5函数图象及其应用
6、函数图象及其应用
一．教学内容分析：
本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。
学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。
二．学生学习情况分析：
学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。
高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。
三．设计思想：
1．尽管我们的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但教材仅是教师在教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合教学内容等，本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知识，又为第三章学习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不误砍材功。
2．树立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断
丰富，可以向学生介绍更多类型的问题情境或更难的应用问题情境，渗透数学思想，使学生学会问题解决的一般规律。
3．凡事预则立，不预则废。预设是数学课堂教学的基本要求，但课堂教学不能过分拘泥于预设的固定不变的程序，应当开放地纳入弹性灵活的成分以及始料不及的体验。一堂好数学课应该是一节不完全预设的课，在课堂中有教师和学生真实的情感、智慧的交流，这个过程既有资源的生成，又有过程状态的生成，内容丰富，多方互动，给人以启发。
四．教学目标：
1．通过复习所学函数模型及其图像特征，使学生对函数有一个较直观的把握和较形象的理解，缓解因函数语言的抽象性引起的学生的心理不适应及不自觉的排斥情绪。
2．通过练习的设置，从解决简单实际问题的过程中，让学生体会函数模型的广泛适用性，贯穿理论联系实际、学以致用的观点，充分体现数学的应用价值，加强学生的看图识图能力，激发学习兴趣，引导学生自觉自主参与课堂教学活动。
3．通过对所给问题（例题1、2）的自主探究和合作交流，使学生理解动与静，整体与局部的辨证统一关系，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。
4．结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的内在联系，体验函数与方程思想、数形结合思想及等价转化思想的意义和价值。
五．教学重点和难点：
教学重点：常见函数模型的图像特征和实际应用。通过课堂师生互动交流，共同完成对相关知识的系统归纳，借助多媒体课件演示，增加学生的直观体验，深化认识，突破重点。
教学难点：利用函数图像研究方程问题的思想和方法。在教学过程中，通过学生自主探究学习，在实际问题的解决中学习将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，实现难点突破。
六．教学过程设计：
环节设置问题驱动学情预设设计意图
（一）目标设疑，学生解疑，温故知新（约8分钟）提问1：我们学过哪
些基本初等函数？
对它们的大致图像
还有印象吗？
试回忆所学并完成
表格（后附）
练习1．（后附）
提问2：若将“1
>
a”
改为“0
>
a且
1
≠
a”，又该如何选
择？
回顾常数函数、一次函
数、二次函数、反比例
函数、指数函数、对数
函数、幂函数
（)
2
1
,1
,3,2,1-
=
a的图
像。（板书结合多媒体
演示、实物投影）
所有的知识只有
通过学生自身的“再
创造”活动，才能纳入
其认知结构中，才可能
成为下一个有效的知
识。教师必需尊重学生
的主体性，让学生自主
参与探究，切实掌握本
节课的重点。辅以多媒
体直观演示能使教学
更富趣味性和生动性。
试回忆所学并完成表格：
函数名称
函数解析式 函数大致图像 常数函数
k k y (=为常数） 平行与x 轴的一条直线 一次函数
b k b kx y ,(+=为常数） 一条直线 二次函数
c b a c bx ax y ,,(2++=为常数，
0≠a ）
一条抛物线 反比例函数
k k x k y ,0(≠=为常数） 一条双曲线 指数函数
)1,0(≠>=a a a y x （多媒体演示） 对数函数
)1,0(log ≠>=a a x y a （多媒体演示） 幂函数 a a x y a ,0(≠=为常数）
（多媒体演示） 练习1．如图6-1当1>a 时，在同一坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图像是（ D ）
提问2：若将“1>a ”改为“0>a 且1≠a ”，又该如何选择？
环节设置 问题驱动 学情预设 设计意图
（二）演练巩固，深化理解，学以致用（约35分钟） 练习2．（后附） 提问3：你能否写出通话收费S （元）关于通话时间t （分）的函数表达式？这样的函数称为什么函数？ 例1．（后附） 师：从函数图像上可以分析函数以问题为驱动，讲练结合，引入对具体实例的详细剖析，循序渐进，由浅入深，探讨函数模型的广泛应用和函数与方程的等价转化，渗透数形结合思想。（板书结合多媒体演示） 练习2：借助具体实例，了解简单的分段函数，这是很重要的一类函数模型，在实际问题中有较广泛的应用。（1）新教材为引导学生自主发现、探索留有比较充分的空间，在教学中我们应充分利用这些空白空间，
目标问题化，问题
设疑化，过程探讨
化，再给予学生发
挥的空间，促进他
们主动地学习和
O x y (A) O x y (B) O x y (C) O x y (D) 图6-1
的性质（如定义域、值域、单调性、奇偶性等），除此之外，函数图像还有什么妙用吗？请看例2。 例2．（后附） 适当引导，点拨，引发认知冲突，学生探究解决。 变式一：若方程k x x =--322有解，k 取何范围？ 提问：一定要画出具体的函数图像吗？不画图有没有办法直接给出k 的取值范围呢？ 师：数和形是数学的两种表达形式，在本例中，我们借由函数图像（形）解决方程的根的个数判断（数），以形辅数，这种思想方法称为数形结合。 变式二：依照这样的解题方法，你能否判断方程4ln =+x x 的根的个数？ 本题要求写出函数解析式，大约5分钟可完成。 例1：借由函数图像解决函数性质（值域）是函数图像的重要应用，以概念定义方式呈现，以分段函数的形式考察，足见题目设计的新颖，对学生较有吸引力和挑战性，给足学生思维、探究、讨论的时间，大约10分钟方可完成。 例2：恰当的问题情境，能引发学生的认知冲突，使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，激发他们的求知欲和探索精神，引导学生主动思考。这个问题涉及本课题的核心内容，给学生充足的探究时间，大约20分钟可完成。 具体可能的认知冲突有二： 认知冲突一：方程k x x =--322的根的个数判断，真的要解方程吗？有其他办法吗？ 认知冲突二：如何作函数322--=x x y 与k y =的图像？ 结合多媒体辅助演示，作函数322--=x x y 与k y =的图像，利用函数图像交点个数判断方程根的个数。 发展，让空白的地
