赋值法解答抽象函数的赋值
赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略
函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x 2，y=x 1或y=1
x 1，且x 1 的奇偶性；④换x 为x+T ，确定抽象函数的周期；⑤用x=x 2+x 2或换x 为1 x 等来解答有关抽象函 数的其它一些问题.下面举例说明上述赋值策略. 例1定义在(﹣1,1)上的函数f(x),对任意的x ,y ∈(﹣1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y 1+xy ).求证： f(x)是奇函数. 解析：在f(x)+f(y)=f(x+y 1+xy )中，令x=y=0有f(0)+f(0)=f(0)，∴f(0)=0， 又令y=﹣x .有f(x)+f(﹣x)=f(0)=0，即f(x)+f(﹣x)=0，∴f(x)是奇函数. 例2已知f(x)是定义在R 上的函数，且f(x+1)=1+ f(x) 1﹣f(x) ，( f(x)≠0，1)，若f(1)=2，求f(2002) 的值. 解析：在f(x+1)=1+ f(x)1﹣f(x)中，将x 换为x+1有，f(x+2)=1+ f(x+1)1﹣f(x+1) =1+ 1+ f(x)1﹣f(x)1﹣ 1+ f(x)1﹣f(x) =﹣ 1 f(x)， 从而f(x+4)=﹣1f(x+2)=﹣ 1 ﹣1f(x) =f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数， 故f(2002)=f(4×500+2)=f(2)=1+ f(1) 1﹣f(1) =﹣3. 例3已知定义域为(0，+∞)的函数f(x)，对于任意的x>0、y>0时，恒有f(xy)=f(x)+f(y). (1)求证：当x>0时，f(1 x )=﹣f(x)；(2)若x>1时恒有f(x)<0，求证：f(x)必有反函数； 解析：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=0，又令y=1x ，得f(x)+f(1x )=f(x ·1 x )= f(1)=0， ∴当x>0时，f(1 x )=﹣f(x)； (2)设x 1>0、x 2>0且x 1 x 1 ， ∴f(x 2·1x 1)=f(x 2)+f(1x 1).由(1)得，f(1x 1)=﹣f(x 1)，∴f(x 2 x 1 )=f(x 2)﹣f(x 1) <0，∴f(x 2) ∴f(x)在(0，+∞)上单调递减，故f(x)必有反函数； 例4已知函数的定义域为R ，对任意x 、y 满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)>0.试判 断f(x)的奇偶性和单调性. 解：在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，得f(0)+f(0)=0，∴f(0)=0， 又令y=﹣x ，f(x)+f(-x)=f(x -x)=f(0)=0，即f(-x)=-f(x)，∴f(x)是奇函数， 再设x 1、x 2∈R ，且x 1 ∵x 2-x 1>0，∴f(x 2-x 1)>0，从而f(x 2)>f(x 1)，∴f(x)在(-∞.+∞)上是增函数. 例5设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x,y ∈[0,1 2],都 有f(x+y)=f(x)·f(y)，且f(1)=a>0，(1)求f(12)、f(14)；(2)证明：f(x)是周期函数；(3)记a n = f(2n+1 2n )， 求lim n →∞(lna n ). 解析：：(1)在f(x+y)=f(x)·f(y)中，将x 、y 均换为x 2，f(x 2+x 2)=f(x 2)·f(x 2)=f 2(x 2)≥0， 即f(x)=f 2(x 2)≥0，x ∈[0,1]，又x 、y 均换为12，∴f(12+12)=f(12)·f(12)=f 2(1 2)， 由已知f 2(12)=f(1)=a ，所以，f(12)=a 1 2 ，同理 f(1 4)=a 14 . (2)由于函数f(x)的图象关于直线x=1对称，∴f(1－x)=f(x+1)， ∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴f(x －1)=f(x+1)，将x 换为x+1得，f(x)=f(x+2)， ∴f(x)是以2为周期的周期函数； (3)略. 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2 x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f （x ）的定义域是［1，4］ 评析：一般地，已知函数))((x f ?的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ?中x 的取值范围为A ，据此求)(x ?的值域问题。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得 411 1)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4 11 1[， 评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ?的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知)(x ?的值域B ，且 A B ?，据此求x 的取值范围。例2和例1形式上正相反。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①5 1 )6(1)2(= =f f ，；②)()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f += 因为51)6(1)2(==f f ，，所以5 4 )3(-=f 又取3==y x 得5 8 )3()3()9(- =+=f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件 5 1 )6(1)2(= =f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠， 使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要 手段。 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1 ( )(，求f （x ）的解析 式。 解：在)1(1)1 ( )(x x x f x f +=-+中以x x 1 -代换其中x ，得： )2(1 2)11()1( x x x f x x f -=--+- 再在（1）中以1 1 -- x 代换x ，得 )3(1 2)()11(--=+-- x x x f x f )3()2()1(+-化简得：) 1(21 )(23---= x x x x x f 评析：如果把x 和 x x 1 -分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 五、单调性问题 例6. 