函数()f x 的定义域为D ,则其图像为:
()(){},|,x y y f x x D =∈
1,若把这个图像向左平移a 个单位,得到新图像为:
()(){},|,x y y f x a x D =+∈
简单说明:新图像上任取点(),x y ,向右平移a 个单位得到(),x a y +,这个点在()f x 图像上,所以()y f x a =+
向右、上、下平移函数图象情况类似,请自己给出
2,若把()f x 图像按照直线x a =作一次对称,得到新函数为()2y f a x =-
简单说明:新图像上任取点(),x y ,按照直线x a =作一次对称得到点()2,a x y -,这个点在()f x 图像上,所以()2y f a x =- 按照直线y a =作对称类似,请自己给出
需要指出的是,不能按照任意直线作对称得到新函数,因为新的图像不一定是函数图像(实际上那是方程的图像),另外,按照直线y x =作对称得到的是反函数,当然前提是该函数存在反函数。
3,若把()f x 图像按照点(),a b 作对称,得到新函数()22y b f a b =--
简单说明:新图像上任取点(),x y ,按照点(),a b 作对称,得到点()2,2a x b y --,这个点在()f x 图像上,则()22b y f a x -=-,整理得()22y b f a x =--
4,若把()f x 图像在水平方向上作伸缩,横坐标都变为原来的a 倍(0a ≠),纵坐标不变,那么得到新函数图像是x y f a ??
=
???
简单说明:新函数图像上取点(),x y ,变回去,x y a ??
???,
这点在()f x 图像上,所以x y f a ??
= ???
至于竖直方向的伸缩,请自己给出
==============华丽的分割线=================== 下面是函数图像本身的对称性
5,如果一个函数向左平移a 个单位与原图像重合,即a 是一个周期,那么按照第1条,
()y f x a =+这个新函数与原函数()y f x =重合,也就是说:()()f x a f x +=
6,如果一个函数有一条对称轴x a =,那么按照第2条到的新函数()2y f a x =-与原函数是同一个,也就是说:()()2f a x f x -=,至于类似()()f a x f b x +=-这样的条件,改写一下是非常显然的
7,如果一个函数有一个对称中心(),a b ,那么按照第3条,()22y b f a x =--与原函数是同一个函数,也就是说:()()22f x f a x b +-=,类似6,这个条件也可以作适当改写 8,出于好奇,我们来看看当()x f f x a ??
=
???
时函数会如何,显然,它会成为常函数 =============分割线路过=====================
另外一类常见的变换是关于绝对值的
9,把函数()f x 的图像在x 轴下方部分全部作对称到上方,上方部分不变,得到新函数:
()y f x =,这是显然的,去掉绝对值讨论一下就行
10,把函数()f x 的图像在y 轴右边部分全部作对称到左边,左边部分不变,得到新函数:
()y f x =,这也是显然的去掉绝对值讨论一下就行
=============分割线再次路过=================== 11,另外补充的是半周期,如果()()f x a f x +=-或者()()
1
f x a f x +=
,那么a 是半周期,证明是容易的,请自己给出。另外我们可以知道,反推是不成立的,半周期可以有其它写法。一般的写法是()()f x a g f x +=????,且()g g x x =????
==============分割线继续路过================== 关于抽象函数,除了图像外,还有一类题,如果能记得一些具体模型,会有一些好处。当然,不要满足于这几类,只有找到本质才能解决新题。表格放在最后。
=============分割线坚持路过=================== 例1:(第7届希望杯)
函数()f x 的值域1
(,4]4
,则()()g x f x =-的值域为
例2:(第5届希望杯)
定义为R 的函数()f x ,对任何,a b R ∈,都有[()]f af b ab =,= .
例3:设()f x 是[0,1]上的不减函数,即对于1201x x ≤<≤有12()()f x f x ≤,且满足:(1)
(0)0f =;
(2)1
()()32
x f f x =;(3)(1)1()f x f x -=-,则1()2005f = .
例4:(第4届希望杯)
设奇函数()y f x =的定义域为R ,(1)2f =,且对任意12,x x R ∈,都有
121()()f x x f x +=
+2()f x ,当0x >时,()f x 是增函数,则函数2()y f x =-在区间[3,2]--上的最大值是 .