方丰富多彩也是
学习方式丰富的
表现。
（2）对于学生来
说，学习数学的一
个重要目的是要
学会数学地思考，
数学能力的提高
离不开解题，解题
教学重点是向学
生暴露思维过程和展示学生的思
维过程。例题的设
计以阶梯式呈现，
给学生较为充分
的时间，自主探究
和解决问题，教师
在评讲时，有意识
地渗透数形结合
的思想方法，从而
达到传授知识、培
养能力的目的，实现难点的化解与
突破。
（3）学习函数和
方程的相互等价
转化，注意相关内容的前后联系，使
学生加深对所学
知识的系统认识，
促进思维的深刻性。在潜移默化中
培养了学生的科
学态度和理性精
神。
练习2．某地区电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元，超过3分钟后，每增加1分钟多收费0.1元（不足1分钟按1分钟收费）。通话收费S （元）与通话时间t （分）的函数图像可表示为（ B ）
O 3 6 t 0.2 0.4
S (A) O 3 6 t 0.2 0.4 0.6 (B)
O 3 6 t 0.2 0.4 0.6 S (C) O 3 6 t 0.2
0.4 0.6 S (D)
图6-2
提问3：你能否写出通话收费S （元）关于通话时间t （分）)60(≤ 例1．若定义运算???<≥=?) ()(b a a b a b b a ，则函数x x x f -?=33)(的值域为（ A ） ),.(),0.(),1)[(]1,0)((+∞-∞+∞+∞D C B A 例2．当∈ k 时，方程k x x =--322有两解？有三解？有四解呢？无解呢？ 环节设置 问题驱动 学情预设 设计意图 （三）理 论升华， 思维拓 展，总结 评价（约 2分钟） 提问：这节课我们学习了那些内容？哪些方法？哪些数学思想？（课堂小结后附） 课后作业：（后附） 1．写下本节课的学习心得体会。 2．完成三道课后习题 总结学习内容，归纳学习方法，提升数学思想，拓展学生思维，完成总结评价。 提纲挈领，理清基本内容，形成知识体系，提升数学思想，使本节内容不再浮于表面。 课堂小结： 本节课复习了常见函数模型及其图像特征，体会到利用函数图像解决函数性 质的形象和直观，学习函数和方程的相互等价转化，体会函数方程思想与数形结合思想的意义和价值。 正如华罗庚所说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。 课后作业： 1．总结本节课的学习心得体会。 波利亚（G ·Polya ）先生曾指出“一个重大的发现可以解决一道重大的题目， 但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现”。可见，习题在数学学习中具有非常重要的作用。 学莫贵于自得，请你写下本节课的学习心得体会。 2．课后习题： 1．某工厂八年来产品总产量C （即前t 年年产量之和）与时间t （年）的函数如图6-3，下列四中说法： O C t 3 8 （1）前三年中，产量增长的速度越来越快； （2）前三年中，产量增长的速度越来越慢； （3）第三年后，这种产品停止生产； （4）第三年后，年产量保持不变； 图6-3 其中，说法正确的是（ A ） （A ）（2）与（3） （B ）（2）与（4） （C ）（1）与（3） （D ）（1）与（4） 2．若关于x 的方程0862=-+-k x x 有且只有两个不同的实根，则（ ） 01)(10)(1)(0)(=><≤>=k k D k C k B k A 或 3．如图6-4，函数的图像由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数)(x f 的解析式。 变式：讨论方程a x f =)(的根的个数。 附：板书设计 1.常见函数模型 2．分段函数 函数名称 函数解析式 函数大致图像 常数函数 k k y (=为常数） …… 一次函数 b k b kx y ,(+=为常数） …… 二次函数 ,,,,0(2 c b a a c bx ax y ≠++=为 常数） …… 反比例函数 k k x k y ,0(≠=为常数） …… 指数函数 )1,0(≠>=a a a y x …… 对数函数 )1,0(log ≠>=a a x y a …… 幂函数 a a x y a ,0(≠=为常数） …… 1 2 3 4 O x y 1 2 图6-4 练习2：…… 例1．…… 例2．…… 七．教学反思 1．对教学内容的反思： 对于数学教师来说，他要从“教”的角度去看数学去挖掘数学，不仅要能“做”、“会理解”，还应当能够教会别人去“做”、去“理解”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系、辨证等方面去展开。 从逻辑的角度看，函数概念主要包含定义域、值域、对应法则三要素，以及函数的单调性、奇偶性、对称性等性质和一些具体的特殊函数，如：指数函数、对数函数等这些内容是函数教学的基础，但不是函数的全部。 从关系的角度来看，不仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函数与其他中学数学内容也有着密切的联系，其中就包括方程的根与函数的图象之间的等价转化问题。 2．对学生数学学习活动的反思： 师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。学生的数学学习只有通过自身的操作和主动的参与才可能是有效的，更为进一步的是学生的数学学习只有通过自身的情感体验，树立坚定的自信心才可能是成功的。为此，本节课在教学中着力于为学生提供丰富多彩的问题情境，关注学生的情感和情绪体验，让学生投入到现实的、充满探索的数学学习过程中，从而提高数学学习的水平，养成正确的学习态度和习惯。 3．对数学教学活动的反思： 教学设计的难点在于教师把学术形态的知识转化为适合学生探究的认知形态的知识。学生的认知结构具有个性化特点，教学内容具有普遍性要求。如何在一节课中把二者较好地结合起来，是提高课堂教学效率的关键。本节课致力于提高课堂教学的有效性，其一，有明确的教学目标，其二，能突出重点、化解难点，其三，善于运用现代化教学手段，其四，根据具体内容，选择恰当的教学方法，其五，关注学生，及时鼓励，其六，充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极性，其七，切实重视基础知识、基本技能和基本方法，其八，渗透数学思想方 法，提高综合运用能力。在实际教学中应因材施教，用不一样的标准衡量学生，尽量做到让不同的学生得到不同的发展。 晋江养正中学黄培华点评： 在环节（一）中，考虑到学生的知识水平和理解能力，从学生熟悉的知识入手，通过适当的问题情景，引导学生在有限的时间内完成对所学函数模型及其图像的归纳和总结，让学生思考回顾、动手画图、课堂交流、亲身实践、温故知新。新课程理念指出，学生是学习的主体，所有的知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为下一个有效的知识。 