设f （x ）定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数x 、y ，有)()()(y f x f y x f ?=+，求证：)(x f 在R 上为增函数。 证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2)]0([)0(f f = 若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾 所以0)0(≠f ，即有1)0(=f 当0>x 时，01)(>>x f ；当0 而1)0()()(==-?f x f x f 所以0) (1 )(>-= x f x f 又当0=x 时，01)0(>=f 所以对任意R x ∈，恒有0)(>x f 设+∞<<<∞-21x x ，则1)(01212>->-x x f x x ， 所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f >-=-+= 所以)(x f y =在R 上为增函数。 评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例7. 已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有)()()(2121x f x f x x f +=?，试判断函数f （x ）的奇偶性。 解：取1121=-=x x ，得：)1()1()1(f f f +-=-，所以0)1(=f 又取121-==x x 得：)1()1()1(-+-=f f f ，所以0)1(=-f 再取121-==x x x ，则)()1()(x f f x f +-=-，即)()(x f x f =- 因为)(x f 为非零函数，所以)(x f 为偶函数。 七、对称性问题 例8. 已知函数)(x f y =满足2002)()(=-+x f x f ，求)2002()(11 x f x f -+--的值。 解：已知式即在对称关系式b x a f x a f 2)()(=-++中取20020==b a ，，所以函数)(x f y =的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数)(1 x f y -=的图象关于点（2002，0） 对称。 所以0)1001()1001(11 =-++--x f x f 将上式中的x 用1001-x 代换，得0)2002()(11 =-+--x f x f 评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++，则函数)(x f y =的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形。 八、网络综合问题 例9. 定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意实数m ，n ，总有)()()(n f m f n m f ?=+，且当x>0时，0 （1）判断f （x ）的单调性； （2）设)}1()()(|){(22f y f x f y x A >?=，， }1)2(|){(R a y ax f y x B ∈=+-=，，，若?=B A ，试确定a 的取值范围。 解：（1）在)()()(n f m f n m f ?=+中，令01 ==n m ，，得)0()1()1(f f f ?=，因为0)1(≠f ，所以1)0(=f 。 在)()()(n f m f n m f ?=+中，令x n x m -==， 因为当0>x 时，1)(0< 所以当0 而1)0()()(==-?f x f x f 所以01) (1 )(>>-= x f x f 又当x=0时，01)0(>=f ，所以，综上可知，对于任意R x ∈，均有0)(>x f 。 设+∞<<<∞-21x x ，则1)(001212<-<>-x x f x x ， 所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f <-?=-+= 所以)(x f y =在R 上为减函数。 （2）由于函数y=f （x ）在R 上为减函数，所以)1()()()(2222f y x f y f x f >+=? 即有12 2 <+y x 又)0(1)2(f y ax f ==+-，根据函数的单调性，有02=+-y ax 由?=B A ，所以直线02=+-y ax 与圆面12 2<+y x 无公共点。因此有 11 22 ≥+a ，解得 11≤≤-a 。 评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f （0）的取值问题，二是f （x ）>0的结论。 这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 1．判断函数的奇偶性 例1、若()()()f x y f x f y +=+对于实数x 、y 都成立，且()f x 不恒为零，判断函数()f x 的奇偶性。 解：在()()()f x y f x f y +=+中令0x y ==，得(0)0f = 又在()()()f x y f x f y +=+中令y x =-，得()()()f x x f x f x -=+- 即(0)()()f f x f x =+-，因为(0)0f =，所以()()f x f x -=- 由于()f x 不恒为零，所以函数()f x 是奇函数 例2、已知不恒为零的函数()(,0)f x x R x ∈≠对任意不等于零的实数x 、y 都有 ()()() f x y f x f y =+，试判断函数()f x 的奇偶性。 解：取1,1x y =-=得(1)(1)(1)f f f -=-+?(1)0f = 又取1x y ==-得(1)(1)(1)f f f -=-+-?(1)0f -= 再取1y =-得()()(1)f x f x f -=+-?()()f x f x -= 由于()f x 不恒为零，所以函数()f x 是偶函数 2、讨论函数的单调性 例3、设()f x 定义于实数集上，当0x >时，()1f x >，且对于任意实数x 、y 都有 ()()() f x y f x f y += ，求证：()f x 在R 上为增函数。 证明：由()()()f x y f x f y += 中取0x y ==，得2(0)(0)f f = 若(0)0f =，令0x >，0y =，则得()0f x =，与()1f x >矛盾 所以，(0)0f ≠，即有(0)1f = 当0x >时，()10f x >> 当0x <时，0x ->，()10f x ->>，而()()()(0)1f x f x f x x f -=-== 所以，1 ()0() f x f x = >- 当0x =时，(0)10f => ,()0x R f x ∴∈> 设12x x -∞<<<+∞，则210x x ->，21()1f x x -> 21211211()[()]()()()f x f x x x f x f x x f x ∴ =+-=-> 所以，()f x 在R 上为增函数。 3、求函数的值域 例4、已知函数()f x 在定义域R +上是增函数，且满足()()()f xy f x f y =+，求()f x 的值域。 