 °≈57.30°=57°18ˊ；
1 ° ＝
≈ 0.01745 （ rad ）。 弧 长 公 式 ： l =|
| r （ 是 圆 心 角 的 弧 度 数 ）；
扇 形 面 积 公 式 ：
180
S = 1 l r = 1
|
| r 2 。
2 2
4 三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角
的终边上任取一个异于原点
的点 P (x , y ) ，点 P 到原点的距离记为 r (r = = > 0) ，那么
sin
= y
； cos = x
； tan = y
； （ cot = x
； sec = r
； csc
= r
）
r r x y x
y
利用单位圆定义任意角的三角函数，设
是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P (x , y ) ,那么:
(1) y 叫做的正弦,记做sin ,即sin = y ；
（2） x 叫做
的余弦,记做cos
,即cos
= x ；
（3） y
叫做的正切,记做tan ,即tan = x
5 三角函数的符号：
y (x ≠ 0) 。 x 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们 y
可 以 得 知 ： ① 正 弦 值
对 于 第 一 、 二 象 限 为
正
r
（ y > 0, r > 0 ），对于第三、四象限为负（ y < 0, r > 0 ）； Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ sin + + － － cos + － － + tan
+ － + － cot
+
－
+
－
x
y
a 角的终
P T ②余弦值对于第一、四象限为正（x > 0, r > 0 ），对于第二、三象限为负
r
O M A
（x < 0, r > 0 ）；③正切值对于第一、三象限为正（x, y 同号），对于第二、四象
x
x
限为负（x, y 异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
6．三角函数线
三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。
以坐标原点为圆心，以单位长度 1 为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是 1 厘米或1 米）。当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点P(x, y) ，过点P 作PM ⊥x 轴交x 轴于点M ，
根据三角函数的定义：| MP |=| y |=| sin| ；| OM |=| x |=| cos|。
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，
且有负值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有OM =x = cos
同理,当角的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，
规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有负值y ；其中y 为P 点的横坐标。
这样,无论那种情况都有MP =y = sin。像MP、OM 这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。
如上图,过点A(1, 0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于y 轴,设它与的终边交于点T ,请根据正切函数的定
y
义与相似三角形的知识,借助有向线段OA、AT ,我们有tan=AT =
x
我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT ,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。
6.同角三角函数关系式
sin2α+cos2α=1（平方关系）；
sin
=tanα（商数关系）；tanαcotα=1（倒数关系）.
cos
使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。几
个常用关系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之间可以互相表示)
同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余两式。
7.诱导公式
可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
诱导公式一：sin(+ 2k) = sin，cos(+ 2k) = cos，其中k ∈Z
诱导公式二：sin(180o +) =-sin；cos(180o +) =- cos
诱导公式三：sin(-) =-sin；cos(-) = cos
y
诱导公式四： sin(180o
-) = sin
； cos(180o
-) = -cos
诱导公式五： sin(360o
-) = -sin
； cos(360o
-) = cos
－ -
+
2-
2k +
(k ∈ Z )
- 2 sin －sin sin －sin －sin sin cos
cos
cos
－cos
－cos
cos
cos
sin
（1）
要化的角的形式为 k ?180o
±（ k 为常整数）；
（2） 记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
（3）
sin(k π+α)=(－1)k sin α；cos(k π+α)=(－1)k cos α(k ∈Z)；
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4） sin x + 4 ? = cos 4 - x ? = cos x - 4 ? ； cos x + 4 ? = sin 4 - x ? 。
? ? ? ? ? ? （二）三角函数的图像与性质
1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
? ? ? ?