在环节（二）中，通过练习2的设置，使同学认识了分段函数及其在实际生活中的应用，拓展学生的思维；在例1、例2的引入和剖析中，将问题情境化，过程探讨化，通过精心设计问题情境，不断激发学生的学习动机，给学生提供学习的目标、思维和空间，使学生自主学习真正成为可能。新课程的教学理念转变为具体的教学行为时“问题情境”在教学中的设置，显得格外重要，而且随着教学过程的发展成为一个连续的过程，并通过有效追问形成几个高潮，使学生在问题的解决中不断的学习。对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界去了解世界。而数学能力的提高离不开解题，“解题策略的掌握，思想方法的运用，并不在于教师讲了多少，而是在于学生通过自己的认识活动体验、感悟了多少。”这两个例题尽管较为简单，但蕴含着重要的数学思维方法和思 想精髓，具有典型性和示范性。不为解题而解题，为的是通过解题，让学生感悟和体验数学的理性精神，在潜移默化中渗透数学思想。 新课程在教学方面具有三大核心理念，即建构性、生成性、多元性，这些理念对于改造传统的课堂教学起到了巨大作用。然而，这些理念在指导我们重建课堂教学时也表现出限定的有效性。只有对此有客观和充分的认识，我们才不至于生搬硬套，适得其反，从一个极端走向另一个极端。教无定法，重在得法，只要能激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性，有助于学生思维能力的培养，有利于所学知识的掌握和运用，达到课堂教学的效果，都应该是好的教学方法。 第六章一次函数 ５．一次函数图象的应用（二） 成都七中陈中华 一、学生起点分析 在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用． 二、教学任务分析 《一次函数图象的应用》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《一次函数》的第五节。本节内容安排了2个课时完成．第一课时让学生利用一次函数的图象解决一些简单的实际问题，本节课为第2课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础． 三、教学目标分析 1．教学目标 ●知识与技能目标： 1．进一步训练学生的识图能力，能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； ●过程与方法目标： 1．在函数图象信息获取过程中，进一步培养学生的数形结合意识，发展形象思维； 2．在解决实际问题过程中，进一步发展学生的分析问题、解决问题的能力和数学应用意识．●情感与态度目标： 在现实问题的解决中，使学生初步认识数学与人类生活的密切联系，从而培养学生学习数学的兴趣． 2．教学重点 一次函数图象的应用 3．教学难点 从函数图象中正确读取信息 四、教法学法 1．教学方法：“问题情境—建立模型—应用与拓展” 2．课前准备： 教具：教材，课件，电脑 学具：教材，练习本，铅笔，直尺 五、教学过程： 本节课设计了五个环节：第一环节：情境引入；第二环节：问题解决；第三环节：反馈练习；第四环节：课时小结；第五环节：作业布置． 第一环节：情境引入 内容：一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了一些零钱备用,按市场价 售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有 的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列 问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中 的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 意图：通过与上一课时相似的问题，回顾旧知，导入新知学习。 效果：由于问题与上一课时问题相近，学生很快明确并解决了问题。 第二环节：问题解决 内容1：例1 小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面，上午 7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞 瀑”，车速为36km/h，小慧也于上午7：00从“塔林”出发， 骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26km/h． （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？ （2）当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多少km？ 分析：当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同 的？是否已经过了“草甸”该用什么量来表示？你会选择用哪 种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过t时，小聪与小慧离“古刹”的路程分别为S1、S2， 由题意得：S1=36t， S2=26t+10 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，观察图象，得 ⑴两条直线S1=36t， S2=26t+10的交点坐标为（1，36）这说明当小聪追上小慧时，S1=S2=36 km，即离“古刹”36km，已超过35km，也就是说，他们已经过了“草甸” ⑵当小聪到达“飞瀑”时，即S1=45km，此时S2=42.5km． 所以小慧离“飞瀑”还有45－42.5=2.5（km） 思考：用解析法如何求得这两个问题的结果？小聪、小慧运行时间与路程之间的关系式分别是什么（小聪的解析式为S1=36t，小慧的解析式为S2=26t+10）？ 意图：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生根据实际问题建立适当的函数模型，利用该函数图象的特征解决这个问题．在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力． 说明：在这个环节的学习过程中，如果学生入手感到困难，可用以下问题串引导学生进行分析。⑴两个人是否同时起步？⑵在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否 一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习 课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴） 的直线为渐近线的双曲线． 首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示 的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇 函数，它的图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论． 