人教版初中数学二次函数知识点
人教版初中数学二次函数知识点
一、选择题
1．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则abc <0，则①正确；
根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误；
根据函数对称轴可得：-
2b a
=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；
根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.
点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.
2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ）
A ．①④
B ．②④
C ．②③
D ．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】 ①抛物线与x 轴由两个交点，则240b ac ->，即24b ac >，所以①正确；②由二次函数图象可知，0a <，0b <，0c >，所以0abc >，故②错误；
③对称轴：直线12b x a
=-=-，2b a =，所以24a b c a c +-=-，240a b c a c +-=-<，故③错误；
④对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，则抛物线与x 轴另一个交点201x <<，当1x =时，0y a b c =++<，故④正确．
【详解】
解：①∵抛物线与x 轴由两个交点，
∴240b ac ->，
即24b ac >，
所以①正确；
②由二次函数图象可知，
0a <，0b <，0c >，
∴0abc >，
故②错误；
③∵对称轴：直线12b x a
=-
=-， ∴2b a =，
∴24a b c a c +-=-，
∵0a <，40a <， 0c >，0a <，
∴240a b c a c +-=-<，
故③错误；
④∵对称轴为直线1x =-，抛物线与x 轴一个交点132x -<<-，
∴抛物线与x 轴另一个交点201x <<，
当1x =时，0y a b c =++<，
故④正确．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
3．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜x ＜1
B ．﹣3＜x ＜﹣1
C ．x ＜1
D ．﹣3＜x ＜1
【答案】D
【解析】
【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.
【详解】
解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，
∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），
∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．
所以答案为：D ．
【点睛】
此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.
4．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ?的面积为2
cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项．
【详解】
解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，
AB 2=42+（6-3）2，
解得，AB=5cm ．
下面分三种情况讨论:
当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==g
g g ,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =
?=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2
??=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()21 1226,2
y t t t t =?-=-+y 是t 的二次函数
故符合y 与t 的函数图象是B ．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.
5．将抛物线243y x x =
-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线（ ）
A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位
C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位
D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
先把抛物线243y x x =
-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】
∵抛物线243y x x =-+可化为()221y x =--
∴其顶点坐标为：(2,?1)，
∴若使其平移后的顶点为(?2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C.
【点睛】
本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.
6．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF 可得S=﹣t 2+4t ，配成顶点式得S=﹣（t ﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t ）2=（t ﹣8）2，此时抛物线开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．
解：当0≤t≤4时，S=S 正方形ABCD ﹣S △ADF ﹣S △ABE ﹣S △CEF
=4?4﹣?4?（4﹣t ）﹣?4?（4﹣t ）﹣?t?t
=﹣t 2+4t
=﹣（t ﹣4）2+8；
当4＜t≤8时，S=?（8﹣t ）2=（t ﹣8）2．
故选D ．
考点：动点问题的函数图象．
7．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b
+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝222ax bx +，
且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）
A ．①②③
B ．②④
C ．②⑤
D ．②③⑤
【答案】D
【解析】
【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后
根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断
【详解】
解：抛物线的开口向下，则a ＜0；
抛物线的对称轴为x=1，则-2b a
=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；
由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值
∴+a b ＞2am bm +（故③正确）
：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误）
由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）
⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-
x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0
∵1x ≠2x
∴a(x 1+x 2)+b=0
∴x 1+x 2=2b a a a
-
=-=2 （故⑤正确） 故选D ．
考点：二次函数图像与系数的关系.
8．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a +2b +c ＜0；（2）方程ax 2+bx +c ＝0两根都大于零；（3）y 随x 的增大而增大；（4）一次函数y ＝x +bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】 由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x 轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，对称轴x=﹣
＝1，故b ＜0，bc ＜0，即可判断一次函数y ＝x +bc 的图象.