-4π y=sinx
-5π 2
-7π -3π
-2π 2
-3π -π
2
y
π 3π - 2
1 2
o π π
-1 2
7π 2
2π 5π 3π
4π
2
-4π
y=cosx -3π
-7π
2
-5π 2
-2π
-π -3π
2
y
- π 1 2
o π -1 2
3π 2
3π 2π 5π
2
7π 4π?x
x
x
2. 三角函数的定义域、值域及周期如下表：
函数
定义域
值域
周期
y = sin x R [-1,1] 2 y = cos x R
[-1,1]
2
y = tan x
{x | x ≠ k +
k ∈ Z } , 2
R
3. 三角函数的单调区间：
y
π
2
x
y=cotx
-π
π
- 2
o π
π
2
3π 2π
2
y=tanx
3π - 2
-π -
π 2
o π
2
π 3π
2
2 2
2
1 ???????→ 1
?
y = sin x 的递增区间是?
2k
-
2k +
?
(k ∈ Z ) ，递减区间是?
2k
+
2k
+
3
?
(k ∈ Z ) ；
?
2
， 2 ?? ?
2
， 2 ??
y = cos x 的递增区间是[2k -，2k ] (k ∈ Z ) ，递减区间是[2k ，2k +] (k ∈ Z ) ;
y = tan x 的递增区间是? k - k + ?
(k ∈ Z ) ，
， ? ? 2 ?
4. 对称轴与对称中心：
y = sin x 的对称轴为 x = k + ，对称中心为(k , 0) k ∈ Z ；
y = cos x 的对称轴为 x = k ，对称中心为(k + , 0) ； 对于 y = A sin(x +) 和 y = A cos(x +) 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
5．函数 y = A sin(x +) + B （其中A > 0，> 0）
2
最大值是 A + B ，最小值是 B - A ，周期是T =
，频率是 f
=
，相位是x +
，初相是；其图象的对
2 称轴是直线x += k + (k ∈ Z ) ，凡是该图象与直线 y = B 的交点都是该图象的对称中心。
2
6. 由 y ＝sin x 的图象变换出 y ＝sin(ωx ＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将 y ＝sin x 的图象向左(
＞0)或向右(
＜0＝平移｜
｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的
倍(ω＞0)，
便得 y ＝sin(ωx ＋)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
1
||
先将 y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω＞0)，再沿 x 轴向左(
＞0)或向右(
＜0＝平移
个单位，
便得 y ＝sin(ωx ＋)的图象。
三角函数图象的平移和伸缩
函数 y = A sin(x +) + k 的图象与函数 y = sin x 的图象之间可以通过变化 A
k 来相互转
化． A
影响图象的形状，
k 影响图象与 x 轴交点的位置．由 A 引起的变换称振幅变换，由
引起的变换称
周期变换，它们都是伸缩变换；由引起的变换称相位变换，由 k 引起的变换称上下平移变换，它们都是平移变换．既
可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移． 变换方法如下：先平移后伸缩
y = sin x
的图象 向左( >0) 或向右( <0) 平移个单位长度
得 y = sin(x +)
y = sin(x +) 的图象 ?横?坐?标伸?长( 0?<1)
→
得 y = sin(
x +
)
到原来的 (纵坐标不变)
???????→
y = sin(x +)
?纵?坐?标伸?长( A ?>1)?或缩?短( ?0 ) 的图象 y = A sin(x +) 的图象 为原来的A 倍(横坐标不变) 向上(k >0)或向下(k <0) 平移 k 个单位长度 得 得 y = A sin(x + ) + k 图象 先伸缩后平移 y = sin x ?纵?坐?标伸?长( A ?>1)?或缩?短(0?< A y = A sin x 的图象 为原来的A 倍( 横坐标不变) 得 y = A sin x ?横?坐?标伸?长(0?<?1)→ y = A sin(x ) 的图象 到原来的1 (纵坐标不变) 得 ?向?左?(>0?)或?向右?( x ) 的图象 平移个单位 得 y = A sin x (x +) y = A sin x (x +) ?向?上(?k >0?)或向?下?(k <0?)→ y = A sin(x +) + k 的图象 平移 k 个单位长度 得 图象 例 1 将 y = sin x 的图象怎样变换得到函数 y = 2sin ? 2x + π ? + 1 的图象． 4 ? ? ? 解：（方法一）①把 y = sin x 的图象沿 x 轴向左平移 π 个单位长度，得 y = sin ? x + π ? 的图象；②将所得图象的横坐标 4 4 ? ? ? 缩小到原来的 1 ，得 y = sin ? 2x + π ? 的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin ? 2x + π ? 的图象；④ 2 4 ? 4 ? ? ? ? ? 最后把所得图象沿 y 轴向上平移 1 个单位长度得到 y = 2sin ? 2x + π ? + 1 的图象． 4 ? ? ? （方法二）①把 y = sin x 的图象的纵坐标伸长到原来的 2 倍，得 y = 2sin x 的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来 的 1 ，得 y = 2sin 2x 的图象；③将所得图象沿 x 轴向左平移 π 个单位长度得 y = 2sin 2? x + π ? 的图象；④最后把图象沿 y 2 8 8 ? ? ? 轴向上平移 1 个单位长度得到 y = 2sin ? 2x + π ? + 1 的图象． 4 ? ? ? 说明：无论哪种变换都是针对字母 x 而言的．由 y = sin 2x 的图象向左平移 π 个单位长度得到的函数图象的解析式是 8 y = sin 2? x + π ? 而不是 y = sin ? 2x + π ? ，把 y = sin ? x + π ? 的图象的横坐标缩小到原来的 1 ，得到的函数图象的解析式 8 ? 8 ? 4 ? 2 ? ? ? ? ? ? 是 y = sin ? 2x + π ? 而不是 y = sin 2? x + π ? ． 4 ? 4 ? ? ? ? ? 对于复杂的变换，可引进参数求解． 例 2 将 y = sin 2x 的图象怎样变换得到函数 y = cos ? 2x - π ? 的图象． 4 ? ? ? 分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数． 