解：当1x y ==时，(1)2(1)f f =，即(1)0f = 又因为，函数()f x 在定义域R +上是增函数，所以 当120x x >>时，可设12(1)x mx m => 则122222()()()()()()()()0f x f x f mx f x f m f x f x f m -=-=+-=> 所以对于1x >时有()0f x > 当120x x <<时，可设12(01)x mx m =<< 则122222()()()()()()()()0f x f x f mx f x f m f x f x f m -=-=+-=< 所以对于01x <<时有()0f x < 综上所述，当x R +∈时，()f x 的值域为全体实数。 4、判断函数的周期性 例5、函数()f x 的定义域为全体实数，对任意实数a 、b ，有()()2()()f a b f a b f a f b ++-= ，且存在0c >，使得()02 c f =，求证：()f x 是周期函数。 证明：令,22 c c a x b =+ =，代入()()2()()f a b f a b f a f b ++-= 可得()()f x c f x +=- 所以(2)[()]()()f x c f x c c f x c f x +=++=-+= 即()f x 是以2c 为周期的周期函数。 例6、若对于常数m 和任意实数x ，等式1() ()1() f x f x m f x ++= -恒成立，求证：()f x 是周期函数。 证明：将已知恒等式中的x 换成x +m 得 1() 11()11()(2)[()]1()1()()11() f x f x m f x f x m f x m m f x f x m f x f x + + ++- +=++== =-+ -+-- 又将上式中的x 换成x +2m 得 1 (4)[(2)2]()(2) f x m f x m m f x f x m +=++=- =+ 故()f x 是以4m 为周期的周期函数。 5、解不等式 例7、已知函数()f x 满足(1)1()12 f =；(2)函数的值域是[-1，1]；(3)在其定义域上单调递减；(4) 对于任意实数数x 、y 恒有()()f x y f xy += 解不等式：1 111 ()()12 f x f x --≤- 解：由已知条件(2)(3)知，函数()f x 的反函数存在，且1 1 (1)2 f -= ， 又因为函数()f x 在定义域[-1，1]上单调递减， 设111122(),()y f x y f x --==，则有1122(),()x f y x f y ==， 即121212()()()x x f y f y f y y +=+=，即有111121212()()()y y f x f x f x x ---==+ 于是原不等式等价于：11 1()(1)1111111 111 1f x f x x x x x --?+≤?-? ?-≤+≤? -??-≤≤? ?-≤≤?-? ?1111111111111x x x x x x ?+≥?-??-≤+≤?-? ?-≤≤??-≤≤?-??0x = 故原不等式的解集为{0}。 6、求函数的解析式 例8、设对于满足1x ≠的所有实数x ，函数()f x 满足33( )()11x x f f x x x -++=+-，求()f x 的解析式。 解：将x 取为 31x x -+代入原等式，有33 ()()11 x x f f x x x +-+=-+ (1) 又将x 取为 31x x +-代入原等式，有33()()11x x f x f x x -++=+- (2) (1)+(2)得，32 7()(1)22x x f x x x +=≠- 例9、设对于满足0,1x x ≠≠的所有实数x ，函数()f x 满足1 ()()1x f x f x x -+=+，求()f x 的解析式。 解：因为，1 ()( )1x f x f x x -+=+ (1) 将x 取为 1x x -代入原等式，有1121 ()()1x x f f x x x --+-=- (2) 又将x 取为11x - -代入原等式，有12 ()()11 x f f x x x --+=-- (3) (1)-(2)+(3)化简得，321 ()2(1) x x f x x x --=- 赋值法在二项式定理中的应用 赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，现以例说明． 一、用赋值法解决二项式系数的有关问题 利用二项式定理的展开式与所求问题进行类比转换，实现从一般到特殊的转化，用来证明或求值． 思路设法从已知等式中求出n． (1＋2)n = 729，即3n = 36，解得n = 6． 注意：所求式子中缺少一项，不能直接等于26． 二、用赋值法解决项的系数的有关问题 例2 (1997年上海高考题)(3x＋1)n(n∈N*)展开式中各项系数和为256，求x2的系数． 设(3x＋1)n = a0x n＋a1x n-1＋a2x n-2＋…＋a n．① 由题意：a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256． 在①式中令x = 1得 4n = a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256，解得n = 4． a3)2－(a1＋a3)2 = [ ] A．1 B．－1 C．0 D．2 解(a0＋a2＋a3)2－(a1＋a3)2 = (a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)． 上式左边中的两个式子分别是所给展开式中x取1和－1时的表达式． 故选A． 三、综合应用 在综合应用中要求学生能严格区别二项式系数与项的系数，注意项的系数的符号与式子的结构，灵活应用其他相关知识解题． 例4若(1－3x)9 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = ________． 抽象函数解题方法与技巧 函数的周期性： 1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数； 5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ； 6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ??+= ???或()1()f x a f x ??+=- ???或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()1 1 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数； 8、若()() ()11 f x f x a f x -+= +在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。 （7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2 a b x +=对称； 2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称； 3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,2 2a b c +?? ??? 成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如()0,ax b y c ad bc cx d += ≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b b a c c c y d d c c x c x c c ??