自动控制原理课后答案
第 一 章
1-1 图1-2是液位自动控制系统原理示意图。在任意情况下，希望液面高度c 维持不变，试说明系统工作原理并画出系统方块图。
图1-2 液位自动控制系统
解：被控对象：水箱；被控量：水箱的实际水位；给定量电位器设定水位r u （表征液
位的希望值r c ）；比较元件：电位器；执行元件：电动机；控制任务：保持水箱液位高度
不变。
工作原理：当电位电刷位于中点（对应
r u ）时，电动机静止不动，控制阀门有一定的
开度，流入水量与流出水量相等，从而使液面保持给定高度
r c ，一旦流入水量或流出水量
发生变化时，液面高度就会偏离给定高度r c
。
当液面升高时，浮子也相应升高，通过杠杆作用，使电位器电刷由中点位置下移，从而给电动机提供一定的控制电压，驱动电动机，通过减速器带动进水阀门向减小开度的方向转动，从而减少流入的水量，使液面逐渐降低，浮子位置也相应下降，直到电位器电刷回到中点位置，电动机的控制电压为零，系统重新处于平衡状态，液面恢复给定高度r c
。
反之，若液面降低，则通过自动控制作用，增大进水阀门开度，加大流入水量，使液面升高到给定高度r c
。
系统方块图如图所示：
1-10 下列各式是描述系统的微分方程，其中c(t)为输出量，r (t)为输入量，试判断哪些是线性定常或时变系统，哪些是非线性系统?
（１）
222
)
()(5)(dt t r d t
t r t c ++=；
（２）)()(8)
(6)(3)(2
233t r t c dt t dc dt t c d dt t c d =+++；
（３）
dt t dr t r t c dt t dc t )(3)()()(+=+； （４）5cos )()(+=t t r t c ω；
（５）?∞-++=t d r dt t dr t r t c τ
τ)(5)
(6)(3)(；
（６）)()(2
t r t c =；
（７）????
?≥<=.6),(6,0)(t t r t t c
解：（1）因为c(t)的表达式中包含变量的二次项2
()r t ，所以该系统为非线性系统。
（2）因为该微分方程不含变量及其导数的高次幂或乘积项，且各项系数均为常数，所以该
系统为线性定常系统。
（3）该微分方程不含变量及其导数的高次幂或乘积项，所以该系统为线性系统，但第一项
()
dc t t
dt 的系数为t ，是随时间变化的变量，因此该系统为线性时变系统。
（4）因为c(t)的表达式中r(t)的系数为非线性函数cos t ω，所以该系统为非线性系统。 （5）因为该微分方程不含变量及其导数的高次幂或乘积项，且各项系数均为常数，所以该系统为线性定常系统。
（6）因为c(t)的表达式中包含变量的二次项2()r t ，表示二次曲线关系，所以该系统为非
线性系统。
（7）因为c(t)的表达式可写为()()c t a r t =?，其中
0(6)
1(6)t a t ?
≥??，所以该系统可看作是线性时变系统。
第 二 章
2-3试证明图2-5(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。
分析 首先需要对两个不同的系统分别求解各自的微分表达式，然后两者进行对比，找出两者之间系数的对应关系。对于电网络，在求微分方程时，关键就是将元件利用复阻抗表示，然后利用电压、电阻和电流之间的关系推导系统的传递函数，然后变换成微分方程的形式，对于机械系统，关键就是系统的力学分析，然后利用牛顿定律列出系统的方程，最后联立求微分方程。 证明：(a)根据复阻抗概念可得：
22212121122122112121122121221
11()1()1
1
1
o
i
R u C s
R R C C s R C R C R C s R u R R C C s R C R C R C C s R C s R C s
+
++++==
++++++
+
即
220012121122121212112222()()i i o i
d u du d u du
R R C C R C R C R C u R R C C R C R C u dt dt dt dt
++++=+++取A 、B 两点进行受力分析，可得：
o 112(
)()()i o i o dx dx dx dx f K x x f dt dt dt dt -+-=- o 22()dx dx
f K x dt dt -= 整理可得：
2212111221121212211222()()o o i i o i
d x dx d x dx f f f K f K f K K K x f f f K f K K K x dt dt dt dt ++++=+++
经比较可以看出，电网络（a ）和机械系统（b ）两者参数的相似关系为
1
112
22
1
2
11,,,K f R K f R C C
2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。
(1) ;)()(2t t x t x =+
(２)）。t t x t x t x ()()(2)(δ=++
2-7 由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-6所示，试求闭环传递函数U ｃ(ｓ)／Ｕｒ(ｓ)。
图2-6 控制系统模拟电路
