61
81135745=++++。
4.
112
(1)n n n -+。111
1
(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++， 即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=
+)
1(1
11)2)(1(221
=)
1(1
)2)(1(2++
+++-n n a n n n ，
由此得 2)1(1
))2)(1(1(1++
=++++n n a n n a n n ． 令1(1)
n n b a n n =++，1111
22b a =+= (10a =)，
有11
2n n b b +=，故12n n b =，所以)1(12
1+-
=n n a n n ．
5. 5,6。
由22
2211x y a b x y ?+=???+=?
,可得2222222
()20a b x a x a a b +++-= ①
由OM ON ⊥得12120x x y y +=,即12122()10x x x x -++=,将2
1222
2a x x a b +=-+,
2221222a a b x x a b -=+代入得22112a b +=,即22
112b a =-
,32c a ≤≤,得 2211132b a ≤-≤,得221223b a ≤≤,有2231
(2)22a a
≤?-≤,526a ≤≤
6. 63[15]，
，且0y >。5125y x x =--22225(2)(1)(5)x x ≤+-+-2743=?=2155x x -=-，等号成立，即127
27
x =时函数取最大值63
7. 21)。由条件得 9
631-+-=-+-y x y x --------①
当9≥y 时，①化为6
61-=+-x x ，无解；
当3≤y 时，①化为661-+=-x x ，无解；
当93≤≤y 时，①化为 16122---=-x x y -------②
若1≤x ，则5.8=y ，线段长度为１；若61≤≤x ，则5.9=+y x ，线段长度为
25；若6≥x ，则5.3=y ，线段长度为４．综上可知，点C 的轨迹的构成的线段长度之和为
()
1254251+=++。
8. 723如答图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点
D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，
111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．
答图 2
因111
111
1
3P A B C A B C V S PD -?=?
1114O A B C V -=?
1111
43
A B C S OD ?=???，
故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．
记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则
22
2211(3)22PP PO OP r r r =-=
-=． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1P EF
，如答图2．记正四面体 的棱长为a ，过1P 作1
PM PA ⊥于M ． 因16MPP π∠=
，有
11
3cos 226PM PP MPP r r =?==，故小三角形的边长1
226PE PA PM a r =-=-． 小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）
1PAB P EF S S ??-223(26))a a r =--2
3263ar r =-．
又1r =，46a =
1
24363183PAB PEF S S ??-== 由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触
到的容器内壁的面积共为723二． 解答题（共56分） 9.解:（1）令1,0x y ==，()()()()1011f f f f ∴?=+，又
5
(1)2
f =
，()02f ∴=. 令0x =，得 (0)()()()f f y f y f y =+-，即2()()()f y f y f y =+-
∴()()f y f y =-对任意的实数y 总成立， ()f x ∴为偶函数. 令1x y ==，得 ()()()()1120f f f f =+，∴25(2)24
f =+，∴17(2)4f =.
∴1175
2(2)(1)622
a f f =-=
-=. 令1,1x n y =+=，得(1)(1)(2)()f n f f n f n +=++，
∴5
(2)(1)()2
f n f n f n +=
+-. ()()()()()()()
152212114122n a f n f n f n f n f n f n f n +??
∴=+-+=+--+=+-????
2[2(1)()]2(1).n f n f n a n =+-=
∴{}n a 是以6为首项，以2为公比的等比数列. ∴162n n a -=?.
（2）结论：12()()f x f x <. 证明：∵0y ≠时，()2f y >, ∴()()()()2()f x y f x y f x f y f x ++-=>，
即
()()()()f x y f x f x f x y +->--.
∴令x ky =（k ∈+N ），故k ?∈+N ，总有[(1)]()()[(1)]f k y f ky f ky f k y +->--成立. 则
[(1)]()()[(1)]
f k y f ky f ky f k y +->--[(1)][(2)]()(0)0f k y f k y f y f >--->>->.