2.抽象函数的单调性 例5:(第14届希望杯)
奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为1-,
2(6)(3)f f -+-=
例6:设()f x 是定义在R +
上的增函数,且()()()x
f x f f y y
=+,若(3)1f =,则
1
()()25
f x f x -≥-成立的x 的取值范围是 .
3.抽象函数的奇偶性 例7:(第6届希望杯)
()f x 是定义在R 上的奇函数,它的最小正周期为2,则
(1)(2)(3)f f
f f
++++=
A 、1或0
B 、1或1-
C 、0
D 、1
例8:(第4届希望杯)
函数()f x 的定义域是R ,函数()()2()g x f x f x =+--,已知(5)3
g =-,则(5)g -= .
4.抽象函数的周期性 例9:(第12届希望杯)
定义在实数集上的函数
()f x ,满足1(1)
(1)1(1)
f x f x f x ++-=
-+,则
2000)2000().....3()2()1(+??f f f f 的值为 .
例10:(第12届希望杯)
定义在R 上的非常数函数,满足(1)(10)f x +为偶函数;(2)(5)(5)f x f x -=+,则()f x 一定是( )
A 、是偶函数,也是周期函数
B 、是偶函数,但不是周期函数
C 、是奇函数,也是周期函数
D 、是奇函数,但不是周期函数
补充练习题
1.函数()f x 是定义在R 上的实函数,它既关于5x =对称,又关于7x =对称,那么()f x 的周期是( ) (A )4
(B )2
(C )
2
π
(D )π
2.已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数,且函数()8+=x f y 为偶函数,则( )
(A )()()76f f > (B )()()96f f > (C )()()97f f > (D )()()107f f > 3.定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数,又是周期函数,T 是它的一个正周期.若将方程
0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ,则n 可能为( )
(A )0
(B )1
(C )3
(D )5
4.定义在R 上的函数()y f x =,它具有下述性质:(1)对任何x R ∈,都有3
3
()()f x f x =;(2)对任何12,x x R ∈,12x x ≠,都有12()()f x f x ≠.则(0)(1)(1)f f f ++-的值为( ) (A )0
(B )1 (C )1- (D )不确定
数学试卷 第4页共6页
5.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,且满足(1)()3f x f x ++=,当[0,1]x ∈时,
()2f x x =-,则(2005.5)f -= .
6.(第5届希望杯)
函数()f x 是定义域为[1,1]-的奇函数,且为增函数,2(1)(1)0f a f a -+-<,则实数a 的取值范围是
7.定义在R 上的函数()f x ,恒有()()()f x y f x f y +=+.若(16)4f =,那么
(2003)f = .
8.已知函数()y f x =的定义域为R ,并对一切实数x ,都满足(2)(2)f x f x +=-. (1)证明:函数()y f x =的图像关于直线2x =对称;
(2)若()f x 又是偶函数,且[0,2]x ∈时,()21f x x =-,求[4,0]x ∈-时的()f x 的表达式
9.(2005年广东高考) 设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-,
)7()7(x f x f +=-,且在闭区间[0,7]上,只有0)3()1(==f f .
(1)试判断函数)(x f y =的奇偶性;
(2)试求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上的根的个数,并证明你的结论.
2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D
7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:
()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任
抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f (x )的定义域是[1,4] 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[, 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5 1)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f +=
因为5 1)6(1)2(= =f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(,
高中数学常见函数图像1. 2.对数函数:
3.幂函数: 定义形如αx y=(x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. 图像 性质过定点:所有的幂函数在(0,) +∞都有定义,并且图象都通过点(1,1).单调性:如果0 α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,) +∞上为增函数.如果0 α<,则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x轴与y轴.
函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时, max 1y =; 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时,min 1y =-. 当()2x k k π =∈Z 时, max 1y =; 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时,min 1y =-. 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数;在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数. 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ; 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数. 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数. 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴
高考数学总复习:抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型: 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求 f ()2000的值。 解:由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ,都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时, f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。 解:设x x 12< 且x x R 12,∈, 则x x 210->,