【详解】
①由x ＝2时，y ＝4a +2b +c ，由图象知：y ＝4a +2b +c ＜0，故正确；
②方程ax 2+bx +c ＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确；
③当x ＜2时，由图象知：y 随x 的增大而减小，故错误；
④由图象开口向上，a ＞0，与y 轴交于正半轴，c ＞0，x=﹣＝1＞0，∴b ＜0， ∴bc ＜0，∴一次函数y ＝x +bc 的图象一定过第一、三、四象限，故正确；
故正确的共有3个，
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.
9．如图，抛物线2y ax bx c =++ 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc ＞0；②3a +b ＜
0；③﹣43
≤a ≤﹣1；④a +b ≥am 2+bm （m 为任意实数）；⑤一元二次方程2ax bx c n ++= 有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】B
【解析】 解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标（1，n ），∴对称轴为直线x =1，∴2b a - =1，∴b =﹣2a ＞0，∵与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c ≤4，∴abc ＜0，故①错误；
3a +b =3a +（﹣2a ）=a ＜0，故②正确；
∵与x 轴交于点A （﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，∴a ﹣（﹣2a ）+c =0，∴c =﹣3a ，∴3≤﹣3a ≤4，∴﹣43
≤a ≤﹣1，故③正确； ∵顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，函数有最大值n ，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确；
一元二次方程2ax bx c n ++=有两个相等的实数根x 1=x 2=1，故⑤错误．
综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B ．
点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a 、b 的关系．
10．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（ ） A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．
【详解】
∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，
∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），
∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，
∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，
故选：D ．
【点睛】
此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ）
A ．13x =-，21x =-
B ．11x =，23x =
C ．11x =-，23x =
D ．13x =-，21x =
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
∵二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有
一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ．
考点：抛物线与x 轴的交点．
12．抛物线y=–x 2+bx+c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表所示：
从上表可知，下列说法错误的是
A ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为(–2，0)
B ．抛物线与y 轴的交点坐标为(0，6)
C ．抛物线的对称轴是直线x=0
D ．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：当x=-2时，y=0，
∴抛物线过（-2，0），
∴抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-2，0），故A 正确；
当x=0时，y=6，
∴抛物线与y 轴的交点坐标为（0，6），故B 正确；
当x=0和x=1时，y=6，
∴对称轴为x=12，故C 错误； 当x ＜12
时，y 随x 的增大而增大， ∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D 正确；
故选C ．
13．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．t ＞﹣5
B ．﹣5＜t ＜3
C ．3＜t≤4
D ．﹣5＜t≤4
【答案】D
【解析】
【分析】 先根据对称轴x=2求得m 的值，然后求得x=1和x=5时y 的值，最后根据图形的特点，得出直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4．
【详解】
∵抛物线的对称轴为x ＝2，
∴22
m -=-，m=4 如图，关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0的解就是抛物线y=﹣x 2+mx 与直线y=t 的交点
的横坐标
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=﹣5，
由图象可知关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解， 则直线y=t 在直线y=﹣5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴﹣5＜t≤4．
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，方程有解，反映在图象上即图象与x 轴(或某直线)有交点．
14．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
试题解析：A 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，对称轴x=﹣2b a
＜0，应在y 轴的左侧，故不合题意，图形错误． B 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＜0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＜0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，
图象开口向下，对称轴x=﹣2b a
位于y 轴的右侧，故符合题意， D 、对于直线y=bx+a 来说，由图象可以判断，a ＞0，b ＞0；而对于抛物线y=ax 2+bx 来说，图象开口向下，a ＜0，故不合题意，图形错误．
故选C ．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象．
15．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ）
A ．①③④
B ．①②3④
C ．①②③
D ．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】
解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0，
由对称轴可知：2b a -
＞0， ∴b ＞0，
∴abc ＜0，故①正确；
②由对称轴可知：2b a
-
＝1， ∴b ＝﹣2a ，
∵抛物线过点（3，0），
∴0＝9a+3b+c ，
∴9a ﹣6a+c ＝0，
∴3a+c ＝0，故②正确；
③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ，
当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ，
即ax 2+bx≤a+b ，故③正确；
④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）：
∴y1＝y2，故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
16．已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B离对称轴最近，A次之，C最远，则对应y的值大小可确定.
