微积分教学大纲

《微积分》教学大纲

课程代码：

名称：微积分学

授课专业：工业设计专业

学时数：100

一、课程的目的和要求

学生能够通过本课程的学习，获得一元函数微积分学、多元函数微分学方面比较系统的知识。同时，这些知识的掌握也会给后续课程的学习打下基础。

更重要的是，在教学过程中使学生加深高等数学的辩证统一思想的理解，并利用这一思想解决一些实际问题。通过这门课程的学习，提高学生的空间想象能力、逻辑思维和创造性思维能力，全面提高学生的数学素质。

二、课程教学内容

第一部分函数

主要内容：函数的概念与性质，复合函数、初等函数的概念。

要求：

1、理解函数的概念，能列出简单实际问题中的函数关系。

2、理解函数的单调性、周期性、有界性和奇偶性；

3、理解反函数和复合函数的概念；

4、理解初等函数的概念和性质。

重点：函数的的概念与性质。

难点：列出问题中的函数关系，反函数和复合函数的概念。

第二部分极限与连续

主要内容：极限的概念，极限四则运算，无穷小、无穷大的概念，函数连续的概念。

要求：

1、了解数列极限、函数极限的概念(对极限的精确定义、证明不作要求)；

2、掌握极限四则运算法则，会用两个重要极限求极限；

3、理解解无穷小与无穷大、高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小的概念；

4、理解函数在一点连续和在一区间连续概念，了解函数间断的概念；

5、了解初等函数的连续性，了解在闭区间上连续函数的性质.

重点：极限的四则运算法则。

难点：极限的概念，连续的概念。

第三部分导数与微分

主要内容：导数和微分的概念，导数和微分的运算。

要求：

1、理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，了解函数的可导与连续之间的关系；

2、熟练掌握导数和微分的运算法则、导数的基本公式，了解高阶导数概念，能熟练求初等函数的一阶、二阶导数（n>2阶导数不作要求）；

3、掌握复合函数和隐函数的求导法；

4、会求曲线的切线与法线方程，了解微分在近似计算中的应用。

重点：导数与微分的运算。

难点：导数的概念、复合函数的求导法。

第四部分微分中值定理，导数的应用

主要内容：微分中值定理，洛必达法则，导数的应用

要求：

1、理解罗尔定理和拉格朗日定理，（对定理的分析证明不作要求），会应用罗尔定理和拉格朗日定理；

2、掌握洛必达法则求未定式极限的方法；

3、理解函数的极值概念，掌握求函数的极值、判断函数的增减性等方法，会解简单的最大值和最小值的应用问题，了解曲线的凹、凸和拐点；

4、理解导数的经济意义，掌握用一元微分法求解一些经济应用问题。

重点：微分中值定理与导数的应用。

难点：极值的运用。

第五部分不定积分

主要内容：不定积分的概念及性质，不定积分的运算。

要求：

1、理解原函数、不定积分的概念及性质；

2、掌握不定积分的基本公式；

3、掌握不定积分的换元法和分部积分法（有理函数不定积分不作要求）。

重点：积分的概念与积分法。

难点：换元积分法。

第六部分定积分

主要内容：定积分的概念及性质，定积分的换元法和分部积分法，定积分的应用。

要求：

1、理解定积分的概念和几何意义（对于利用定积分定义求定积分不作要求），了解定积分的性质和中值定理；

2、掌握定积分的换元法和分部积分法；

3、理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，熟悉掌握牛顿—莱布尼兹公式；

4、掌握用定积分求面积、体积等的方法，了解定积分在经济方面的应用；

5、了解广义积分的概念，会计算简单的广义积分。

重点：定积分的概念，牛顿—莱布尼兹公式，定积分的应用。

难点：定积分的概念，上限函数，定积分的换元法，定积分的应用，广义积分。

第七部分微分方程

主要内容：微分方程的概念，可分离变量的方程、一阶线性方程、二阶常系数线性微分方程的概念及其解法。

要求：

1、理解微分方程、解、通解、特解、初值问题等概念；

2、掌握可分离变量的方程及一阶线性方程的解法；

3、理解二阶常系数线性微分方程解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；

4、了解二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法。

重点：微分方程及其解的概念，可分离变量的方程、一阶线性方程、二阶常系数线性

微分方程的概念及其解法。

难点：二阶常系数线性微分方程的概念及其解法。

第八部分多元函数微分学

主要内容：多元函数及其偏导数的概念及求导法则，复合函数、隐函数的偏导数，极值问题。

要求：

1、理解二元函数的概念；

2、了解二元函数的极限、连续的概念；

3、理解偏导数、全微分的概念，掌握求一、二阶偏导数的方法；

4、掌握复合函数一阶偏导数求法（二阶不作要求）；

5、会求隐函数的一阶偏导数（二阶不作要求）；

6、理解二元函数极值的概念，会求函数的极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题；

重点：多元函数的偏导数，多元复合函数求导法。

难点：多元复合函数求导法，极值问题。

三．课程教学的基本要求

本课程教学环节包括课堂讲授，习题讨论课，习题，答疑，学生自学，期中检查和期末考试，通过上述基本教学步骤，要求学生了解该课程的基本理论与思维方法，记住一此重要的公式，性质，定理，并通过练习，提高基本运算，推理能力，从中掌握解题的方法与技巧，培养解决实际问题的能力，为学习后续相关课程进一步扩大数学知识面奠定必备的数学基础。

本课程课堂讲授100学时（含习题课15学时），考试方式为闭卷考试。

五、教材与学习参考书

[1] 吴赣昌．微积分．中国人民大学出版社，2008年7月

[2] 安希忠、林文浩、张国全、王云．微积分学．中国农业科技出版社，2000年8月

[3] 同济大学应用数学系编．高等数学（本科少学时类型）上、下册．高等教育出版社，2006年7月