a －cos θ
.
§1.3 三角函数的诱导公式（一）导学案
【学习要求】
1．了解三角函数的诱导公式的意义和作用．
2．理解诱导公式的推导过程．
3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．
【学法指导】
1．本节将要学习的诱导公式既是公式一的延续，又是后继学习内容的基础，广泛应用于求任意角的三角函数值以及有关三角函数的化简、证明等问题．
2．这组诱导公式的推导思路是：首先确定角180°＋α、角－α的终边与角α的终边之间的位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，再由正弦函数、余弦函数的定义得出结论． 3．在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末．为什么确定180°＋α角为第一研究对象，－α角为第二研究对象，正是化归思想的运用．利用诱导公式把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，清晰地体现了化归的思想.
【知识要点】
1．设α为任意角，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间 的对称关系.
2．诱导公式一～四
（1）公式一：sin(α＋2k π)＝ ，cos(α＋2k π)＝ ，tan(α＋2k π)＝ ，其中k ∈Z. （2）公式二：sin(π＋α)＝ ，cos(π＋α)＝ ，tan(π＋α)＝ . （3）公式三：sin(－α)＝ ，cos(－α)＝ ，tan(－α)＝ . （4）公式四：sin(π－α)＝ ，cos(π－α)＝ ，tan(π－α)＝
【问题探究】
探究点一 诱导公式的作用和意义
在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°～360°内的角的三角函数值，对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？请你完成下面的问题，并注意观察三角函数的符号规律．
（1）角π3的终边与单位圆的交点坐标为___ ____，所以sin π3＝___，cos π3＝___，tan π
3
＝___；
（2）角4π3的终边与单位圆的交点坐标为_________，所以sin 4π3＝______，cos 4π3＝_____，tan 4π
3＝____；
（3）角－π3的终边与单位圆的交点坐标为________，所以sin ????－π3＝_____，cos ????－π3＝____，tan ????－π3＝_____； （4）角2π3的终边与单位圆的交点坐标为_________，所以sin 2π3＝____，cos 2π3＝____，tan 2π
3＝______.
探究点二 诱导公式二 （1）公式内容：
sin (π＋α)＝－sin α，cos (π＋α)＝－cos α，tan (π＋α)＝tan α. （2）公式推导：
如图，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则角π＋α的终边与单位圆的交点为P 2(－x ，－y )，下面是根据三角函数定义推 导公式的过程，请你补充完整：
由三角函数的定义得sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ，
又sin(π＋α)＝ ，cos(π＋α)＝ ，tan(π＋α)＝ ＝ ， ∴sin(π＋α)＝ ，cos(π＋α)＝ ，tan(π＋α)＝ .
（3）公式作用：第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如： sin 76π＝ ，cos 5
4
π＝ ，tan 240°＝
探究点三 诱导公式三 （1）公式内容：
sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α，tan (－α)＝－tan α. （2）公式推导：
如图，设角α的终边与单位圆的交点为P 1(x ，y )，由于角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称，因此角－α与单位圆的交点为P 2 ，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x ；
sin(－α)＝－y ＝－sin α；cos(－α)＝ ＝ ，tan(－α)＝ ＝ . （3）公式作用：将负角的三角函数转化为正角的三角函数． 例如，sin(－390°)＝ ，cos ????－π3＝ ，tan ???
?－5
4π＝
探究点四 诱导公式四 （1）公式内容：
sin (π－α)＝sin α，cos (π－α)＝－cos α，tan (π－α)＝－tan α. （2）公式推导：请写出诱导公式四的推导过程．
方法一：如图，设角α的终边与单位圆相交于P 1(x ，y )，由于角π－α与α的终边关于y 轴对称，因此角π－α的终边与单位圆相交于P 2(－x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x
；
sin(π－α)＝ ＝ ，cos(π－α)＝ ＝ ，tan(π－α)＝y －x ＝－y
x ＝ .
方法二：由诱导公式二和诱导公式三可得：
sin(π－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝sin α，
cos(π－α)＝ ＝ ＝ . tan(π－α)＝ ＝ ＝ .
即sin(π－α)＝ ，cos(π－α)＝ ，tan(π－α)＝ .
（3）公式作用：将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数． 例如，sin 480°＝ ，cos 150°＝ ，tan 135°＝
【典型例题】
例1 求下列三角函数的值．
（1）sin ????－194π；（2）cos 960°；（3）tan 476π. 跟踪训练1 求下列三角函数值．
（1）sin ????－436π；（2）cos 296π；（3）tan(－855°)．
例2 化简：sin 2(α＋3π)cos (α＋π)
tan (α＋π)cos 3(－α－π)
跟踪训练2 化简：tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)
cos (θ－π)sin (5π＋θ)
例3 已知cos ????π6－α＝3
3，求cos ????56π＋α－sin 2???
?α－π6的值 跟踪训练3 已知cos(π＋α)＝－3
5，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值
【当堂检测】
1．求下列三角函数的值．
（1）sin 690°；（2）cos ????－203π；（3）tan(－1 845°)． 2．化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)
sin (－α－180°)cos (－180°－α)
3．证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)
sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z.
