运筹学答案_第_11_章__图与网络模型

第11章图与网络模型

习题1

配送的最短距离。用解：这是一个最短路问题，要求我们求出从v1到v

7

Dijkstra算法求解可得到这问题的解为27。我们也可以用此书附带的管理运筹学软件进行计算而得出最终结果为：

从节点1到节点7的最短路

*************************

起点终点距离

------------

124

2312

356

575

此问题的解为:27

→

12357

习题2

解：这是一个最短路的问题，用Dijkstra算法求解可得到这问题的解为4.8，即在4年内购买、更换及运行维修最小的总费用为：4.8万元。

最优更新策略为：第一年末不更新

第二年末更新

第三年末不更新

第四年末处理机器

我们也可以用此书附带的管理运筹学软件进行求解，结果也可以得出此问题的解为4.8。

习题3

解：此题是一个求解最小生成树的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v8的最小生成树。解此题可以得出结果为18。也可以使用管理运筹学软件，得出如下结果：

此问题的最小生成树如下：

*************************

起点终点距离

------------

132

342

124

252

573

习题4

782

763此问题的解为:18

解：此题是一个求解最大流的问题，根据题意可知它要求出连接v1到

v6

的最

大流量。解此题可以得出最大流量为

出结果为：

22。使用管理运筹学软件，我们也可以得v1从节点1到节点6的最大流

*************************

起点终点距离

------------

126

146

1310

240

256

345

365

455

466

5611

此问题的解为:22

即从v1到v6的最大流量为：22

习题5

解：此题是一个求解最小费用最大流的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v6的最小费用最大流量。解此问题可以得出最大流为5，最小费用为39。使用管理运筹学软件，我们也可以得出结果如下：

从节点1到节点6的最大流

*************************

起点终点流量费用

----------------

1213

1341

2424

3211

3533

4624

5632

此问题的最大流为:5

此问题的最小费用为:39

数学建模- 图与网络模型及方法

第五章 图与网络模型及方法 §1 概论 图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解决 这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例1 最短路问题（SPP －shortest path problem ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两个城市之间修建高速公路的成本，那么应如何决定在哪些城市间修建高速公路，使得总

运筹学图与网络

第二节 最大流和最小割 一、割 若S 为V 的一个子集，S y S V S S x ∈-=∈,,，记),(S S K =为起点在S 中，终点在S 中的全体有向边的集合，即 {} S v S u v u K ∈∈=,),( （11-4） 我们称边集),(S S K =为网络G 的一个割，称∑∈K e e C )(为K 的容量，记为 Cap K 。 例5 给运输网络如图11-8所示，试 求与给定的j S （j =1，2，3）相对应的 Cap j K 。 解取{}11,v x S =， {}),(),,(),,(221311v x v v v v K =， Cap 1K =10+6+9=25。 图11-8 取 {}4212,,,v v v x S =， {}),(),,(),,(5254312v v v v v v K =， Cap 2K =10+6+13=29。 取 {}54213,,,,v v v v x S =， {}),(),,(5313y v v v K =， Cap 3K =10+10=20。 可见，若把割K 的边全从G 中移去，G －K 不一定分离成两部份（如例5中，3K G -仍为一个连通图），但是它一定把G 的全部自源x 到汇y 的路断开，也就是说此时流不能在G 上发生。故从直观上不难理解，G 的任一流f 的流值Val f 不能超过任一割的容量。 二、最大流与最小割 若?f 为满足下列条件的流： Val ?f ={}的一个流 为G f Valf max ， （11-5）

则称?f 为G 的最大流。 若?K 为满足下列条件的割。 Cap ?K ={}的一个割 为G K K Cap min ， （11-6） 则称?K 为G 的最小割。 例1 这个运输问题，就是一个在图11-6中求x 至y 的最大流问题。对此，我们不难建立线性规划模型来求出最优解。但由于网络模型结构的特殊性，我们可以建立有效的求最大流的算法，且求出的最优解是一个整数解。 定理1 对于G 中任一流f 和任一割),(S S K =，有 Val )()(s f S f f -+-= 其中，∑∈+= ),()()(S S e e f S f ，∑∈-=),()()(S S e e f S f 例如，在图11-7中，取{}11,,v x x S =，则 {}),(),,(),,(),,(),,(),(221412121x x x x v v v v v x S S = {}),(),(12v x S S = 4815510315)(=++++=+S f 8)(=-S f 可见，Val )()(40S f S f f -+-== 定理1说明，通过G 的任一横截面的净流值都为Val f ，亦即Val f 为任一横截面的输出量与输入量的代数和。 若f 为G 上一个流，对任E e ∈，若)()(e C e f =，称边e 为f 饱和边；若)(e f ＜)(e C ，称边e 为f 不饱和边；若)(e f ＞0，称边e 为f 正边；若)(e f =0，称e 为f 零边。 定理2 对于G 上任一流f 和任一割),(S S K =，有 1．Val f ≤Cap K ； 2．Val f =Cap K 的充要条件为：任),(S S e ∈，边e 为f 饱和边；任),(S S e ∈，边e 为f 零边。 证 1．∑∈+= ),()()(S S e e f S f ≤∑∈=K e CapK e C )( 又 )(S f -≥0，

