高二上学期期中考试数学试卷
时量:120分钟 总分:150分
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)
1.为了了解某地区参加数学竞赛的1003名学生的成绩,计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本,则每个学生被抽到的概率为 ( ) A.
501003 B. 120 C. 150 D. 1
1003
2.在ABC ?中,“ABC ?是直角三角形”是“0AB AC =”的 ( ) A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花 费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经 检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于 加工零件的个数x 与加工时间y 这两个变量,下列
判断正确的是 ( ) A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76) C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75)
4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号1,2,,??? 960,抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,落入区间[451,750]的做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷B 的人数为 ( )
A. 7
B. 9
C. 10
D. 15
5. 下列命题错误的是 ( )
A .对于命题 p :x R ?∈,使得210x x ++<,则p ?为x R ?∈,均有2
10x x ++≥ B .“2>x ”是“2
320x x -+>”的充分不必要条件
C .若p q ∨是假命题,则q p ,均为假命题
D .命题“若2
320x x -+=则1x =”是正确的
6.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(3,0)F ,离心率等于
3
2
,则C 的方程为 ( )
A. 2214x -=
B. 22145x y -=
C. 22
125
x y -=
D. 2212x =
7. 已知平面α的一个法向量是(2,2,1)n =--,点(1,3,0)A -在α内,则(2,1,4)P -到α 的距离是 ( ) A 、
10
3
B 、8
C 、3
D 、10 8. 如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中, M 为11A C 与11B D 的交点.若1,,AB AD AA ===a b c ,则下列向量中与
BM 相等的向量是 ( )
A. 1122-++a b c
B. 1122++a b c C .1122--+a b c D. 1122
-+a b c
9. 已知点(2,0)A ,抛物线2
:4C x y =的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点
N ,则||:||FM MN 等于 ( )
A. 251:2 C. 51:3
10. 已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A B 、 两点,若AB 的
中点坐标为11-(,),则E 的方程为 ( )
A. 2214536x y +=
B. 2213627x y +=
C. 2212718x y +=
D. 22
1189
x y +=
11. 一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可以从0~9中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱
时,忘记了密码最后一位数字,如果他记得密码的最后一位是偶数,则他不超过2次就按对的概率是 ( ) A.
45 B. 35 C. 25 D. 15
12. 过抛物线)0(22
>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P ,作两条直线分别交抛物线于
),(11y x A ),(22y x B .当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,
2
1y y y +的值为 ( ) A.2
1
- B.2- C.2 D.无法确定
二.填空题( 本大题共4小题,每小题5分,共20分. 将答案填入答卷指定位置.) 13. 如图是从参加数学知识竞赛的学生中抽出60名,将其
成绩整理后画出的频率分布直方图,则这些同学成绩 的众数是 .
14. 在长为5cm 的绳子上剪一刀,两段长度都不小于1
的概率为 .
15.如图所示,二面角l αβ--为60?, A B ,是棱l 上的点,
AC BD ,分别在半平面αβ,内, AC l BD l ⊥⊥,, 且 2AB AC a BD a ===,,则CD 的长为 .
16. 已知线段AB 为双曲线22
22:1x y C a b
-=的实轴,点D 在双曲线上,且34DBA π∠=,若4,AB =42BD =则双曲线C 的离心率是 .
三.解答题(本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分10分)已知命题:,p x R ?∈使得2
20x x m -+<,命题:q 方程22112x y
m m
+=+-表示双曲线.
(Ⅰ)写出命题p 的否定形式;
(Ⅱ)若命题p 为假,命题q 为真,求实数m 的取值范围.
18.(本小题满分12分)如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧
棱1A A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等,,,D E F 分别为 棱11,,AB BC AC 的中点. (1)证明//EF 平面1A CD ;
(2)求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值.
频率组距
F
E
C 1
B 1
A C
B
19.(本小题满分12分)某产品的三个质量指标分别为,,x y z ,用综合指标S x y z =++
评价该产品的等级.若4S ≤,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:
(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品, ①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B 为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S 都等于4”,求事件B 发生的概率.
