余弦定理练习题及答案

余弦定理练习题及答案

积累巩固

1. 已知c b a ,,是ABC ?中角C B A ,,的对边,若a =5,4,b c ==则A ＝ .

2. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===?则A ＝ .

3. 在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则

cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 ．

4. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ．

5. 在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝7 ，B ＝60°，求边C ．

延伸拓展

6. 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝ 2 ，A ＝45°，解此三角形．

7. 已知a 、b 、c 分别是ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对的边，若ABC ?面积

,60,2,2

3?===?A c S ABC 求a 、b 的值． 8.在 △ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .若 2

23cos cos 222C A a c b ?+?=，求证：

．

9. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知222b c a +=，求：

（1）A 的大小；（2）2sin cos sin()B C B C --的值．

10. 设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且A=60 ，c=3b.求：

（1）

a c 的值；（2）cos cos sin sin B C B C

+的值. 创新应用

11. 在△ABC 中，a 、b 是方程02322

=+-x x 的两根，且1)cos(2=+B A .求：

（1）角C 的度数；（2）c ；（3）△ABC 的面积.

12. 已知A 、B 、C 为ABC ?的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若2

1sin sin cos cos =-C B C B ． （1）求A ； （2）若4,32=+=c b a ，求ABC ?的面积 ．

13．当甲船位于A 处时获悉，在其正东方方向相距20

海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往

救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10

海里C 处的乙船，试问乙船直接赶往B 处救援最少要

走多少海里？

参考答案

1. 60

解析：2221cos 22b c a A bc +-==，60A ∠= ． 2. 解：由余弦定理可得

23923cos303c =+-= ,解得30()6

c a A C π==== 或． 3. 解：由余弦定理，所求式163699361616936612222

+-+-+-=++=． 4. 解：设顶角为C ，因为5,2l c a b c ===∴，由余弦定理得

222222447cos 22228

a b c c c c C ab c c +-+-===??． 5. 解：由余弦定理得 (7 )2＝12

＋c 2－2c cos60°，

∴c 2－c －6＝0，解得c 1＝3，c 2＝－2(舍去)；∴c ＝3． 6. 解：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得22＝( 2 )2＋c 2－2 2 c cos45°，∴c 2－2c －2＝0， 解得c ＝1＋ 3 或c ＝1－ 3 (舍去)；∴c ＝1＋ 3 ．

又cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋ 3 ）2－（ 2 ）22×2×（1＋ 3 ）

＝ 3 2 ，且B 为三角形内角； ∴B ＝30°； ∴C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(45°＋30°)＝105°．

7. 解：23sin 21==?A bc S ABC ，2

360sin 221=??∴b ，得1=b 由余弦定理得360cos 21221cos 222222=????-+=-+=A bc c b a ，

∴3=a ．

8. 证明：由已知得： ，

∴

，

∴

，

∴

，即

．

9. 解：(1)由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-

222cos .26

b c a A A bc π+-====故所以 (2) 2sin cos sin()B C B C -- 2sin cos (sin cos cos sin )sin cos cos sin 1sin()sin()sin .2