例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲 线的定义． 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3 233+）满足3421=-PF PF 即可； 1、反比例函数的定义 2、用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线． （1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值． （2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确． （3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线． （4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴． 3、反比例函数图象的对称性： 反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点． 4、反比例函数的性质 （1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 5、比例系数k的几何意义 在反比例函数y=xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|2，且保持不变 6、反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数y=xk（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 7、用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 8、反比例函数与一次函数的交点问题 （1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． （2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=k2x在同一直角坐标系中的交点个数可总结为： 第7讲 函数的图象及其应用 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________． 解析 把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3. 答案 y ＝(x －1)2＋3 2．函数f (x )＝x ＋1 x 的图象的对称中心为________． 解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1 x ，故f (x )的对称中心为(0,1)． 答案 (0,1) 3．已知f (x )＝? ???? 13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )， 则g (x )的表达式为________． 解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则??? x 0＝2－x ， y 0＝y . ∴y ＝? ???? 132－x ＝3x －2. 答案 g (x )＝3x －2 4．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________． 解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)． 答案 (1,1) 5. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________． 解析 利用函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)． 答案 (－2,0)∪(2,5) 6．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________． 解析 ∵f (x ＋5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的． ∴f (x ＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2] 答案 [－7，－2] 7．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________． 解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1. 答案 (1，＋∞) 8．(2013·泰州模拟)已知函数f (x )＝??? log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有 两个实根，则实数a 的范围是________． 解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实 (2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编 函数的三种表示法，描点法画函数图像 解答题 1. （2011盐城，23，10分）已知二次函数y =2 1- x 2﹣x +23． （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围； （3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式． 考点：二次函数的图象；二次函数图象与几何变换. 专题：应用题；作图题. 分析：（1）根据函数解析式确（3）根据图象平移“左加右减、上加下减”特点即可写出函数解析式．定图象顶点坐标及于x 、y 轴交点坐标即可画出图象，（2）根据图象即可得出答案. 解答：解：（1）二次函数的顶点坐标为： 12=-=a b x ，2442 =--=a b a c y 当x =0时，y = 2 3 ， 当y =0时，x =1或x =﹣3，x =1时不成立， 图象如图： （2）据图可知：当y ＜0时，x ＜﹣3， （3）根据二次函数图象移动特点， ∴此图象沿x 轴向右平移3个单位，平移后图象所对应的函数关系式： y =－ 21（x ﹣3）2－x +2 3． 点评：本题主要考查了根据解析式画函数图象、二次函数图象特点、函数图象平移原则，难度适中． 2. （2011新疆建设兵团，19，8分）已知抛物线y ＝﹣x 2 ＋4x ﹣3与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），顶点为P ． （1）求A 、B 、P 三点的坐标； （2）在直角坐标系中，用列表描点法作出抛物线的图象，并根据图象写出x 取何值时，函数值大于零； （3）将此抛物线的图象向下平移一个单位，请写出平称后图象的函数表达式． 考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数的图象；二次函数图象与几何变换． 