高三数学二轮专题复习教案――数列

高三数学二轮专题复习教案――数列

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

１．数列的概念与表示方法

（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．

（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．

（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．

（４）n a与n S的关系：

1

1

(1)

(2)

n

n n

S n

a

S S n

-

=

?

=?

-

?≥．

2．等差数列和等比数列的比较

（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．

（２）递推公式：110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，．

（３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*

=+-=∈N ，，．

（４）性质

等差数列的主要性质：

①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列． ②若

m n p q

+=+，则

()

m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有

2m n p

a a a +=．

③

()()

n m a a n m d m n *-=-∈N ，．

④232k k k k k S S S S S --，，，…

成等差数列．

等比数列的主要性质： ①单调性：当

1001

a q

<

或101a q >??>?时，为递增数列；当101a q ?，，，或1001a q >??<

列；当0q <时，为摆动数列；当1q =时，为常数列． ②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．特别地，若2m n p +=，则2m n p

a a a =·．

③(0)n m n

m a q m n q a -*=∈≠N ，，．

④232k k k k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数，是公比为1-的等比数列． 三、考点剖析

考点一：等差、等比数列的概念与性质 例1. （2008深圳模拟）已知数列

.

12}{2n n S n a n n -=项和的前

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列.|}{|n n T n a 项和的前

解：（1）当111112,12

11=-?===S a n 时；、

当

.

213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，

.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、

（2）令.

6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N

当

2

212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；

当|

|||||||||,67621n n

a a a a a T n ++++++=> 时

n

a a a a a a ----+++= 87621

.

7212)12()6612(222226+-=---??=-=n n n n S S n

综上，

?????>+-≤-=.6,7212,6,122

2

n n n n n n T n

点评：本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n ＝１时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想． 例２、（2008广东双合中学）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且35a =，15225S =. 数列}{n b 是等比数列，32325,128b a a b b =+=（其中1,2,3,n =…）.

（I ）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（）记,{}n n n n n c a b c n T =求数列前项和. 解：（I ）公差为d ，

则???=?+=+,22571515,5211d a d a 1

2,

2,

11-=??

?==∴n a d a n 故(1,2,3,n =)….

设等比数列}{n b 的公比为q ， ?

????=?=,128,

82

333q b q b b 则 .2,83==∴q b

n n n q b b 233=?=∴-(1,2,3,n =)

….

（）,

2)12(n n n c ?-=

2323252(21)2,

n n T n ∴=+?+?+

+-?

.

2)12(2)32(2523221432+?-+?-++?+?+=n n n n n T

作差：1

15432)12(22222++?--+++++=-n n n n T

311

2(12)2(21)212n n n -+-=+--?-

31122122(21)(21)222822n n n n n n n -++++=+---?=+--+162(23)n n +=---? 1(23)26n n T n +∴=-?+(1,2,3,n =)

….

点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n 项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。 考点二：求数列的通项与求和

例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为 解：前n －1 行共有正整数

1＋2＋…＋（n －1）个，即22

n n

-个，因此第n 行第3 个

数是全体正整数中第22

n n

-＋3

个，即为26

2n n -+．

点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。 例4.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()

f n 个“福娃迎迎”，则

(5)f =

；()(1)f n f n --=＿＿＿＿

解：第1个图个数：1 第2个图个数：1+3+1 第3个图个数：1+3+5+3+1 第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1

第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41， 所以，f （５）＝４１

1 2 3 4 5 6

f(2)(1)=４ ，f(３)(２)=８，f(４)(３)=１２，f(５)(４)=１６

()(1)f n f n --=4(1)n -

点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。 考点三：数列与不等式的联系

例5.（２００９届高三湖南益阳）已知等比数列{}n a 的首项为

3

11=

a ，公比q 满足

10≠>q q 且。又已知1a ，35a ，59a 成等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项 （2）令n

a n

b 13log =，求证：对于任意n N *∈，都有1223

1

1111 (1)

2n n b b b b b b +≤+++

（1）解：∵

315

259a a a ?=+ ∴

24

111109a q a a q =+ ∴

4291010q q -+= ∵10≠>q q 且 ∴

1

3q =

∴113n n

n a a q --==

（2）证明：∵

1

33log log 3n

a n

n b n === ， 11111

(1)1n n b b n n n n +==-

++

∴1223

1111111

111

...1122311n n b b b b b b n n n ++++=-+-+

+

-=-++

12231

1111

...1

2n n b b b b b b +∴≤+++

点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n 的范围证出不等式。

例６、(2008辽宁理) 在数列||n a ，||n b 中，a1=2，b1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，

11

n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*

N ）

（Ⅰ）求a2，a3，a4与b2，b3，b4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）证明：1122

1115

12n n a b a b a b +++<

+++…． 解：（Ⅰ）由条件得

2

111

2n n n n n n b a a a b b +++=+=，由此可得

2233446912162025

a b a b a b ======，，，，，．

猜测

2

(1)(1)n n a n n b n =+=+，．

用数学归纳法证明：

①当1时，由上可得结论成立． ②假设当时，结论成立，即

2

(1)(1)k k a k k b k =+=+，，

那么当1时，

22

2

21122(1)(1)(1)(2)(2)k

k k k k k

a a

b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．

所以当1时，结论也成立． 由①②，可知

2

(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．

（Ⅱ）11115

612a b =<

+．

n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．

故

112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??