B C B C B C B C B C

B C A A π=--=+=+=-== 10. 解：（1）由余弦定理得

22222211172cos ()233293

a a

b

c b A c c c c c c =+-=+-=?= （2）由余弦定理及（1）的结论有

222222

71()cos 2c c c a c b B ac +-+-===

故sin B ===

同理可得22222271cos 2c c c a b c C ab +-+-===

sin C ===

从而cos cos sin sin 9

B C B C +==

11. 解：(1)∵1)cos(2=+B A ，∴21cos -

=C ，∴角C 的度数为120°. (2)∵a 、b 是方程02322=+-x x 的两根， ∴由求根公式计算得32=+b a ，2=ab ,

由余弦定理得C ab b a c cos 22

22-+=)1(cos 2)(2+-+=C ab b a ＝12－2＝10. ∴10=c . (3)2

3sin 21==C ab S . 12. 解：（1）2

1sin sin cos cos =-C B C B ，21)cos(=+∴C B ； 又π<+

+∴C B ；π=++C B A ，32π=∴A ． （2）由余弦定理得A bc c b a cos 2222?-+=，

∴ 3

2cos 22)()32(22π?--+=bc bc c b ， 即)2

1

(221612-?--=bc bc ，4=∴bc ； 32

3421sin 21=??=?=∴?A bc S ABC ． 13. 解：在△ABC 中，9030120BAC ∠=+= ，

∴BC ===．

答：乙船直接赶往B 处救援最少要走海里．

(完整版)必修五正余弦定理习题练习

必修五正余弦定理习题练习 一．选择题（共5小题） 1．（2015?秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（） A．B．C．D． 2．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（） A．B．C． D． 3．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（） A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C． D．或 5．（2014?新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1 二．填空题（共6小题） 6．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为______． 7．（2015?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=______． 8．（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=______． 9．（2015?北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=______．10．（2015?安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=______．11．（2013?福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．

2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题：4.5 正弦定理和余弦定理(原卷版)文

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高考复习·归纳训练

2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题4.5 正弦定理和余弦定理 目录 一、题型全归纳 (1) 题型一利用正、余弦定理解三角形 (1) 类型一用正弦定理解三角形 (2) 类型二用余弦定理解三角形 (2) 类型三综合利用正、余弦定理解三角形 (3) 题型二利用正、余弦定理边角互化 (5) 题型三与三角形面积有关的问题 (7) 二、高效训练突破 (10) 一、题型全归纳 题型一利用正、余弦定理解三角形 【题型要点】解三角形的常见题型及求解方法 (1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及a sin A＝ b sin B＝ c sin C，可先求出角C及b，再求出c. (2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bc cos A，先求出a，再求出角B，C. (3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C. (4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理a sin A＝b sin B可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)， 可求出角C，再由a sin A＝c sin C可求出c，而通过a sin A＝ b sin B求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．

类型一 用正弦定理解三角形 【例1】．(2020·北京朝阳区模拟)在△ABC 中，B ＝π6，c ＝4，cos C ＝53 ，则b ＝( ) A ．3 3 B ．3 C.32 D.43 【例2】．(2020·丹东模拟)在△ABC 中，C ＝60°，AC ＝2，AB ＝3，则A ＝( ) A ．15° B ．45° C ．75° D ．105° 类型二 用余弦定理解三角形 【例3】(2020·贵阳模拟)平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，AC ＝4，则BD ＝( ) A ．4 B.10 C.19 D.7 【例4】．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝7，BC 边上中线AD ＝72 ，则BC ＝________． 类型三 综合利用正、余弦定理解三角形 【例5】(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C. △求A ； △若2a ＋b ＝2c ，求sin C. 【例6】在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12 .

垂径定理练习题及答案(可编辑修改word版)

一.选择题 垂径定理 ★1．如图 1，⊙O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，那么弦 AB 的长是（） A．4 B．6 C．7 D．8 答案：D ★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B ★★3．过⊙O内一点M 的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM 的长为（） A．9cm B．6cm C．3cm 答案：C ★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 OA、OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为（） A．12 个单位B．10 个单位C．1 个单位D．15 个单位 答案：B ★★5．如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD 6cm ，则直径AB 的长是（） A. 2 3cm B. 3 2cm C. 4 2cm D. 4 3cm D ． 41cm

3答案：D ★★6．下列命题中，正确的是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 答案：D ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24 米，拱的半径为13 米，则拱高为( ) A.5米B．8 米C．7 米D．5 米 答案：B ★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( ) A. 1 cm B． 7cm C． 3 cm 或4 cm D． 1cm 或7cm 答案：D ★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为 5 的⊙O上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC 边上的高为( ) A．2 B．8 C．2 或8 D．3 答案：C 二.填空题 ★1．已知AB 是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 答案：5 cm ★2．在直径为10cm 的圆中，弦AB 的长为8cm，则它的弦心距为cm 答案：3 cm ★3．在半径为10 的圆中有一条长为16 的弦，那么这条弦的弦心距等于 答案：6 ★★4．已知AB 是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 答案：5 cm ★★5．如图，⊙O的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，若∠COD＝120°，OE＝3 厘米，则CD＝厘米