∴对于k ∈+N ，总有[(1)]()f k y f ky +>成立. ∴对于,m n ∈+
N ，若n m <，则有()()1()f ny f n y f my <-<
∵12,x x ∈Q ，所以可设121212
||,||q q
x x p p =
=，其中12,q q 是非负整数，12,p p 都是正整数，则1212121212
||,||q p p q x x p p p p ==，令121y p p =，1212,t q p s p q ==，则,t s ∈+
N .
∵12||||x x <，∴t s <，∴()()f ty f sy <，即12(||)(||)f x f x <. ∵函数()f x 为偶函数，∴1122(||)(),(||)()f x f x f x f x ==.∴12()()f x f x <.
10解：∵1122n n n nba a a n --=
+-，∴1122
n n n a ba n a n --=+-，∴
1211
n n n n a b a b --=?+ ① 当2b =时，
1112n n n n a a ---=，则{}n n a 是以12为首项，12
为公差的等差数列 ∴
11
(1)22
n n n a =+-?，即2n a = ② 当0b >且2b ≠时，
11211()22n n n n a b b a b
--+=+-- 当1n =时，122(2)
n n a b b b +=-- ∴1{}2n n a b +-是以2(2)b b -为首项，2
b
为公比的等比数列
∴
112()22n n n a b b b
+=?-- ∴212(2)2(2)n n n n n
n n b a b b b b b
-=-=--- ∴(2)2n
n n n
n b b a b -=-
综上所述(2),02222n
n n n n b b b b a b b ?->≠?
=-??=?
且，
（2）方法一：
证明：① 当2b =时，1
1122
n n n b a ++=+=；
② 当0b >且2b ≠时，12
212(2)(222)n n n n n n b b b b b -----=-++
++
1221
222
n
n
n
n n n n n
n
n b
a b b b ----?=≤
=
++++
1112111111
2
2
2
2222
2
2
n n n n n n n n n n b
b b b
+++----+++==
=
==<=?1112n n b +++ ∴对于一切正整数n ，1
112
n n n b a ++≤+．
方法二：
证明：① 当2b =时，1
1122
n n n b a ++=+=；
② 当0b >且2b ≠时，
要证1112n n n b a ++≤+，只需证
1
1(2)122n n n n n nb b b b ++-≤+-， 即证1(2)122n n n n
n b b b b +-≤+
- 即证122111
2222n n n n n n
n b b b b b ----+≤+++++ 即证122111
()(222)2n n n n n n b b b b n b ----++++++≥
即证2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b n
b b b b
---+-+++++++++≥
∵2112231122221()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b ---+-+++++++++
2121232111222()()()()2222n n n n n n n n b b b b b b b b
----+=++++++++
122n n
b n -≥+=， ∴原不等式成立。∴对于一切正整数n ，1
112
n n n b a ++≤+．
11解:由均值不等式得2
222)]2()2[()()4()(c b c a b a c b a b a +++++=++++
ab c bc ac ab bc ac ab ????+?+?+=++≥222224244)2222()2(22
ab c bc ac ab 16884+++=,
∴
)(16884)()4()(22c b a abc
ab
c bc ac ab c b a abc c b a b a ++?+++≥++?++++ )2
222)(111121(8))(16884(c b b a a ab ab a b c c b a ab a b c ++++++++=+++++= 100)25()215(854
2
2522=???≥c b a c b a ,等号成立当且仅当02>==c b a , 故k 的最大值为100 .