解：由图可得
1
1111()
1i o o o
R U U C s
U R R R C s =--+
2
20o U R U R =
21021
U U R C s =
联立上式消去中间变量U1和U2,可得：
12
3
23
112212()()o i o o U s R R U s R R C C s R C s R R -=-++
2-8 某位置随动系统原理方块图如图2-7所示。已知电位器最大工作角度o
330m ax =θ，功
率放大级放大系数为K 3,要求：
(1) 分别求出电位器传递系数K 0、第一级和第二级放大器的比例系数K 1和K 2；
(2) 画出系统结构图； (3) 简化结构图，求系统传递函数
)(/)(0s s i θθ。
图2-7 位置随动系统原理图
分析：利用机械原理和放大器原理求解放大系数，然后求解电动机的传递函数，从而画出系统结构图，求出系统的传递函数。
解：（1）
000
30180
/11330180m
E
K V rad π
θπ
=
=
=
?
3
1330103
1010K -?==-?
3
23
201021010K -?==-?
（2）假设电动机时间常数为Tm ，忽略电枢电感的影响，可得直流电动机的传递函数为
()()1m a m K s U s T Ω=
+
式中Km 为电动机的传递系数，单位为1
()/rad s V -。 又设测速发电机的斜率为
1
(/)t K V rad s -?，则其传递函数为 ()
()t t
U s K s =Ω
由此可画出系统的结构图如下：
（3）简化后可得系统的传递函数为
22301230123()
1
1()
1
o m m t
i m m
s T K K K K s s s K K K K K K K K K K θθ=+++
2-9 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出 响应t
t e e t c --+-=21)(，
试求系统的传递函数和脉冲响应。
分析：利用拉普拉斯变换将输入和输出的时间域表示变成频域表示，进而求解出系统的传递函数，然后对传递函数进行反变换求出系统的脉冲响应函数。
解：（1）
1
()R s s =
，则系统的传递函数
211142()21(1)(2)s s C s s s s s s s ++=-+=
++++ 2()42()()(1)(2)C s s s G s R s s s ++==
++
（2）系统的脉冲响应
()k t =21
1
124212
L [G(s)]L []L [1]()2(1)(2)12t t
s s t e e s s s s δ-----++==-+=-+++++
2-10 试简化图2-9中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。
图2-9 题2-10系统结构图
分析：分别假定R(s)=0和N(s)=0，画出各自的结构图，然后对系统结构图进行等效变换，将其化成最简单的形式，从而求解系统的传递函数。 解：（a ）令N （s ）＝0，简化结构图如图所示：
可求出：12112()
()1(1)G G C s R s H G G =
++
令R （s ）＝0，简化结构图如图所示：
3
G
2
G
1H 1
G
1
G
()N s
()C s
所以：
3212112121(1)
()()1G G G G H C s N s G G G G H -+=++ （b ）令N （s ）＝0，简化结构图如下图所示：
(N
(N
()s
(N
()
s
所以：
12434
2434(1)()()1G G G G G C s R s G G G G ++=++ 令R （s ）＝0，简化结构图如下图所示：
42434()
()1C s N s G G G G =
++
2-12 试用梅逊增益公式求图2-8中各系统信号流图的传递函 数C(s)/R(s)。
图2-11 题2-12系统信号流图
解：
（a ） 存在三个回路：312323431G H G G H G G H ?=+++
存在两条前向通路：
1123451262,1,P G G G G G P G =?==?=?
4G
N
C 23
G G +
12
G G 23G G +
4G R C 23
G G +
所以：12345631343232()
()
1G G G G G C s G R s G H G G H G G H =+
+++ （b ）9个单独回路：
12124236343454512345656734565718658718659841
,,,,,,,L G H L G H L G H L G G G H L G G G G G G H L G G G G G H L G G G H L G H G G H L G H H =-=-=-=-=-=-=-==
6对两两互不接触回路： 121323728292L L L L L L L L L L L L
三个互不接触回路1组：123L L L
4条前向通路及其余子式：
112345612734563718642418642P =G G G G G G ,=1 ; P =G G G G G , 2=1 ;P =-G H G G ,3=1+G H ; P =G G G , 4=1+G H ????