解： y = sin 2x = cos ? π - 2x ? = cos ? 2x - π ? ，在 y = cos ? 2x - π ? 中以 x - a 代 x ， 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? y = cos ?2(x - a ) - π ? = cos ? 2x - 2a - π ? ． ?? 2 ?? 2 ? ? ? 根据题意，有2x - 2a - π = 2x - π ，得 a = - π ． 2 4 8 a 2 + b 2 a 2 + b 2 所以将 y = sin 2x 的图象向左平移 π 个单位长度可得到函数 y = cos ? 2x - π ? 的图象． 8 4 ? ? ? 5 . 由 y ＝A sin(ωx ＋)的图象求其函数式： 给出图象确定解析式 y =A sin （ωx +）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ ，0）作为突破口，要从图象 的升降情况找准第一个零点的位置。 8. 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意 A 、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 9. 求三角函数的周期的常用方法： 经过恒等变形化成“ y = A sin(x +) 、 y = A cos(x +) ”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定 义法。 10. 五点法作 y =A sin （ωx +）的简图： 五点取法是设 x =ωx +，由 x 取 0、π 2 、π、 3π 、2π来求相应的 x 值及对应的 y 值，再描点作图。 2 （三）三角恒等变换 1. 两角和与差的三角函数 sin(± ) = sin cos ± cos sin ； c os(± ) = cos cos 2. 二倍角公式 sin sin ； t an(± ) = tan ± tan 。 1m tan tan sin 2= 2 s in cos ； 3. 三角函数式的化简 cos 2= cos 2 - sin 2 = 2 c os 2 - 1 = 1 - 2 s in 2 ； tan 2= 2 tan 。 1- t an 2 常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。 （2） 化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。 （1） 降幂公式 sin cos = 1 sin 2； s in 2 = 1 - cos 2 cos 2 = 1 + cos 2 2 （2） 辅助角公式 ； 。 2 2 a sin x + b cos x = ?sin ( x +) ， 其中sin = ，cos = 。 4. 三角函数的求值类型有三类 （1） 给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角， 转化为求特殊角的三角函数值问题； （2） ）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如 = (+ ) - ,2= (+ ) + (- ) 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论； （3） 给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 5. 三角等式的证明 （1） 三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”； （2） 三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 （四）解三角形 1. 直角三角形中各元素间的关系： B 如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。 a 2 + b 2 （1） 三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理） （2） 锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3） 边角之间的关系：（锐角三角函数定义） a b a sin A ＝cos B ＝ ，cos A ＝sin B ＝ ，tan A ＝ 。 c c b 2. 斜三角形中各元素间的关系： 如图 6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示 A 、B 、C 的对边。 （1） 三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。 （2） 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即： （R 为外接圆半径） a sin A = b sin B = c sin C = 2R 。 （3） 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 3. 三角形的面积公式： 1 1 1 （1） S △＝ ah a ＝ bh b ＝ ch c （h a 、h b 、h c 分别表示 a 、b 、c 上的高）； 2 2 2 1 1 1 （2） S △＝ ab sin C ＝ bc sin A ＝ ac sin B ； 2 2 2 4. 解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元 素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。 解斜三角形的主要依据是： 设△ABC 的三边为 a 、b 、c ，对应的三个角为 A 、B 、C 。 （1）角与角关系：A +B +C = π； （2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3） 边与角关系： 正弦定理 a sin A = b sin B = c sin C = 2R （R 为外接圆半径）； 余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ； 它们的变形形式有：a = 2R sin A ， 5. 三角形中的三角变换 sin A = sin B a ， c os A = b b 2 + c 2 - a 2 。 2bc 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 （1） 角的变换 因 为 在 △ABC 中 ， A+B+C= π ， 所 以 sin(A+B)=sinC ； cos(A+B)= － cosC ； tan(A+B)= － tanC 。 