【详解】
∵抛物线y=x2+2x，
∴x=-1，
而A（-5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），
∴B离对称轴最近，A次之，C最远，
∴y2＜y1＜y3．
故选:C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
17．如图1，△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A→C→B运动，点Q从点A出发以vcm/s的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函
数图象由C1，C2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v＝1；②sin B＝1
3
；③图象C2
段的函数表达式为y＝﹣1
3
x2+
10
3
x；④△APQ面积的最大值为8，其中正确有（）
A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】A 【解析】【分析】
①根据题意列出y＝1
2
AP?AQ?sin A，即可解答
②根据图像可知PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，再代入即可
③把sin B＝1
3
，代入解析式即可
④根据题意可知当x＝﹣
5
22
b
a
=时，y最大＝
25
12
【详解】
①当点P在AC上运动时，y＝1
2
AP?AQ?sin A＝
1
2
×2x?vx＝vx2，
当x＝1，y＝1
2
时，得v＝1，
故此选项正确；
②由图象可知，PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，
当P在BC上时y＝1
2
?x?（10﹣2x）?sin B，
当x＝4，y＝4
3
时，代入解得sin B＝
1
3
，
故此选项正确；
③∵sin B＝1
3
，
∴当P在BC上时y＝1
2
?x（10﹣2x）×
1
3
＝﹣
1
3
x2+
5
3
x，
∴图象C2段的函数表达式为y＝﹣1
3
x2+
5
3
x，
故此选项不正确；
④∵y＝﹣1
3
x2+
5
3
x，
∴当x＝﹣
5
22
b
a
=时，y最大＝
25
12
，
故此选项不正确；
故选A．
【点睛】
此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解
18．下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y＝2
ax+（a+c）x+c与一次函数y＝
ax+c 的大致图象．正确的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，可以判断哪个选项符合要求，从而得到结论．
【详解】
令ax 2+（a+c ）x+c=ax+c ，
解得，x 1=0，x 2=-c a
， ∴二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 与一次函数y=ax+c 的交点为（0，c ），（?
c a ，0）， 选项A 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＞0，c ＜0，而一次函数y=ax+c 中a ＜0，c ＞0，故选项A 不符题意，
选项B 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＞0，c ＜0，而一次函数y=ax+c 中a ＞0，c ＜0，两个函数的交点不符合求得的交点的特点，故选项B 不符题意，
选项C 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＜0，c ＞0，而一次函数y=ax+c 中a ＜0，c ＞0，交点符合求得的交点的情况，故选项D 符合题意，
选项D 中二次函数y=ax 2+（a+c ）x+c 中a ＜0，c ＞0，而一次函数y=ax+c 中a ＞0，c ＜0，故选项C 不符题意，
故选：D ．
【点睛】
考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．平移抛物线2:L y x =得到抛物线L '，使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L '上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线L '的是（ ）
A ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C ．向左平移32个单位，再向下平移92个单位
D ．向左平移3个单位，再向下平移9个单位
【答案】D
【解析】
【分析】
通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式，再判断原点是否在该抛物线上即可．
【详解】
解：由A 选项可得L '为：2(1)2y x =--，
则顶点为（1，-2），顶点（1，-2）关于原点的对称点为（-1，2），
当x ＝-1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故A 选项不符合题意；
由B 选项可得L '为：2(1)2y x =+-，
则顶点为（-1，-2），顶点（-1，-2）关于原点的对称点为（1，2），
当x ＝1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故B 选项不符合题意；
由C 选项可得L '为：239()22y x =+-
， 则顶点为（-
32，-92），顶点（-32，-92）关于原点的对称点为（32，92）， 当x ＝32时，y ＝92
，则对称点在该函数图像上，故C 选项不符合题意； 由D 选项可得L '为：2(3)9y x =+-，
则顶点为（-3，-9），顶点（-3，-9）关于原点的对称点为（3，9），
当x ＝3时，y ＝27≠9，则对称点不在该函数图像上，故D 选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．
20．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断．
【详解】
解：Q 抛物线开口向下，
0a ∴<，
Q 对称轴12b x a
=-=， 0b ∴>，
Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，