【课堂小结】
1．明确各诱导公式的作用
2．诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
【拓展提高】
【课后作业】
一、基础过关 1． sin 585°的值为
( )
A ．－
22 B ．22 C ．－32
D ．
3
2
2． 若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)
cos (n π＋α)
的化简结果是
( )
A ．±tan α
B ．－tan α
C ．tan α
D ．1
2
tan α
3． 若cos(π＋α)＝－12，3
2
π<α<2π，则sin(2π＋α)等于
( )
A ．1
2
B ．±32
C ．32
D ．－
3
2 4． tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)
sin (－α)－cos (π＋α)
的值为
( )
A ．m ＋1m －1
B ．m －1m ＋1
C ．－1
D ．1 5． 记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于
( )
A ．1－k 2k
B ．－1－k 2k
C ．k
1－k 2
D ．－
k
1－k 2 6． 若sin(π－α)＝log 8 1
4
，且α∈????－π2，0，则cos(π＋α)的值为
( )
A ．
5
3
B ．－
53 C ．±53
D ．以上都不对
7．已知cos ????π6＋θ＝3
3，则cos ????5π6－θ＝________. 8．代数式
1＋2sin 290°cos 430°
sin 250°＋cos 790°
的化简结果是________．
二、能力提升
9． 设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 013)＝1，则f (2 014)＝________.
10．化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋4
3π)，n ∈Z .
11．若cos(α－π)＝－2
3，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．
12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0.
三、探究与拓展
13．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．
§1.3 三角函数的诱导公式（二）导学案
【学习要求】
1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题．
2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．
3．继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．
【学法指导】
六组诱导公式可以概括为一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，即诱导公式左边的角可统一写成k ·
π
2±α(k ∈Z)的形式，当k 为奇数时公式等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变，当k 为偶数时，公式符号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当成锐角，看k ·
π2±α为第几象限角.
【知识要点】
1．诱导公式五～六
（1）公式五：sin ????π2－α＝ ；cos ????π
2－α＝ . 以－α替代公式五中的α，可得公式六．
（2）公式六：sin ????π2＋α＝ ；cos ????π
2＋α＝ 2．诱导公式五～六的记忆
π2－α，π
2
＋α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.
【问题探究】
探究点一 诱导公式五 （1）诱导公式五的提出：
在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义、 完成下列填空：
sin α＝ ，cos α＝ ，sin ????π2－α＝ ，cos ????π
2－α＝ . 根据上述结论，你有什么猜想？ sin ????π2－α＝ ；cos ????π
2－α＝ （2）诱导公式五的推导：
问题1 若α为任意角，那么π
2－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？
问题2 设角α与单位圆交于点P (x ，y )，则π
2－
α与单位圆交于点P ′，写出点P ′的坐标．
问题3 根据任意角三角函数的定义，完成下列填空： sin α＝ ，cos α＝ ；sin ????π2－α＝ ，cos ???
?π
2－α＝ . 所以，对任意角α都有：sin ????π2－α＝ ，cos ????π
2－α＝ 探究点二 诱导公式六
（1）诱导公式六：
sin ????π2＋α＝ ，cos ????π
2＋α＝ . （2）诱导公式六的推导：
思路一 根据π2＋α＝π
2－(－α)这一等式，利用诱导公式三和诱导公式五推导诱导公式六．
思路二 根据π
2
＋α＝π－????π2－α这一等式，利用诱导公式四和诱导公式五推导诱导公式六． 探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用
公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．
公式五～六归纳：π
2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时
原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．
六组诱导公式可以统一概括为“k ·π
2±α(k ∈Z)”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，
函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．请你根据上述规律，完成下列等式：
sin ????32π－α＝ ，cos ????32π－α＝ ，sin ????32π＋α＝ ，cos ????3
2π＋α＝ . 你能根据相关的诱导公式给出上述等式的证明吗？
【典型例题】
例1 已知cos ????α＋π6＝35，π2≤α≤3π
2，求sin ????α＋2π3的值． 跟踪训练1 已知sin ????π6＋α＝3
3，求cos ????α－π3的值．
例2 求证：2sin ????θ－32πcos ????θ＋π2－11－2cos 2???
?θ＋32π＝tan (9π＋θ)＋1
tan (π＋θ)－1.
跟踪训练2 sin (2π－α)cos (π＋α)cos ????π2＋αcos ????11
2π－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π－α)sin ???
?9
2π＋α
例3 已知sin(5π－θ)＋sin ????52π－θ＝7
2，求sin 4????π2－θ＋cos 4????32π＋θ的值． 跟踪训练3 已知sin(θ－32π)＋cos ????32π＋θ＝3
5，求sin 3????π2＋θ－cos 3????3π2－θ.
【当堂检测】
1．已知sin ????α－π6＝13，则cos ????α＋π
3的值为
( )
A ．－23
3
B ．233
C ．1
3
D ．－13
2．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·sin(270°＋α)用m 表示为 ( )
A ．m 2－12
B ．m 2＋1
2
C ．1－m 22
D ．－m 2＋12
3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是_____ 4．已知f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)·sin (－α＋3
2
π)
cos (－π－α)sin (－π－α).
（1）化简f (α)；
（2）若α是第三象限角，且cos(α－32π)＝1
5
，求f (α)的值
【课堂小结】
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π
2±α(k ∈Z)”的诱导公式．当k 为偶数时，得α
的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号． 2．诱导公式统一成“k ·π
2
±α(k ∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.