20.(本小题满分12分)已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>经过点,离心率为12,
左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -.
(1) 求椭圆的方程;
(2)若直线1
:2
l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点,与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点,且满足
||||AB CD =
,求直线l 的方程.
21.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形,
//AB CD ,对角线AC 与BD 交于点O ,3,1,OA OD CD == SO ⊥底面ABCD .
(Ⅰ)求证:SA BD ⊥;
(Ⅱ)若四棱锥S ABCD -的体积8V =,
求二面角A SB C --的平面角的正弦值.
O
S
D
C
B
A
22.(本小题满分12分)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,A 为抛物线C 上异于原点的任意一
点,过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时,ADF ?为正三角形. (1)求抛物线C 的方程;
(2)若直线1//l l ,且1l 和抛物线C 有且只有一个公共点E , (i )证明:直线AE 过定点,并求出定点坐标;
(ii )ABE ?的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.
数学试卷答案
时量:120分钟 总分:150分 命题人:
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)
1. 为了了解某地区参加数学竞赛的1003名学生的成绩,计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本,则每个学生被抽到的概率为 ( A ) A. 501003 B. 120 C. 150 D. 1
1003
2.在ABC ?中, “ABC ?是直角三角形”是“0AB AC =”的 ( B ) A .充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加工零件的个数x 与加工时
间y 这两个变量,下列判断正确的是 ( B ) A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76) C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75)
4. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,???960,抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的 人做问卷A ,落入区间[451,750]的做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷B 的人数为 ( C )
A. 7
B. 9
C. 10
D. 15
5. 下列命题错误的是 ( D )
A .对于命题 p :x R ?∈,使得210x x ++<,则p ?为x R ?∈,均有2
10x x ++≥ B .“2>x ”是“2
320x x -+>”的充分不必要条件
C .若p q ∨是假命题,则q p ,均为假命题
D .命题“若2
320x x -+=则1x =”是正确的
6.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(3,0)F ,离心率等于
3
2
,则C 的方程( B )
A. 2214x -=
B. 22145x y -=
C. 22
125
x y -=
D. 2212x =
7. 已知平面α的一个法向量是(2,2,1)n =--,点(1,3,0)A -在α内,则(2,1,4)P -到α的距离是 ( A ) A 、
10
3
C 、3 B 、8 A 、10 8. 如图所示,在平行六面体1111ABC
D A B C D -中, M 为
11A C 与11B D 的交点.若1,,AB AD AA ===a b c ,则下列向
量中与BM 相等的向量是 ( A )
A. 1122-++a b c
B. 1122++a b c C .1122--+a b c D. 1122
-+a b c
9. 已知点(2,0)A ,抛物线2
:4C x y =的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点
N ,则||:||FM MN 等于 ( C )
A. 2:51:2 C. 51:3
10. 已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A B 、两点,若AB 的中
点坐标为11-(,),则E 的方程为 ( D )
A. 2214536x y +=
B. 2213627x y +=
C. 2212718x y +=
D. 22
1189
x y +=
11. 一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可以从0~9中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱
时,忘记了密码最后一位数字,如果他记得密码的最后一位是偶数,则他不超过2次就按对的概率是 ( C ) A. 45 B. 35 C. 25 D. 15
12. 过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P ,作两条直线分别交抛物 线于),(11y x A ),(22y x B .当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补
时,则
2
1y y y +的值为
( B )
A.2
1
-
B.2-
C.2
D.无法确定 二.填空题( 本大题共4小题,每小题5分,共20分. 将答案填入答卷指定位置.)
13. 如图是从参加低碳生活知识竞赛的学生中抽出60名,将其成绩整理后画出的频率分布直方图,则这些同学成绩的众数是75 .
14.在长为5cm 的绳子上剪一刀,两段长度都不小于1的概率为 0.6 .
