高考数学等差数列习题及答案 百度文库

一、等差数列选择题

1．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60

B ．11

C ．50

D ．55

2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200

B ．100

C ．90

D ．80

3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-

B ．8

C ．12

D ．14

4．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4

D ．-4

5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45

B ．50

C ．60

D ．80

6．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231

n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）

A ．

13

15

B ．

2335

C ．

1117 D ．

49

7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921

a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21

B ．20

C ．19

D ．19或20

8．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24

B ．36

C ．48

D ．64

9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

77b a =，则3810b b b =（ )

A ．1

B ．8

C ．4

D ．2

10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11

2

a =

，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ??

????

的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ）

A ．21

4

a =-

B ．

648

211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为

712

D ．1121

n n n n n

T T T n n +-=

++ 11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之

和为（ ） A ．24 B ．39 C ．104 D ．52 12．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ）

A ．9

B ．12

C ．15

D ．18

13．已知等差数列{}n a 中，161,11a a ==，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．

53

B ．2

C ．8

D ．13

14．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12

B ．20

C ．40

D ．100

15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =.定义数列{}n b 如下：

()*1m m b m m

+∈N 是使不等式()

*

n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b +++

+=（ ）

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21

B ．15

C ．10

D ．6

17．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15

B ．30

C ．3

D ．64

18．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++????

+-=

???????

，数列{}n b 满足1111n n n

b a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

19．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a +=

B ．560a a +=

C ．670a a +=

D ．890a a +=

20．设n S 是等差数列{}n a （*n N ∈）的前n 项和，且141,16a S ==，则7a =（ ） A ．7

B ．10

C ．13

D ．16

二、多选题

21．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a =

C ．当9n =或10时，n S 取得最大值

D ．613S S =22．题目文件丢失！

23．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（ ） A ．若59S >S ，则150S >

B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项

C ．若67S S >， 则78S S >

D ．若67S S >则56S S >.

24．已知数列{}2

n

n a n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6

D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列

25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15

11

0,20,a a a 则（ ）

A ．80a <

B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值

C ．49S S =

D ．满足0n S >的n 的最大值为12

26．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：

1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列

数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数

C ．202020182022

3a a a =+

D ．123a a a +++…20202022a a +=

27．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减

D ．数列{}n S 有最大值

28．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310

S S =

D ．当8n ≥时，0n a <

29．公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d <

B ．70a >

C ．{}n S 中5S 最大

D ．49a a <

30．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0

B ．10S 最小

C ．712S S =

D ．190S =

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．D 【分析】

根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】

因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =， 所以()

1111161111552

a a S a +===.

故选：D. 2．C 【分析】

先求得1a ，然后求得10S . 【详解】

依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=?=. 故选：C 3．D 【分析】

利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】

147446=32a a a a a ++=∴=，则()

177477142

a a S a +=

== 故选：D 4．A 【详解】 由()()184588848162

2

2

a a a a S +?+??====.故选A.

5．C 【分析】

利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】

{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =

1158158()15215

156022

a a a S a +??=

===

故选：C 【点睛】

本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 6．C 【分析】

利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】

2121S T ＝12112121()21()22

a a

b b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝211

3111??+＝1117.

故选C 7．B 【分析】 由题得出1392

a d =-，则2202n d

S n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

由

111019

21

a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392

a d =-

，10a <，0d ∴>，

()211+2022n n n d

S na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上，

∴当20n =时，n S 最小.

故选：B. 【点睛】

方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列

()2111+222n n n d d S na d n a n -?

?==+- ??

?是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在

对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 8．B 【分析】

利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】

由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =

19592993622

a a a

S +=

?=?= 故选：B 9．B 【分析】

根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】

因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，

所以2

7720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；

又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，

所以3

3810371178b b b b b b b ===.

故选：B. 10．D 【分析】

当2n ≥且*

n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120n

n n a S S -+=可推导出数列1n S ??

????

为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ??

????

的通项公式，由221a S S =-可判断A

选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】

当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得11111

2020n n n n n n

S S S S S S ----+=?-+=， 整理得

1

112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ???

???

为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ?=+-?=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111

424

a S S =-=

-=-，A 选项正确； B 中，1n S ??

????

为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()

1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=

+-++， ()()()

1123111

212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，

()()()

1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=

--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 1117

24612

n b b S S S ∴==+-=

+-=，C 选项正确； D 中，

12n n S =，()()2212

n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()111121121

11n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=?++?++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.

故选：D ． 【点睛】

关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1

,2

n n n S n a S S n -=?=?