【拓展提高】
【课后作业】
一、基础过关
1． 已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为
( )
A ．－1
2
B ．12
C ．－32
D ．32 2． 若sin(3π＋α)＝－1
2
，则cos ????7π2－α等于
( )
A ．－1
2
B ．12
C ．32
D ．－
3
2 3． 已知sin ????α－π4＝13，则cos ???
?π
4＋α的值等于
( )
A ．－1
3
B ．13
C ．－223
D ．22
3
4． 若sin(π＋α)＋cos ????π2＋α＝－m ，则cos ???
?3
2π－α＋2sin(2π－α)的值为
( )
A ．－2m
3
B ．2m 3
C ．－3m 2
D ．3m
2
5． 已知cos ????π2＋φ＝32，且|φ|＜π
2
，则tan φ等于
( )
A ．－
3
3
B ．
3
3
C ．－ 3
D ． 3
6． 已知cos(75°＋α)＝1
3
，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是
( )
A ．1
3
B ．23
C ．－13
D ．－23
7．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 8．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)
sin ????α＋3π2cos ????α＋3π2＝－tan α.
二、能力提升
9． 已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ????π2－α－2cos ???
?π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.
10．化简：sin ????4k －14π－α＋cos ???
?4k ＋1
4π－α (k ∈Z )．
11．已知sin ????－π2－α·cos ????－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．
12．已知cos ????π2＋α＝2sin ???α－π2，求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ????5π2－α＋3sin ????7π2－α的值．
三、探究与拓展
13．是否存在角α，β，α∈???
?－π2，π2，β∈(0，π)，使等式?????
sin (3π－α)＝2cos ????π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)
同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．
§1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象导学案
【学习要求】
1．了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．
2．掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正、余弦曲线． 3．理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系．
【学法指导】
1．研究函数的性质常常以图象直观为基础，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法．正弦函数和余弦函数的学习也是如此．
2．利用“五点法”作出正弦函数和余弦函数的图象是本节的重点，也是进一步通过正弦函数图象和余弦函数图象研究正、余弦函数性质的基础和前提，“五点法”作图的基本步骤和要领要熟练掌握.
【知识要点】
1．正弦曲线、余弦曲线
正弦函数y ＝sin x (x ∈R)和余弦函数y ＝cos x (x ∈R)的图象分别叫 曲线和 曲线．
2．“五点法”画图
画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是____________________________________________； 画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是___________________________________________． 3．正、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos x ＝sin ????x ＋π2，要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向 平移π
2
个单位长度即可. 【问题探究】
探究点一 几何法作正弦曲线
利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示．
②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作 的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π
2
，…，2π等角的正弦线．
③找横坐标：把x 轴上 (2π≈6.28)这一段分成12等份． ④找纵坐标：将 线对应平移，即可得到相应点的纵坐标．
⑤连线：用平滑的曲线将这些点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象．
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π)，k ∈Z 且k ≠0的图象，与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是我们只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 探究点二 五点法作正弦曲线
在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出__________________________________五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 请你在所给的坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 探究点三 五点法作余弦曲线
根据诱导公式sin ??
??x ＋π
2＝cos x ，x ∈R.只需把正弦函数y ＝sin
x ，x ∈R 的图象________________________即可得到余弦函数图象．
在精度要求不高时，要画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，可以通过描出______________________五个关键
点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到余弦函数的简图． 请你在下面所给的坐标系中画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象．
【典型例题】 例1
利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图．
跟踪训练1
利用“五点法”作出函数y ＝－1－cos x (0≤x ≤2π)的简图．
例2 求函数f (x )＝lg sin x ＋16－x 2
的定义域．
跟踪训练2 求函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域．
例3 在同一坐标系中，作函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象，根据图象判断出方程sin x ＝lg x 的解的个数． 跟踪训练3 方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是____．
【当堂检测】
1．方程2x ＝sin x 的解的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．无穷多
2．用“五点法”画出函数y ＝1
2＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图．
3．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤1
2
，x ∈[0,2π]． 4．求函数y ＝log 21
sin x
－1的定义域．
【课堂小结】
1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题
的基础．
2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.
【拓展提高】
【课后作业】
一、基础过关
1． 函数y ＝sin x (x ∈R )图象的一条对称轴是
( )
A ．x 轴
B ．y 轴
C ．直线y ＝x
D ．直线x ＝π
2
2． 函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向右平移π
2
个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式为 ( )
A ．g (x )＝－sin x
B ．g (x )＝sin x
C ．g (x )＝－cos x
D ．g (x )＝cos x 3． 函数y ＝－sin x ，x ∈???
?－
π
2，3π
2的简图是
( )
4． 方程sin x ＝x
10
的根的个数是
( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
5． 函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象向右平移π
2个单位后所得图象对应的函数解析式是________．
6． 函数y ＝2cos x ＋1的定义域是______________．
7． 设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．
8． 利用“五点法”画出函数y ＝2－sin x ，x ∈[0,2π]的简图．
二、能力提升
9． 在(0,2π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是
( )
A ．????π4，3π4
B ．????π4，π2∪????5π4，3π2
C ．????π4，π2
D ．???
?5π4，7π4 10．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A ．4
B ．8
C ．2π
D ．4π
11．已知0≤x ≤2π，试探索sin x 与cos x 的大小关系．
12．分别作出下列函数的图象．
（1）y ＝|sin x |，x
∈R ； （2）y ＝sin|x |，x ∈R .