《运筹学》 第八章图与网络分析习题及 答案

《运筹学》第八章图与网络分析习题 1.思考题 (１)解释下列名词，并说明相互之间的区别与联系：①顶点，相邻，关联边； ②环，多重边，简单图；③链，初等链；④圈，初等圈，简单拳；⑤ 回 路，初等路；⑥节点的次，悬挂点，孤立点；⑦）连通图，连同分图， 支 撑子图；⑧有向图，基础图，赋权图。⑨子图，部分图，真子图． (２)通常用记号Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）表示一个图，解释Ｖ及Ｅ的涵义及这个表达式 的涵义． (３)通常用记号Ｄ＝（Ｖ，Ａ）表示一个有向图，解释Ｖ及Ａ的涵义及这个表 达式的涵义． (４) 图论中的图与一般几何图形的主要区别是什么？ (５) 试述树与图的区别与联系． (６) 试述 求最短路问题的Ｄijkstra 算法的基本思想及其计算步骤． (７) 试述寻求最大流的标号法的步骤与方法． (８) 简述最小费用最大流的概念及其求解的基本思想和方法． (９) 通常用记号Ｎ＝（Ｖ，Ａ，Ｃ）表示一个网络，试解释这个表达式的涵义． (10) 在最大流问题中，为什么当存在增广链时，可行流不是最大流？ (11) 试叙述最小支撑树、最大流、最短路等问题能解决那些实际问题。 2.判断下列说法是否正确 (1) 图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何 形状无关。 (2) 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。 (3) 如果一个图G 从V 1到各点的最短路是唯一的，则连接V 1到各点的最短路，再去掉重 复边，得到的图即为最小支撑树。 (4 )图G 的最小支撑树中从V 1到V n 的通路一定是图G 从V 1到V n 的最短路。 (5) {f ij =0}总是最大流问题的一个可行流。 (6 )无孤立点的图一定是连通图。 (7) 图中任意两点之间都有一条简单链，则该图是一棵树。 (8) 求网络最大流的问题总可以归结为求解一个线性规划问题。 (9)在图中求一点Ｖ１到另一点Ｖn 的最短路问题总可以归结为一个整数规划问题 (10) 图G 中的一个点V 1总可以看成是G 的一个子图。 3.证明：在人数超过2的人群中，总有两个人在这群人中恰有相同的朋友数。 4.已知九个人921,,,v v v ，1v 和两个人握过手，32,v v 各和四个人握过手， 7654,,,v v v v 各和五个人握过手，98,v v 各和六个人握过手。证明这九个人中，一定可 以找出三个人互相握过手。 5．用破圈法和避圈法求下图的部分树 C7 V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 V 7 V 8 V 9 C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 8 C 9 C 10 C 11 C 12 C 13 C 14

数学建模 运筹学模型(一)

运筹学模型（一） 本章重点： 线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题 复习要求： 1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵. 2.进一步理解数学模型的作用与特点. 本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题. 1.营养配餐问题的数学模型 n n x C x C x C Z ++=211m i n ????? ?? ??=≥≥+++≥+++≥+++??) ,,2,1(0, ,, 22112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m n mn m m n n n n 或更简洁地表为 ∑== n j j j x C Z 1 m i n ??? ??? ?==≥≥??∑=),,2,1,,2,1(01 n j m i x b x a t s j n j i j ij 其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量. 2.合理配料问题的数学模型 有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？ 设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有 n n x C x C x C Z +++= 2211m a x

数学建模图与网络模型及方法

第五章 图与网络模型及方法 §1 概论 图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例1 最短路问题（SPP －shortest path problem ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任意两