+-+-+ ???==+????++ ? ???? ?知：对称中心是点,d a c c ??- ???； 6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线2b a x -=对称； 7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。 一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x , 求f(x) ()()()()()()()1 1 11212112()() 11 f x f x a f x f x a f x f x a f x f x f x --+-+-+====--++++ 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 含有函数记号“ ()f x ”有关问题解法 由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 ()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地 掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出 ()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生 的灵活性及变形能力。 例1：已知 ( )211x f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴ 2()1x f x x -= - 2.凑合法：在已知 (())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁， 还能进一步复习代换法。 例2：已知 33 11()f x x x x +=+，求 ()f x 解：∵ 22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11 ||||1|| x x x x +=+≥ ∴ 23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x . 解:设 ()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22 222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4 1321 ,1,2222 a c a a b c b +=??=?===??=? ∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x 解:∵ ()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵ ()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0 x x f x x x +≥?=?-- 赋值法求函数解析式 赋值法是一种很常用的方法，对于涉及任意量词的题目，要特别注意是否可以通过赋特殊的值，求出函数的解析式。要注意如何选择所赋的值，从而成功得到解析式。 先看例题： 例：已知函数f (x )满足f (0)=1，对任意实数x ，y 有()()()21f x y f x y x y -=--+求函数f (x )的解析式. 解：式子中有两个变量，尽量通过赋值让y 消失，从而找到解析式 方法一： ()()()021,x y f f x x x x ==--+令得 ()21f x x x =++ 方法二： ()()()001,x f y f y y =-=--+令得 ()()211()1f y y y y y -=--+=-+-+ 再把-y 看作x ， 得()2 1f x x x =++ 提示：函数的对应法则与使用什么变量无关 整理： 赋值法求函数解析式 若函数的性质是用条件恒等式给出时，可用赋特殊值法求其解析式。 抓住任意性，对自变量合理的取特殊值，分析已知与结论之间的差异进行赋值，从而易于求出函数的表达式，这是求抽象函数解析式的常用方法。 再看一个题目，增加印象 练：已知函数f (x )对任意实数x ，y 有()()22 2323y x xy f x f x y y y ++-++=，求函数f (x )的解析式 解：如果令y =1，那么f (xy )就会变为f (x )，所以 1y =令得()()2212133f x f x x x =++-++ 整理为()22152,f x x =+++ ()()22152f x f x x =+++ 要求解析式还差f (1)的值，通过分析题目条件，再一次赋值： ()()()11218,18x f f f ==+=-令得 所以函数解析式为()2514f x x x =+- 变式：已知函数f (x )对任意实数x ，y 有()()222332y x x f x y f y y x y +++++=-，求函数f (x )的解析式 解： ()()20203y f x f x x ==++令得 ()()0020,x f f ==令得()00f = ()23,f x x x =+ 总结： 1.在遇到函数的性质是由条件恒等式给出时，可用赋特殊值法求其解析式。 2.赋什么值要根据题目条件决定，根据所缺少的内容进行赋值。不要死记硬背。 练习： 1.已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求)0(f 的值； (2)求)(x f 的解析式。 2.已知函数f (x )对任意的实数x ,y 都有f (x +y )= f (x )+f (y )+2y (x +y )+1,且f (1)=1,若x ∈N +,试求f (x ) 的表达式. 答案： 抽象函数与解题策略 上海南洋模范中学 熊晓东 2005年11月19日 （一）抽象函数的定义、特征和一般解题策略 （1）什么是抽象函数？ 那些没有给出函数的具体解析式，只给出一些特殊条件或特征的函数称为抽象函数。 （2）抽象函数与一般函数的有什么联系？ 抽象函数往往有它所对应的具体的函数模型。例如，)x (f )x (f )x x (f 2121+=+对应的是指数函数2 1 2 1x x x x a a a ?=+；)x (f )x (f )x x (f 2121+=对应的是对数函数 2a 1a 21a x l o g x l o g )x x (l o g +=等等。当然，也有的时候并没有我们比较熟悉的函数模型，而是新定义的一种函数。 抽象函数也可以与我们熟悉的函数，如指数函数、对数函数等一样，有自己的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。有自己的特殊点，有自己的对称性，能画出大致图像。 （3）抽象函数的解题策略一般有哪些？ 面对抽象函数数学题，我们的解题思路一般不外乎①合理赋值，化抽象为具体；②作恒等变形，找出该函数规律性、特征性特点；③分类讨论，归纳出抽象函数的实质问题。 （二）高考中的抽象函数 （1）抽象函数在高考中的地位 函数是高考数学中非常重要的一部分，根据上海卷命题的要求，每年函数部分的内容将占到整个卷面分值的三分之一左右，2005年高考上海卷中，函数相关的内容将近55分。