浙江专用高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例练习含解析
浙江专用高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例练习含解析
[基础达标]
1.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )
A ．北偏东10°
B ．北偏西10°
C ．南偏东80°
D ．南偏西80°
解析：选D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.
2. 如图，在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45°，在它的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°，AB 的距离是84 m ，则塔高CD 为 ( )
A ．24 m
B ．12 5 m
C ．127 m
D ．36 m
解析：选C.设塔高CD ＝x m ，则AD ＝x m ，DB ＝3x m ．在△ABD 中，利用余弦定理，得842
＝x 2
＋(3x )2
－23·x 2
cos 150°，解得x ＝±127(负值舍去)，故塔高为127 m.
3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°，距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N 处，则该船航行的速度为( )
A ．1722海里/小时
B ．346海里/小时
C ．1762
海里/小时
D ．342海里/小时
解析：选C.如图所示，在△PMN 中，PM ＝68，∠PNM ＝45°，∠PMN ＝15°，∠MPN ＝120°，
由正弦定理，得
68sin 45°＝MN
sin 120°
，所以MN ＝346，
所以该船的航行速度为176
2
海里/小时．
4. 如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
解析：选B.依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)， 所以在△ACD 中，由余弦定理得
cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 2
2AC ·AD
＝
（305）2
＋（2010）2
－50
2
2×305×2010
＝ 6 0006 0002
＝
22
， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 5．(2019·杭州调研)据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km 以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为( )
A ．9 h
B ．10 h
C ．11 h
D ．12 h
解析：选B.记码头为点O ，热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝400，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得4002
＋400t 2
－2×20t ×400×
22
≤3002，即t 2
－202t ＋175≤0，解得102－5≤t ≤102＋5，所以所求时间为102＋5－102＋5＝10(h)，故选B.
6．(2019·绍兴一中高三期中)以BC 为底边的等腰三角形ABC 中，AC 边上的中线长为6，当△ABC 面积最大时，腰AB 长为( )
A ．6 3
B ．6 5
C ．4 3
D ．4 5
解析：选D.如图所示，设D 为AC 的中点，
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 2
2b 2
， 在△ABD 中，BD 2
＝b 2
＋? ??
??b 22
－2×b ×b 2×2b 2－a 2
2b 2
， 可得2a 2＋b 2
＝144，
设BC 边上的高为h ，所以S ＝12ah ＝1
2a
b 2
－? ????a 22
＝12
a
144－9a 2
4＝12
a 2
?
????144－9a 2
4 ＝1
2
－94
（a 2－32）2
＋2 304， 所以，当a 2
＝32时，S 有最大值，此时，b 2
＝144－2a 2
＝80，解得b ＝45，即腰长AB ＝4 5.故选D.
7．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为________km.
解析：由余弦定理得82
＋52
－2×8×5×cos (π－∠D )＝AC 2
＝32
＋52
－2×3×5×cos ∠
D ，解得cos ∠D ＝－12
，所以AC ＝49＝7.
答案：7
8．(2019·嘉兴高三模拟) 如图所示，位于东海某岛的雷达观测站 A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°<θ<45°)的C 处，且cos θ＝4
5.已知A 、C 两处的距离为10
海里，则该货船的船速为________海里/小时．
解析：因为cos θ＝45，0°<θ<45°，所以sin θ＝3
5，cos(45°－θ)＝22×45＋
2
2×35＝7210，在△ABC 中，BC 2
＝800＋100－2×202×10×7210＝340，所以BC ＝285，所以该货船的船速为485海里/小时．
答案：485
9．在距离塔底分别为80 m ，160 m ，240 m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________．
解析：设塔高为h m ．依题意得，tan α＝h 80，tan β＝h 160，tan γ＝h
240
.因为α＋
β＋γ＝90°，所以tan(α＋β)tan γ＝tan(90°－γ)tan γ＝
sin （90°－γ）sin γ
cos （90°－γ）cos γ
＝cos γsin γsin γcos γ＝1，所以tan α＋tan β1－tan αtan β·tan γ＝1，所以h
80＋h
160
1－h 80·
h 160
·h 240
＝1，解得h ＝80，所以塔高为80 m.
答案：80 m
10．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.
解析：根据题图，AC ＝100 2 m.
在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AM
sin 60°?AM ＝100 3 m.
在△AMN 中，MN AM
＝sin 60°，
所以MN ＝1003×3
2
＝150(m)． 答案：150
11．(2019·杭州市七校高三联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin B sin A ，sin C sin A ，cos B cos A
成等差数列． (1)求角A 的值；
(2)若a ＝10，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积． 解：(1)因为sin B sin A ，sin C sin A ，cos B
cos A 成等差数列，
所以2sin C sin A ＝sin B sin A ＋cos B cos A ，
整理可得2sin C －sin B sin A ＝cos B
cos A
，
所以sin A cos B ＝2sin C cos A －sin B cos A ， 即2sin C cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C ， 解得cos A ＝12，所以A ＝π
3.
(2)因为a ＝10，b ＋c ＝5，
所以由余弦定理可得a 2
＝10＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝(b ＋c )2
－3bc ，可解得bc ＝5， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×32＝53
4
.