所以，4
19
6123
1
1
()
()
1k
k
k a b c a P C s R s L L L L L L ==?
=-+-∑∑∑
第 三 章
3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为
1.20
()1012.5sin(1.653.1)t h t e t -=-+ 试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。
解：依题意
p
t t =时
()0
p h t '=，并且
p
t 是使
()
p h t '第一次为零的时刻(
p t ≠)
1.20()101
2.5sin(1.65
3.1)t h t e t -=-+
1.200101
2.5(cos5
3.1sin1.6sin 53.1cos1.6)t e t t -=-+
1.20 1.20 1.2()15sin(1.653.1)20cos(1.653.1)25sin1.6t t t h t e t e t e t ---'=+-+=
可见，当
()
h t '第一次为0时，
1.6 1.96p p t t π=?=，所以
1.21.96
0180()1012.5sin(1.6 1.9653.1)10.95
p h t e
π
-?=-??
+=
()()
10.9510
%100%100%9.5%
()10p h t h h σ-∞-=
?=
?=∞ 根据调节时间s t 的定义：
0.95()() 1.05()s h h t h ∞<<∞，即
1.29.5101
2.50.5t e -<-<，得
ln 0.04 3.212 2.68
1.2 1.2
s t >-==
所以：%9.5% 1.96 2.68p s
t s t s
σ===
3-5设图3-3是简化的飞行控制系统结构图，试选择参数K １和Kt ，使系统ωｎ＝６、ζ＝１。
图3-3 飞行控制系统
分析：求出系统传递函数，如果可化为典型二阶环节形式，则可与标准二阶环节相对照，
从而确定相应参数。
解 对结构图进行化简如图所示。
故系统的传递函数为1
12
1112525(0.8)
()25(1)(0.825)251(0.8)t t K K s s s K K s s K K s K s s +Φ==+++++
+
和标准二阶系统对照后可以求出：
2
11
20.8
1.44,
0.31
25
25n
n t K K K ωζω-=
==
=
3-7已知系统特征方程如下，试求系统在s 右半平面的根数及虚根值。
0108-7-4442
3
4
5
6
=++-+s s s s s s
分析 系统在右半平面的根数即为劳思表第一列符号改变的次数，虚根值可通过构造辅助函数求得。
解 由系统特征方程，列劳思表如下：
6543
14710
4485510
s s s s -----
（出现了全零行，要构造辅助方程）
由全零行的上一行构造辅助方程42
55100s s --+=，对其求导，得
320100s s --=
故原全零行替代为
125(0.8)
K s s +1
t K s +
3210
20102.510
9010
s s s s ----
表中第一列元素变号两次，故右半s 平面有两个闭环极点，系统不稳定。
对辅助方程42
55100s s --+=化简得
22(1)(2)0
s s -+=①
由()/D s 辅助方程，得余因式为
(s-1)(s+5)=0 ②
求解①、②，得系统的根为
1,23,4562115
s j s s s =±=±==-
所以，系统有一对纯虚根。
3-9 已知单位反馈系统的开环传递函数
（1）)5)(11.0(100
)(++=
s s s G
（２）
)5)(11.0(50
)(++=s s s s G （３）
)
1006()12(10)(22+++=
s s s s s G
试求输入分别为 t t r 2)(=和 2
22)(t t t r ++=时，系统的稳态误差。
分析：
用静态误差系数法求稳态误差比用误差传递函数求解更方便。对复杂的输入表达式，可分解为典型输入函数的线性组合，再利用静态误差系数法分别求各典型输入引起的误差，最后叠加起来即为总的误差。 解 （1）
判别系统的稳定性
()(0.11)(5)1000D s s s =+++=
210()(10)(5)10001510500D s s s s s =+++=++=
21
011050
15
1050
s s s
可见，劳思表中首列系数全部大于零，该系统稳定。 求稳态误差
K ＝100/5=20,系统的型别0ν=， 当1()2r t =时，122
0.0951120ss p e K =
==++
当
2()2r t t =时，
222
0ss v e K =
=→∞
当
2
2
3()22t r t t ==?时，3
220ss a e K ==→∞
所以，
ss e
，
ss e
(2)判断稳定性 32()(10)(5)5001550500D s s s s s s s =+++=+++ 43210
110010
62096.710
5622910
s s s s s
劳斯表中首列系数全部大于零，该系统稳定。 求稳态误差
K ＝10/100=0.1,系统的型别2ν=， 当1()2r t =时，
122
011ss p e K =
==++∞
当2()2r t t =时，
222
0ss v e K =
=∞＝
当2
2
3()22t r t t ==?时，3
220.1ss a e K ==＝20
3-11设随动系统的微分方程为
)()()(22
21t u K dt t dc dt t c d T =+
)]()([)(1t b t r K t u -= )
()()(2t c t b dt t db T =+
其中，T １、Ｔ２和K ２为正常数。若要求r(t)=1+ t 时，c(t)对r(t)的稳态误差不大于正常
数ε０，试问K １应满足什么条件?
