(完整版)初高中数学衔接教材(已整理)
目录
第一章数与式
1.1数与式的运算
1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4绝对值乘法公式二次根式分式
1.2分解因式第二章二次方程与二次不等式
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
2.1.2根与系数的关系
2.2 二次函数
2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质
2.2.2二次函数的三种表达方式
2.2.3二次函数的应用
2.3方程与不等式
2.3.1二元二次方程组的解法
第三章相似形、三角形、圆
3.1相似形
3.1.1平行线分线段成比例定理
3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形
3.2.1三角形的五心
3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆
3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理
3.3.2点的轨迹
3.3.3四点共圆的性质与判定
3.3.4直线和圆的方程（选学）
1.1数与式的运算
1.1.1 .绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零.即
a, a 0,
|a| 0, a 0,
a, a 0.
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距离.
例1解不等式：|x 1 x 3 >4.
解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；
①若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,
即2x 4 >4,解得X V0,
又x v 1 ,
二x v 0；
②若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,
即1> 4,
二不存在满足条件的x;
③若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,
即2x 4 >4,解得x>4.
又x>3
二x>4.
综上所述，原不等式的解为
x V0, 或x>4.
解法二：如图1. 1- 1, x 1表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A
之间的距离|RA|,即|RA| = |x- 1|; |x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的
距离|PB|，即|PB|= |x- 3|.
所以，不等式x 1 x 3 >4的几何意义即为
|RA| + |PB|> 4.
由|AB|= 2,可知
点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.
x V0,或x>4.P 丄
C
L A 丄
B
L
D
L---- x0134x V
|x
-
3|
|x- 1|
图1. 1-1
2.
2
练 1. 2
.
3. 习 填空： (1) 若 x (2) 如果|a b 选择题： 下 )
(A )
(C )
化简： 5，贝y x= 5,且a _若x 则b =
4，贝y x= _
____ ；若 1 c 2,则 C =
若a 若a
|x — 5|—|2X — 13| (x >5). 1.1.2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1) 平方差公式 (a b)(a b) a 2 b 2 ; (2) 完全平方公式 (a b)2 a 2 2ab b 2.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
b , b ，则 a b (B) (D) 若a b ，贝S a 若a b ，则a
解法 :原式= (x 2 1) (x 2
1)2 x 2 = (x 2 1)(x
4 2
x
1)
= 6
x 1 .
解法 *■.
原式=
(x 1)(x 2 x 2 1)(x 1)(x x 1)
=
(x 3 1)(x 3 1)
= 6 x 1 .
例2 已知a b c 4 , ab bc ac 4，求 a 2 b 2 c 2 的值
解： 2 a .2 2
b c (a b c)2 2(ab bc ac) 8 . 练 习
1. 填
空： (1) 1 2 a 1.2 b ( 4 b ；a)
( )；
9 4 2 3
(2) (4 m
)2 16m 2
4m ( )；
(3 ) (a 2b c)2 a 2 4b 2 c 2 ( ). 1). 选择题:
有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算：(x 1)(x 1)( x 2
x 1)(x 2 x (1 )
x 2 Imx k
平方式，
(1) 立方和公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a .3 b ； (2) 立方差公式 (a b)(a 2 ab b 2) 3 a 3
b ;
(3) 三数和平方公式 (a b c)2 a 2 b 2 2 c 2(ab bc
(4) 两数和立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
；
(5) 两数差立方公式 (a b)3 a 3 3a 2b
3ab 2 b 3 .
ac)
；
对上面列出的五个公式,
(A) m2(B) - m2(C) - m2(D)丄m2
4 3 16
(
(2 ) 不论a , b为何实数，a2 b2 2a 4b 8 的值
(
（A ）总是正数（B ）总是负数
（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负
数
1.1.3.二次根式
一般地，形如,a（a 0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如3a「a?—b 2b , . a^b2等是无理式，而.2x2彳x 1 , x2、2x y , ■■ a2等是有理式.
1.分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为—有理化因式，例如J2与
.2 , 3'、a 与，-. 3 .6 与方.6 , 2-. 3 3',2 与 2.3 3-2，等等. 一般地，ax
与x , a、、x b. y与a、、x b y , a、、x b与a、、x b互为有理化因式.
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式. ab（a 0,b 0）;而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.
2 .二次根式-a2的意义
a, a 0, a
a, a 0.
例1将下
歹J式子化为最简一次根式：
(1) 両; (2) VOb(a0）；(3) J4x6y(x 0).解：(1) ^A2b2顶；
(2) Ja2b a 7b aVb(a 0);
(3) 』4x6y 2 x^/y 2X3TT(X0).
例2计算:暑(3 73).