而抽象函数是函数中考核要求较高，难度较大的内容。2000年开始，不论是全国卷还是上海卷都对学生提出了考查抽象函数的要求。03年上海卷一年中考了两道与抽象函数有关的题目，03、04、05年连续三年上海高考试卷中均有与抽象函数有关的题目。 高一数学之抽象函数专题集锦 一、选择题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(?2)，f(?π)，f(3)的大小顺序是( ) A. B. C. D. 2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =?2对称，若f(?2)=1，则f(x ?2)≤1的x 的取值范围 是( ) A. [?2,2] B. (?∞,?2]∪[2,+∞) C. (?∞,0]∪[4,+∞) D. [0,4] 3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3]，则y =f(2x ?1)的定义域是( ) A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=?1，则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A. B. C. [0,4] D. [1,3] 5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( ) A. [?1,1]∪[3,+∞) B. [?3,?1]∪[0,1] C. [?1,0]∪[1,+∞) D. [?1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={ x 2+4x x ≥0 , 4x ?x 2 , x <0 若f(2?a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1) B. (?1 , 2) C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞) D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞) 7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是 A. f(?1) 抽象函数的解题方法与技巧 摘要：抽象函数是没有具体的解析式，只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数。因而显得特别抽象。所以解决抽象函数问题需要从函数的本质出发，考虑其定义，性质，加之解决抽象函数问题时常用的技巧——赋值法，换元法等。尽可能使抽象函数变得不再抽象。 关键词：抽象函数；性质；求值；解析式 ；解题方法；技巧 Problem-solving methods and skills of abstract functions Xue Jie School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract :: abstract function is not analytic type specific, given only the function characteristics, its nature or some special relationship. So it is especially abstract. So to solve the abstract function problems need from the view of function essence, considering its definition, nature, and solve the abstract function problems commonly used techniques -- assignment method, substitution method etc.. As far as possible to make the abstract function is no longer abstract. Keywords : abstract function; property; evaluation; analytic method; problem solving skills; 1. 提出问题的背景 抽象函数问题是函数中的一类综合性较强的问题，这类问题通过对函数性质结构的代数表述，能够综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对函数性质的代数推理和论证能力，考查学生的抽象思维和对知识的灵活运用能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，因而成为近几年高考命题的热点。由于抽象函数问题只给出函数所满足的一般性质或运算法则，没有明确的表示形式，因其抽象性和综合型，对学生而言有较大的难度。因此有必要对抽象函数的解题方法和技巧进行归纳总结。 2. 抽象函数的知识点 （1）定义域：函数的定义域指自变量x 的取值范围。所以对抽象函数()x f ，()[]x g f 而言，其定义域均指的是x 的取值范围。对于()[]x g f 和()[]x h f ，其中()x g 和()x h 的地位是等价的，故取值范围是一样的。 （2）值域：函数的值域指函数值的取值范围。那么具有相同对应关系的两个抽象函数 ()[]x g f 和()[]x h f ，它们的值域是相同的。 一、选择题 1．已知0.31()2 a =，12log 0.3 b =，0.30.3 c =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a << 2．定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，当0x y <<时，都有 ()()f x f y >，且112f ?? = ??? ，则不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为（ ） A ．[)1,0- B ．[)4,0- C ．(]3,4 D ．[) (]1,03,4- 3．已知幂函数2 242 ()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x t =-，任意 1[1,6)x ∈时，总存在2[1,6)x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（ ） A ．128t << B ．128t ≤≤ C ．28t >或1t < D ．28t ≥或1t ≤ 4．函数y =的值域是（ ） A ．11,22?? - ???? B ．[]0,1 C ．10,2?????? D ．[)0,+∞ 5．定义在R 上的奇函数()f x 满足()20210f =且对任意的正数a ，b (a b )，有 ()()0f a f b a b -<-，则不等式() 0f x x <的解集是（ ） A ．()()2021,02021,-+∞ B ．()()2021,00,2021- C ．() (),20212021,-∞-+∞ D ．() (),20210,2021-∞- 6．