高鸿业微观第七版第章习题参考答案
第四章生产函数
第一部分教材配套习题本习题详解
一、简答题
1. 如何准确区分生产的短期和长期这两个基本概念? 生产的短期：指生产者来不及调整全部生产要素的数量，至少有一种生产要素的数量是固定不变的时间周期。短期不可调整的生产要素称不变生产要素，一般包括厂房、大型设备、高级管理者、长期贷款等，可调整的生产要素成为可变生产要素，一般包括原材料、燃料、辅助材料、普通劳动者等。生产的长期：指生产者可以调整全部生产要素的数量的时间周期。生产的短期和长期是相对的时间概念,不是绝对的时间概念，其与企业所属行业、所用技术设备和规模等因素有关。
2. 下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表（表４—１）：（１）在表中填空。
（２）该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？
表４—１
解答：（１）在表４—１中填空得到表４—２
表４—２
3
解答：边际报酬变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起的总产量的变化量，即边际产量的变化，而其他生产要素均为固定生产要素，固定要素的
投入数量是保持不变的。边际报酬变化一般包括边际报酬递增、不变和递减三个阶段。很显然，边际报酬分析可视为短期生产分析。
规模报酬分析方法是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引起的产量变化特征，当产量的变化比例分别大于、等于、小于全部生产要素投入量变化比例时，则分别为规模报酬递增、不变、递减。很显然，规模报酬分析可视为长期生产的分析视角。
区别：①前提条件不同，边际报酬变化生产要素分为不变和可变生产要素，生产要素比例发生变化；规模报酬分析研究生产要素同比例变动。②考察时间长短不同。边际报酬变化分析的是短期生产规律；规模报酬研究长期生产规律。③指导意义不同。边际报酬变化指出要按比例配置生产要素；规模报酬指出要保持企业的适度规模。④由于前提条件不同，两规律独立发挥作用，不存在互为前提，互为影响关系。联系：随着投入要素增加，产量一般都经历递增、不变和递减三个阶段。 4.假设生产函数Q＝min{5L,2K} 。
(1) 作出Q＝50 时的等产量曲线。
(2) 推导该生产函数的边际技术替代率函数。
(3) 分析该生产函数的规模报酬情况。
解答：(1)生产函数Q＝min{5L,2K}是固定投入比例生产函数，其等产量曲线如图所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入比例为K:L=5：2。
当产量Q＝50时，有5L＝2K＝50，即L＝10，K＝25。相应的Q＝50 的等产量曲线如图所示。
(2) 由于该生产函数为固定投入比例，即L 与K 之间没有替代关系，所以，边际技术替代率
MRTS LK ＝0。
(3) 因为Q＝f(L ，K)＝min{5L,2K}
f( λ，Lλ K＝) min{5 λ L,2 λ＝K}λmin{5L,2K} ，所以该生产函数呈现出规模报酬不变的特征。
5. 已知柯布道格拉斯生产函数为Q＝AL αKβ。请讨论该生产函数的规模报酬情况。解答：因为Q＝f(L，K)＝AL αKβ
f( λ，LλK)＝A(λL)α( λKβ)＝λα＋βALαKβ
所以当α＋β>1时，该生产函数为规模报酬递增；当α＋β＝1 时，该生产函数为规模报酬不变；当α＋β <1时，该生产函数为规模报酬递减。
6. 如果一个生产函数呈规模报酬不变,那么,该生产函数的边际技术替代率是否一定是不变的? 为什么? 【答案】规模报酬和边际技术替代率是两个不同的概念。规模报酬这一概念是用来分析当全部生产要素同比例变化时导致的产量变化情况。如果产量变化的比例等于全部生产要素变化的比例，这种情况被称为规模报酬不变，边际技术替代率是指在产量给定的条件下，增加一单位要素所能替代的另一种要的数量。事实上，在生产函数呈规模报酬不变的性质时，其边际技术替代率可以不变，也可以递减。
例如线性生产函数Q＝f(L, K)＝aL＋K，具有规模援酬不变的性质，它的边际技术替代率是不变的常数，对柯布道格拉断生产数Q＝AL a K 来说，当a＋＝1 时，也具有规模报酬不变的性质，但它的边际技术替代率是递减的。固定投入比例生产函数Q(L．K )＝min{ aL ，bK } ，也具有規模振酬不変的性质，但在其等产量曲线的水平部分有
MRTS=0 ，在等产量曲线的垂直部分, MRTS= ∞。由此可见，规授酬不变与边际技替代率是渉及生产技术的两个不同概念，两者之间没有直接的联系。
7. 如何区分固定投入比例的生产函数与具有规模报酬不变特征的生产函数?