解法- -.73 (3
3 V3
初中升高中数学教材变化分析
解法二：
解:
=-3 (3 . 3)
(3 . 3)(3、、3)
=3^3 3
9 3
=3(、、3 1)
6
=.3 1
2
.3 (3、、3)=—
3 V3
试比较下列各组数的大小： (1) ..12 '.诃禾口、、仃
110 ；
(1) V J2
.11
12 11
1
11 10
11 -10
1
= 丽
3^3 1)
_ 1 = _______________ = .3 1
(.3 1)C 3 1)
J 2)_ 6^ _ 、石)(.12 ；11)
和 2.2— 6 . .12 ,11
(、石 *10)(、
11 ”10) 、石；
10
又. .12、一 11 5^ ,10 ,
??? .,12 ,11 v .11.
(2)
.. 2运—庇 2屁苗
212-46)(242+46)
又 4>2 2, _
? ° ?号 6 + 4 > . 6 + 2 习 2,
? 一2 v 2、、2—?、6.
.6 4
化简：C.3 , 2)2004 ( -.. 3 . 2) 2005
解：(、、3 , 2)2004 ( .3、、2严
=，2)2004 ( -.3 ，2)2004 (-. 3
= C3
、、2 C
3 =12004
(4 2、2+ 6 ,3 1
1 .1
2 11 ' __ 1 ___ 11 '一 10 '
2,2+「6’
.2 ) 2004 (「3
.2)
5化简:
2) = .3、、2 .
(1) .9 4*5 ；
(2)
x 2
解: (1)原式
(2)原式={(x *)
.(5)2 2 2 -5 22
1 x
??? 0
6 已知x
x 1 ,-
丄3 2 、3 2 ,y
1 2
2(0 x 1).
x
7(2 V5)2 2 7
1 x ，所以，原式=-
x
密茫，求3x 2 5xy 3y 2的值.
、3 <2
解：
「X y ：3 ： ；〕2 (―2)2
do ， 3
2 3 2
Xy
.3
, 2 , 3 . 2 1，
2 2 2 2
…3X 5xy 3y 3(X y) 11xy 3 10
11 289 .
练 习
1.1.4 .分式
1.分式的意义 形如A 的式子，若
B 中含有字母，且B 0，则称A 为分式.当MHO 时，分
B
B
式A 具有下列性质：
B
A A M
A A M
B B M '
B B M *
上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式
a
像_^ , m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式. c d _2m_
n P
例1若空匕 A —，求常数A,B 的值.
X (X 2) X X 2
1. 填空：
1 (1)
(2) (3) (4) 1
3
若.、(5 x)(x 3)2 (X 3)、、亍，则X 的取值范围是
4.24 6,54 3 .96 2. 150 若X 巨，则、厂 ''厂
2
2. 选择题:
.立
3. 4.
(B )
1
U ，求 a a 1
比较大小：2— 3 _______ ； 5— 4 (填
b 的值. (C )
N”.
(D )
0X 2
解:
~A B
? ____ _
x x 2
.A B 5,
2A 4,
(1)试证： A(x 2) Bx (A B)x 2A 5x 4 x(x 2) 解得 x(x 2) x(x 2) 2,B 1.
2. 3.
4.
(1) (2) (2)
(3) 证明:
1 n 1
2 3
证明：对任意大于 计算: 1 n(n 1) 1 1 2
(其中n 是正整数);
1 9 10 '
的正整数n ,有二 —
2 3 3 4
1
n(n 1)
解：由 1 2
(3)证明:
..1 1
? -------
n n 1
. 1
n(n 1)
(1)可知
丄L
2 3
1 1
2 3 3 4
1 n(n 1), (其中n 是正整数)成立.
n n(n 1) 1 n 1 (n 1)
1
9 10 1 1 1 -)( )1 2 2 3
1 1 1 1
— _ (― 一)(— n(n 1) 2 3 3
1
又n 》2且n 是正整数，二
.11, 1 1 ? ? L
V
2 3 3 4 n(n 1)
2
且 e >1, 2c 2 — 5ac + 2a 2_0, 解：在2c 2— 5ac + 2a 2_0两边同除以a 2，得
2呂—5e + 2_ 0,
? (2e — 1)(e — 2)_ 0,
1
? e _ 2 V 1,舍去； ?- e _ 2.
或 e = 2. 一定为正数,
求e 的值.
丄 10
9
10
_丄
_ 2
习
填空题: 选择题: 若
) (A)
对任意的正整数 2x y
x
正数x,y 满足 x 2 n ,
1
n(n 2)
(丄
n
(B)
2xy ，求 5
4
x y
x
的值.
y
(C ) 4
(D)
计算丄- 99 100