sin A + B = 2 cos C 2 , cos A + B 2 = sin C ； 2 （2） 三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。 集合 1.(2019?全国1?理T1)已知集合M={x|-4 高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、（2007广东8）设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a b S ∈，，对于有序元素对（a b ，），在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应）．若 对任意的a b S ∈，，有()**a b a b =，则对任意的a b S ∈，，下列等式中不恒成立的是（ ） A ．()**a b a a = B ．[()]()****a b a a b a = C ．()**b b b b = D ．()[()]****a b b a b b = 2、（2008广东8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ） A ． 1142+a b B ．2133+a b C ．11 24 +a b D ．1 233 + a b 3、（2009广东8）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是（ ） A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面 B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面 C ．在0t 时刻，两车的位置相同 D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面 4、（2010广东8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 （ ） A ．1205秒 B ．1200秒 C ．1195秒 D ．1190秒 5、（2011广东） 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭 培优点十四 外接球 1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心 例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 【答案】C 【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ． 2．补形法（补成长方体） 例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ． 【答案】9π 【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==． 3．依据垂直关系找球心 例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足 6BA BC ==π 2 ABC ∠= ，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32 π3 【答案】D 【解析】因为ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是1 1232r =的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1 632ABC S =?=△，3BD =11 6336 ABC V S h h ==?=△， 最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2 233R R =-+，解之得2R =， 所以外接球的体积是3432ππ33 R =，故答案为D ． 一、单选题 1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π 【答案】B 对点增分集训 【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()()() 22 2 2223 5 R =+ + ，则：23R =， 该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==?=．本题选择B 选项． 2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π 【答案】B 【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：23 2r =，则2r =， 设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径() 2 223 27R =+=， 外接球的表面积24π28πS R ==．本题选择B 选项． 3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥 D ABC -的外接 球的表面积为（ ） A ．32π B ．27π C ．18π D ．9π 【答案】C 【解析】把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ， 则三棱锥D ABC -的外接球直径为32AC =，外接球的表面积为24π18πR =，故选C ． 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（ ） A ．2πa B ．22πa C ．23πa D ．24πa 【答案】C 【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a 的正三角形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a 的正三棱锥，另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示： 该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对角线，所以2223 23R a a a a R =++?，所以该几何体外接球面积 10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法： 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1 b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2 a D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2 a 例2．