分析：先求出系统的误差传递函数，再利用稳态误差计算公式，根据题目要求确定参数。 解：对方程组进行拉普拉斯变换，可得
212()()()T s s C s K U s +=
1()[()()]U s K R s B s =-
2(1)()()T s B s C s +=
按照上面三个公式画出系统的结构图如下：
2r t =
∞
2
22r t t =++
221+∞+∞→∞
2r t
=0
2
22r t t =++002020++＝
ss
e
ss
e
定义误差函数()()()E s R s C s =-
所以
1211212(1)()()()()
()11()1()()()1(1)(1)e K K s T s E s R s C s C s s s K K R s R s R s s T s T s +-Φ===-=-Φ=-
+
++
12212
32
1212121()K K T s K K TT s T T s s K K +=-++++ 12212322000121212
11
lim ()lim ()()lim [1]()()ss e s s s K K T s K K e sE s s s R s s TT s T T s s K K s s →→→+==Φ=--++++
122121K K T K K -=
令1220
12
1ss K K T e K K ε-=≤，可得1221()o k k T ε≥+，因此，当1221
()o k k T ε≥+时，满足条件。
第 四 章
4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)：
(1)
)15.0)(12.0()(++=
s s s K s G （2）)12()
1()(++=
s s s K s G
解：(1)
)5)(2()15.0)(12.0()(*
++=
++=s s s K s s s K s G ，K K 10*= ① n ＝3，根轨迹有3条分支；
② 起点：p1＝0，p2＝-2，p3＝-5；没有零点，终点：3条根轨迹趋向于无穷远处。 ③ 实轴上的根轨迹：[-2,0],(5,-∞-];
④ 渐进线：
373520-=--=
a σ，ππ
π?,33)12(±=+=K a ； ⑤ 分离点：0
51211=++++d d d
求解得：79.31-=d （舍去），88.02-=d ；
k 1
2
1(1)
k s T s +211
T s +R
C
u
B
作出根轨迹如图所示：
(2)
* (1)(1)
()
(21)(0.5)
K s K s
G s
s s s s
++
==
++，*0.5
K K
=
①n＝2，根轨迹有2条分支；
②起点：p1＝0，p2＝-0.5，；终点：1
1
z=-
，1
n m
-=条根轨迹趋向于无穷远处。
③实轴上的根轨迹：[-0.5,0],(
,1
-∞-];
④分离点：
111
0.51
d d d
+=
++
求解得：1
0.29
d=-
，2
1.707
d=-
；
作出根轨迹如图所示：
4-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求：
确定
)
20
)(
10
(
)
(
)
(
2+
+
+
=
*
s
s
s
z
s
K
s
G
产生纯虚根为±ｊ1的ｚ值和*
K值。
解：
200
30
)
(
)
20
)(
10
(
)
(*
*
2
3
4
*
2=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=z
K
s
K
s
s
s
z
s
K
s
s
s
s
D
令
j
s=代入0
)
(=
s
D，并令其实部、虚部分别为零，即：
200
1
)]1
(
Re[*=
+
-
=z
K
j
D，0
30
)]1
(
Im[*=
+
-
=K
j
D
解得：
63
.6
,
30
*=
=z
K