正余弦定理练习题(答案)

1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 C ．2 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) 或 3 或3 2 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) B ．2 C. 3 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°， 航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．

垂径定理练习题及答案

垂径定理 一.选择题 ★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 答案：D ★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：B ★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ） A ．9cm B ．6cm C ．3cm D ．cm 41 答案：C ★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 答案：B ★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ） A ． B ． C ． D ．

答案：D ★★6．下列命题中，正确的是（） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 答案：D ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米 答案：B ★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm 答案：D ★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3 答案：C 二.填空题 ★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm 答案：3 cm ★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 答案：6 ★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm ★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米

正余弦定理练习题(答案)

正弦定理 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.32 3 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.1 4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.32或 3 D.34或32 8．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3 ，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为 110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？ 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2 ，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝3 5， sin B ＝ 10 10 .(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案精选.

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案 一、选择题 1. 已知△ABC 中，a ＝c ＝2，A ＝30°，则b ＝( ) A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 3＋1 答案：B 解析：∵a ＝c ＝2，∴A ＝C ＝30°，∴B ＝120°. 由余弦定理可得b ＝2 3. 2. △ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝ 22，则符合条件的三角形有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个 答案：B 解析：∵a sin B ＝102， ∴a sin B b B ．a

C ．a ＝b D ．a 与b 的大小关系不能确定 答案：A 解析：由正弦定理，得c sin120°＝a sin A ， ∴sin A ＝a ·3 22a ＝64>1 2. ∴A >30°.∴B ＝180°－120°－A <30°.∴a >b . 5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A. 5 18 B. 3 4 C. 3 2 D. 7 8 答案：D 解析：方法一：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ， ∴腰长为2a ，由余弦定理知cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22×2a ×2a ＝7 8. 方法二：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则AC ＝2a ，CD ＝a 2，∴sin α2＝1 4， ∴cos α＝1－2sin 2α 2 ＝1－2×116＝7 8. 6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2或 3 D. 32或3 4 答案：D 解析：∵sin C 3＝sin B 1， ∴sin C ＝3·sin30°＝3 2.

垂径定理练习及答案

| 垂径定理一、选择题 1. 在Rt△ABC，∠C=90°，BC=5，AB=13，D是AB的中点，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则⊙C与点D的位置关系是( ) A. D在圆内 B．D在圆上 C．D在圆外 D．不能确定 2．下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶角的距离相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．下面的四个判断中，正确的一个是( ) A．过圆内的一点的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦； B．过圆内的一点的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦； C. 过圆内的一点的无数条弦中，有一条且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦； D．过圆内的一点的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦． 4．下列说法中，正确的有( )①菱形的四个顶点在同一个圆上；②矩形的四个顶点在同一个圆上； ③正方形四条边的中点在同一个圆上；④平行四边形四条边的中点在同一个圆上． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图所示，在⊙0中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是( ) A．AC=CB B. C. D. OC=CN 6．过⊙O内一点M的最长的弦长为4 cm，最短的弦长为2 c( ) A．B． C. 8 cm D．

7．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm， AP：PB=1：5，那么⊙O的半径等于( ) A．6 cm B． C．8 cm D． 8．如果⊙O中弦AB与直径CD垂直，垂足为E，AE=4，CE=2，那么⊙O 的半径等于( )A. 5 B. C. D. 9. 如图所示，AB是⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上、下两个半 圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB．∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C 在上半圆(不包括A、B两点)上移动时，点P( )A．到CD的距离保持不变 B．位置不变 C. 等分D．随C点的移动而移动 10. 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AC=CD，AB的弦心距等于CD的一半。则这两个同心圆的大小圆的半径之比( ) A. 3：1 B. C. D. 二、填空题 11．半径为5 cm的定圆O中，长度为6 cm的弦的中点的集合是______. 12．平面内一点到圆上点的最小距离是2cm，最大距离是8 cm．那么这个圆的半径________. 13．在半径为5 cm的圆内有两条平行弦。分别为6 cm和8 cm．则两弦之间的距离是______． 14．在圆中，垂直平分一条半径的弦长为，则此圆的半径等于_________.