设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n =（ ） A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一（特值法）：令0n =，则34 4 7 10 421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--，对照选项，只有D 成立。 思路二：f （n ）是以2为首项，8为公比的等比数列的前4n +项的和，所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--，选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（ ） A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2 (1)y x =-，则(2)y f x =变为2 (21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ，选C 例4．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，=m(++)OH OA OB OC ，则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ，点O 为斜边的中点，点H 与三角形直角顶点C 重合，这时候有=++OH OA OB OC ，所以m=1 2020新课改高考数学小题专项训练1 1．设p 、q 是两个命题，则“复合命题p 或q 为真，p 且q 为假”的充要条件是 （ ） A ．p 、q 中至少有一个为真 B ．p 、q 中至少有一个为假 C ．p 、q 中中有且只有一个为真 D ．p 为真，q 为假 2．已知复数 （ ） A ． B ．2 C ．2 D ．8 3．已知a 、b 、c 是三条互不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题： ① ②a 、 ③ ④.其中正确命题的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．已知等差数列 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．定义在R 上的偶函数的x 的 集合为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且 包括周界），若使目标函数z =ax +y (a >0)取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值等于（ ） A ． B ．1 C ．6 D ．3 7．已知函数的值等于 （ ） A ． B ． C ．4 D ．－4 =-=||,13 z i z 则22; //,//,//ααa b b a 则; //,//,//,βαββα则b a b ?;,//,βαβα⊥⊥则a a b a b a ⊥⊥则,//,αα==16 884,31 ,}{S S S S S n a n n 那么且 项和为的前8 1 319 110 30)(log ,0)2 1(,),0[)(4 1<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在),2()21 ,(+∞?-∞)2,1()1,2 1(?),2()1,2 1(+∞?),2()2 1,0(+∞?3 1 )41(,2),3(log ,2,43 )(116 2 -?????≥+-<-=-f x x x x x f 则21 16 2 5- 2019年高考数学填空题专项训练题库100 题（含答案） 1．设集合}4|||}{<=x x A ，}034|{2>+-=x x x B ，则集合A x x ∈|{且 =?}B A x __________； 2．设12)(2++=x ax x p ，若对任意实数x ，0)(>x p 恒成立，则实数a 的取值范围是________________； 3．已知m b a ==32，且211=+b a ，则实数m 的值为______________； 4．若0>a ，9 43 2=a ，则=a 3 2log ____________； 5．已知二次函数3)(2-+=bx ax x f （0≠a ），满足)4()2(f f =，则=)6(f ________； 6．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当),0(+∞∈x 时，22)(-=x x f ， 则方程0)(=x f 的解集是____________________； 7．已知)78l g ()(2-+-=x x x f 在)1,(+m m 上是增函数，则m 的取值范围是________________； 8．已知函数x x x f 5sin )(+=，)1,1(-∈x ，如果0)1()1(2<-+-a f a f ，则a 的取值范围是____________； 9．关于x 的方程a a x -+= 53 5有负数解，则实数a 的取值范围是______________； 10．已知函数)(x f 满足：对任意实数1x ，2x ，当2`1x x <时，有)()(21x f x f <，且 )()()(2121x f x f x x f ?=+． 写出满足上述条件的一个函数：=)(x f _____________； 11．定义在区间)1,1(-内的函数)(x f 满足)1l g ()()(2+=--x x f x f ，则=)(x f ______________； 高考数学选择题技巧精 选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 高考数学选择题的解题策略 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略。 （一）数学选择题的解题方法 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为，经过3次射击，此人至少有2次 击中目标的概率为 （ ） 解析：某人每次射中的概率为，3次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27)106(104)106(33 3223= ?+??C C 故选A 。 例2、有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选D 。 例3、已知F 1、F 2是椭圆162x +9 2 y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆 于点A 、B ，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|等于（ ） 2019-2020学年度最新人教版高考数学总复习 (各种专题训练)Word版(附参考答案) 一．