一元二次方程解法(知识点和经典例题)
一元二次方程
知识要点
1 ?方程中只含有 _个未知数，并且整理后未知数的最高次数是这样的__________ 方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式（a 、b、c、为常数，a_」。
2.一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的__________ 的平方，而另一边是一个 ________ 时，可以根据 ________ 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
（2）配方法：用配方法解一元二次方程ax2 bx c o a 0的一般步骤是：
①化二次项系数为 ____ ，即方程两边同时除以二次项系数；
②移项，使方程左边为 ______ 项和_______ 项，右边为______ 项；
③配方，即方程两边都加上 _________________ 的平方；
④化原方程为（x m）2 n的形式，
如果n是非负数，即n 0,就可以用_____________ 法求出方程的解。
如果n v O,则原方程_______ 。
（3）公式法：方程ax2 bx c 0（a ______________ 0），当b2 4ac 0 时，x =
（4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
①将方程的右边化为_______ ;
②将方程的左边化成两个_____ 的乘积；
③令每个因式都等于______ ，得到两个_________ 方程；
④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。
3. 一元二次方程的根的判别式
(1) b24ac >0 一兀二次方程ax2 bx c0 a 0有两个的实数根
即x,x2
(2) b24ac =0 一兀二次方程有两个的实数根，即xi X2 ,
(3) b24ac <0 一兀二次方程ax2 bx c0 a 0 实数根。
4.元
—二次方程根与系数的关系
（
韦达定理）
如果一元二次方程ax2 bx c 0(a0）的两根为X i,X2，则% x2，x-i x2
提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。
经典考题：
例1、若关于x的一元二次方程x2 （k 3）x k 0的一个根是2，则另一个根是_______________ 变式1、已知关于x的方程x2-3x+2k=0的一个根是1，则k= _________________
变式
2、
一兀二次方程2x mx 3 '0的一个根为1，则另一个根为
例2、兀二次方程x(x-2):=2- x的根是（)
A.— 1
B.2
C. 1 和2 D . —1和2
变式1、
一元
一
二次方程x2=16的解是
变式
2、
方程x2 4 0的根是（)
A. x :2
B. x2
C.x! 2，x22
D. x 4
例3、已知关于x的一元二次方程（a-I ）x2- 2x+l = 0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）
A a v 2 B、a> 2 CC a v 2 且a艸 D a v — 2
变式1、若关于x的一元二次方程kx2 2x 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（A） k 1 （B） k 1 且k 0 （c） k 1 （D） k 1 且k 0
例4、若捲，X2是一元二次方程x25x 6 0的两个根，贝U X1+X2的值是（）
A. 1
B. 5
C. 5
D. 6
变式1、已知关于x的一元
二
一次方程x2 6x k 1 0的两个实数根是X1, X2，且xj xf 24，
则k的值是（）
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5
变式2、若方程x2 3x 10的两根为冷、X2，
1 1
则一一的值为（）
x1x2
A. 3
B.—3
1
C. 1
D.1
33
例5、用配方法解方程x2 2x 5 0时，原方程应变形为（）
典 2 2
A ?x 1 6 B. x 1 6
2 2
C. x 2 9
D. x 2 9
变式1、用配方法解方程3x2 6x 1 0，则方程可变形为( )
2 1 21
A. (x 3)2 -
B. 3(x 1)2 -
3 3
2 22
C. (3x 1) 1
D. (x 1) -
变式2、用配方法解儿
—一次方
程
2 x4x5的过程中，配方正确的是（)
A. ( x 2)2 1 B . (x2)21C.(x2)29 D.2
(x 2) 9例6、解方程：
(1) (x 3)2 2x(x3)0⑵(x2
3) 4x(x 3)0 .
(3) x2 4x 2
0 .
(4) x2 2x 3 0
2
(5) x 3x 1 0 .
(6) x2 2x 2
0。