正弦余弦定理测试题

正弦余弦定理测试题 1、在ABC ?中。若1b =，3c =，23 c π ∠= ，则a= 。 2、已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，b =3，A +C =2B ，则sin A = . 3、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为,,a b c ，若∠C=120°，c=2a ，则 A. a b > B. a b < C. a b = D. a 与b 的大小关系不能确定 4、在ABC ?中，角A B C 、、所对的边分别为a 、b 、c .若,2,2== b a 2cos sin =+B B ,，则 角A 的大小为____________________. 5、若△ABC 的三个内角满足sinA ：sinB ：sinC=5：11：13．则△ABC( ) (A)一定是锐角三角形． (B)一定是直角三角形． (C)一定是钝角三角形． （D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 6、在ABC V 中，D 为BC 边上一点， 3BC BD =,2AD =,135ADB ο∠=.若2AC AB =,则 BD=_____ 7、（本小题满分12分） 在△ABC 中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且2a sin A =(2b +c )sin B +(2c +b )sin C . (Ⅰ)求A 的大小； （Ⅱ）若sin B +sin C =1,试判断△ABC 的形状. 8、（本小题满分12分） 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长. 9、（本题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足 S ＝ 34 （a 2＋b 2－c 2 ）. （Ⅰ）求角C 的大小; （Ⅱ）求sin A ＋sin B 的最大值.

考点17 正弦定理和余弦定理【2019年高考数学真题分类】

温馨提示： 此题库为Word版, 请按住Ctrl, 滑动鼠标滚轴, 调节合适的观看比例, 关闭Word文档返回原板块。 考点17 正弦定理和余弦定理 一、选择题 1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sin A-b sin B=4c sin C,cos A=-1 4,则b b = () A.6 B.5 C.4 D.3 【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用. 【解题指南】利用余弦定理推论得出a,b,c的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果. 【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-1 4=cos A=b2+b2-b2 2bb ,所以b2-4b2 2bb =-1 4 ,所以3b 2b =1 4 ,所以 b b =3 2 ×4=6,故选A. 二、填空题 2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π 3 ,则△ABC的面积为. 【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用. 【解析】因为cos B=b2+b2-b2 2bb , 又因为b=6,a=2c,B=π 3 ,可得c2=12, 1

解得c=2√3,a=4√3, 则△ABC的面积S=1 2×4√3×2√3×√3 2 =6√3. 答案:6√3 3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin A+a cos B=0,则B=. 【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用. 【解析】已知b sin A+a cos B=0,由正弦定理可得sin B sin A+sin A cos B=0,即sin B=-cos B, 又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=√2 2,cos B=-√2 2 ,故B=3π 4 . 答案:3π 4 4.(2019·浙江高考·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD= . 【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想. 【解析】在△ABD中,由正弦定理有:bb sin∠bbb =bb sin∠bbb , 而AB=4,∠ADB=3π 4 ,AC=√bb2+bb2=5, sin∠BAC=bb bb =3 5 ,cos∠BAC=bb bb =4 5 ,所以BD=12√2 5 . cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC) =cosπ 4cos∠BAC+sinπ 4 sin∠BAC=7√2 10 . 2