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意 1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3]-∞- B ．[3,)+∞ C ．(,3][3,) -∞-+∞ D ．(,3)(3,)-∞-?+∞ 7．定义在R 上的奇函数()f x 满足()10f =，且对任意的正数a 、b （a b ），有 ()()0f a f b a b -<-，则不等式() 202 f x x -<-的解集是（ ） A ．()()1,12,-+∞ B ．()(),13,-∞-+∞ C ．() (),13,-∞+∞ D ．() (),12,-∞-+∞ 8．设函数()()1x f x x R x =-∈+，区间[,]M a b =，集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使M N 成立的实数对(,)a b 有（ ） 抽象函数的解题技巧 1.换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x) 解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2) 故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2) 2.方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。 例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥?-≥?得由 例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x 1x ( f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x 1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x -11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x 1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x 111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x 2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法 如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) 代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1. 4.赋值法 抽象函数经典综合题33例（含详细解答） 抽象函数，是指没有具体地给出解析式，只给出它的一些特征或性质的函数，抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识，是考查学生能力的较好途径。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。 本资料精选抽象函数经典综合问题33例（含详细解答） 1.定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1）求证：f(0)=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2 )>1，求x 的取值范围。 解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2 ∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x ，b=-x 则 f(0)=f(x)f(-x) ∴) (1 )(x f x f = - 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴0) (1 )(>-= x f x f 又x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x ∈R ，f(x)>0 (3)任取x 2>x 1，则f(x 2)>0，f(x 1)>0，x 2-x 1>0 ∴ 1)()()() () (121212>-=-?=x x f x f x f x f x f ∴f(x 2)>f(x 1) ∴f(x)在R 上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x 2 )=f[x+(2x-x 2 )]=f(-x 2 +3x)又1=f(0)， f(x)在R 上递增 ∴由f(3x-x 2 )>f(0)得：3x-x 2 >0 ∴ 0 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题 例1. 已知函数 )(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21 [，-，求函数)] 3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f （x ），同时满足下列条件：① 51 )6(1)2(= =f f ，；② )()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2 )]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 )]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在 R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 赋值法在高中数学中的应用 康乐一中 倾转莉 摘要： 赋值法在高中数学中应用广泛，本文总结了赋值法在高中数学中主要应 用有函数方程，二项式定理，算法，恒成立问题，解选择题与填空题等。 关键字：赋值法 抽象函数 二项式定理 算法 恒等变化 赋值法就是给变量赋予特殊的数值。可以把抽象的问题具体化，把普遍的问题特殊化。赋值法在高中数学中的应用常见在以下几个方面： 一．赋值法在抽象函数性质中的应用 赋值法在函数性质中应用最广，特别是应用在抽象函数中用来的判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性，求函数的值域，判断函数的周期性，求函数的解析式等方面。 （一）判断函数的奇偶性 例1 已知函数y ＝f （x ）（x ∈R ，x ≠0），对任意非零实数x 1x 2都有f （x 1x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），试判断f （x ）的奇偶性。 解：取x 1＝－1，x 2＝1得f （－1）= f （－1）＋（1），所以f （1）=0 又取x 1=x 2=－1，得f （1）=f （－1）＋f （－1）， 所以f （－1）=0再取x 1=x ，x 2=－1，则有f （－x ）= f （x ），即f （－x ）=f （x ） 因为f （x ）为非零函数，所以f （x ）为偶函数。 (二)讨论函数的单调性 例2． 