课标要求： 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： （1）题型是1个选择题或1个填空题； （2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体 （对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排 列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 2020新课改高考数学小题专项训练12 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2020新课改高考数学小题专项训练12 1．设集合P ={3，4，5}，Q ={4，5，6，7}，定义P ★Q ={（则 P ★Q 中 元素的个数为 （ ） A ．3 B ．7 C ．10 D ．12 2．函数的部分图象大致是 （ ） A B C D 3．在的展开式中，含项的系数是首项为－2，公差为3的等 差数列的 （ ） A ．第13项 B ．第18项 C ．第11项 D ．第20项 4．有一块直角三角板ABC ，∠A =30°，∠B =90°，BC 边在桌面上，当三角板所在平面与 桌面成45°角时，AB 边与桌面所成的角等于 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．若将函数的图象按向量平移，使图象上点P 的坐标由（1，0）变为（2，2）， 则平移后图象的解析式为 （ ） A ． B ． C ． D ． 6．直线的倾斜角为 （ ） },|),Q b P a b a ∈∈3 2 21x e y -?=π 765)1()1()1(x x x +++++4x 4 6 arcsin 6 π4 π4 10arccos )(x f y =a 2)1(-+=x f y 2)1(--=x f y 2)1(+-=x f y 2)1(++=x f y 0140sin 140cos =+?+?y x A ．40° B ．50° C ．130° D ．140° 7．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：（10，20，2；（20，30，3； （30，40，4；（40，50，5；（50，60，4；（60，70，2. 则样本在 区间（10，50上的频率为 （ ） A ．0.5 B ．0.7 C ．0.25 D ．0.05 8．在抛物线上有点M ，它到直线的距离为4，如果点M 的坐标为（）， 且的值为 （ ） A ． B ．1 C ． D ．2 9．已知双曲线，在两条渐近线所构成 的角中， 设以实轴为角平分线的角为，则的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． 10．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学， 当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女的血型一定不是O 型， 若某人的血 型的O 型，则父母血型的所有可能情况有 （ ） A ．12种 B ．6种 C ．10种 D ．9种 11．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则球的表面积为 （ ） A ．16（12－6 B ．18 C ．36 D ．64（6－4 ]]]]]]]x y 42=x y =2n m ,n m R n m 则,,+∈2 12]2,2[),(122 22∈∈=-+e R b a b y a x 的离心率θθ]2 ,6[π π]2 ,3[π π]32,2[ππ),3 2[ ππ π)3πππ)2 2019高考数学专题训练--解三角形（有解析） 专题限时集训(二) 解三角形 (建议用时：60分钟) 一、选择题1．(2018?天津模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若AB＝13，a＝3，∠C＝120°，则AC等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 A [由余弦定理得13＝AC2＋9－6ACcos 120° 即AC2＋3AC－4＝0 解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.] 2. (2018?合肥模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝223，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆的面积为( ) A．4πB．8πC．9πD．36π C [由bcos A＋acos B＝2，得b2＋c2－a22c ＋a2＋c2－b22c＝2 化简得c＝2，又sin C＝13，则△ABC的外接圆的半径R＝c2sin C＝3，从而△ABC的外接圆面积为9π，故选C.] 3．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积( ) A．3 B.932 C.332 D．33 C [因为c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，所以由余弦定理得：c2＝a2＋b2－ 2abcosπ3，即－2ab＋6＝－ab，ab＝6，因此△ABC的面积为12absin C＝3×32＝332，选C.] 4．如图216，为测得河对岸塔AB的高，先 在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高为( ) 图216 A．10米 B．102米 C．103米 D．106米 D [在△BCD中，∠DBC＝180°－105°－45°＝30°，由正弦 定理得10sin 30°＝BCsin 45°，解得BC＝102. 在△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝102×tan 60°＝106.] 5．(2018?长沙模拟)在△ABC 中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝a，cos A2，n＝b，cos B2，p＝c，cosC2共线，则△ABC的形状为( ) A．等 边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 A [由m∥n得acosB2＝bcosA2，即sin Acos B2＝sin Bcos A2化简得sinA2＝sinB2，从而A＝B，同理由m∥p得A＝C，因此△ABC为等边三角形．] 6．如图217，在△ABC中，C＝π3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝22，则cos A＝( ) 图217 A.223 B.24 C.64 D.63 C [∵DE＝22，∴BD＝AD＝DEsin A＝22sin A.∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得BCsin∠BDC＝BDsin C， 高考数学经典选择题(含答案) 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则AOB ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 3 2 C 、 3 D 、 53 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦点是 2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、4 3 B 、83 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32 ()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则 24z x y =+-的最大值为 A 、 21 B 、 20 C 、 19 D 、 18 7、三棱锥P ABC -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0OA OB OC ++=，A 点在侧面PBC 上的射影H 是PBC ?的垂心，6PA =，则此三棱锥体积的最大值为 A 、 36 B 、 48 C 、 54 D 、 72 8、已知函数()f x 是R 上的奇函数，且 ()0,+∞在上递增，(1,2)A -、(4,2)B 是其图象上两点，则不等式(2)2f x +<的解集为 A 、 ()(),44,-∞-?+∞ B 、 ()(){}4,11,40--?? 2019-2020全国高考专题全国卷Ⅲ（理）数学试卷 一、选择题 1. 已知集合A ={(x,y )|x,y ∈N ?，y ≥x}，B ={(x,y )|x +y =8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 2. 复数11?3i 的虚部是( ) A.?3 10 B.?1 10 C.1 10 D.3 10 3. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p 1，p 2，p 3，p 4，且∑p i 4i=1=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( ) A.p 1=p 4=0.1，p 2=p 3=0.4 B.p 1=p 4=0.4，p 2=p 3=0.1 C.p 1=p 4=0.2，p 2=p 3=0.3 D.p 1=p 4=0.3，p 2=p 3=0.2 4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )（t 的单位：天）的Logistic 模型：I (t )=K 1+e ?0.23(t?53)，其中K 为最大确诊病例数.当I (t ?)=0.95K 时，标志已初步遏制疫情，则t ?约为( )(ln 19≈3) A.60 B.63 C.66 D.69 5. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C:y 2 =2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( ) A.(1 4,0) B.(1 2 ,0) C.(1,0) D.(2,0) 6. 已知向量a → ，b → 满足|a → |=5 ，|b → |=6，a → ?b → =?6，则cos =（ ） A.?31 35 B.?19 35 C.17 35 D.19 35 7. 在△ABC 中，cos C =2 3，AC =4，BC =3，则cos B =( ) A.1 9 B.1 3 C.1 2 D.2 3 8. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( ) A.6+4√2 B.4+4√2 C.6+2√3 D.4+2√3 9. 已知2tan θ?tan (θ+π 4)=7，则tan θ=( ) A.?2 B.?1 C.1 D.2 10. 若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=1 5相切，则l 的方程为( ) A.y =2x +1 B.y =2x +1 2 C.y =1 2 x +1 D.y =12 x +1 2 11. 已知双曲线C ：x 2 a 2?y 2 b 2=1(a >0，b >0)的左右焦点F 1，F 2，离心率为√5．P 是C 上的一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =( ) A.1 B.2 C.4 D.8 12. 已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138， 则( ) A. a 近年高考数学选择题经典试题集锦 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则A O B ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 32 C 、3 D 、 5 3 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦 点是2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、43 B 、8 3 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题： （1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根， （2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根 （3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根 （4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根 其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040 250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则24z x y =+-的最大值为 2018高考数学专题---数列大题训练（附答案） 1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n = 12 111 23(1)n a a n a +++ +. 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+- y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++= n N n a n a n a n a n n f n 且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，8 1）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15． 