【答案】固定投入比例生产函数又称里昂惕夫生产函数，其反映了这样一种生产技术， 即在任何产量水平上，各种生产要素使用量之间的比例是固定不变的。在两种生产要 素的情况下，固定投入比例生产函数的一般形式 Q （ L ． K ）＝ min{ aL ，bK } ，即有 固定的生产要素投入比例 K a
，相应的等产量曲线是一直角形式。规模报酬不变的 Lb 概念表示当全部要素使用量都按一定比例变化时，产量变化的比例等于全部要素使用 量变化的比例。对固定投入比例生产函数来说，当所有的要素使用量按相同比例变化 时有 Q （ L ， K ）＝ min{ a L ，b K } = min （L ， K ）= Q （L ．K ）所以， 固定投入比例生产函数具有规模报酬不变的性质。 除了固定投入比例生产函数之外，其他形式的生产函数也可以呈现规模报酬不变的特 征例如，线性生产函数 Q ＝f （L, K ）＝ aL ＋ K 、柯布一道格拉斯生产函数 Q ＝AL a K 当 a ＋B ＝1 时等，都具有规模报酬不变的性质。
总之，固定投入比例生产函数具有规模报不变的性质，但规模报不变的生产函数可以 是固定投入比例生产函数 ，也可以是其他形式的生产的函数。 二、计算题
1. 已知生产函数 Q ＝f （L ，K ）=2KL- 0.5L 2-0.5K 2，假定厂商目前处于短期生产， 且 K ＝ 10，求：
（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量 TP L 函数、劳动的平均产量 AP L 函数和劳动的边际产量 MP L 函数。
（2）分别计算当总产量 TP L 、劳动平均产量 AP L 和劳动边际产量 MP L 各自达到极 大值时的厂商劳动的投入量。
（3）什么时候 AP L ＝MP L ？它的值又是多少？
解（1）把 K=10 代入生产函数得短期关于劳动的总产量函数
（1）当 Q ＝36时， L 与K 值分别是多少？
（2）如果生产要素的价格分别为 P L =2，P K =5，则生产 480单位产量时的最小 成本是多少？
解： ( 1)生产函数为 Q ＝ min( 2L,3K ) 表示该函数是一个固定投入比例的生产 函数，所以，厂商进行生产时，总有 Q ＝ 2L ＝3K 。
因为已知产量 Q ＝36,则 2L ＝3K=36 ，所以， L ＝18，K ＝12。 (2)由 Q ＝ 2L ＝3K=480，可得： L ＝240，K ＝160。 2）当 MP L 0 时，即 当 AP L
MP L 时， 即 20 20-L MP L 3) AP L MP L
AP L 20 0.5L
TP L 20L 0.5L 2 50 50 AP L L 20
0.5L LL
L MP L TP L 20L 0.5L 2 50 20 L
1，说明 20 L=0 50 0.5L 50 20 L ， L=10时， AP L 达到极大值。 L L MP L 始终处于递减阶段，所以 L=0时， MP 最大。
把 L 10 L 10 ， 50 =20 L
AP L MP L 。 5 5=10 AP L 达到极大值， 2．已知生产函数为 Q ＝min （ 2L,3K ） 代入 AP 和 MP 函数得：
， MP L 20 L=20 10=10 ，即 L=10 时， 。求：
劳动的平均产量函数
为： L=20 时， TP L 达到极大
值
又因为P L＝2，P K＝5，所以有：TC＝P L L＋P K K＝2×240＋5×160＝1280。即生产480 单位产量最小成本为1280。
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3.假设某厂商的短期生产函数为Q ＝35L＋8L2－L3。求：
(1) 该企业的平均产量函数和边际产量函数。
(2) 如果企业使用的生产要素的数量为L＝6，是否处理短期生产的合理区间？为什么？解答：(1)平均产量函数：AP(L)＝L＝35＋8L－L2
2 边际产量函数：MP(L)＝Q′(L)＝35＋16L