运筹学答案_第_11_章__图与网络模型

第11章图与网络模型 习题1 配送的最短距离。用解：这是一个最短路问题，要求我们求出从v1到v 7 Dijkstra算法求解可得到这问题的解为27。我们也可以用此书附带的管理运筹学软件进行计算而得出最终结果为： 从节点1到节点7的最短路 ************************* 起点终点距离 ------------ 124 2312 356 575 此问题的解为:27 → 12357 习题2 解：这是一个最短路的问题，用Dijkstra算法求解可得到这问题的解为4.8，即在4年内购买、更换及运行维修最小的总费用为：4.8万元。 最优更新策略为：第一年末不更新 第二年末更新 第三年末不更新 第四年末处理机器 我们也可以用此书附带的管理运筹学软件进行求解，结果也可以得出此问题的解为4.8。 习题3 解：此题是一个求解最小生成树的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v8的最小生成树。解此题可以得出结果为18。也可以使用管理运筹学软件，得出如下结果： 此问题的最小生成树如下： ************************* 起点终点距离 ------------ 132 342 124 252 573

习题4 782 763此问题的解为:18 解：此题是一个求解最大流的问题，根据题意可知它要求出连接v1到 v6 的最 大流量。解此题可以得出最大流量为 出结果为： 22。使用管理运筹学软件，我们也可以得v1从节点1到节点6的最大流 ************************* 起点终点距离 ------------ 126 146 1310 240 256 345 365 455 466 5611 此问题的解为:22 即从v1到v6的最大流量为：22 习题5 解：此题是一个求解最小费用最大流的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v6的最小费用最大流量。解此问题可以得出最大流为5，最小费用为39。使用管理运筹学软件，我们也可以得出结果如下： 从节点1到节点6的最大流 ************************* 起点终点流量费用 ---------------- 1213 1341 2424 3211 3533 4624

运筹学图与网络(I)

第二节欧拉图和哈密尔顿回路 一、欧拉图 欧拉（Euler）在1736年发表的关于图论方面的第一篇论文，解决了一个著名问题，称为哥尼斯堡七桥问题，从而使他成为图论的创始人。问题是这样的：十八世纪的德国有座哥尼斯堡城，在流贯全城的普格尔河两岩和河中两个岛之间架设了七座桥，如图6.10（a）所示。当时那里的居民热衷于这样一个游戏，即一个散步者能否从任一陆地出发，走过每座桥一次且仅走过一次，最后回到原地。问题乍看起来很简单，但当时谁也不明白为什么没有人能够成功。 为了弄清这个问题，欧拉将每一块陆地用一顶点表示，每一座桥用连接相应的两个顶点的连线（即边）来代替，从而得到一个“图”（图 6.10（b））。这个“图”使问题变得简洁明了。直观上不难发现，为了能回到原来的陆地，要求与每个顶点（陆地）相关联的边数是偶数，这样才能保证从一条边出去，从另一条边回来。由于在图6.10（b）中，与四个顶点相连的边数都是奇数，因而不可能 自任一顶点出发过每条边一次且仅一次而回到原地。 （a）图6.10（b）欧拉并不限于处理这个特殊事例，他推广了这个问题，提出并证明了下述定理。 定义1 在连通无向图G中，若存在经过每条边恰好一次的一个圈或一条链，就称此圈或链为欧拉圈或欧拉链。或图G含一条欧拉圈，则称它为欧拉图。 显然，欧拉圈或欧拉链都可“一笔画出”；反之，若一个图能一笔画出，则它必然是欧拉圈或欧拉链。 定理1连通无向图G为欧拉图的充要条件是它的全部顶点都是偶次顶点。 事实上，若G是欧拉图，C是其欧拉圈，则由定义，C包含G的所有边，由于图连通，故亦包含所有顶点。C是任一中间顶点每出现一次，必与两条不同的边相关联，另因C的起点也是终点，故所有顶点都是偶次顶点。 定理2 连通无向图G为欧拉链的充要条件是它恰含两个奇次顶点。 上述定理提供了判断一笔画问题的准则：若连通无向图G无奇次顶点，则可由任一点起一笔画成并回到起点；若有两个奇次顶点，则由一奇次顶点起到另一奇次顶点终可一笔画成。为能将一个图一笔画下去，当去掉已画出部分时，乘下的部分不应成为不连通图。 二、哈密尔顿回路 1859年英国数学家哈密尔顿（Hamilton）提出了一种名为周游世界的游戏。