-≥?来求解，在变形

过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 11．D 【分析】

根据等差数列的性质计算求解． 【详解】

由题意()()357101341041073232236()1248a a a a a a a a a a ++++=?+?=+==，

74a =，∴11313713()

13134522

a a S a +=

==?=． 故选：D ． 12．A 【分析】

在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】

在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，

所以139522639a a a =-=?-=， 故选：A 13．B 【分析】

设公差为d ，则615a a d =+，即可求出公差d 的值. 【详解】

设公差为d ，则615a a d =+，即1115d =+，解得：2d =， 所以数列{}n a 的公差为2， 故选：B 14．B 【分析】

由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】 解：

1011045100S a d =+=，

12920a d ∴+=，

4712920a a a d ∴+=+=.

故选：B. 15．B 【分析】

先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到2121

2

k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =，可得21n a n =-，

因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12

m n +≥， 当21m k =-，（*k N ∈）时，1

m m b k m

+=，即()()11212m m m mk m b m m +=

==++， 即2121

2

k k b --=

， 从而()135191

13519502

b b b b ++++=

++++=.

故选：B. 16．C 【分析】

根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】 因为134222a a a a +=??

-=?，所以1222

22

a d d +=??=?，所以101a d =??=?，

所以5154

550101102

S a d ?=+=?+?=， 故选：C. 17．A 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，

12111a a d =+，即可求解.

【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

则111681631a d a d a d +++=??+=?，即117831a d a d +=??+=? 解得：174

174d a ?=????=-??

，

所以12117760

111115444

a a d =+=-+?==， 所以12a 的值是15， 故选：A 18．B 【分析】 由题意可得

2

2

1114n n

a a +-

=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-

，求得1

4n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果

【详解】

解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++????

+-= ???????

，得221114n n

a a +-=， 所以数列21n a ??

????是以4为公差，以1为首项的等差数列，

所以21

14(1)43n

n n a =+-=-，

因为0n a >

，所以n a =

，

所以

1111n n n

b a a +=+=

所以1

4

n b =

=，

所以201220T b b b =++???+

11

1339(91)244=++???+=?-=， 故选：B 【点睛】

关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得

2

2

1114n n a a +-

=，从而数列21n a ??????

是以4为公差，以1

为首项的等差数列，进而可求n a =

，1

4

n b =

=，然后利用裂项相消法

可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 19．B 【分析】

由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】

由等差数列的求和公式可得()

110101002

a a S +=

=，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 20．C 【分析】

由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

141,16a S ==，

41464616S a d d ∴=+=+=，2d ∴=， 71613a a d ∴=+=.

故选：C

二、多选题

21．ABD 【分析】

由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】

∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()11187

5282

a a d a d ?++=+

，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；

∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119

2

22

n n n n S na d d d n -=+=-? ，它的最值，还跟d 的值有关，

故C 错误； 由于61656392S a d d ?=+

=-，1311312

13392

S a d d ?=+=-，故613S S =，故D 正

确， 故选：ABD. 【点睛】

思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.

22．无

23．BC 【分析】

根据等差数列的前n 项和性质判断． 【详解】

A 错：67895911415000S a a a a a S a S ?+++<>?+

B 对：n S 对称轴为

n =7；

C 对：6770S S a >?<，又10a >，887700a S a d S ??<；

D 错：6770S S a >?<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >． 故选：BC ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()

2

n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 24．ACD 【分析】

利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为

1

112a =+，1(1)2

n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得1

5

d =-. 故选ACD 25．ACD 【分析】

由题可得16a d =-，0d <，21322

n d d S n n =

-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022

n d d

S n n =->，解出即可判断D. 【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，

10a >，0d ∴<，且()21113+

222

n n n d d

S na d n n -==-， 对于A ，

81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；

对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为13

2

n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；

对于C ，4131648261822d d S d d d =

?-?=-=-，9138191822d d S d =?-?=-，故49S S =，故C 正确；

对于D ，令213022

n d d

S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】

方法点睛：由于等差数列()2111+

222n n n d d S na d n a n -?

?==+- ??

?是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 26．AC 【分析】

由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】

对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；

对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，

32121,a a a a a ???=+=，

各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++???+=+++???++， 所以202220202019201811a a a a a a =++???+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项. 27．ABD 【分析】

由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】

根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；

由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD. 28．AD 【分析】

由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】

由已知得：780,0a a ><,

结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，

310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++?+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,

这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】

本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 29．AD 【分析】

先根据题意得1110a a +>，1120a a +<，再结合等差数列的性质得60a >，70a <，

0d <，{}n S 中6S 最大，49a a <-，即：49a a <.进而得答案.

【详解】

解：根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()

112121202

a a S +=< 所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+， 所以60a >，760a a <-<， 所以0d <，{}n S 中6S 最大， 由于11267490a a a a a a +=+=+<， 所以49a a <-，即：49a a <. 故AD 正确，BC 错误. 故选：AD. 【点睛】

本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质，是中档题.

30．ACD 【分析】

由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确. 【详解】

因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故

A 正确；

当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2

d

n n =-无最小值，故B 错误；

因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确； 因为()1191910

191902

a a S a

+?=

==，故D 正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.