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高一数学函数专项练习题及答案

高一数列专项典型练习题

一．选择题（共11小题）

1．（2014?天津模拟）已知函数f （x ）=

（a ＞0，a≠1），数列{a n }满足a n =f （n ）（n ∈N *），

且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围（） A ． [7，8） B ．￥

（1，8）

C ．（4，8）

D ．（4，7）

2．（2014?天津）设{a n }的首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=

（） ^ A ． 2 B ． ﹣2 C ． D ．

﹣

，

3．（2014?河南一模）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若，则=（）

A ．

1 B ． ﹣1

C ．

: 2

D ．

4．（2014?河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k 的值为（）

A ．、

5 B ．

6 C ．

7 D ．

8 ^

5．（2014?河西区三模）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（）

A ． 11

B ．

5 C ． ﹣8

D ．

﹣11

6．（2014?河西区二模）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（）

A．B．`

﹣

C．6D．﹣6

7．（2014?河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=（）—

A．

9B．12C．14D．18

8．（2013?南开区一模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）A．47B．45C．|

D．54 9．（2013?天津一模）在等比数列{a n}中，，则a3=（）

A．±9'

B．

9C．±3D．

10．（2012?天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）

A．8B．18C．26~

D．

11．（2012?天津模拟）在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）A．20B．…

C．42D．84

二．填空题（共7小题）

12．（2014?天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________．

、

13．（2014?红桥区二模）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），

等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数

5777

2【

896

32112`192

43216320

》

45321152

6？

482496

则等级为50级需要的天数a50=_________．

14．（2014?郑州模拟）数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=_________．

（

15．（2014?厦门一模）已知数列{a n}中，a n+1=2a n ，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于_________．16．（2014?河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=_________．17．（2014?天津模拟）记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=_________．18．（2014?北京模拟）设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=_________．

（

三．解答题（共12小题）

19．（2014?濮阳二模）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和S n．

20．（2014?天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．

（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；

（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；

（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．

21．（2014?天津模拟）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．

（Ⅰ）求a n与b n；

（Ⅱ）设c n=a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．

22．（2009?河西区二模）已知等差数列{a n}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{b n}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=S n，其中S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．

（1）求a n的表达式；

（2）若c n=﹣a n b n，试问数列{c n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c n≤c k成立并证明你的结论．23．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．

（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=

（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．

24．已知等差数列{a n}的前n项和为s n=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*

（I）求q的值；

》

（Ⅱ）若a3=8，数列{b n}}满足a n=4log2b n，求数列{b n}的前n项和．

25．已知数列{a n}（n∈N*）是等比数列，且a n＞0，a1=3，a3=27．

（1）求数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；

（2）设b n=2log3a n+1，求数列{b n}的前项和T n．

26．已知等差数列{a n} 的前n项和为S n，a2=9，S5=65．

（I）求{a n} 的通项公式：

（

（II）令，求数列{b n}的前n项和T n．

27．已知等比数列{a n}满足a2=2，且2a3+a4=a5，a n＞0．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设b n=（﹣1）n3a n+2n+1，数列{b n}的前项和为T n，求T n．

28．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．

（1）求q3的值；

：

（2）求证：a2，a8，a5成等差数列．

29．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，，．

（I）求a n；

（II）若，求数列{b n}的前n项和T n．

30．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a2=8，S10=185．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设a n=log2b n（n=1，2，3…），证明{b n}是等比数列，并求数列{b n}的前n项和T n．

高一数列专项典型练习题

参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）

1．（2014?天津模拟）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），

且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围（）

^A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．}

（4，7）

考点：数列的函数特性．

专题：等差数列与等比数列．

分析：利用一次函数和指数函数的单调性即可得出．

解：∵{a n}是单调递增数列，

解答：

∴，

解得7≤a＜8．

故选：A．

点评：本题考查了分段函数的意义、一次函数和指数函数的单调性，属于中档题．

]

2．（2014?天津）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）

A．2B．﹣2C．，

﹣

D．

考点：等比数列的性质；等差数列的性质．

专题：等差数列与等比数列．

分析：)