－3L2 (2)首先需要确定生产要素L 投入量的合理区间。在生产要素L 投入量的合理区间的左端，有AP＝MP，于是，有35＋8L－L2＝35＋16L－3L 。解得L＝0 和L＝4。L ＝0 不合理，舍去，故取L＝4。在生产要素L 投入量的合理区间的右端，有MP＝0，于是，有35 ＋16L－3L2＝0。(5+3L)(7-L)=0 ，解得L＝－5/3 和L＝7。L＝－5/3 不合理，舍去，故取L＝7。由此可得，生产要素L 投入量的合理区间为[4,7]。因此，企业对生产要素L 的使用量为 6 是处于短期生产的合理区间的。
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4.已知生产函数为Q AL3K3。
判断：( 1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？ ( 2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？
12 解：(1) Q f L,K AL3K 3
1 2 1 2
f L, K A L 3 K 3 AL3K 3 f L,K , 所以，在长期生产中，该生产
函数属于规模报酬不变。
(2) 假定资本的投入量不变，用K 表示，L 投入量可变，
1 2 2 2 所以，生产函数Q AL3K 3，这时，劳动的边际产量为MP L 1AL3 K3
3
5
2
dMP L
2AL 3K3 0 ，说明：当资本使用量即定时，随着使用的劳动量的增加，dL 9
劳动的边际产量递减。
1 1 1 4 同理，MP K2AL3K 3，dMP K 2AL3K 3 0 ，说明：当劳动使用量即定时，
K 3 dK 9 随着使用的资本量的增加，资本的边际产量递减。综上，该生产函数受边际报酬递减规律的作用。5．令生产函数f(L，K)=a0＋a1(LK) 1/2＋a2K＋
a3L，其中0≤a i≤1 i=0 ，1，2，3。
(1) 当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。
(2) 证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。
解： （1）根据规模报酬不变的定义 f （ λL ，λK ）=λf （L ，K ）于是有
f （ λL ，λK ）＝a 0＋a 1（λL ）（ λK ）1/2＋a 2（λK ）＋a 3（λL ）
＝a 0＋λa 1（LK ） 1/2＋λa 2K ＋λa 3L
＝λ[a 0＋ a 1（LK ） ＋ a 2K ＋a 3L] ＋（ 1－λ）a 0
＝λf （ L ，K ）＋（ 1－λ）a 0
由上式可见：当 a 0＝0 时，对于任何的 λ>0，有 f （ λL ，λK ）=λf （L ，K ）成立 ， 即当 a 0＝0 时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。 （2）在规模报酬不变，即 a 0＝0 时，生产函数可以写成 1/2
f （L ，K ）＝a 1（LK ）1/2＋a 2 K ＋a 3L 相应地，劳动与资本的边际产量分别为：
MPL （L ，K ）＝ df （L,K ） ＝ 1 a1L -1/2K 1/2＋
a3， dL 2
MP K （L ，K ）＝
df （L, K ） ＝ 1 a 1L 1/2K -1/2＋a 2， dK 2 可求： dMP L （L,K ）＝- 1 a1L -3/2K 1/2 <0 ， dMP K （L,K ）＝- 1 a1L 1/2K 1-3/2<0
dL 4 dL 4
显然，劳动和资本的边际产量是递减的。
6. 假定某厂商的短期生产函数为 Q=f （L,K ）, 给定生产要素价格 P L 、P K 和产品价格 P,且利润 π>0。 证明:该厂商在短期生产的第一阶段不存在利润最大化点。
证明
到其右界点（即L=L 1时）, 所以在区域Ⅰ中不存在使利润最大的点
