广西梧州市2021届高三3月联考数学(文)试题

梧州市2021届高中毕业班3月联考

文科数学

一?选择题(共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1. 已知集合{}

2A x x =≤，{}

07,B x x x N =≤<∈，则A B 中元素的个数为（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【答案】B

2. 若复数z 满足()25i z -=，则z =（ ） A. 5 B. 5

C.

5

D. 25

【答案】B

3. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，

中国人民银行发行了以此为主题的纪念币.如图是一枚8克圆形精制金质纪念币，直径为22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）

A. 7265π

mm 2 B.

36310π

mm 2 C. 3635

π

mm 2 D.

36320

π

mm 2 【答案】B

4. 设,x y 满足24122x y x y x y +≥??-≥-??-≤?

，则z x y =+的最小值是（ ） A. 7- B. 2 C. 3 D. 5-

【答案】B

5. 已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的焦点到渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为（ ）

A.

23

3

B.

5 C. 2

D. 23

【答案】B

6. 已知tan 34πα?

?+=- ???，则

2sin cos cos sin αααα

+=-（ ） A. 4- B. 4

C. 5

D. 5-

【答案】D 7. 函数()ln x x

x

f x e e -=

-的大致图象是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】C

8. 正三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A.

6

π

B.

4

π C.

3

π D.

2

π 【答案】C

9. 已知直线10ax y +-=与圆C ：()()2

2

11x y a -++=相交于A ，B ，且0CA CB ?=，则实数a 的值为

（ ） A.

1

7

或-1 B. -1 C. 1 D. 1或-1

【答案】D

10. 已知A ，B ，C 在球O 的球面上，120BAC ∠=?，2AC =，1AB =，直线OA 与截面ABC 所成的角为60?，则球O 的表面积为（ ） A.

43

π B.

163

π

C.

563

π

D.

1123

π

【答案】D

11. 已知函数()()sin 06f x x πωω?

?=-> ??

?，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，则下列四个结论中

正确的是（ ） A. 函数()f x 的图象关于5,012π??

???

中心对称 B. 函数()f x 在区间(),ππ-内有4个零点 C. 函数()f x 的图象关于直线8

x π

=-对称

D. 函数()f x 在区间,02π??

-????

上单调递增 【答案】B

12. 已知223,1()ln ,1x x x f x x x ?--+≤=?

>?，若函数1

()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ）

A. 12? ?

B. 12???

C. 12? ??

D. 1,2e ? ??

【答案】C

二?填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 已知向量()1,a m =，()3,2b =-，且()

//a b b -，则m =___________. 【答案】2

3

-

14. 已知数列{}n a 满足：11a =，122

n

n n a a a +=+，则5a 的值为___________． 【答案】

13

15. 已知抛物线()2

20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 且倾斜角为60?的直线交抛物线于点

M (M 在第一象限)，MN l ⊥，垂足为N ，若MNF 的面积是43，则抛物线的方程是___________

.

【答案】24y x =

16. 已知ABC 三内角A ，B ，C

的

对边分别为a ，b ，c 3cos sin 0c A a C +=，若角A 的平分

线交BC 于D 点，且1AD =，则b c +的最小值为___________. 【答案】4

三?解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答﹔第22?23题为选考题，考生根据要求作答)

17. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，它的前n 项和为n S ，且1a ，3a ，7a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设数列{}n b 满足2

1

3

n n n S n b +-=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）22n a n =+；（2）323

443n n

n T +=

-

?. 18. 垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化?减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据()(),1,2,,20i i x y i =???，其中i x 和i y 分别表示第i 个县城的人口(单位：万人)和该县年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得20

1

80i i x ==∑，20

1

4000i i y ==∑，()

20

2

1

80i i x x

=-=∑，()

20

2

1

8000i i y y

=-=∑，

()()20

1

700i

i

i x x y y =--=∑.

（1）请用相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合；

（2）求y 关于x 的线性回归方程，用所求回归方程预测该市10万人口的县城年垃圾产生总量约为多少吨？

参考公式：相关系数()()

()()

1

22

1

1

n

i

i

i n

n

i

i

i i x x y y r x x y y ===--=

--∑∑∑()(),1,2,3,,i i x y i n =???，其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为

()()

()

1

2

1

n

i

i i n

i

i x

x y y

b x

x

==--=

-∑∑，a y bx =-.

【答案】（1）答案见解析；（2）252.5吨.

19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，平面PAD ⊥平面,//,ABCD BC AD ,PA PD ⊥

,60,AB AD PDA E ⊥∠=为侧棱PD 的中点，且2AD BC =.

（1）证明：//CE 平面PAB ；

（2）若点D 到平面PAB 的距离为2，且2=AD AB ，求点A 到平面PBD 的距离. 【答案】（1）见解析；（23.

20. 已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>过点()2,0A -，点B 为其上顶点，且直线AB

的

3

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设P 为第四象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积是定值.

【答案】（1）22

143

x y +=；

（2）证明见解析. 21. 已知函数()1

2ln f x x k x x

=-

+. （1）当3k =-时，求()f x 的极值； （2）若存在[]

1,x e ∈，使得()3x f x k

x

-<-

成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）极大值为13ln 212f ??

=- ???，()f x 的极小值为()11f =；（2）()21,2,1e e ??+-∞-+∞

?-??

. 22. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()1,0；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的

单位长度建立极坐标系，点M 的极坐标为322,4π?

? ??

?，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=.

（1）若点N 为曲线1C 上的动点，求线段MN 的中点T 的轨迹2C 的直角坐标方程；

（2）在（1）的

条件下，若过点P 的直线l 与曲线2C 相交于A ，B 两点，求PA PB ?的值. 【答案】（1）()2

211x y +-=；（2）1.

23. 已知函数()|31||33|f x x x =-++. （1）求不等式()10f x ≥的解集；

（2）正数,a b 满足2a b +=.

【答案】(1) 4

(,2][,)3

-∞-+∞ (2)证明见解析