三、探究与拓展
13．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．
§1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(一) 导学案
【学习要求】
1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．
2．会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期．
3．掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．
【学法指导】
1．在函数的周期定义中是对定义域中的每一个x 值来说，对于个别的x 0满足f (x 0＋T )＝f (x 0)，并不能说T 是f (x )的周期．例如：既使sin ????π4＋π2＝sin π4成立，也不能说π
2
是f (x )＝sin x 的周期． 2．判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求其定义域，看它是否关于原点对称，一些函数的定
义域比较容易观察，直接判断f (－x )与f (x )的关系即可；一些复杂的函数要防止没有研究定义域是否关于原点对称而出错.
【知识要点】
1．函数的周期性
（1）对于函数f (x )，如果存在一个 ，使得当x 取定义域内的 时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．
（2）如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的 ．
2．正弦函数、余弦函数的周期性 由sin(x ＋2k π)＝ ，cos(x ＋2k π)＝ 知y ＝sin x 与y ＝cos x 都是 函数，
都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.
3．正弦函数、余弦函数的奇偶性 （1）正弦函数y ＝sin x 与余弦函数y ＝cos x 的定义域都是 ，定义域关于 对称．
（2）由sin(－x )＝ 知正弦函数y ＝sin x 是R 上的 函数，它的图象关于 对称．
（3）由cos(－x )＝ 知余弦函数y ＝cos x 是R 上的 函数，它的图象关于 对称. 【问题探究】
探究点一 周期函数的定义
一般地，对于函数y ＝f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，那么就把函数y ＝f (x )叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期． （1）证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数．
（2）满足条件：f (x ＋a )＝－f (x )(a 为常数且a ≠0)的函数y ＝f (x )是周期函数吗？如果是，给出一个周期，如果不是，说明理由
探究点二 最小正周期
如果非零常数T 是函数y ＝f (x )的一个周期，那么kT (k ∈Z 且k ≠0)都是函数y ＝f (x )的周期．
（1）周期函数的周期不止一个，若T 是周期，则kT (k ∈Z ，且k ≠0)一定也是周期．例如，正弦函数y ＝sin x 和余弦函数y ＝cos x 的最小正周期都是 ，它们的所有周期可以表示为：
．
（2）“并不是所有的周期都存在最小正周期”，即存在某些周期函数，这些函数没有最小正周期．请你写出符合上述特征的一个周期函数： .
（3）证明函数的最小正周期常用反证法．下面是利用反证法证明2π是正弦函数y ＝sin x 的最小正周期的过程．
请你补充完整．
证明：由于2π是y ＝sin x 的一个周期，设T 也是正弦函数y ＝sin x 的一个周期，且 ，根据周期函数的定义，当x 取定义域内的每一个值时，都有 .
令x ＝π2，代入上式，得sin ????π2＋T ＝sin π
2＝1，又sin ????π2＋T ＝ ，所以 . 另一方面，当T ∈(0,2π)时， ，这与 矛盾．
故2π是正弦函数y ＝sin x 的最小正周期．
同理可证，余弦函数y ＝cos x 的最小正周期也是2π.
探究点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)的周期 证明2π
|ω|
是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期．
探究点四 正、余弦函数的奇偶性 正弦曲线 余弦曲线
从函数图象看，正弦函数y ＝sin x 的图象关于 对称，余弦函数y ＝cos x 的图象关于 对称；从诱导公式看，sin (－x )＝ ，cos(－x )＝ 均对一切x ∈R 恒成立．所以说，正弦函数是R 上的 函数，余弦函数是R 上的 函数．
【典型例题】 例1 求下列函数的周期． （1）y ＝sin ?
???2x ＋π3 (x ∈R)；（2）y ＝cos(1－πx )(x ∈R)；（3）y ＝|sin x | (x ∈R)． 跟踪训练1 求下列函数的周期： （1）y ＝cos 2x ；（2）y ＝sin ???－12x ＋π3；（3）y ＝|cos x |.
例2 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈????0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ???
?5π3的值．
跟踪训练2 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ????π3＝1，求f ????－5π6 的值．
例3 判断下列函数的奇偶性．
（1）f (x )＝sin ????－12x ＋π2；（2）f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；（3）f (x )＝1＋sin x －cos 2
x 1＋sin x
. 跟踪训练3 判断下列函数的奇偶性： （1）f (x )＝cos ????3
2π＋2x ＋x 2·sin x ； （2）f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.
【当堂检测】
1．函数y ＝sin(4x ＋3
2π)的周期是 ( )
A ．2π
B ．π
C ．π
2
D ．π4
2．下列函数中，周期为π
2的是 ( )
A ．y ＝sin x
2
B ．y ＝sin 2x
C ．y ＝cos x
4
D ．y ＝cos(－4x )
3．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝________. 4．若f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－sin x ，求当x <0时，f (x )的解析式．
【课堂小结】
1．求函数的最小正周期的常用方法：
（1）定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T . （2）图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T .如y ＝|sin x |.
（3）结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R)的周期T ＝2π
ω.
2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称.
【拓展提高】
【课后作业】
一、基础过关
1． 函数f (x )＝3sin ????
x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为
( )
A.π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π
2． 函数f (x )＝sin ????ωx ＋π6的最小正周期为π
5
，其中ω>0，则ω等于
( )
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20 3． 设函数f (x )＝sin ?