15.如图所示,二面角l αβ--为60?, A B ,是棱l 上的点, AC BD ,分别
在半平面αβ,内, AC l BD l ⊥⊥,, 且
2AB AC a BD a ===,,则CD 的长为 2a .
16. 已知线段AB 为双曲线22
22:1x y C a b
-=的实轴,点D 在双曲线上,且34DBA π∠=,若4,AB =42BD =则双曲线C 的离心率是 6
2
.
三.解答题(本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分10分)已知命题:,p x R ?∈使得2
20x x m -+<,命题:q 方程22112x y
m m
+=+-表示双曲线.
(Ⅰ)写出命题p 的否定形式;
(Ⅱ)若命题p 为假,命题q 为真,求实数m 的取值范围. 【解】(Ⅰ)命题p 的否定形式:
:p x R ??∈,都有220x x m -+≥.………………………………………………………5分
(Ⅱ)由p 为假,即p ?为真,所以440m ?=-≤,即1m ≥; 又命题q 为真,则有(1)(2)0m m +-<,即1m <-或2m >;
所以p 假、q 真时,2m >,即求.………………………………………………………10分
频率组距
18.(本小题满分12分)如图,三棱柱111
ABC A B C -中,侧棱1A A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等,,,D E F 分别为棱
11,,AB BC AC 的中点.
(1)证明//EF 平面1A CD ;
(2)求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值.
解析:(1)连接ED ,易知1//A F ED 且1A F ED =,所以1A FED 是平行四边形,所以1//FE A D ,又FE 在平面1A CD 外,所以//EF 平面1A CD ; …………………6分 (2
)5
…………………12分
19.(本小题满分12分)某产品的三个质量指标分别为,,x y z ,用综合指标S x y z =++评价该产品的等级.若4S ≤,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:
在该样本的一等品中,随机抽取2件产品, ①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B 为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S 都等于4”,求事件B 发生的概率. 解析:(1)123454,4,6,3,4,S S S S S =====6789105,4,5,3,5S S S S S =====
0.6p = …………………………5分
(2)①该样本中一等品中,随机抽取2件产品的所以可能结果为1214{,},{,},A A A A
1517192425272945{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A A A 47{,},A A 49575979{,},{,},{,},{,}.A A A A A A A A …………………………8分
②这批样品中综合指标为4有1257,,,A A A A ,则事件B 发生的可能结果为
12{,},A A 1517252757{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A 共6种,62
()155
P B =
= ……………12分 B 1
F
C 1
A 1
C E
B
D
A
20.(本小题满分12分)已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>
经过点,离心率为12,左、右焦点分别为
12(,0),(,0)F c F c -. (1) 求椭圆的方程;
(2)若直线1
:2
l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点,与以12F F 为直径的圆交于,C D
两点,且满足
||||4
AB CD =
,求直线l 的方程. 解答:(1
)根据题意,b =
……………………1分
又离心率12
e ==,所以2a =…………………………………………………3分
所以椭圆的方程为22
143
x y += ……………………………………………………5分
(2)设1122(,),(,)A x y B x y ,联立直线l 与椭圆的方程可得2230x mx m -+-=,
21212,3x x m x x m +==- ………………………………………6分
因此12|||AB x x =-=
………………………………7分
根据垂径定理,可得,||CD ==8分
由已知||||AB CD =
4=…………………………………10分
解得m =l
的方程为12y x =-±………………………………12分
21.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形,
//AB CD ,对角线AC 与BD 交于点O
,3,1,OA OD CD === SO ⊥底面ABCD .
(Ⅰ)求证:SA BD ⊥;
(Ⅱ)若四棱锥S ABCD -的体积8V =,求二面角A SB C --的平面角的正弦值.