数学建模 运筹学模型

运筹学模型（一） 本章重点： 线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题 复习要求： 1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵. 2.进一步理解数学模型的作用与特点. 本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题. 1.营养配餐问题的数学模型 或更简洁地表为 其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量. 2.合理配料问题的数学模型 有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？ 设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有 或更简单地写为 3.运输问题模型 运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量.假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ， 而∑∑===m i n j j i b a 11表示产销平衡.那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为 4.目标规划模型 某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表 表4-1 工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标. 问题分析与模型假设 经与工厂总经理交谈，确定下列几条： p 1： 检验和销售费每月不超过4600元； p 2： 每月售出产品I 不少于50件；

数学建模图与网络模型及方法

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第五章 图与网络模型及方法 §1 概论 图论起源于18世纪。第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。1847年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。1857年，凯莱在计数烷22 n n H C 的同分异构物时，也发现了“树”。哈密尔顿于1859年提出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈，近几十年来，由于计算机技术和科学的飞速发展，大大地促进了图论研究和应用，图论的理论和方法已经渗透到物理、化学、通讯科学、建筑学、生物遗传学、心理学、经济学、社会学等学科中。 图论中所谓的“图”是指某类具体事物和这些事物之间的联系。如果我们用点表示这些具体事物，用连接两点的线段（直的或曲的）表示两个事物的特定的联系，就得到了描述这个“图”的几何形象。图论为任何一个包含了一种二元关系的离散系统提供了一个数学模型，借助于图论的概念、理论和方法，可以对该模型求解。哥尼斯堡七桥问题就是一个典型的例子。在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。当 然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。问题成为从任一点出发一笔画出七条线再回到起点。欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。 图与网络是运筹学（Operations Research ）中的一个经典和重要的分支，所研究的问题涉及经济管理、工业工程、交通运输、计算机科学与信息技术、通讯与网络技术等诸多领域。下面将要讨论的最短路问题、最大流问题、最小费用流问题和匹配问题等都是图与网络的基本问题。 我们首先通过一些例子来了解网络优化问题。 例1 最短路问题（SPP －shortest path problem ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 例2 公路连接问题 某一地区有若干个主要城市，现准备修建高速公路把这些城市连接起来，使得从其中任何一个城市都可以经高速公路直接或间接到达另一个城市。假定已经知道了任

运筹学模型与数学建模竞赛

运筹学模型与数学建模竞赛 一、引言 一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型包括数学规划（线性规划和非线性规划），网络优化（含网络计划技术），排队模型，动态规划等，请看下表 下面重点介绍运筹学模型的数学规划。 二、数学规划的一般形式 ))(max ()(min x f or x f ?? ? ??≤≤=≤==ub x lb m j x g l i x h t s j i ,,2,1, 0)(,,2,1,0)(. . 线性规划： 整数规划： 非线性规划： 三、数学规划问题举例 1 下料问题 现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。问如何裁剪，才能最省料？

解：先设计几个裁剪方案 记 A---------40×40；B-----------50×20 注：还有别的方案吗？ 显然，若只用其中一个方案，都不是最省料的方法。最佳方法应是三个方案的优化组合。设方案i 使用原材料x i 件(i =1,2,3)。共用原材料f 件。则根据题意，可用如下数学式子表示： ??? ??=≥≥++≥+++=)3,2,1(0305325 2. .min 321213 21j x x x x x x t s x x x f j ，整数 这是一个整数线性规划模型。 2 运输问题 现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使总运费达到最小？（运价（元/吨）如下表） 方案1 方案2 方案3