圆心角和垂径定理练习题含答案

2017年01月07日圆心角，垂径定理 一．选择题（共50小题） 1．如图，⊙O的直径BD=4，∠A=60°，则BC的长度为（） A．B．2 C．2D．4 2．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（） A．30°B．40°C．50°D．60° 3．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（） A．2 B．4 C．D．2 4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦AC的长为3，sinB=，则⊙O的半径为（） A．4 B．3 C．2 D． 5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠AOB=100°，则∠ACB的度数为（） A．100°B．130°C．150°D．160° 6．如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB=100°，则∠ACB的度数是（） A．40°B．50°C．60°D．80° 7．如图，已知点A，B，C在⊙O上，且∠BAC=25°，则∠OCB的度数是（） A．70°B．65°C．55°D．50° 8．如图，AB是⊙O直径，∠AOC=140°，则∠D为（） A．40°B．30°C．20°D．70° 9．如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的正弦值是（） A．B．C．D． 10．如图，在⊙O中，弦AC与半径OB平行，若∠BOC=50°，则∠B的大小为（） A．25°B．30°C．50°D．60° 11．如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠AOC=130°，则∠D等于（） A．20°B．25°C．35°D．50° 12．如图，⊙O中，劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°，点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（） A．60°B．120°C．135°D．150°

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案教学内容

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案 一、选择题 1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3， cos C ＝－ 41，则c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150° 3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝ 150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形 4．在△ABC 中，已知3 2sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)5 12 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝ 1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3 二、填空题 6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝ 45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________.

8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2cos B cos C＝1－cos A，则△ABC形状是________三角形. 9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B ＝60°，则c＝________. 10．在△ABC中，若tan A＝2，B＝45°，BC＝5，则AC＝________. 三、解答题 11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c， 若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC. 12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13. (1)求角B的大小； (2)若D是BC的中点，求中线AD的长. 13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.

正弦余弦历年高考题及详细答案

正 余 弦 定 理 1．在 ABC ?中，A B >是sin sin A B >的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是 （ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、 已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23 C π ∠=，则a= 。 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =， sin cos 2B B +=，则角A 的大小为 ． 6、在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数 （2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值 7、 在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45? 求A 、C 及c . A B 3 23 π

1、解：在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>，因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??= ，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- cos cos sin sin 1A B A B +=，cos()1A B -=又因为A B ππ-<-<所以0A B -=， 所以ABC ?一定是等腰三角形选C 3、【命题立意】本题考察正弦定理在解三角形中的应用. 【思路点拨】由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sin .C 【规范解答】由A+C=2B 及180A B C ++=得60B =，由正弦定理得 1sin 60 A =得1 sin 2 A = ，由a b <知60A B <=，所以30A =，180C A B =-- 90=，所以sin sin 90 1.C == 4、【命题立意】本题考查解三角形中的余弦定理。 【思路点拨】对C ∠利用余弦定理，通过解方程可解出a 。 【规范解答】由余弦定理得，222121cos 33 a a π +-???=，即220a a +-=，解得1a =或2-（舍）。【答案】1 【方法技巧】已知两边及一角求另一边时，用余弦定理比较好。 5、【命题立意】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生的推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】先根据sin cos B B +=B ，再利用正弦定理求出sin A ，最后求出A. 【规范解答】由sin cos B B += 12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为0

(完整word版)正弦定理与余弦定理练习题

正弦定理与余弦定理 1．已知△ABC 中，a=4，ο 30,34==A b ，则B 等于（ ） A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ） A ．75° B．60° C．45° D．30° 3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 32π D ．6 5π 4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若 sin sin C A =2，ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5，c=10，A=30°，则B 等于（ ） A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ?中，75 6,8,cos 96 BC AC C ===，则ABC ?的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形 7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（ ） A ． 2π B ．3π C ．4π D ．6 π 8．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＜sin 2 C ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（ ） A. 14 B.23 C.23- D.14 - 10．在ABC ?中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos 2 =，则△ABC 为（ ）三角形． A ．正 B ．直角 C ．等腰直角 D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4 ，则B 等于（ ） A ．B=45°或135° B ．B=135° C ．B=45° D ．以上答案都不对 13．在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += 且a b >,则B ∠=（ ）