0c ∴>，
0abc ∴<，故①错误；
Q 抛物线与x 轴有两个交点，
240b ac ∴->，故②正确；
Q 对称轴12b x a
=-
=， 2a b ∴=-， 20a b ∴+=，故③正确；
根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．
总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
初中数学二次函数应用方法
初中数学二次函数应用方法 初中数学二次函数应用学习方法 学生是学习的主体，老师是学习的主导。教师要因人而异，因材施教，方能取得较好的课堂效果。 二次函数应用 在期末复习期间，我们在区教研室和学校领导的指导下，通过“初备一一交流一一复备一一再交流”，完成了《二次函数应用》的复习。通过本次活动，使我受益匪浅。 一、集体智慧胜于个人智慧。备课期间大家各显神通，献计献 尺0 束。 二、备学生要胜于备教材。 三、化难为易，化繁为简。教师在课堂上应该起到把握重点，分解难点的作用。 四、勤于思考，善于总结。在大量的习题中，在众多的方法下, 指导学生梳理知识，归纳题型，提炼方法，总结规律。以提高学生的分析问题解决问题的能力。 温馨建议：备课时将问题设置成问题串，为学生搭建解决问题的台阶。 初中数学解题方法之常用的公式 下面是对数学常用的公式的讲解，同学们认真学习哦。 对于常用的公式 如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，女口11?25 的平
方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反 应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。 总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。 初中数学解题方法之学会画图数学的解题中对于学会画图是有必要的，希望同学们很好的学会画图。 学会画图 画图是一个翻译的过程。读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。所以，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。 画图时应注意尽量画得准确。画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧 途。 初中数学解题方法之审题对于一道具体的习题，解题时最重要的环节 是审题。 审题
初三数学二次函数知识点总结
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．
初中数学二次函数综合题及答案
二次函数题 选择题： １、y=(m-2)x m2- m 是关于ｘ的二次函数，则m=( ) A -1 B 2 Ｃ －１或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y ＝ax ２ ＋b ｘ+c （a ≠0)模型的是( ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 Ｂ 我国人中自然增长率为１％，这样我国总人口数随年份变化的关系 Ｃ 矩形周长一定时,矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是( ) A y=—( x-2）2+2 B y=—( x+2)２+2 C ｙ＝— （ ｘ＋2）2+2 D y=—( x-2)2—2 ５、抛物线y= 2 1 x 2-６x+2４的顶点坐标是( ) A （—6,—6) B (—６,6） C (6,6) D （6,—6) 6、已知函数ｙ＝a ｘ２ +bx+ｃ,图象如图所示，则下列结论中正确的有( )个 ①abc 〈0 ②a ＋c 〈b ③ a+b+ｃ 〉0 ④ ２ｃ〈3ｂ A １ B 2 Ｃ ３ Ｄ ４ 7、函数ｙ=ａx ２ -bx+c(a ≠0)的图象过点(-１,0）,则 c b a + ＝ c a b + =b a c + 的值是（ ) A -1 B 1 C 21 D －2 1 8、已知一次函数ｙ= ax+ｃ与二次函数y=ａx 2+bx+ｃ（a ≠0)，它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） Ａ Ｂ C D 二填空题: 13、无论m 为任何实数,总在抛物线y=x 2+2ｍx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y ＝a ｘ2＋b ｘ＋c （ａ≠０）的对称轴为直线x ＝2,最小值为-2，则关于方程ax ２ ＋bx+ｃ=－２的根为——————————— —。 １7、抛物线y=（k ＋１)x 2+k 2-9开口向下，且经过原点,则k=————————— 解答题：(二次函数与三角形) 1、已知:二次函数ｙ＝x 2 ＋ｂx+c ，其图象对称轴为直线x ＝1，且经过点（2，﹣ )． （1）求此二次函数的解析式. （2)设该图象与ｘ轴交于Ｂ、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△ＥBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y
二次函数知识点总结及典型题目
二次函数知识点总结及典型题目 一.定义： 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c ）点. 二.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0 九年级数学专题二次函数的应用题 一、解答题 1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 2.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．（1）试求y与x之间的关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式； 米，）2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01 （ 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件）某商场以每件42，4. 件）可看成是一次函数关系：/（元与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售与每件的销售价写出商场卖这种服装每天的销售利润1. 