+++<++++ ?+++??+??…… 111111116223341n n ??=

+-+-++- ?+??… 111111562216412n ??=

+-<+=

?+??

综上，原不等式成立．

点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．

例７. （2008安徽理）设数列{}n a 满足3

*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数

（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*

n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；

（Ⅱ）设1

03c <<

，证明：1*

1(3),n n a c n N -≥-∈; （Ⅲ）设

103c <<

，证明：

22

2*

122

1,13n a a a n n N c ++

>+-

∈-

解： (1) 必要性 ：120,1a a c ==-∵∴ ，

又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈ 充分性 ：设 [0,1]c ∈，对*

n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈

当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥ 则

3

1111

k k a ca c c c +=+-≤+-=，且

3

1110

k k a ca c c +=+-≥-=≥

1[0,1]

k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*

n N ∈成立

(2) 设

1

03c <<

，当1n =时，10a =，结论成立

当2n ≥ 时， 32

11111,1(1)(1)

n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴

1

03C <<

∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 2

1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥

113(1)n n a c a --≤-∴ 211

12113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴

1*1(3)()

n n a c n N -≥-∈∴

(3) 设

103c <<

，当1n =时，212

0213a c

=>-

-，结论成立

当2n ≥时，由（2）知11(3)0n n a c -≥->

2

1212(1)1

(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴

22

22

2

21

12212[3(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--++

+∴

2(1(3))2

111313n c n n c c -=+->+--- 点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。

考点四：数列与函数、概率等的联系 例题８.. (2008福建理) 已知函数

321

()2

3f x x x =+-.

（Ⅰ）设{}是正数组成的数列，前n 项和为，其中a1=3.若点2

11(,2)

n n n a a a ++-(n ∈N*)

在函数′(x)的图象上，求证：点（）也在′(x)的图象上；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间（1）内的极值. (Ⅰ)证

明：因为

321

()2,

3f x x x =+-所以f

′(x)2+2x,

由点211(,2)(N )

n n n a a a n +

++-∈在函数′(x)的图象上,

又

0(N ),

n a n +>∈所以11()(2)0,n n n n a a a a -+---=

所以

2(1)

32=22n n n S n n n -=+

?+,又因为f

′(n)2+2n,所以()

n S f n '=

,

故点(,)n n S 也在函数′(x)的图象上. (Ⅱ)解:

2()2(2)f x x x x x '=+=+,

由()0,f x '=得02x x ==-或.

当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表: 注意到(1)12a a --=<,从而 ①当

2

12,21,()(2)3a a a f x f -<-<-<<--=-

即时的极大值为,此时()f x 无极小值；

②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值； ③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值.

点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.

例９ 、（２００７江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数

列的概率为（ ） Ａ． Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

x (-∞2) -2 (-2,0) 0 (0∞) f ′(x) + 0

-

+

f(x)

↗

极大值 ↘ 极小值 ↗

解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，

成等差数列的概率为

，选B

点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。 考点五：数列与程序框图的联系

例１０、（２００９广州天河区模拟）根据如图所示的程序框图，将输

122008

,,

,,

,n y y y y

出的x 、y 值依次分别记为122008

,,,,

,n x x x x ；

（Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式n x ；

（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{}；

的一个通项公式，并证明你的结论; （Ⅲ）求1122(,2008)

n n n z x y x y x y x N n =++

+∈*≤．

解：（Ⅰ）由框图，知数列2,1}{11+==+n n n x x x x 中， ∴12(1)21(*,2008)n x n n n N n =+-=-∈≤ （Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想

31(*,2008).

n n y n N n =-∈≤

证明：由框图，知数列{}中，1=32 ∴)1(311+=++n n y y ∴

111

3,1 3.1

n n y y y ++=+=+

∴数列{1}是以3为首项，3为公比的等比数列。 ∴n y +1=3·3n －1=3n

∴n y =3n －1（*,2008n N n ∈≤） （Ⅲ）n n y x y x y x +++ 2211

=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n －1）（3n －1）

=1×3+3×32+…+（2n －1）·3n －[1+3+…+（2n －1）] 记1×3+3×32+…+（2n －1）·3n ，① 则31×32+3×33+…+（2n －1）×31 ②

①－②，得－23+2·32+2·33+…+2·3n －（2n －1）·31 =2（3+32+…+3n ）－3－（2n －1）·31

=2×13·)12(331)

31(3+-----n n n =

113·)12(63++---n n n 63·)1(21

--=+n n ∴

.

33·)1(1+-=+n n n S

又1+3+…+（2n －1）2 ∴

12(1)33(*,2008)

n n z n n n N n +=-?+-∈≤.

点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。

四、方法总结与2009年高考预测

（一）方法总结

1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。

2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。

3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。

（二）2009年高考预测

1. 数列中n S与n a的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意n S与n a的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。

2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.

3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。

4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列与可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.

5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.

6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。

７、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。

五、复习建议

在进行数列二轮复习时，建议可以具体从

以下几个方面着手:

1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；

2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；

3．注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用；

4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义与其等价形式；

5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；

6．掌握数列通项与前n项和之间的关系；

7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；

8．掌握一些数列求和的方法

(1)分解成特殊数列的和

(2)裂项求和

(3)“错位相减”法求和

9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．

以上关于数列二轮复习的几点建议仅供复习时参考，各校应根据自己的实际情况进行增减，四星以下的学校应重在基础，对于数列的综合问题可略讲，甚至不讲．