???2x －π
2，x ∈R ，则f (x )是
( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为π2的奇函数
D ．最小正周期为π
2的偶函数
4． 下列函数中，不是周期函数的是
( )
A ．y ＝|cos x |
B ．y ＝cos|x |
C ．y ＝|sin x |
D ．y ＝sin|x |
5． 定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈???
?－π
2，0时，f (x )＝sin x ，则f ????－5π
3的值为
( )
A ．－1
2
B ．12
C ．－32
D ．
32
6． 函数f (x )＝sin ????2πx ＋π
4的最小正周期是________． 7． 函数y ＝sin ????ωx ＋π4的最小正周期是2π
3，则ω＝________. 8． 判断下列函数的奇偶性．
（1）f (x )＝cos ????π2＋2x cos(π＋x )； （2）f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ； （3）f (x )＝e sin x ＋e －
sin x
e sin x －e
－sin x .
二、能力提升
9． 下列函数中，周期为2π的是
( )
A ．y ＝sin x
2
B ．y ＝sin 2x
C ．y ＝???sin x
2 D ．y ＝|sin 2x |
10．设函数f (x )＝sin π
3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝________.
11．判断函数f (x )＝ln(sin x ＋1＋sin 2x )的奇偶性．
12．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈????0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈????5
2π，3π时f (x )的解析式．
三、探究与拓展
13．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1
f (x )
(f (x )≠0)．
（1）求证：函数f (x )是周期函数． （2）若f (1)＝－5，求f (f (5))的值．
§1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 导学案
【学习要求】
1．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．
2．掌握y ＝sin x ，y ＝cos x 的单调性，并能利用单调性比较大小．
3．会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间．
【学法指导】
1．在研究正弦、余弦函数的性质时，要充分借助正弦、余弦曲线，注意数形结合思想方法的运用． 2．正弦函数和余弦函数在定义域上都不是单调函数．研究正弦函数的变化趋势时首先选取????－π2，3
2π这一周期区间，然后推而广之；研究余弦函数的变化趋势时首先选取[－π，π]这一周期区间，然后根据周期推广到
整个定义域．
3．研究形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调性时，注意A 、ω的符号对函数单调性的影响以及整体换元思想方法的应用.
【知识要点】
【问题探究】
探究点一 正、余弦函数的定义域、值域 正弦曲线：
余弦曲线：
由正、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ，值域都是 ． 对于正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 有：
当且仅当x ＝ 时，取得最大值1；当且仅当x ＝ 时，取得最小值－1. 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有：
当且仅当x ＝ 时，取得最大值1；当且仅当x ＝ 时，取得最小值－1. 探究点二 正、余弦函数的单调性
正弦函数和余弦函数都是周期函数，且周期都是2π，首先研究它们在一个周期区间上函数值的变化情况，再推广到整个定义域．
（1）函数y ＝sin x ，x ∈???－π2，3π
2的图象如图所示：
观察图象可知：
当x ∈__________时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x 的值由－1增大到1； 当x ∈__________时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得：
当x ∈___________________________时，正弦函数y ＝sin x 是增函数，函数值由－1增大到1； 当x ∈___________________________时，正弦函数y ＝sin x 是减函数，函数值由1减小到－1. （1）函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图象如图所示：
高中数学必修4三角函数教案
任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =
a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以
高中数学人教版必修4 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数C卷
高中数学人教版必修4 第一章三角函数 1.2.1 任意角的三角函数C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共8题；共16分) 1. （2分）已知函数，则下列结论中正确的是（） ①是奇函数②的最小正周期为 ③的一条对称轴方程是④的最大值为2 A . ①② B . ②③ C . ②④ D . ③④ 2. （2分）已知角α的终边与单位圆相交于点P（sin， cos），则sinα=（） A . - B . - C . D . 3. （2分） (2017高一上·辽源月考) 等于（） A . B .