12．如图，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°.
(1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长； (2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围． 解：(1)由已知，易得∠ACB ＝45°，
在△ABC 中，10sin 45°＝CB
sin 60°
?BC ＝5 6.
因为AC ∥BD ，所以∠ADB ＝∠CAD ＝30°，∠CBD ＝∠ACB ＝45°， 在△ABD 中，∠ADB ＝30°＝∠BAD ， 所以DB ＝AB ＝10.
在△BCD 中，CD ＝CB 2
＋DB 2
－2CB ·DB cos 45°＝510－4 3.
(2)AC ＋AB >BC ＝10，
cos 60°＝AB 2＋AC 2－1002AB ·AC
?(AB ＋AC )2
－100＝3AB ·AC ，
而AB ·AC ≤? ??
?
?AB ＋AC 22
，
所以（AB ＋AC ）2
－1003≤? ??
??AB ＋AC 22，
解得AB ＋AC ≤20，
故AB ＋AC 的取值范围为(10，20]．
[能力提升]
1. A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°、B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要的时间为( )
A ．1小时
B ．2小时
C ．(1＋3)小时
D ．3小时
解析：选A.由题意知AB ＝5(3＋3)海里， ∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝45°， 所以∠ADB ＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝AB
sin ∠ADB
，
所以DB ＝
AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5（3＋3）·sin 45°
sin 105°
＝103(海里)，
又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC ＝203海里，
在△DBC 中，由余弦定理得
CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC
＝300＋1 200－2×103×203×1
2
＝900，
所以CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝30
30
＝1(小时)．
2. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD . 已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为( )
A ．50 5米
B ．50 7米
C ．5011米
D ．50 19米
解析：选B.设该扇形的半径为r 米，连接CO .
由题意，得CD ＝150(米)，OD ＝100(米)，∠CDO ＝60°， 在△CDO 中，CD 2
＋OD 2
－2CD ·OD ·cos 60°＝OC 2
， 即1502＋1002
－2×150×100×12＝r 2，
解得r ＝50 7.
3．(2019·瑞安四校联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a cos B －b cos A ＝1
2
c ，当tan(A －B )取最大值时，角B 的值为________．
解析：由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C ＝1
2sin(A
＋B )＝1
2(sin A cos B ＋cos A sin B )，整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ，即tan A ＝3tan B ，
易得tan A ＞0，tan B ＞0，所以tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝
2
1
tan B ＋3tan B ≤223
＝
33，当且仅当1tan B ＝3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值，所以B ＝π6
. 答案：π6
4．如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝
135°，则BC 的长为________．
解析：在△ABD 中，设BD ＝x ，则
BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，
即142
＝x 2
＋102
－2·10x ·cos 60°， 整理得x 2－10x －96＝0， 解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．
在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD
sin ∠BCD ，
所以BC ＝
16
sin 135°
·sin 30°＝8 2.
答案：8 2
5. 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A ，B ，C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚
2
17
秒．在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30°.(已知声音的传播速度为340米/秒)
(1)求A ，C 两地的距离；
(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC . 解：(1)设BC ＝x ，由条件可知
AC ＝x ＋217
×340＝x ＋40，
在△ABC 中，BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－2AB ×AC cos ∠BAC ，
即x 2＝1002＋(40＋x )2
－2×100×(40＋x )×12，解得x ＝380，
所以AC ＝380＋40＝420米， 故A ，C 两地的距离为420米．
(2)在△ACH 中，AC ＝420，∠HAC ＝30°，∠AHC ＝90°－30°＝60°，
由正弦定理，可得AC sin ∠AHC
＝HC sin ∠HAC ，即420sin 60°＝HC
sin 30°
，
所以HC ＝420×
1
2
32
＝1403，故这种仪器的垂直弹射高度为1403米．
6．某港湾的平面示意图如图所示，O ，A ，B 分别是海岸线l 1，l 2上的三个集镇，A 位于
O 的正南方向6 km 处，B 位于O 的北偏东60°方向10 km 处．
(1)求集镇A ，B 间的距离；
(2)随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在海岸线l 1，l 2上分别修建码头M ，
N ，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3 km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船
只航行．请确定码头M ，N 的位置，使得M ，N 之间的直线航线最短．
解：(1)在△ABO 中，OA ＝6，OB ＝10，∠AOB ＝120°， 根据余弦定理得
AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 120°
＝62＋102
－2×6×10×? ??
??－12＝196，
所以AB ＝14.
故集镇A ，B 间的距离为14 km. (2)依题意得，直线MN 必与圆O 相切． 设切点为C ，连接OC (图略)，则OC ⊥MN . 设OM ＝x ，ON ＝y ，MN ＝c ，
在△OMN 中，由12MN ·OC ＝1
2OM ·ON ·sin 120°，
得12×3c ＝1
2
xy sin 120°，即xy ＝23c ， 由余弦定理，得c 2
＝x 2
＋y 2
－2xy cos 120°＝x 2
＋y 2
＋xy ≥3xy ，所以c 2
≥63c ，解得
c≥63，
当且仅当x＝y＝6时，c取得最小值6 3.
所以码头M，N与集镇O的距离均为6 km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6 3 km.