设f （x ）定义于实数集R 上，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意x ，y ∈R ，有f （x ＋y ）= f （x ）f （y ），求证f （x ）在R 上为增函数。 证明：由f （x ＋y ）=f （x ）f （y ）中取x =y =0得f （0）=f 2（0）。 若f （0）=0，令x ＞0，y =0，则f （x ）=0，与f （x ）＞1矛盾。 所以f （0）≠0，即有f （0）=1。 当x ＞0时，f （x ）＞1＞0，当x <0时，f （－x ）>1>0，而0) (1)( x f x f -= ，又x =0时，f （0）=>0，所以f （x ）∈R ，f （x ）>0。 设x 1 解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力，以及对一般和特殊关系的认识，因此备受命题者的青睐，成为高考热点。然而，由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。 我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考. 一、 利用线性函数模型 在中学数学教材中，大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的，解题时最根本点是将抽象函数具体化，这种方法虽不能代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的解题途径，特别是填空题、选择题，直接用满足条件的特殊函数求解，得出答案即可。常见的抽象函数模型有： 例1、函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且f （1）＝2， f （x ）在区间[－４，２]上的值域为 。 0a a ≠且 解析：由题设可知，函数f （x ）是正比例()y kx k =为常数的抽象函数，由f （1）＝2可求得 k=2，∴ f （x ）的值域为［－８，４］。 例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时， f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式2(22)3f a a --的解。 分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果 这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设1221,0x x x x -则，∵当x ＞0时，f （x ）＞2，∴21()2f x x -，则 ， 即，∴f （x ）为单调增函数。 ∵， 又∵f （3）＝5，∴f （1）＝3。∴2(22) (1)f a a f --，∴2221a a --， 解得不等式的解为－1 < a < 3。 例3、定义在Ｒ上的函数()y f x =，对任意的12,x x 满足12x x ≠时都有12()()f x f x ≠，且有 ()()()f x y f x f y +=成立。求： （1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。 分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数()(01)x f x a a a =≠且的抽象函数， 从而猜想f （0）＝1且f （x ）＞0。 解：（1）令y ＝0代入()()()f x y f x f y +=，则()()(0)f x f x f =， ∴[]()1(0)0f x f -=。若f （x ）＝0，则对任意12x x ≠，有12()()0f x f x ==， 抽象函数专题 几类抽象函数模型 练习题 1．定义域为(0，＋ )的函数f (x )满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (4)＝2，则f (2)的值为_________． 答案：12． 解： 因为f (4)＝f (2)＋f (2)，f (2)＝f (2)＋f (2)， 所以f (4)＝4 f (2)，f (2)＝1 2 ． 2．函数f (x )满足f (x ＋y 2)＝f (x )＋2[f (y )]2且f (1)≠0，则f (2018)的值为_______． 答案：1009． 解：f (0)＝0，f (1)＝12，f (x ＋1)＝f (x )＋12，f (2018)＝f (1)＋2017×1 2＝1009． 3．(1)函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，若f (1)＝1，则f (8)＝ A ．－1 B ．1 C ．19 D ．43 答案：D ． 解： 因为f (1)＝1，y ＝1代入f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋x y ＋1，得 f (x ＋1)－f (x )＝x ＋2，因此： f (2)－f (1)＝3 f (3)－f (2)＝4 ……… f (8)－ f (7)＝9 累加，得f (8)＝43． (2)函数f (x)满足f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，若f (1)＝1，则f (－8)＝ A．－1 B．1 C．19 D．43 答案：C． 解： 因为f (1)＝1，y＝1代入f (x＋y)＝f (x)＋f (y)＋xy＋1，得 f (x＋1)－f (x)＝x ＋2，因此： f (1)－f (0)＝2 f (0)－f (－1)＝1 f (－1)－f (－2)＝0 f (－2)－f (－3)＝－1 f (－3)－f (－4)＝－2 f (－4)－f (－5)＝－3 f (－5)－f (－6)＝－4 f (－6)－f (－7)＝－5 f (－7)－f (－8)＝－6 累加，得f (－8)＝19． 另外： f (x－x)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1 f (0)＝f (x)＋f (－x)－x 2＋1 f (x)＋f (－x)＝x 2－2 4．定义在R上的函数f (x)满足f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，则下列说法正确的是A．f (x)为奇函数B．f (x)为偶函数 C．f (x)＋1为奇函数D．f (x)＋1为偶函数 答案：C 解： x1＝x2＝0代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (0)＝－1． x1＝x，x2＝－x代入f (x1＋x2)＝f (x1)＋f (x2)＋1，得f (x)＋f (－x)＝－2，f (x)图象关于点(0，－1)对称，所以f (x)＋1为奇函数． 5．设f (x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy)＝f (x)＋f (y)，f (3)＝1，当f (x)＋f (x －8)≤2时x的取值范围是 A．(8，＋∞) B．(8，9]C．[8，9]D．(0，8) 答案：B 抽象函数问题的解题策略Last revision on 21 December 2020 抽象函数问题的解题策略 一、利用特殊模型 有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但与具体函数“对号入座”后,问题容易迎刃而解.