C . D . 4. （2分）设α是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα=x，则tanα等于（） A . - B . - C . D . 5. （2分）已知为第二象限角,,则=（） A . B . C . D . - 6. （2分）下面4个实数中，最小的数是（） A . sin1 B . sin2 C . sin3 D . sin4 7. （2分） (2019高一上·公主岭月考) 的大小关系为（）
A . B . C . D . 8. （2分） (2015高一下·济南期中) 已知角θ的终边经过点P（3，4），则下面正确的是（） A . sinθ= B . cos θ= C . cotθ= D . secθ= 二、填空题 (共3题；共3分) 9. （1分） (2019高一下·嘉定月考) 点从出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为________. 10. （1分）若α是第二象限角，则sin （sinα），sin （cosα），cos （sinα），cos （cosα）中正数的个数是1 ． 11. （1分） (2016高一下·九江期中) 已知角a的终边经过点P（5，﹣12），则sina+cosa的值为________． 三、解答题 (共3题；共20分) 12. （10分） (2019高一上·阜阳月考) （1）求值：； （2）若角的终边经过点，求的值． 13. （5分）如图，以Ox为始边分别作角α与β（0＜α＜β＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、
高中数学选修2-2导学案
高二数学导学案 §1.1.1 函数的平均变化率导学案 【学习要求】 1．理解并掌握平均变化率的概念． 2．会求函数在指定区间上的平均变化率． 3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题． 【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】 1．函数的平均变化率：已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝ ，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝ ，则当Δx ≠0时，商x x f x x f ?-?+) ()(00＝____叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间 的 ． 2．函数y ＝f (x )的平均变化率的几何意义：Δy Δx ＝__________ 表示函数y ＝f (x )图象上过两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))的割线的 . 【问题探究】 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究 这个问题． 探究点一 函数的平均变化率 问题1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 问题2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 问题3 平均变化率有什么几何意义？ 跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则： （1）函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； （2）函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 探究点二 求函数的平均变化率 例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算f (x )在下列区间上的平均变化率： （1）[1,3]；（2）[1,2]；（3）[1,1.1]；（4）[1,1.001]． 跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )
高一数学必修4三角函数知识点及典型练习
第一、任意角的三角函数 一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类（正角、负角、零角和象限角），正确理解角， 与角 终边相同的角的集合}{ |2,k k z ββπα=+∈ ， 弧度制，弧度与角度的换算， 弧长l r α=、扇形面积2 1122 s lr r α==， 二：任意角的三角函数定义：任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是（x ，y ），它与原点的距 离是22r x y =+(r>0)，那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ，它们都是以角 为自变量，以比值为函数值的函数。 三角函数值在各象限的符号： 三：同角三角函数的关系式与诱导公式： 1. 平方关系：2 2 sin cos 1αα+= 2. 商数关系： sin tan cos α αα = 3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 * 正弦 : 余弦 & 正切 》 4. 两角和与差公式 ：()()()sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ αβαβ? ?±=±?? ±=?? ±?±=??
5.二倍角公式：22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααααααααααα? ?=?=-=-=-???= -? 余弦二倍角公式变形： 222cos 1cos2,2sin 1cos2αααα=+=- 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质
人教版 高中数学必修4 三角函数知识点
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+=
高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案
1.2.1任意角的三角函数（A层学案） 学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义； 2.记住诱导公式一并会应用。 学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。 学习难点：任意角的三角函数的定义。 一、课前预习案 1．任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的________，记作______，即sinα＝y； ②x叫做α的________，记作______，即cosα＝x； ③y x 叫做α的________，记作______，即tanα＝ y x (x≠0)． (2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(x，y)，它到原点的距离r(r>0),r=,那么任意角α的三角函数的定义为： sinα＝ cosα＝ tanα＝ 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 记忆口诀：。 3．诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________，即： sin(α＋k·2π)＝________，cos(α＋k·2π)＝________， tan(α＋k·2π)＝________，其中k∈Z. 角α0π 6 π 4 π 3 π 2 2 3 π 3 4 π 5 6 ππ 3 2 π2π sin αcos αtan α
二、课内探究案 知识点一利用定义求角的三角函数值 例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1： （1）已知角α的终边过点 0(3,4) P--，求角α的正弦、余弦和正切值. （2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值． 知识点二：三角函数值的符号问题 例2. （1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin α B.cos α C.tan α D.cos α或tan α （2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”). (3)函数的值域是_______. 变式训练2：判断下列各式的符号. (1)sin 370°+cos 370°.
高中数学必修4三角函数综合测试题
必修4三角函数综合测试题及答案详解 一、选择题 1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角 B ．第三象限的角必大于第二象限的角 C ．－831°是第二象限角 D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角 2．若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π 6的值为( ) A ．0 B.3 3 C ．1 D. 3 3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ 2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上 4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( ) A ．T ＝2，θ＝π 2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π 2 5．若sin ? ???? π2－x ＝－32，且π7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ? ?? ?? x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θ sin θ＋2cos θ的值为( ) A ．0 B ．1 C.34 D.54 9．函数f (x )＝tan x 1＋cos x 的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点