【解】(Ⅰ)证明 在等腰梯形ABCD 中,知1OD OC ==,
又CD =所以222OD OC CD +=,故90DOC ∠=, 即BD AC ⊥,又SO ⊥底面ABCD ,得BD SO ⊥, 且SO
AC O =,所以BD ⊥面SAC ,即BD SA ⊥.………………………………………5分
(Ⅱ)由11
44822
ABCD S AC BD =
?=??=梯形, 于是183
ABCD V S SO ==??梯形,得3SO =.
法一 由,,OS OA OB 两两垂直,故以O 为原点, 分别以,,OA OB OS 为,,x y z 轴建系如图;
则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(1,0,0),O A B C S -, (3,0,3),(0,3,3),(1,0,3)SA SB SC =-=-=--, 设平面ASB 的法向量为1(,,)x y z =n ,则由
11
0,0SA SB ??=???=??n n 得330,330x z y z -=??-=?,令1z =,得1x y ==,即1(1,1,1)=n
同理可得平面SBC 的一个法向量为2(3,1,1)=-n ,设二面角A SB C --的平面角为θ,
则12|cos ||cos ,|θ=<>=
=n n ,
故
sin θ==分
法二 过点O 作OH SB ⊥于点H ,连接,AH CH ,则 由,,AC BD AC SO SO
BD O ⊥⊥=知AC ⊥面SBD ,
所以,BD AH BD CH ⊥⊥(三垂线定理) 所以AHC ∠为二面角A SB C --的平面角.
由等面积知2
OS OB OH SB ?==
,
故AH ==
CH ==
由余弦定理有222cos 2AH CH AC AHC AH CH +-∠=?,
即sin AHC ∠即求.
22.(本小题满分12分)已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ,A 为抛物线C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时,ADF ?为正三角形. (1)求抛物线C 的方程;
(2)若直线1//l l ,且1l 和抛物线C 有且只有一个公共点E , (i )证明:直线AE 过定点,并求出定点坐标;
(ii )ABE ?的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由. 解析::(1)由题意知(
,0)2
p
F 当点A 的横坐标为3
时,不妨设设A ,则A
点的纵坐标为)2p - (2)
)2p =-,
2p = (18p =舍去) 所以抛物线C 的方程为
24y x = …………………4分
(2)①证明:由(1)知(1,0)F .
设()0000()(0)(0)0D D A x y x y D x x ≠>,,,
因为FA FD =,则0|1|1D x x =-+, 由0D x >得02D x x =+,故0(20)D x +,
. 故直线AB 的斜率0
2
AB y k =-
…………5分 因为直线1l 和直线AB 平行,
设直线1l 的方程为0
2
y y x b =-
+, 代入抛物线方程得2
00
880b
y y y y +
-=, 由题意20064320b y y ?=
+=,得0
2
b y =- ………………6分 设()E E E x y ,,则04E y y =-
,20
4
E x y =. 当2
04y ≠时,0
00022
000204
4444
E AE
E y y y y y k y x x y y +-===---, 可得直线AE 的方程为0
002
04()4
y y y x x y -=
--, ………………7分 由2
004y x =,
整理可得0
2
04(1)4
y y x y =
--, 直线AE 恒过点F (1,0).
当2
04y =时,直线AE 的方程为1x =,过点(1,0)F .
所以直线AE 过定点(1,0)F ………………8分 ②由①知,直线AE 过焦点(1,0)F , 所以0000
11
(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++. 设直线AE 的方程为1x my =+, 因为点00(,)A x y )在直线AE 上, 故00
1
x m y -=. ………………9分
设11(,)B x y .
直线AB 的方程为0
00()2
y y y x x -=-
-,由00y ≠,得0022x y x y =-++ 代入抛物线方程得2
00
8
840y y x y +
--=,
所以010
8y y y +=-
, 可求得100
8y y y =--,1
004
4x x x =++. ………………10分
所以点B 到直线AE 的距离为
0048
|4()1|x m y d ++++-=
=
=
则ABE ?
的面积0
011
2162S x x =?++≥ 当且仅当00
1
x x =,即01x =时,等号成立. 所以ABE ?的面积的最小值为16. ……………12分