分析：（1）令y ＝0求得点A 、B 的坐标，根据抛物线的顶点公式求得点P 的坐标； （2）首先写出以顶点为中心的5个点的坐标，从而画出图象，结合与x 轴的交点，写出x 取何值时，函数值大于零； 一次函数图象的应用 一．知识与技能目标： 1．能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题； 2．在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系。 过程与方法目标： 1．通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维； 2．通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力； 3．引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式． 情感与态度目标： 1．在具体的案例中，培养学生良好的环保意识和对生活的热爱等． 教学重点 一次函数图象的应用． 教学难点 正确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题． 教学过程 第一环节复习 ．怎样应用一次函数的图象和性质来解决现实生活中的实际问 题，是我们这节课的主要内容．首先，想一想一次函数具有什么性质？ 在一次函数y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0 含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4 课件3 描点画对数函数的图象 课件编号：ABⅠ-2-2-1. 课件名称：描点画对数函数的图象. 课件运行环境：几何画板4.0以上版本. 课件主要功能：配合教科书“2.2.2 对数函数及其性质”的教学，说明对数函数图象的画法，演示对数函数图象的性质． 课件制作过程（一）： （1）新建画板窗口．单击【Graph】（图表）菜单中的【Define Coordinate System】（建立直角坐标系），建立直角坐标系．选中原点，按Ctrl＋K，给原点加注标签A，并用【文本】工具把标签改为O． （2）单击【Graph】菜单的【New Parameter】（新建参数），弹出“New Parameter”对话框，如图1，把Name栏改为x，把Volum栏改为0.5，单击【OK】后，出现参数x＝0.5．再新建参数y＝－1，n＝0（用来控制迭代次数）． 图1 图2 （3）单击【Measure】（度量）菜单中的【Calculate】（计算）打开计算器，计算“x×2”以及“y＋1”的值，如图2． （4）先后选中x，y，单击【Graph】菜单的【Plot As （x，y）】（绘制点 （x ，y ）），画点（x ，y ）． （5）单击【Display 】菜单的【Trace Plotted Point 】（追踪点的轨迹）． （6）先后选中x ，y ，n ，按住Shift 键，单击【Transform 】（变换）菜单的【Iterate To Depth 】（带参数的迭代），如图3，弹出“Iterate ”对话框，依次单击“x 2”，“y ＋1”，最后单击【Iterate 】完成迭代，如图4． 图3 图4 （7）先后选中x ，y ，x ×2以及y ＋1，单击【Display 】菜单的【Hide Measurements 】（隐藏目标）． （8）单击【Graph 】菜单的【Plot Points 】（绘制点）画点E （－0.5，0）．再画点F （8，0）． （9）选中两点E ，F ，按Ctrl ＋L 键画线段EF ．单击【Construct 】菜单的 【Piont On Segment 】（在线段EF 上构造点A ）． （10）单击【Measure 】（度量）菜单中的【Abscissa （x ）】（度量点的横坐标），打开计算器，计算log A x 2的值，如图5． 专题九 函数图象及综合应用 函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，复习时，应重点掌握几种基本初等函数的图象，并在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把几种常见题型的解法技巧理解透彻。 知识网络： 一、新课引入 在初中我们是采用什么方法来画出函数的图象？描点法作图。 描点法作图的步骤有哪些？ 描点法作图的基本步骤是：列表、描点、连线。 基本函数的图象要熟记：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、幂函数。 二、新课讲解 1、函数图象的基本作法有两种: ① 描点法②图象变换法 2、画函数图象时有时也可利用函数的性质如单调性、奇偶性、对称性、周期性等，以及图象上的特殊点、线（如对称轴、渐近线等）。 3、图象的变换是指一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图 象。 . 在高考中要求学生掌握的三种变换是：平移变换、对称变换、伸缩变换、翻折变换。 4、常用函数图象变换的规律。 (1)平移变换 ①水平平移：y ＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y ＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到。 ②竖直平移：y ＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y ＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到。 (2)对称变换 ①y ＝f(－x)与y ＝f(x)的图象关于y 轴对称。 ②y ＝－f(x)与y ＝f(x)的图象关于x 轴对称。 ③y ＝－f(－x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称。 (3)伸缩变换 ①y ＝af(x)(a ＞0)的图象，可将y ＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)或缩(a ＜1时)到原来的a 倍，横坐标不变。 ②y ＝f(ax)(a ＞0)的图象，可将y ＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)或缩(a ＞1时)到原来的1a 倍，纵坐标不变。 (4)翻折变换 ①作为y ＝f(x)的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y ＝|f(x)|的图象。 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋ φ)(A >0，ω>0)，x ∈ [0，＋∞) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T ＝ 2πω f ＝1 T ＝ω 2π ωx ＋φ φ 2.