新人教版高中数学 三角函数的诱导公式导学案必修四-2019最新整理
新人教版高中数学 三角函数的诱导公式导学案必修四-2019最新 整理 【学习目标】 1、能推出诱导公式二～四； 2.记住诱导公式二～四，会用来求三角函数的值，并能进行简单三角函数 式的化简。 【学习重点】诱导公式二～四的推导及应用。 【学法指导】根据三角函数的定义，在单位圆中利用对称性进行探究；先 从特殊角出发再推广到任意角。 【知识链接】任意角三角函数的定义、诱导公式一、点的对称性。 【学习过程】 一、课前准备 （预习教材P23-27，找出疑惑之处,并作标记） Sin210°= （公式一能解决吗？） 二、新课导学 1、诱导公式二： （1）设210°、30°角的终边分别交单位圆于点p 、p ＇，则点p 与p ＇ 的 位置关系如何？（画图分析） 设点p （x ，y ），则点p ＇怎样表示？ （2）将210°用（180°+）的形式表达为 α （3）sin210°与sin30°的值关系如何？ 设为任意角 （1）设与（180°+）的终边分别交单位 ）（点的终边与单位圆相交于已知任意角y x P ,α
圆于p ，p ′， 设点p （x,y ），那么点p ′坐标怎样表示？（画图分析） ααα （2）sin 与sin （180°+）、cos 与cos （180°+）以及tan 与tan （180° +） 关系分别如何？ αααααα 经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？ 书写诱导公式二： （记忆方法）结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）α 作用：②把求（180°+）的三角函数值转化为求的三角函数值。αα 练习1：求下列各三角函数值： ①sin 225° ②cos225° ③tan π ④重新解决上 面练习（2）4 5 2、诱导公式三： 思考下列问题： （1）30°与（－30°）角的终边关系如何？ （2）设30°与（－30°）的终边分别交单位圆于点p 、p ′，设点p （x,y ），则点p ′的坐标怎样表示？（画图分析） （3）sin （－30°）与sin30°的值关系如何？ 小组合作分析：在求sin （－30°）值的过程中，我们利用（－30°） 与30°角的终边及其与单位圆交点p 与p ′关于原点对称的关系，借助三 角函数定义求sin （－30°）的值。 导入新问题：对于任意角， sin 与sin （－）的关系如何呢？试说出 你的猜想？ααα 设为任意角 类比上面过程思考： α sin 与sin （－）、 cos 与cos （－）以及tan 与tan （－）关系如何？αααααα 经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？ 诱导公式三： sin （－）= α cos （－）= α tan （－）= α sin()______. cos()______. tan()______. πααπαπαπα++=+=+=与的三角函数关系
(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案 统计导学案含答案
9.1随机抽样 考点学习目标核心素养 抽样调查 理解全面调查、抽样调查、总体、个体、 样本、样本量、样本数据等概念 数学抽象 简单随机抽样 理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机 抽 样的两种方法：抽签法和随机数法 数学抽象、逻辑推理分层随机抽样 理解分层随机抽样的概念，并会解决相关 问题 数学抽象、逻辑推理 问题导学 预习教材P173－P187的内容，思考以下问题： 1.全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？ 2.什么叫简单随机抽样？ 3.最常用的简单随机抽样方法有哪两种？ 4.抽签法是如何操作的？ 5.随机数法是如何操作的？ 6.什么叫分层随机抽样？ 7.分层随机抽样适用于什么情况？ 8.分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？ 9.获取数据的途径有哪些？ 1.全面调查与抽样调查 （1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ. （2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ. （3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况
作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ. （4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ. （5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ. （6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. 2.简单随机抽样 （1）有放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N （N 为正整数）个个体，从中逐个抽取n （1≤n 人教版必修四三角函数知识点汇总
必修四《三角函数》所有知识点、公式（必须会背） 1．终边相同的角： 与角α有相同终边的角的集合为：_______________________________． 2．象限角的集合 （1）第一象限角的集合：_______________________________________ （2）第二象限角的集合：_______________________________________ （3）第三象限角的集合：_______________________________________ （4）第四象限角的集合：_______________________________________ 3．轴线角的集合 （1）终边在x 轴上的角的集合：__________________________ （2）终边在y 轴上的角的集合：__________________________ （3）终边在坐标轴上的角的集合：________________________ 4．角度制与弧度制相互换算 360°＝_________rad 180°＝_________rad 1°＝_________rad 1 rad ＝_________°≈ _________° 5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式： 角α的弧度数的绝对值||α=______________ （l 为弧长，r 为半径） 弧长公式：l =_______ 扇形面积公式：S =________=________．扇形的周长：c = 6．任意角三角函数的的定义：1．定义：以角α顶点为原点O ， 始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系．在角α的终边上任取不同于原点O 的一点(),P x y ，设P 点与原点O 的距 离为r ()0r >，则||PO r ==则角α的三个三角函 数依次为： sin α=________，cos α=________，tan α=________ 8．三角函数值符号的判断： 当α为第________象限角时，sin 0α>；当α为第_________象限角时，sin 0α<； 当α为第________象限角时，cos 0α>；当α为第_________象限角时，cos 0α<； 当α为第________象限角时，tan 0α>；当α为第_________象限角时，tan 0α<．
高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案
1.2.1任意角的三角函数（A 层学案） 学习目标：1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义； 2.记住诱导公式一并会应用。 学习重点：任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。 学习难点：任意角的三角函数的定义。 一、课前预习案 1．任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的________，记作______，即sin α＝y ； ②x 叫做α的________，记作______，即cos α＝x ； ③ y x 叫做α的________，记作______，即tan α＝y x (x ≠0)． (2)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )，它到原点的距离r(r>0),r= ,那么任意角α的三角函数的定义为： sin α＝ cos α＝ tan α＝ 2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 记忆口诀： 。 3．诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________，即： sin(α＋k ·2π)＝________，cos(α＋k ·2π)＝________， tan(α＋k ·2π)＝________，其中k ∈Z . 4.利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值. 角α 0 π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π 3 2 π 2π sin α cos α tan α
二、课内探究案 知识点一利用定义求角的三角函数值 例1：已知角α的终边经过点P(－4,3)，求sin α、cos α、tan α的值．变式训练1： （1）已知角α的终边过点 0(3,4) P--，求角α的正弦、余弦和正切值. （2）已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sinα、cosα、tanα的值． 知识点二：三角函数值的符号问题 例2. （1）α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin α B.cos α C.tan α D.cos α或tan α （2）若sin θ·tan θ＞0，cos θ·tan θ＜0，则sin θ·cos θ______0 (填“＞”“＜”或“=”). (3)函数的值域是_______. 变式训练2：判断下列各式的符号. (1)sin 370°+cos 370°.