这种方法多用于解填空题、选择题、解答题的解题后的检验,但解答题的解答书写过程一般不能用此法. 例1 若函数f(x)与g(x)在R 上有定义,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), f(-2)=f(1)≠0,则g(1)+g(-1)= . 解 因为 f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y), 这是两角差的正弦公式模型, 又f(-2)=f(1)≠0, 则可取x x f 3 2sin )(π= 于是 f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1) 例2 设函数f(x)是定义在R 上的减函数,且满足f(x+y)=f(x)f(y), f(-3)=8,则不等式f(x)f(x-2)< 的解集为 . 解 因为函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y),这是指数函数模型, 又 f(-3)=8, 则可取 ∵f(x)f(x-2)< ∴2)21()21(-x x ＜2561, 即22)21(-x ＜8)2 1(， ∴ 2x-2 >8, 解不等式,得 x>5, ∴ 不等式的解集为 {x|x >5}. 二、利用函数性质 函数的特征是通过函数的性质反映出来的,抽象函数也不例外,只有充分利用题设条件所表明的函数的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能峰回路 转、化难为易. 1. 利用单调性 例3 设f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2. 解 ∵ 函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1, ∴ 2=1+1=f(3)+f(3)=f(9), 由f(x)+f(x-8)≤2,得 f[x(x-8)]≤f(9), ∵ 函数f(x)是定义在（0,+∞）上的增函数, 则 ∴ 不等式解集为 {x|8 函数()f x 的定义域为D ，则其图像为： ()(){},|,x y y f x x D =∈ 1，若把这个图像向左平移a 个单位，得到新图像为： ()(){},|,x y y f x a x D =+∈ 简单说明：新图像上任取点(),x y ，向右平移a 个单位得到(),x a y +，这个点在()f x 图像上，所以()y f x a =+ 向右、上、下平移函数图象情况类似，请自己给出 2，若把()f x 图像按照直线x a =作一次对称，得到新函数为()2y f a x =- 简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照直线x a =作一次对称得到点()2,a x y -，这个点在()f x 图像上，所以()2y f a x =- 按照直线y a =作对称类似，请自己给出 需要指出的是，不能按照任意直线作对称得到新函数，因为新的图像不一定是函数图像（实际上那是方程的图像），另外，按照直线y x =作对称得到的是反函数，当然前提是该函数存在反函数。 3，若把()f x 图像按照点(),a b 作对称，得到新函数()22y b f a b =-- 简单说明：新图像上任取点(),x y ，按照点(),a b 作对称，得到点()2,2a x b y --，这个点在()f x 图像上，则()22b y f a x -=-，整理得()22y b f a x =-- 4，若把()f x 图像在水平方向上作伸缩，横坐标都变为原来的a 倍（0a ≠），纵坐标不变，那么得到新函数图像是x y f a ?? = ??? 简单说明：新函数图像上取点(),x y ，变回去,x y a ?? ???， 这点在()f x 图像上，所以x y f a ?? = ??? 至于竖直方向的伸缩，请自己给出 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝华丽的分割线＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 下面是函数图像本身的对称性 5，如果一个函数向左平移a 个单位与原图像重合，即a 是一个周期，那么按照第1条， ()y f x a =+这个新函数与原函数()y f x =重合，也就是说：()()f x a f x += 6，如果一个函数有一条对称轴x a =，那么按照第2条到的新函数()2y f a x =-与原函数是同一个，也就是说：()()2f a x f x -=，至于类似()()f a x f b x +=-这样的条件，改写一下是非常显然的 数量关系解题方法之赋值法 赋值法是数量关系考试中比较常用的方法之一，用途比较广泛和常见，同时也是比较容易操作的方法，下面就跟着华图于老师来一起学习一下赋值法。 赋值法的使用是有一定前提和特征的，不是任何一个数量关系的题目都可以用赋值法去解题，下面老师要给各位亲爱的考生说明一下，什么时候赋值法，赋值法怎么使用即对那个量进行赋值，让这个量为那个具体数字。 小的时候我们都做过这样一道题：一项工程，由小王一个人做需要30天，由小刘一个人做需要20 天，求两人一起合作需要多少天完成？我们做这个题时，让工作总量为1，小王的工作效率是1 30 ，小刘 的工作效率是1 20 ，合作需要的天数是 1 =12 11 + 2030 天 。相信大家都记得这个题，小时候经常做到，这个题 目使用的方法就是赋值法。工作总量题干中是没有的，是我们认为的假设出来的。像这样的方法，认为的给某个量假设一个数值，从而方便计算的方法就是赋值法。那么这个题有什么特征呢？首先，有公式：工作总量=工作时间×工作时间。只告诉一个量工作时间，另外两个量已知中都没有涉及，所以为了能够进一步的去计算，我们认为的假设一个数值。也就是说满足A B C =?，已知中只有一个已知量，或是一个已知量都没有，那么此时采用赋值法。那么可以用赋值法的题型有：工程问题、行程问题、溶液问题、经济利润问题等，出现比例、倍数情形时；其次，赋值不变量或是相等的量。减少计算过程。所以本题对工作总量进行赋值；最后，赋值的数字为已知的数值的公倍数。这样就能避免出现分数，方便计算。 下面我们练习一下： （2017年-河北-54）某件刺绣产品，需要效率相当的三名绣工8天才能完成；绣品完成50%时，一人有事提前离开，绣品由剩下的两人继续完成；绣品完成75%时，又有一人离开，绣品由最后剩下的那个人做完。那么，完成该件绣品一共用了： A．10天B．11天 C．12天D．13天 解析：审题：工程问题，已知中包含工作的天数，但是关于工作总量和工作效率没有涉及，而要继续做出这道题，需呀知道工作总量和工作效率才能继续算下去。此时采用赋值法。由于已知中三名绣工的效率相当，即效率相等，对效率进行赋值。假设三名绣工的工作效率都是1，三个的效率和是3，工作总量为：38=24 ?。完成50%，即三人完成12个工作量，需4天；50%-75%，即6个量是两个绣工一起完成的，需要3天；剩下的25%即6个量由一个人完成需要6天。共用了13天。选择C。 练习题：赋值法在二项式定理中的应用
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