如下表所示. x 0－φ ω π2 －φω π－φ ω 3π2 －φω 2π－φ ω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0 A －A 3.函数y x y A x 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)作函数y ＝sin(x －π6)在一个周期的图象时，确定的五点是(0,0)，(π 2，1)，(π，0)，(3π2，－ 1)，(2π，0)这五个点．( × ) (2)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π 4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin(2x ＋ π 4 )．( × ) (3)函数y ＝sin(x －π4)的图象是由y ＝sin(x ＋π4)的图象向右移π 2 个单位长度得到的．( √ ) (4)函数y ＝sin(－2x )的递减区间是(－3π4－k π，－π 4－k π)，k ∈Z .( × ) (5)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为π，0.( √ ) (6)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 T 2 .( √ ) 1．(2014·)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1 2个单位长度 B ．向右平行移动1 2个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 答案 A 解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋1 2)的图象，即函数y ＝ sin(2x ＋1)的图象． 2．(2013·)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π 2)的部分图象如图所 示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π 3 B ．2，－π 6 C ．4，－π 6 D ．4，π 3 答案 A 解析 ∵34T ＝5π12－????－π 3，∴T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π 3，k ∈Z ， 又φ∈??? ?－π2，π2，∴φ＝－π 3，故选A. 函数图像的四种变换 1．平移变换 左加右减，上加下减 ) ( ) (a x f y x f y+ = ?→ ? =沿x轴左移a个单位； ) ( ) (a x f y x f y- = ?→ ? =沿x轴右移a个单位； a x f y x f y+ = ?→ ? =) ( ) (沿y轴上移a个单位； a x f y x f y- = ?→ ? =) ( ) (沿y轴下移a个单位。 2.对称变换 同一个函数求对称轴或对称中心，则求中点或中心。 两个函数求对称轴或对称中心，则求交点。 （1）对称变换 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线x=0(y轴)对称。 ②函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线y=0(x轴)对称。 ③函数) (a x f y+ =与) (x b f y- =的图像关于直线 2a b x - =对称 （2）中心对称 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- - =的图像关于坐标原点对称 ②函数) (x f y=与函数) 2( 2x a f y b- = -的图像关于点（a,b）对称。 3伸缩变换 （1）) (x af y=的图像，可以将) (x f y=的图像纵坐标伸长（a>1）或缩短（a<1）到原来的a倍，横坐标不变。 （2）) (ax f y=（a>0）的图像，可以将) (x f y=的横坐标伸长（0 4．翻折变换 （1）形如)(x f y =，将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方，去掉原来x 轴下方的部分，保留原来在x 轴上方的部分。 （2）形如)(y x f =，将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分，并保留)(x f y 轴左边部分，为)(y x f =的图像。 习题：①做出32y 2++=）（x 的图像 ②做出3+=x y 的图像 函数图象的画法 【教学目标】 1．学会用列表、描点、连线画函数图象。 2．学会观察、分析函数图象信息。 3．提高识图能力、分析函数图象信息能力。 4．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题能力。 【教学重点】 1.函数图象的画法。 2.观察分析图象信息。 【教学难点】 分析概括图象中的信息。 【教学过程】 一、提出问题，创设情境 我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立。但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映。例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系。 即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰。 我们这节课就来解决如何画函数图象的问题及解读函数图象信息。 二、导入新课 问题1在前面，我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题。现在让我们来回顾一下。 先考虑一个简单的问题：你是如何从图上找到各个时刻的气温的？ 分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温。这一气温曲线实质上给出了某日的气温T (℃)与时间t（时）的函数关系。例如，上午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(10，2)。实质上也就是说，当t＝10时，对应的函数值T＝2．气温曲线上每一个点的坐标(t，T)，表示时间为t时的气温是T。 问题2 如图，这是2004年3月23日上证指数走势图，你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的？ 分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴表示时间；它的纵轴表示上证指数。这一指数曲线实质上给出了3月23日的指数与时间的函数关系。例如，下午14：30时的指数是1746．26，表现在指数曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(14：30，1746．