人教版数学必修四三角函数复习讲义
第一讲 任意角与三角函数诱导公式 1. 知识要点 角的概念的推广： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念： 在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示： α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z 。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2 k k Z π απ=+∈； α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α= ∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. α与2 α的终边关系： 任意角的三角函数的定义: 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），
它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==， ()tan ,0y x x α= ≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A 处(起点是A )” 同角三角函数的基本关系式： 1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变 形形式。 三角函数诱导公式：“ （2 k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 典型例题 例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(?--?-?-?-?+?αααα
高中数学必修2全册导学案精编
高中数学必修二复习全册导学案
必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)）
高中数学必修4_三角函数诱导公式及练习zz
三角函数诱导公式 sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα，cos（π/2－α）＝sinα，tan（π/2－α）＝cotα， cot（π/2－α）＝tanα，sin（π/2＋α）＝cosα，cos（π/2＋α）＝－sinα， tan（π/2＋α）＝－cotα，cot（π/2＋α）＝－tanα，sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα，tan（π－α）＝－tanα，cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα，cos（π＋α）＝－cosα，tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα，sin（3π/2－α）＝－cosα，cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα，cot（3π/2－α）＝tanα，sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα，tan（3π/2＋α）＝－cotα，cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα，cos（2π－α）＝cosα，tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα，sin（2kπ＋α）＝sinα，cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα，cot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z) 习题精选 一、选择题 1．若， 则的值为（）． A．B．C．D． 2．的值等于（）． A．B．C．D． 3．在△ 中，下列各表达式为常数的是（）． A． B． C． D． 5．已知是方程的根，那么的值等于（）． A．B．C．D． 二、填空题 6．计算． 7．已知，，则，．
2019-2020学年高中数学 1.6《三角函数模型的简单应用》导学案 新人教A版必修4.doc
2019-2020学年高中数学 1.6《三角函数模型的简单应用》导学案 新人教 A 版必修4 【学习目标】 1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断. 【重点难点】 重点：精确模型的应用——由图象求解析式，由解析式研究图象及性质 难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型 【学法指导】 预习三角函数模型的简单问题，初步了解三角函数模型的简单应用 【知识链接】 1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线. 【学习过程】 自主探究； 问题一、如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(?ω． （1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式 问题二、画出函数x y sin =的图象并观察其周期． 问题三、如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，?为该地的纬度值，
那么这三个量之间的关系是δ?θ--= 90．当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值． 如果在北京地区(纬度数约为北纬 40)的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？ 【基础达标】 1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由. 【拓展提升】 1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24 θφφ-δδ 太阳光
高中数学《函数的表示法》导学案
1.2.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 1．函数的表示法 (1)解析法：□1用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． (2)图象法：□2用图象表示两个变量之间的对应关系． (3)列表法：□3列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 2．对三种表示法的说明 (1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域． (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散的点． (3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选取的自变量要有代表性． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用列表法表示．() (2)任何一个函数都可以用解析法表示．() (3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)函数f(x)是一次函数，若f(1)＝1，f(2)＝2，则函数f(x)的解析式是________． (2)某教师将其1周课时节次列表如下： X(星期)12345
Y (节次) 2 4 5 3 1 从这个表中看出这个函数的定义域是________，值域是________． (3)(教材改编P 23T 3)画出函数y ＝|x ＋2|的图象． 答案 (1)f (x )＝x (2){1,2,3,4,5} {2,4,5,3,1} (3) 探究1 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2 x ，x ∈[2，＋∞)； (2)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． 解 (1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 23 12 25 … 画图象，当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2 x 的一部分(图1)，观察图象可知其值域为(0,1]．
数学人教A版高中必修1任意角的三角函数导学案
2.2.2任意角的三角函数（1） 【学习目标】 1．掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 2．会用三角函数线表示任意角三角函数的值 3．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】 任意角的正弦、余弦、正切的定义 【自主学习】 一、复习旧知，导入新课 在初中，我们已经学过锐角三角函数： 角的范围已经推广，那么对任意角是否也能定义其三角函数呢？ 二、建构数学 1．在平面直角坐标系中，设点是角终边上任意一点，坐标为,它与原点的距离，一般地，我们规定： ⑴比值___________叫做的正弦,记作___________,即___________=___________； ⑵比值___________叫做的余弦,记作___________,即___________=___________； ⑶比值___________叫做的正切,记作___________,即___________=___________. 2.当=___________________时, 的终边在轴上,这时点的横坐标等于____________,所以_____________无意义.除此之外,对于确定的角,上面三个值都是______________.所以, 正弦、余弦、正切都是以_________为自变量,以__________为函数值的函数,我们将它们统称为___________________. 3.由于________________________与________________________之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为_________________的函数. 4.其中，和的定义域分别是________________；
高中数学导学案 等差数列
2．2 等差数列 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具：投影仪 （四）教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案： （放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,…… 2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期
高中必修四三角函数知识点总结
§04． 三角函数 知识要点 １. ①与α（0°≤α<360°)终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =ｘ轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系: 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:３60°=２π 18０°=π 1°=0.０１745 1=57.３０°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1r ａd=π 180°≈57.３０°=５7°18ˊ． １°＝180 π≈０.01 ７４5(ｒad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式:211 ||22 s lr r α= =?扇形 ４、三角函数：设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点Ｐ(x,ｙ）P 与原点的距离为ｒ,则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ; y x =αcot ； x r =αsec ；. =αcsc 5、三角函数在各象限的符号：(一全二正弦,三切四余弦) 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 SIN \COS 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