加试
一，解：（1）2001(,
)4
A p p 是抛物线L 上的点，12y x '=，则切线的斜率01
2k p =
过点A 的抛物线L 的切线方程为AB ：200011
()42
y p p x p -=-，即
20011
24
y p x p =-
∵(,)Q p q 在线段AB 上，∴20011
24
q p p p =-，
∴222200011
44()()24
p q p p p p p p -=--=-≥0
不妨设方程2
0x px q -+=的两根为1x =2x =
则0
12
p p p x --=
，0
22
p p p x +-=
① 当00p >时，00p p ≤≤，001222p p p x p -==-，022
p
x = ∵00122
p p
x -
<≤，∴12x x ≤，∴122(,)max{,}p q x x x ?==02p =
② 当00p <时，00p p ≤≤，012p x =，002222
p p p
x p -==-
∵00222
p p
x ≤<-，∴12x x ≥，∴121(,)max{,}p q x x x ?==02p =
综上所述，对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0
(,)
p p q ?=
t =，则21
22p t =-+，02t ≤≤
222125224(1)5424
4t t t t t -++---+=++≤=≤，即max 54?=
综上所述min 1?=，max 54
?=
二．解： （Ⅰ）由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ?+?≥?． 因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =?+?+?PB CA PD CA ≥?+?()PB PD CA =+?．
因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ?的外接圆且在弧ＡＣ上时，()()f P PB PD CA =+?．
又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ?的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =?．
故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆．
（Ⅱ）记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有
sin 2sin 3AE AB αα==
，从而
32sin 2αα=34sin )4sin cos αααα-=，所以
2cos )4cos 0αα--=，
整理得24cos 0αα-，解得cos
α=
cos α=（舍去）， 故30α=，60ACE ∠=．
由已知
1BC
EC ==
()
0sin 30sin EAC EAC ∠-∠,有sin(30)(1)sin EAC EAC ∠-=∠，
即1
cos 1)sin 22
EAC EAC EAC
∠-∠=∠，整理得
1
cos
2EAC EAC ∠=∠，故tan 2EAC ∠==，可得75EAC ∠=，
从而45E ∠=，45DAC DCA E ∠=∠=∠=，ADC ?为等腰直角三角形．因AC 则1CD =．
又ABC ?也是等腰直角三角形，故BC ，212215BD =+-?=，
BD =
故min ()f P BD AC =?
三．解：最少要取出11个棋子，才可能满足要求。其原因如下：如果一个方格在第i 行第j 列，则记这个方格为(i ，j )。
第一步证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。用反证法。假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠。如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子。这样，10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分。同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分。第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格。同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子。在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在区域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、(4，7)、(4，8)、(5，6)、(5，7)、(5，8)所在区域内至少取出3个棋子。这样，在这些区域内至少已取出了10个棋子。因
此，在中心阴影区域内不能取出棋子。由于
①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了。矛盾。
图1 图2
第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠。如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠。
综上所述，最少要取出11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠。
四．证明：三个整数的立方和被9除的余数不能是4或5，这是因为整数可写为
331()k k k Z ±∈或而33(3)93k k =?，32(31)39(33) 1.k k k k ±=±+±
对31,3(31)2(),,28i n m m Z n n +
==--∈+令则被9除的余数分别为4，5，故均不能
表示为三个整数的立方和，而3
3
3
2(31)(31)(31),n m m m +=-+-+-
对3
2,(31)222()i n m m Z +
==-+∈被9除的余数为5，故不能表示为三个整数的立方和，而3
3
3
2(31)26,n m +=-++3
3
3
28(31)55.n m +=-++ 对3
3,216()i n m m Z +
==∈满足条件：3
3
3
(3)(4)(5),n m m m =++
3332(6)11,n m +=++
333
28(6)1 3.n m +=++
2011年数学联赛模拟试题二
山东青岛 邹明
一试
一. 填空题
1.函数1
cos sin 1
cos sin ++-=
x x x x y 的值域是___________;
2.设a,b,c 为直角三角形的三边长,点(m,n)在直线ax+by+c=0上.则m 2+n 2的最小值是___________
3.定义区间(),c d ，[],c d ，(],c d ，[),c d 的长度均为d c -，其中d c >．已知实数a b >，则满足
111x a x b
+≥--的x 构成的区间的长度之和为__________; 4.掷6次骰子,令第i 次得到的数为i a ,若存在正整数k 使得61
=∑=k
i i a 的概率m
n p =
，其中n m ,是互质的正整数.则n m 76log log -= .