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路 线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 6.某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时 每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有 如下关系： 转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100 价格（元/套）240250260270 280290 300310 320330 340 350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问： ①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？ 二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D （6，—6） 6、已知函数y=ax 2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个 ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） A B C D 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 1 —1 0 x y y x -1 x y y x y x y 一、教学目标 1． 使学生会用描点法画出二次函数k h x a y +-=2 )(的图像； 2． 使学生知道抛物线k h x a y +-=2 )(的对称轴与顶点坐标； 3．通过本节的学习，继续培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力； 4．通过本节的教学，继续向学生进行数形结合的数学思想方法的教育，同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想； 5．通过本节课的研究，充分理解并认识到二次函数图像可运动变化的和谐美，通过数学思维的审美活动，提高对数学美的追求。 二、教学重点 会画形如k h x a y +-=2 )(的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。 三、教学难点：确定形如 k h x a y +-=2 )(的二次函数的顶点坐标和对称轴。 4．解决办法： 四、教具准备 三角板或投影片 1．教师出示投影片，复习2 2 2 )(,,h x a y k ax y ax y -=+==。 2．请学生动手画1)1(2 1 2-+- =x y 的图像，正好复习图像的画法，完成表格。 3．小结k h x a y +-=2 )(的性质??? ?? ??平移顶点坐标对称轴开口方向 4．练习 五、教学过程 提问：1．前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图像？ 答：形如2 2 2 )(,h x a y k ax y ax y -=+==和。（板书） 2．这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关问题，你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗？ 由学生参考上面给出的三个类型，较容易得到：讨论形如k h x a y +-=2 )(的二次函数的有关问题．（板书） 一、复习引入 首先，我们先来复习一下前面学习的一些有关知识．（出示幻灯） 请你在同一直角坐标系内，画出函数222)1(2 1 ,121,21+-=--=-=x y x y x y 的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标． 这里之所以加上画函数2)1(2 1 +- =x y 的图像， 是为了使最后通过图像的观察能更全面一些，也更直观一些，可以同时给出图像先沿y 轴，再沿x 轴移动的方式，也可以给出图像 先沿x 轴再沿y 轴移动的方式，使这部分知识能更全面，知识与知识之间的联系能更清晰、 更具体． 画这三个函数图像，可由学生在同一表中列值，但是要根据各自的不同特点取自变量x 的值，以便于学生进行观察．教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板，由一名同 学上黑板完成，其他同学在练习本上完成，待同学们基本做完之后加以总结，然后再找三名 同学，分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标，填入事先准备好的表格中． 然后提问：你能否在这个直角坐标系中，再画出函数1)1(2 1 2-+- =x y 的图像？ 由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像，学生对画图已经有了一定的经验， 同时可在画这个图时，把这些经验形成规律，便于学生以后应用． （l ）关于列表：主要是合理选值与简化运算的把握，是教学要点．在选值时，首先要考虑的是函数图像的对称性，因此首先要确定中心值，然后再左，右取相同间隔的值；其次，选值时尽量选取整数，便于计算和描点． 在选取x 的值之后，计算y 的值时，考虑到对称性，只需计算中心值一侧的值，另一侧由对称性可直接填入，但一定要保证运算正确． （2）关于描点：一般可先定顶点（即中心值对应的点，然后利用对称性描出各点，以逐步提高速度．） （3）关于连线：特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑，对称，并符合抛物线的特点． 由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值，然后画出它的图像，同样 找一名同学板演． 学生画完，教师总结完之后，让学生观察黑板上画出的四条抛物线，提问： （1）你能否指出抛物线1)1(2 1 2-+- =x y 的开口方向，对称轴，顶点坐标？ 将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表： 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0九年级数学二次函数应用题 含答案
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