求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数. （1）求证: {}n a 为等比数列； （2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23 n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ?? ???? 的通项公式，并求12231n n b b b b b b -++ +的结果. 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线， 且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12 2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 . 3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D 5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P 高考数学选择经典试题集锦（二） 1、已知()1()()f x x a x b =---，并且,m n 是方程()0f x =的两根，则实数a 、b 、m 、n 的大小关系可能是 A. m a b n <<< B. a m n b <<< C. a m b n <<< D. m a n b <<< 2、已知{}n a 、{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别为n S 、n T ，若223n n S n T n +=+，则109a b 的值为 A. 116 B. 2 C. 22 13 D. 无法确定 3、已知C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，满足2PA PB -=，25PA PB -=PA PC PB PC PA PB ??=,I 为PC 上一点，且()(0) AC AP BI BA AC AP λλ=++>，则 BI BA BA ?的值为 A. 1 B. 2 C. 1 D. 4、 已知()f x 与()g x 都是定义在R 上的函数， ()0,()()()(),()()x g x f x g x f x g x f x a g x ''≠? B. W N < C. W N = D.无法确定 1、函数与导数（1） 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数（2） 4、立体几何 5、数列（1） 6、应用题 7、解析几何 8、数列（2） 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法 高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1．已知函数f (x )＝a e x x ＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值； (2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1. ∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －(a e ＋1)＝x －1， 又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1， 解得a ＝－1 e . (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2 x 2 ， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值． 方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)， 则???? ? x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0， 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a ＝－x 20 x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0 >0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0 e x a x ＋x 0>0，得a >－02 0e x x ， 设h (x )＝－x 2 e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数， ∴a >h (x 0)>h (2)＝－4 e 2. 小题专项滚动练六 解析几何 小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(滚动考查)在复平面内与复数z=5i 1+2i 所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( ) A.1+2i B.1-2i C.-2+i D.2+i 【解析】选C.复数z= 5i 1+2i = 5i(1?2i) (1+2i)(1?2i) = 5(i+2)5 =2+i ，所对应的点(2，1)关于虚轴 对称的点为A(-2，1)，所以A 对应的复数为-2+i. 2.已知点P(a ，b)是抛物线x 2=20y 上一点，焦点为F ，|PF|=25，则|ab|=( ) A.100 B.200 C.360 D.400 【解析】选D.抛物线准线方程为y=-5， |PF|=b+5=25，所以b=20， 又点P(a ，b)是抛物线x 2=20y 上一点， 所以a2=20×20，所以a=±20，所以|ab|=400. 3.(滚动考查)已知点P(x，y)的坐标满足条件{x≥1, y≥x?1, x+3y?5≤0, 那么点P到直线 3x-4y-13=0的最小值为( ) A.11 5 B.2 C.9 5 D.1 【解析】选B.由约束条件{ x≥1, y≥x?1, x+3y?5≤0 作出可行域如图， 由图可知，当P与A(1，0)重合时，P到直线3x-4y-13=0的距离最小，为 d= √32+(?4)2 =2. 4.(滚动考查)如图，函数f(x)=Asin(ωx+ )(其中A>0,ω>0,|φ|≤π 2 )与 坐标轴的三个交点P，Q，R满足P(1，0)，∠PQR=π 4 ，M(2，-2)为线段QR的中点，则A的值为( ) A.2√3 B.7√3 3 C.8√3 3 D.4√32010-2019年高考数学真题专项分类练习-集合
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