7. 已知某厂商的固定投入比例的生产函数为 Q=min2 L,3K 。
L 2 为区域Ⅰ的右界Q 点 ， 设 厂 商 的 生 产D 函数为 Q=f （K ，L ），其中 L 为可变投入， 变投入。由题意， 单 位 产 品 的第 ⅠC 价阶 段格 变化而变化。
则利B 润 d P dQ P B L
′
dL dL M L P L 因为，π>0，可得 由（3）式两边同时除以
π=PQ-(LP
A P L C ′ KP K ) (1)
又因为在第一区域 MP L >AP L ，所以得：
P L K P K > P
L (Lp L 1) P L P P 1 dQ dQ P >P L P ->P L >0 dL dL
K 为不 素的L 价格 P L 及P
K 都不随产量 Q 的 dQ Q MP L > dL L dQ P L 即: > L （Lp dL P 即 d >0 （L AP L L 1) (2) (3) (1)令 P L =1,P K =3 。求厂商为了生产 120 单位产量所使用的 K 、L 值以及最小成 本。 如果要素价格变化为 P L =4,P K =2, 厂商为了生产 120 单位产量所使用的 K 、L 值以 及最小成本又是多少 ? 请予以比较与说明。 (2)令 P L =4,P K =3。求 C=180 时的 K 、L 值以及最大产量。 解答：(1)L=3K=120， 解得： L=120， K=40，当 P L =1,P K =3 时，最小成本 C=120+3X40=240 当P L =4,P K =2时，生产 120单位产量所使用的 K 、L 值也要满足： L=3K=120，解 得：L=120， K=40。最小成本 C=120 X4+40 X2=560 。 虽然生产要素价格变了，但是 固定投入比例的生产函数反映生产要素之间比例是固 定的、不存在替代关系，生产要素之间比例是由生产技术决定的，是技术问题非经济 问题，不受生产要素价格的影响。生产一定产量生产要素数量不变。但是生产要素价 格变化，故成本变化了。 (2) 由已知可得方程组： 4 L 3K 最大产量 8. 已知某厂商使用 L 和 K 两种要素生产一种产品 , 其固定替代比例的生产函数为 Q=4L+3K 。 (1)作出等产量曲线。 (2)边际技术替代率是多少 ? (3) 讨论其规模报酬情况。 (4) 令P L =5,P K =3。求 C=90时的 K 、L 值以及最大产量。 (5) 令P L =3,P K =3。求 C=90时的 K 、L 值以及最大产量。 (6) 令P L =4,P K =3。求 C=90时的 K 、L 值以及最大产量。 (7) 比较 (4)、(5)和 (6),你得到什么结论 ? Q4 解答： (1) 由生产函数为 Q=4L+3K ，可得 K= L 33 4 (2)边际技术替代率为等产量曲线斜率的绝对值，所以 MRT K S L = ，是个常数。 3 (3) 当所有生产要素使用量变动λ倍时， f( λL ，λK)=4λL+3 λK =λf(L ，K)，导致产量也变 动λ倍，所以为规模报酬不变。 4 (4) 本题生产函数 边际技术替代率为 MRT K S L = ，给定的厂商预算方程(等成本线) 5L ＋3K ＝90 所对应的厂 3 P5 商预算线的斜率绝对值为 L ,即所有等产量曲线的斜率绝对值小于厂商预算线的斜率绝对值。 P K 3 表示保持产量不变，厂商在生产中用 1 单位要素 K 能替代 Q ． 75单位要素 L ；不等式 右边表示在市场上厂商按要素价格用 1单位要素 K 也只能换取 0．6 单位要素 L 。由此， 厂商自然不会使用要素 L ，而全部使用要素 K ，即 K ＝30， L ＝ 0。 （5）根据题意，如图（ b ）所示，生产函数 Q ＝ 4L ＋3K 所对应的等产量曲线 Q 的斜率 绝对值 MRT K S L = 4 , 它大于厂商预算线方程 3L+3K=90所对应的预算线的斜率绝对值 3 3K 180 解得 L=36 ， K=12 在此题K ， 厂 如图(3a 0) AB 的斜率绝 商预算线的 是，厂量商线的 90。 