解：题意即要确定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。故设ij x 表示从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表示总运费.则运输模型为： ?????? ????? ??==≥? ?? ??=+=+=+??? ≤++≤+++++++=运输量非负约束；需求量约束运出量受存量约束),,j ,i (x x x x x x x x x x x x x .t .s x x x x x x f m in ij 32121025154030504223223 1322122111232221131211232221131211 一般地，对于有m 个发点和n 个收点的运输模型为 ????? ??????==≥===≤=∑∑∑∑====),...2,1;,...2,1(0)...2,1(),...3,2,1(..min 1 1 11 n j m i x n j b x m i a x t s x c f ij m i j ij n j i ij m i n j ij ij 其中a i 为i 号发点的运出量，b j 为j 号收点的需求量，c ij 为从i 号发点到j 号收点的单位运价。 特别当 ∑∑===m i n j j i b a 1 1 时，存货必须全部运走，故上述约束条件中的 ∑=≤n j i ij a x 1 可改为等式： ),...2,1(1 m i a x i n j ij ==∑= 3 选址问题 某地区有m 座煤矿，i # 矿每年产量为a i 吨，现有火力发电厂一个，每年需用煤b 0吨，每年运行的固定费用（包括折旧费，但不包括煤的运费）为h 0元。现规划新建一个发电厂，m 座煤矿每年开采的原煤将全部供给这两个电厂发电用。现有n 个备选的厂址。若在j #备选厂址建电厂，每年运行的固定费用为h j 元，每吨原煤从i # 矿运送到j #备选厂址的运费为c ij 元(i =1,2,…m , j =1,2…n )。每吨原煤从i # 矿运送到原有电厂的运费为c i0 (i =1,2,…m )。试问： [1] 应把新电厂厂址选在何处？ [2] m 座煤矿开采的原煤应如何分配给两个电厂？ 才能使每年的总费用（电厂运行的固定费用与原煤运费之和）为最小？

运筹学名词解释(全)