26)。实质上也就是说，当时间是14：30时，对应的函数值是1746．26．上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子。 一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形。图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值。 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象（graph）。上图中的曲线即为函数Ｓ＝x2（x>0）的图象。 函数图象可以数形结合地研究函数，给我们带来便利。 [活动一] 下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温Ｔ如何随时间t的变化而变化。你从图象中得到了哪些信息？ .. 二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（） A.开口方向向上，y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是（﹣1，﹣2） D.当x＜1 时，y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=（x-2）2+k，则b、k 的值分别为（） A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 A. B. 3 y2- - )2 y2- =x + (5 =x D.3 (52+ )2 (5 - =x )2 y C. 3 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是（） A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（） A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图 7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是（） A.a＞0，△＞0 B.a＞0，△＜0 C.a＜0，△＞0 D.a＜0，△＜0 8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（） A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2 一．选择题 1.下列各点在函数 2 y x - =的图象上的是（） A.（-2，1）； B.（0，-2）； C.（1，2）； D.（2，-2） 答案:A 2.如图，下列四种表示方式中，能表示变量y是x的函数的有（） A.1个； B.2个； C.3个； D.4个 答案:B 3.已知点A（2，3）在函数y=mx2-x+1的图象上，则m等于（） A.1； B.-1； C.2； D.-2 答案:A 4.若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是（） A.2； B.-2； C.1； D.-1 答案:D 5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（） 答案:C 6.如图，在平面直角坐标系中，点B（1，1），半径为1、圆心角为90°的扇形外周有一动点P，沿A→B→C→A运动一圈，则点P的纵坐标y随点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（） 答案:C 7.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示（实线为甲的路程与时间的关系图象，虚线为乙的路程与时间的关系图象），小王根据图象得到如下四个信息，其中错误的是（） A.这是一次1500米赛跑； B.甲，乙两人中先到达终点的是乙； C.甲，乙同时起跑； D．甲在这次赛跑中的速度为5米/秒 答案:C 8.某电信部门为了鼓励固定消费，推出新的优惠套餐：月租费10元；每月拔打市在120分钟时，每分钟收费0.2元，超过120分钟的每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费．则某用户一个月的市费用y（元）与拔打时间t（分钟）的函数关系用图象表示正确的是（） 答案:B 9.三峡工程在6月1日至6月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升至135米，高峡平湖初现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这10位h(米)随时间t(天)变化的是（） 函数图象及其应用 武安市第十中学李冉 一．教学内容分析： 本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。 学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。 二．学生学习情况分析： 学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。 高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。 三．设计思想： 6、函数图象及其应用 一．教学内容分析： 本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。 学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。 二．学生学习情况分析： 学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。 高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。 三．设计思想： 1．尽管我们的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但教材仅是教师在教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合教学内容等，本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知识，又为第三章学习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不误砍材功。 2．树立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断 初中函数解析式及图象画法 一、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 1、一次函数：y=kx+b（k、b是常数，k 0） 说明：①k 0的常数 ②x指数为1 ③b取任意实数 ④自变量x的取值为一切实数。