由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．

解答：解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，

∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，

由S1，S2，S4成等比数列，得：，

即，解得：．

故选：D．

点评：）

本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．

3．（2014?河南一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）

A．1B．﹣1、

C．

2D．

考点：等差数列的前n项和．

分析：@

由等差数列的求和公式和性质可得=，代入已知可得．

解答：

解：由题意可得=

===1

故选A

点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．

、

4．（2014?河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）

A．5B．6C．】

D．8

考点：等比数列的前n项和；循环结构．

专题：计算题．

分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s，k的值，最后输出k的值，列举出循环的各个情况，不难得到输出结果．

解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

循环前：k=0，s=0，每次循环s，k的值及是否循环分别如下

第一圈：S=2°＜100，k=1；是

第二圈：S=2°+21＜100，k=2；是

第三圈：S=2°+21+22＜100，k=3；是

第四圈：S=2°+21+22+23＜100，k=4；是

第五圈：S=2°+21+22+23+24＜100，k=5；是

第六圈：S=2°+21+22+23+24+25＜100，k=6：是

第七圈：S=2°+21+22+23+24+25+26＞100，k=6：否

满足S＞100，退出循环，此时k值为7

故选C

点评：本小题主要考查循环结构、等比数列等基础知识．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，

￥

5．（2014?河西区三模）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）

D．﹣11

A．11B．5C．@

﹣8

考点：等比数列的性质．

专题：等差数列与等比数列．

由题意可得数列的公比q，代入求和公式化简可得．

￥

分析：

解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，（q≠0）

由题意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0，解得q=﹣2，

故====﹣11

故选D

点评：,

本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题．

6．（2014?河西区二模）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（）

6D．﹣6

A．B．

﹣。

C．

考点：数列递推式．

专题：*

计算题；点列、递归数列与数学归纳法．

分析：

根据数列{a n}满足a1=2，a n=，可得数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，即可得出结论．

解答：

解：∵a n=，

∴a n+1=，

∵a1=2，∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，

∴数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，

∵2014=4×503+2，

∴T2014=﹣6．

故选：D．

点评：本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，确定数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1是关键．

7．（2014?河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=（）9B．12C．14D．18

！

A．

{

考点：数列递推式．

专题：点列、递归数列与数学归纳法．

分析：直接由数列递推式得到数列为等差数列，再由等差数列的性质结合a6=4﹣a4得到a5的值，然后直接代入前n项和得答案．

解答：\

解：∵a n+2=2a n+1﹣a n，

∴2a n+1=a n+a n+2

∴数列{a n}是等差数列．

又a6=4﹣a4，

∴a4+a6=4，

由等差数列的性质知：2a5=a4+a6=4，

得a5=2．

∴S9=9a5=9×2=18．

故选：D．

点评：本题考查数列递推式，考查了等差关系得确定，考查了等差数列的性质及前n项和，是中档题．

8．（2013?南开区一模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）

45C．38D．54

A．47~

B．

考点：》

等差数列的前n项和．

专题：等差数列与等比数列．

分析：设公差为d，利用等差数列前n项和列关于a1、d的方程组，解出a1，d，再用前n项和公式可得S9的值．解答：解：设公差为d，

由S7=28，S11=66得，，即，解得，

所以S9=9×1=45．

故选B．

点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查方程思想，考查学生的运算能力，属基础题．

9．（2013?天津一模）在等比数列{a n}中，，则a3=（）

B．9C．±3D．3

A．"

±9

等比数列的前n项和；等比数列的性质．

考点：

专题：等差数列与等比数列．

分析：

设出公比，利用条件，可得=27，=3，两式相除，可得

结论．

解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，则

∵，

∴=27，=3

两式相除，可得

∴a3=±3

故选C．

点评：本题考查等比数列的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．

；

10．（2012?天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）

A．8B．18C．'

D．80

考点：数列的求和；循环结构．

专题：计算题．

根据框图可求得S1=2，S2=8，S3=26，执行完后n已为4，故可得答案．

）

分析：

解答：解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+31﹣30=2；

同理可求n=2，S1=2时，S2=8；

n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，

故输出的结果为26．

故选C．

本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题．

点评：

11．（2012?天津模拟）在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）

C．42D．84

A．20B．;

考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．

计算题．

)

专题：

分析：由数列为等差数列，利用等差数列的性质得到a3+a5=2a4，a8+a14=a6+a16=2a11，化简已知的等式，可得出a4+a11的值，再根据等差数列的性质得到a1+a14=a4+a11，由a4+a11的值得到a1+a14的值，然后利用等差数列的前n项和公式表示出该数列的前14项之和，将a1+a14的值代入即可求出值．