5.已知点P 在曲线y=e x
上，点Q 在曲线y=lnx 上，则PQ 的最小值是_______．
6.已知A,B,C 为ΔABC 三内角,向量)2
sin 3,2(cos
B
A B A +-=α,2||=α.如果当C 最大时,存在动点M,使得|||,||,|MB AB MA 成等差数列,_______;
7.四面体OABC 中,已知∠AOB=450,∠AOC=∠BOC=300,则二面角A －OC －B 的平面角α的余弦值是______________;
8.设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R
x ∈和]2
,
0[π
θ∈,2||≥+恒成立.则实数a 的取值范围是________________.
二. 解答题
9.如图,设p 为双曲线13
22
=-y x 上第一象限内的任一点,F 1, F 2为左右焦点,直线PF 1,PF 2分别交双曲线于M,N.若)1(1111-≠=λλF ,F PF 222λ=. 求21λλ+的值及直线MN 的斜率K MN
10.设数列{}n a 满足0a N
+
∈,1n n a +=120+a 时,n a a n -=0][. (其中[]x 表示不超过x 的最大整数)．
11.求证:存在函数f:R →R,满足对一切x ∈R 都有f(x 3+x)≤x ≤f 3(x)+f(x).
二 试
1.如图,四边形BDFE 内接于圆O,延长BE 与DF 交于A,BF 与DE 相交于G,做AC ∥EF 交BD 延长线于C.若M 是AG 的中点.求证:CM ⊥AO.
2.求最小的正数c,使得只要n=m k k k 222
21
+++ (k 1
,…,k m
∈N,k 1
>k 2
>…>k m
≥
0),就有n c m k k k <+++2
2
2
2
2221 .
3．求证:对任意正整数n,都能找到n 个正整数x 1,x 2,…,x n ,使得其中任意r(r
4.给定2010个集合,每个集合都恰有44个元素,并且每两个集合恰有一个公共元素.试求这2010个集合的并集中元素的个数.
模拟试题二参考答案
1. 解:令sinx+cosx=t, 则t=]2,1()1,2[)4
sin(2---∈+
π
x ,2sinxcosx=t 2-1,
1)121(21)121(2113211cos sin 1cos sin 2-+-+=+--=+-?=++-=t t t t t t x x x x y 关于t+1在
)0,21[-和
]21,0(+上均递增,所以,2
21+≥
y 或
2
2
1-≤
y ,即值域),2
2
1[]221,
(+∞+--∞ . 2. 解:因(m 2+n 2)c 2=(m 2+n 2)(a 2+b 2)=(ma)2+(nb)2+(mb)2+(na)2
≥(ma)2+(nb)2+2mnab=(ma+nb)2=c 2,所以, m 2+n 2≥1,等号成立仅当mb=na 且
am+bn+c=0,解得(m,n)=(c
b
c a --
,),所以, m 2+n 2最小值是1. 3. 解:由11
1x a x b +≥--，得()()()
220x a b x ab a b x a x b -+++++-≥--，
令()()22g x x a b x ab a b =-+++++，则()0g a b a =-<，()0g b a b =->， 设方程()0g x =的两根为1x 、2x ()12x x <，又因为a b >，所以12b x a x <<<． 不等式
111x a x b
+≥--的解集为(](]12,,b x a x ， 构成的区间长度之和为()()21212x a x b x x a b -+-=+-+=．
4.解:当1k =时，概率为
16;当2k =时,6152433=+=+=+，概率为2
15()6
?； 当3k =时，6114123222=++=++=++，概率为33
11(361)()10()66++?=?；
当4k =时，611131122=+++=+++，概率为44
11(46)()10()66
+?=?；
当5k =时， 611112=++++，概率为515()6?；当6k =时，概率为6
1()6
；故
523456561111111175()10()10()5()()(1)666666666p =+?+?+?+?+=?+=,即
567,6n m ==,
从而67log log 1m n -=.
5. 解:因曲线y=e x
与y=lnx 关于直线y=x 对称．所求PQ 的最小值为曲线y=e x
上的
点到直线y=x 最小距离的两倍,设P(x,e x )为y=e x
上任意点,则P 到直线y=x 的距离
2
2
|
|)(x e x e x d x x -=
-=
,因00)(,002
1)(//
?>-=
x x d x e x d
x ,所
以,