正余弦定理高考真题.doc

高一（下）数学（必修五）第一章 解三角形 正弦定理、余弦定理高考真题 1、（06湖北卷）若ABC ?的内角A 满足2 sin 23 A =，则sin cos A A += A. 15 3 B ．153- C ．53 D ．53- 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又25(sin cos )1sin 23 A A A +=+=，故选A 2、（06安徽卷）如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形 D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形 解：111A B C ?的三个内角的余弦值均大于0，则111 A B C ?是锐角三角形，若222 A B C ?是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2 sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ?==-??? ==-???==-??，得21 2 121222A A B B C C πππ? =-?? ?=-??? =-?? ，那么，2222 A B C π ++=，所以222A B C ?是钝角三角形。故选D 。 3、（06辽宁卷）ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量 (,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ?+-=-?+-= ，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23 C C π = ?=，故选择答案B 。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。 4、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） Ａ． 3 2 Ｂ．3 Ｃ． 158 Ｄ． 157 解：依题意，结合图形可得15tan 215A =，故22 1522tan 15152tan 7151tan 1() 215 A A A ? = ==--，选D 5、（06全国卷I ）ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = A ．1 4 B ．34 C ． 24 D ．23 解：ABC ?中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ， 222cos 2a c b B ac +-==2222 423 44 a a a a +-=，选B. 6、06山东卷）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、 b 、 c ,A =3 π,a =3,b =1，则c =

圆的垂径定理习题及答案

圆的垂径定理习题 一. 选择题 1. 如 图1,00的直径为10,圆心0到弦AB 的距离0M 的长为3,那么弦AB 的长是（ ） 2. 如图，O 0的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的一个动点，则线段0M 长的最小值为（ ） 3. 过O 0内一点M 的最长弦为10cm 最短弦长为8cm 则0M 的长为（ ） A* 9cm E, 5cm 4. 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 0A 0B 在 0点钉在一起，并使 它们保持垂直，在测直径时，把 0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位，0F=6个单位，则圆的直 位 D. 15个单位 5. 如图，00的直径AB 垂直弦CD 于 P,且P 是半径0B 的中点，6cmCD ，则直径AB 的长是（ ） 6. 下列命题中，正确的是（ A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C .弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D .在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 7. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 A.4 B. 6 C. 7 D. 8 B. 3 C. 4 D. 5 B . 10个单位 C. 1个单 A . 2 12个单位

E & 5米B, 8米C. 7米D,出米D

8.0O 的半径为5cm 弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cn 则AB 与CD 之间的距离为( ) A . 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm 9?已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的0 0上，如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的高为 ( ) A . 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 二、填空题 1. _________________________________________________________________________ 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OCL AB 与C, 0C=3cm 则O 0的半径为 __________________________ c m 2. ____________________________________________________________________ 在直径为10cm 的圆中，弦 AB 的长为8cm,则它的弦心距为 _______________________________ cm 3. 在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 _____________________ 4. 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OC L AB 与C, 0C=3cm 则O O 的半径为 ________________ cm 5. ______________________________________________________________________________ 如图，O 0的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若/C0氐120°, 0E= 3厘米，贝U CD= ___________ 厘 6. _____________________________________________________________ 半径为6cm 的圆中，垂直平分半径 0A 的弦长为 _______________________________________________ c m 7. 过O 0内一点M 的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则0M 勺长等于 cm 8. 已知AB 是O 0的直径，弦CD L AB E 为垂足，CD=8 0E=1则AB= __________ 9. 如图，AB 为O 0的弦，O 0的半径为5, OC L AB 于点D,交O 0于点C,且CD= l ，则弦AB 的长 11. __________________________ 如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知P(4, 2)和A(2, 0), 贝卩点B 的坐标是 12. ____________________________________________________________ 如图，AB 是O 0的直径，ODL AC 于点D, BC=6cm 则0D ________________________________ cm 10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB= 16m 半径04 10m 则中间柱 CD 的高度为