解答：解：∵数列{a n}为等差数列，

∴a3+a5=2a4，a8+a14=a6+a16=2a11，

又4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，

)

∴12a4+12a11=36，即a4+a11=3，

∵a1+a14=a4+a11=3，

则该数列的前14项和S14==21．

故选B

点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．

二．填空题（共7小题）

12．（2014?天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．

考点：等比数列的性质．

专题：等差数列与等比数列．

分析：

由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1?S4，由此求得a1的值．

【

解答：解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，

再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1?S4，即=a1?（4a1﹣6），

解得a1=﹣，

故答案为：﹣．

点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．

、

13．（2014?红桥区二模）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数

1]5777

212'

32112？

192

43216320

5）45321152

660>

2496

则等级为50级需要的天数a50=2700．

考点：数列的概念及简单表示法；归纳推理．

专题：|

等差数列与等比数列．

分析：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3），利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答：

解：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），

∴a50=50×54=2700．

故答案为：2700．

点评：]

本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．14．（2014?郑州模拟）数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=24．

考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．

专题：等差数列与等比数列．

分析：

由题意，联立两方程a2+a3=1，a3+a4=﹣2解出等比数列的首项与公比，即可求出a5+a6+a7的值．

解答：解：由a2+a3=1，a3+a4=﹣2，两式作商得q=﹣2．

代入a2+a3=1，得a1（q+q2）=1．

解得a1=．

所以a5+a6+a7=（24﹣25+26）=24．

故答案为：24．

，本题考查对数计算与等比数列性质的运用，属于基本计算题

点评：

15．（2014?厦门一模）已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于．

考点：数列的求和．

专题：.

等差数列与等比数列．

分析：由已知条件推导出{a

n}是首项和公比都是2的等比数列，从而得到，log2a n=n，由此能求出数列{log2a n}的前n项和．

解答：解：∵数列{a n}中，a n+1=2a n，

∴=2，∴{a n}是公比为2的等比数列，

∵a3=8，∴，解得a1=2，

∴，∴log2a n=n，

【

∴数列{log2a n}的前n项和：

S n=1+2+3+…+n=．

故答案为：．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用．16．（2014?河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=18．数列的求和．

！

考点：

专题：等差数列与等比数列．

分析：由已知条件推导出数列{a n}是等差数列，由此利用等差数列性质能求出结果．

解答：解：∵数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，

[

∴数列{a n}是等差数列，

∵a6=4﹣a4，∴a6+a4=4，

∴=．

故答案为：18．

点评：本题考查数列的前9项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．17．（2014?天津模拟）记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=10．

》

考点：等差数列的性质．

专题：等差数列与等比数列．

分析：由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．解答：:

解：等差数列{a n}的前n项和为S n，

∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，

∴，

解得a1=1，d=1，

∴a10=1+9=10．

故答案为：10．

点评：本题考查等差数列中第10项的求法，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握等差数列的性质．

18．（2014?北京模拟）设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=8．

考点：等差数列的性质；等比数列的通项公式．

专题：计算题．

分析：(

由S3，S9，S6成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用等比数列的前n项和公式化简，得到关于q的关系式，再利用等比数列的性质化简a2+a5=2a m的左右两边，将得到的关于q的关系式整理后代入，即可得出m的值．

解答：解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，

∴2S9=S3+S6，即=+，

整理得：2（1﹣q9）=1﹣q3+1﹣q6，即1+q3=2q6，

又a2+a5=a1q+a1q4=a1q（1+q3）=2a1q7，2a m=2a1q m﹣1，且a2+a5=2a m，

∴2a1q7=2a1q m﹣1，即m﹣1=7，

则m=8．

—

故答案为：8

点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．

三．解答题（共12小题）

19．（2014?濮阳二模）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和S n．

，

考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．

专题：计算题；压轴题．

分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．

（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．

解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且

解得d=2，q=2．

所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．

（Ⅱ）．，①，②

②﹣①得，

===．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．

，

20．（2014?天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．

（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；

（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；

（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．

考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合．

等差数列与等比数列．

￥

专题：

分析：（1）由已知条件推导出2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．由此能证明{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．从而求出

a n=．

（2）由（1）知=（n+1）?（）n，利用错位相减法能求出T n=3﹣．再用数学归纳法能证明n∈N*且n≥3时，T n＞．

（3）由a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn可求得c n，对任意n∈N+，都有c n+1＞c n即c n+1﹣c n＞0恒成立，整理可得（﹣1）n﹣1?λ＜（）n﹣1，分n为奇数、偶数两种情况讨论，分离出参数λ后转化为函数最值即可解决．