【x的取值范围（定义域）：x € R】 ⑤函数y的取值是一切实数。【y的取值范围（值域）：y€ R】 k 2、反比例函数：y （k为常数，k 0） x 说明：① 常数k不为零（也叫做比例系数k）②分母中含有自变量x，且指数为1. ③自变量X的取值为一切非零实数。【x的取值范围（定义域）：｛X € R I x丰0｝】（反比例函数 有 意义的条件：分母工0）④函数y的取值是一切非零实数。【y的取值范围（值域）：｛y € R I y丰0｝】 3、二次函数：一般式：y ax2bx c （a 0 , a , b ,c是常数）： 说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. ⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项. 、函数图象的常规画法：（描点法画函数图形的一般步骤） 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）; 第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来） 1、一次函数y=kx+b图像（直线）的画法：两点法 ①计算必过点（0, b）和（-—,0）［当x=0,时，y= b，过点（0, b）;当y=o,时，x=-—过点（-一，0）］ k k k ②描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的直线） k 2、反比例函数y k图像（双曲线）的画法：---五点绘图法： x ①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） ②描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的曲线） 3、二次函数y ax2 bx c图象（抛物线）的画法---五点绘图法： 2 ①配方变形：对于二次函数y ax2 bx c经过配方变形为顶点式：y=a（x+■一）2 j4ac_—,其顶点坐标为（ 2a 4a 2 ②确定三特征：开口方向（a正朝上；b负朝下）；对称轴（直线x=-—）；其顶点坐标为（-■一 ,4ac b） 2a 2a 4a ③然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 ④选取五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0, c关于对称轴对称的点-，c、与x轴的交 a b 4ac b 2a' 4a 《一次函数图象的应用》优质课比赛教案 《一次函数图象的应用》优质课比赛教案 教学目的和要求： 1.能通过函数图像获取信息，增强图能力，发展形象思维。 2.能利用函数图像解决简单的实际问题，发展数学应用能力。 教学重点和难点： 重点： 1、能通过函数图象获取信息，发展形象思维能力。 2、能利用函数图象解决实际问题，发展数学应用能力。 3、初步体会议程与函数的关系，建立良好知识的联系。 难点： 1.利用函数图象解决实际问题。 2.用函数的观点研究方程。 快速反应 1.下图是某地某日24小时气温随时间变化的曲线图，根据图象填空： （1）气温最低，最低气温是℃。 （2）气温最高，最高气温是℃。 （3）气温是0℃。 2.如图是反映某水库的蓄水量V（万米3）随着干旱持续时间t（天）变化的图象，根据图象填空。 （1）水库原有水量万米3，干旱连续10天，水库蓄水量为。 （2）蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，则连续干旱天将发出严重干旱警报。（3）持续干旱天水库将干涸。 自主学习 为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在玉溪市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费y（元）的关系如图6—5—1所示： （1）分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式； （2）请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜？ 答案：(1) (2)当y1=y2时， 当时， 所以，当通话时间等于96 min时，两种卡的收费一致；当通话时间小于mim时，“如意卡便宜”；当通话时间大于min时，“便民卡”便宜。 2、某医药研究所开发了一种 小结： 1.含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是非曲直的方程叫做二元一次方程. 2.含有两个未知数的两个一次方程所组成的`一组方程，叫做二元一次方程组. 3.适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解. 4.二元一次方程组中多个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解. 几种特殊函数の图象及应用 函数学习中，除了二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数外，还有一类分式函数、绝对值函数也常常出现．这类函数问题，虽说借助于导数等工具也能解决，但如果能够掌握这类函数の基本图象特征，便能起到事半功倍の效果．本文介绍四个最常见の函数模型及其图象特征，并在实际问题中借助于换元、分离变量等手段将函数表达式转化为这几个函数模型之一，根据函数图象，迅速找到解决问题の切入点和解题思路． 先了解这四个基本函数： ①函数1y x =（图1）；②函数1y x x =+（图2）； ③函数1 y x x =-（图3）；④函数y x =（图4）． 从函数の图象很容易看出函数の对称性、单调性、值域等性质，下面看它们各自の应用． 一、形如()0c y a c x b =+ ≠-の函数可利用函数1y x =（或1 y x =-）の性质．当0c >时，函数c y a x b =+-の图象可看成由函数c y x =の图象左右、上下平移得到，在区间(,)b -∞、(,)b +∞上 分别递减；当0c <时，函数c y a x b =+-の图象可看成由函数c y x =の图象左右、上下平移得到， 在区间(,)b -∞、(,)b +∞上分别递增． 例1 函数())0(11 lg >--=k x kx x f 在[)+∞,10上单调递增，求实数k の取值范围． 解析：令11,lg )(--==x kx t t x f ，由复合函数单调性及题意可得:1 1 --=x kx t 需满足两个条件：① t 在[)+∞∈,10x 上单调递增；②0>t 在[)+∞∈,10x 上恒成立． 考虑)1(1 1 11≠--+=--= x x k k x kx t 当1=k 时，0)(=x f 不合题意，舍去； 当1>k 时，t 在()()+∞∞-,1,1,上均递减，不合题意，舍去； 当10<6.5一次函数图象的应用(第二课时)教学设计
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