Q 在等产1Q 量1 曲 量不变1，厂 商的决策原则是厂商预算线(投入成本)既定的情况下，实现最大的产量。 Q 1、Q 2和 Q 3 的斜率绝对值均小于厂商预算线 AB 所能达到的最大产量为等产量曲线 Q 3 与厂 来使用要素 K ，要素 L 的使用量为零。于 L ＝0，最大产量 Q ＝4L ＋ 3K ＝4x0＋3X30＝ 示，三条平行的等产量曲线 K 与预算线3 交点 A 点，厂商的等全产部成本等 K ＝等9产0÷3＝等3 A 素 使 量为 率绝对值时，即 量L 线可以替代约 1．3 单位要素 K 。不等式右边表示 在市场上厂商按要素价格可以用 1单Q 位1 要 Q 素 L 2 换取约 1.7 单位要素 K 。因此，厂商自 然会全部使用要素 K ．而要素 L 的使用0量为零。或 者B ，(也b 可)以 L 这 样理解，不等式左边 值小 L 于 预算线 的斜 1 L 单 位要素 产式左边表示在保持产 商在 3 1，等产量曲线 Q 2 与预算线 AB 在横轴的交点 B 是厂商实现最大产量的均衡点。在 3 B 点，厂商的全部成本都用来购买要素 L ，要素 K 的使用量为零．于是，厂商的要素 L 使用量为 L ＝90／ 3＝ 30，K ＝0，最大产量 Q －4L ＋3K －4×30－1＋3x0＝120。 与（4）中的原因相类似，在等产量曲线的斜率绝对值大于预算线的斜率绝对值时， 即在＞ P L 3 1＝时，不等式左边表示在保持产量不变时，厂商在生产中用 1 单位要 P K 3 素 L 可以替代约 1．3 单位要素 K ；不等式右边表示在市场上厂商按要素价格可以用 1 单位要素 L 換取 1 由此，厂商自然会全部使用要素 L ，而要素 K 使用量为零，即 L ＝30，K ＝0。 （6）根据题意，生产函数 Q ＝4L ＋ 3K 所对应的等产量曲线 Q 的斜率绝对值仍然为 MRT K S L = 4 刚好等于预算线方程 4L ＋3K ＝90所对应的预算线的斜率绝对值 P L 4 ，此 3 P K 3 时，等产量线 Q2与预算线 AB 重合。这意味着厂商实现最大产量的均衡点可以位于该 重合线的任何位置，即有 L 0， K 0，且满足预算约束条件 4L ＋43K ＝90。然后，将 L 和 K 值代入生产函数 4L ＋3K ＝90 得到最大产量为 Q ＝4L ＋3K ＝90。 厂商这种选择背后的经济原因是；在等产量曲线的斜率绝对值等于预算线的斜率绝对 4 P 4 債时， MRT K S L = 4 = P L 4 时，不等式左边表示厂商在生产中用 1单位要素 L 可以替代 3 P K 3 约 13 单位要素 K ，且保持产量不变：不等式右边表示在市场上厂商按要素价格也可以 用 1 单位要素 L 换取 1.3 单位要素 K 。因此，厂商总会按照这一固定的比例来购买并 在生产中使用要素 L 和要素 K ，至于要素 L 和要素 K 的具体使用数量是无关紧要的， 只要满足预算约束条件 C ＝4L ＋3K ＝90 就可以了。 （7）比较以上（ 4），（5）和（ 6，可以得到一的结论： ①对于固定替代比例的生产函数而言，如果等产量曲线的斜率绝对值小于厂商预算线 的斜率绝对值，则厂商生产的均衡点位于等产量曲线与预线在纵轴的交点。 ②如果等产虽曲线的斜率绝对值大于厂商预算线的斜率绝对值，则厂商生产的均衡点 位于等产量曲线与预算线在横轴的交点，在以上两种情況中，均衡点为角解，厂商只 使用一种要素进行生产，另一种要素使用量为零。 ③如果等产量曲线的料率绝对值等于厂商预算线的率对值，即两线重合，则厂商生产 的均衡点可以发生在该重合线上的任意位置，只需满定预算约束条件即可。 三、论述题 1.用图说明短期生产函数 Q ＝f （L ，k ）的TP L 曲线，AP L 曲线和 MP L 曲线的特征及其相 互之间的关系。 （1）总产量线 TP 、边际产量线 MP 和平均产量线 AP 都是先呈上升趋势，达到本身的最 大值以后，再呈下降趋势。见图 4-1。