解答：

（1）证明：在S n=﹣a n﹣+2（n∈N*）中，

：

令n=1，得S1=﹣a1﹣1+2=a1，解得a1=，

当n≥2时，S n﹣1=﹣a n﹣1﹣（）n﹣2+2，

∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n+a n﹣1+（）n﹣1，

∴2a n=a n﹣1+（）n﹣1，即2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．

∵b n=2n a n，∴b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1，

又b1=2a1=1，∴{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．于是b n=1+（n﹣1）?1=n=2n a n，

∴a n=．

—

（2）证明：∵，∴=（n+1）?（）n，

∴T n=2×+3×（）2+…+（n+1）×（）n，①

=2×（）2+3×（）3+…+（n+1）×（）n+1，②

①﹣②，得：=1+

=1+﹣（n+1）?（）n+1

=，

∴T n=3﹣．

∴T n﹣=3﹣=，

]

∴确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．下面用数学归纳法证明n∈N*且n≥3时，T n＞．

①当n=3时，23＞2×3+1，成立

②假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立，

则当n=k+1时，2k+1=2?2k＞2（2k+1）

=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1，

∴当n=k+1时，也成立．

于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立

∴n∈N*且n≥3时，T n＞．

（3）由，

得

=3n+（﹣1）n﹣1?λ?2n，

∴c n+1﹣c n=[3n+1+（﹣1）n?λ?2n+1]﹣[3n+（﹣1）n﹣1?λ?2n]

=2?3n﹣3λ（﹣1）n﹣1?2n＞0，

∴，①

当n=2k﹣1，k=1，2，3，…时，①式即为λ＜，②

、

依题意，②式对k=1，2，3…都成立，∴λ＜1，

当n=2k，k=1，2，3，…时，①式即为③，

依题意，③式对k=1，2，3…都成立，

∴，∴，又λ≠0，

∴存在整数λ=﹣1，使得对任意n∈N*有c n+1＞c n．

点评：本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识，考查恒成立问题，考查转化思想，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．

21．（2014?天津模拟）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．

（Ⅰ）求a n与b n；

（Ⅱ）设c n=a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．

考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．

专题：综合题；等差数列与等比数列．

【

分析：（1）根据b2+S2=12，{b n}的公比，建立方程组，即可求出a n与b n；

（2）由a n=3n，bn=3n﹣1，知c n=a n?b n=n?3n，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n．

解答：解：（1）∵在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，

等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．

∴b2=b1q=q，，（3分）

解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分）

∴a n=3+3（n﹣1）=3n，b n=3n﹣1．（7分）

（2）∵a n=3n，b n=3n﹣1，

∴c n=a n?b n=n?3n，

∴数列{c n}的前n项和

T n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，

∴3T n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，

∴﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1

=﹣n×3n+1

=﹣n×3n+1，

∴T n=×3n+1﹣．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用．

（1）求a n的表达式；

（2）若c n=﹣a n b n，试问数列{c n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c n≤c k成立并证明你的结论．

考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．

专题：等差数列与等比数列．

分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；

（2）利用等比数列的通项公式、、分类讨论的思想方法即可得出．

解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4=9，a2+a6=10，

解答：

∴，解得，

∴a n=2+1×（n﹣1）=n+1．

（2）∵S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和，

∴nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=，①

（n﹣1）b1+（n﹣2）b2+…+2b n﹣2+b n﹣1=…+，②

①﹣②得b1+b2+…+b n=，即．

当n=1时，b1=T n=1，

当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1==．

∴．．

于是c n=﹣a n b n．

设存在正整数k，使得对?n∈N*，都有c n≤c k恒成立．

当n=1时，，即c2＞c1．

当n≥2时，

==．

、

∴当n＜7时，c n+1＞c n；

当n=7时，c8=c7；

当n＞7时，c n+1＜c n．

∴存在正整数k=7或8，使得对?n∈N*，都有c n≤c k恒成立．

点评：熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法、等比数列的通项公式、

、分类讨论的思想方法是解题的关键．

23．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．

（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=

（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．

考点：等比数列的前n项和．

专题：综合题．

分析：…

（I）根据数列{a n}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式a n和前n项和S n，然后经过运算即可证明．