《运筹学基础》名词解释 运筹学：缩写OR，是利用计划方法和有关多学科的要求。把复杂功能关系。表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据。 定性决策：基本上根据决策人员的主观经验或感受到的感觉或只是而制定的决策。 定量决策：借助于某些正规的计量方法而作出的决策。 混合性决策：必须运用定性和定量两种方法才能制定的决策。 预测：是对未来的不确定的事物进行估计或判断。 专家小组法：是在介绍咨询的专家之间组成一个小组，面对面的进行讨论与磋商，最后对需要预测的课题得出比较一致的意见 指数平滑预测法：是定量与定性方法相结合的一种预测方法 决策：从狭义方面来说，决策可以解释为对一些可供选择的方案作出抉择。广义的决策过程包括4个程序：明确决策项目的目的，寻求可行的方案，在诸可行方案中进行抉择，对选定的决策方案经过实施后的结果进行总结评价 常规性决策：它是例行的，重复性的决策。做这类决策的个人或组织。又要需要他们决策的问题不是新问题，一般来说已经有管理和经验作参考。因而进行决策是就比较容易。 特殊性决策：是对特殊的，先例可循的新问题的决策。做这类决策的个人或组织只有认真履行决策过程的四个阶段，才能作出满意的决策。 计划性决策：有些类似法治系统中的立法工作。国家或组织的方针政策以及较长期的计划等都可视为计划性较长的对象。 最大最大决策标准：可称为乐观主义者的决策标准，采用这种决策标准，决策者比较谨慎小心。总是从未来的销售情况可能较差的状态考虑。然后在选择最优的可行方案、 最小最小遗憾值决策标准：也叫最小最大后悔值决策标准。它运用计算遗憾值的逻辑原则，求得在不同的销售状态下选用不同的方案所能造成的遗憾值，然后在根据最小最大以后标准进行决策。选取最优方案。 现实主义决策标准：也称折衷主义决策标准。所谓现实主义或折衷主义，就是说既不是从最乐观的角度。也不说从最保守的角度来估计未来可能出现才自然状态 存货台套：它的英文原名为stockkeepinggunit，在某些企业中可以译成存货储备单元，简称存货单元ABC分析法是按各种存货台套或存货单元的年度需用价值，将它们分成A，B，C三类。订货费用：主要是企业自己拥有存货或 保管存货所有承担的费用。主要包括投 入储存货方面的资金利息。由于存货陈 旧或样式过时而折损的费用，储存场地 方面发生的费用。存业务费用，税金， 保险费和盗窃损失等款项。 经济订货量：(EOQ）是使总的存货费用 达到最低的为某个存货台套货某个存 货单元确定的最佳的订货量 再顶点：一是时间上的含义。即什么时 间为某项存货再订货，另一种是存货水 平上的含义。即某项存货达到怎样的存 量水平时，就应再订货。上述的“某项 存货再订货时的时间”和“再订货时的 某项存货的存量水平”都可称为再订货 点。 前置时间内的需求量：可称为订货提前 期内的需求量。前置时间内某项存货台 套货存货单元的使用量就是前置时间 内的需求量 缺货指仓库中已没有某项存货可以满 足生产需要或销售需要时的状况 安全库存量：又称为保险库存量。它是 为了预防可能出现的缺货现象而保持 的额外库存量。 单纯形法：解线性规划问题的一种比较 简单的方法，是由美国数学家丹齐格教 授在1947年首先发展去来的的。它是 通过一种数学的迭代过程，逐步求得最 优解的方法。 改进路线：指从某一个空格开始，所寻 求的那一条企图改变原来的运输方案 的路线。 改进指数：就是指循着改进路线，当货 物的运输量做一个单位的变动时，会引 起总运输费用的改变量。 阶石法：我们把数学格中的数字用圆圈 圈上，再用虚线从上到下，从左到右把 各个圆圈联系起来：由圆圈和虚线所组 成的图形很像一个台阶。 网络计划技术（统筹法）它是综合运用 计划平核术和关键路线法的一种比较 先进的计划管理方法。 计划评核术：是对计划项目进行核算、 评价，然后选定最优计划方案的一种技 术。 关键路线法：在计划项目的各项错综复 杂的工作中，抓住其中的关键路线进行 计划安排的一种方法。 网络图（箭头图，统筹图），它是计划 项目的各个组成部分内在逻辑关系的 综合反映，是进行计划和计算的基础。 箭线式网络图以箭线代表活动，以结点 代表活动的开始或完成。结点式网络图 从结点代表活动，以箭线表示各活动之 间的先后承接关系。活动用箭线表示， 箭线的方向表示活动前进的方向，从箭 尾的箭头表示一项活动的开始到终结 的过程。 结点：是箭线之间的交接点，用圆圈表 示，结点指明某一项活动的开始或完 成。 线路：指从网络的始点开始，顺着箭线 的方向，中间经过互相连接的节点和箭 线，到网络终点为止的一条联线。 作业时间：在一定的生产技术条件下， 完成一项活动或一道工所需要的时间。 单一时间估计法：就是在估计各项活动 的作业时间时，只确定一个时间值。估 计时，应参照过去从事同类活动的统计 资料，务求确定的作业时间既符合实际 情况，又具有先进性。三种时间估计法 就是在估计各项活动的作业时间时，先 估计出三个时间值，然后再求出完成该 活动的作业时间。 线段：两个关键结点之间的一个活动或 两个关键结点之间的几个活动连续相 接的连线。 时间优化：就是在人力、材料、设备、 资金等资源基本上有保证的条件下，寻 求最短的工程周期。 时间与资源优化：就是在合理利用资源 的条件下，寻求最短的工程周期。 树：一个图第一是连通的：第二是不含 圈的。这样的图很象一棵树，我们就形 象地称之为“树”。 最小枝杈树问题：是关于在一个网络 中，从一个起点出发到所有接点，找出 一条或几条路线，以使在这样一些路线 中所采用的全部支线的总长度是最小 的。 马尔柯夫过程：对于由一种情况转换为 另外一种情况的过程，且该过程具有转 换概率，此种转换概率又能够依据其紧 邻的前项情况推算出来，由于马尔柯夫 对此作了系统深入的研究，因而在以后 的学术研究中把这种过程称为马尔柯 夫过程。 马尔柯夫分析：对于马尔柯夫过程或马 尔柯夫锁链可能产生之演变加以分析， 以观察和预测该过程或该锁链未来变 动的趋向，则这种分析、观察和预测的 工作即为马尔柯夫分析。 概率向量：任意一个向量 u=(u,u2，······，un),如果它内部的各 个元素为非负数，且总和等于1，则此 向量称为概率向量。 概率矩阵：一方阵P=（PIJ）中，如果 其各行都是概率向量，则此方阵称为概 率矩阵或概率方阵。 盈亏平衡分析：是一种管理决策工具， 它用来说明在一定销售量水平上总销 售量与总成本因素之间的关系。 盈亏平衡点：是企业经营达到这一点 时，总销售额和总成本完全相等。 计划成本：是管理部门认为要达到预期 目标所必须的费用。 预付成本：是由所提供的生产能力决定 的。例如线性折旧、税款、租金、工厂 和设备保险金等,这些费用是过去发生 的行为的结果,不受短期管理控制的支 配。 边际收益：又称为边际贡献，指产品的 价格减去可变成本的净值。 模拟：又称仿真，是一种定量的过程， 它先为过程设计一个模型，然后再组织 一系列的反复试验，以预测该过程全部 时间里所发生的情况。 随机变量：这些变量在某个范围内都是 随机变化的，我们称为随机变量。