（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．

解答：

证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=

∴a n=×=，

S n=

又∵==S n

∴S n=

》

（II）∵a n=

∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…﹣nlog33

=﹣（1+2+…+n）

=﹣

∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣

点评：本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．

24．已知等差数列{a n}的前n项和为s n=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*

（I）求q的值；

（Ⅱ）若a3=8，数列{b n}}满足a n=4log2b n，求数列{b n}的前n项和．

考点：等比数列的前n项和；等差数列的性质．

专题：计算题．

;

分析：（I）根据前n项和与通项间的关系，得到a n=2pn﹣p﹣2，再根据{an}是等差数列，

a1满足a n，列出方程p﹣2+q=2p﹣p﹣2，即可求解

（Ⅱ）由（I）知a n=4n﹣4，再根据a n=4log2b n，得b n=2n﹣1，故{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，即可求解

解答：解：（I）当n=1时，a1=s1=p﹣2+q

当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2

由{an}是等差数列，得p﹣2+q=2p﹣p﹣2，解得q=0．

（Ⅱ）由a3=8，a3=6p﹣p﹣2，于是6p﹣p﹣2=8，解得p=2

所以a n=4n﹣4

又a n=4log2b n，得b n=2n﹣1，故{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．

所以数列{b n}的前n项和Tn=．

点评：本题考查了数列的前n项和与通项间的关系及等比数列的求和问题，在解题中需注意前n项和与通项间的关系是个分段函数的关系，但最后要验证n=1是否满足n≥2时的情况，属于基础题．

25．已知数列{a n}（n∈N*）是等比数列，且a n＞0，a1=3，a3=27．

（1）求数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；

，

（2）设b n=2log3a n+1，求数列{b n}的前项和T n．

考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．

专题：计算题．

分析：（1）先根据a3=a1?q2=27求出q2，然后根据a n＞0，求出q的值，再由等比数列的公式求出数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；

（2）由（1）得出数列{b n}是等差数列，然后根据等差数列的前n项和公式得出结果．

解答：解：（1）设公比为q，则a3=a1?q2，∴27=3q2，即q2=9∵a n＞0，

∴

（2）由（1）可知b n=2log33n+1=2n+1，∴b1=3，

又b n+1﹣b n=2（n+1）+1﹣（2n+1）=2，

故数列{b n}是以3为首项，2为公差的等差数列，

高一数学函数的单调性知识点

高一数学函数单调性一、函数单调性知识结构【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比

高一数学函数练习题及答案

数学高一函数练习题（高一升高二衔接）一、求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x +的定义域为。 4、知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。三、求函数的解析式 1、已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236x y x -= +的递减区间是；函数y =的递减区间是五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x ； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。

高一数学函数单调性讲解

高中数学必修一函数——单调性考纲解读：了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用一、单调性的定义（1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间（2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。二、函数单调性的证明重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（1）定义法求单调性函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

高一数学函数及其表示测试题及答案

必修1数学章节测试（3）—第一单元（函数及其表示）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）. 1．下列四种说法正确的一个是（） A ．)(x f 表示的是含有x 的代数式 B ．函数的值域也就是其定义中的数集B C ．函数是一种特殊的映射 D ．映射是一种特殊的函数 2．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于（） A ．q p + B ．q p 23+ C ．q p 32+ D ．2 3 q p + 3．下列各组函数中，表示同一函数的是（） A ．x x y y = =,1 B ．1,112-=+?-= x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2 )(|,|x y x y == 4．已知函数2 3212 ---= x x x y 的定义域为（） A ．]1,(-∞ B ．]2,(-∞ C ．]1,21 ()21 ,(- ?--∞ D ． ]1,2 1()21,(- ?--∞ 5．设?? ???<=>+=)0(,0)0(,) 0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （） A ．1+π B ．0 C ．π D ．1- 6．下列图中，画在同一坐标系中，函数bx ax y +=2 与)0,0(≠≠+=b a b ax y 函数的图象只可能是（） 7．设函数x x x f =+-)11(，则)(x f 的表达式为（） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．x x +-11 D ． 1 2+x x 8．已知二次函数)0()(2 >++=a a x x x f ，若0)(

高一数学函数试卷及答案

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