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23.5二次函数的应用

课题：23.5二次函数的应用

寿县迎河中学龙如山

三维目标：

一、知识与技能

1、让学生进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。

2、让学生学会用二次函数的知识解决有关的实际问题。二、过程与方法

掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。三、情感态度与价值观

培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成。教学重点：

1、在直角坐标系中，点坐标和线段之间的关系。

2、根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中的点。教学难点：

如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。课前准备：

制作多媒体课件，并将有关内容做成讲义。教学过程：

一、创设情景，引入新课

1、在寒冷的冬天，同学们一般会参加什么样的课外活动呢？

2、由上给出引例：

引例：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？

3、要解决这个问题，同学们分析一下，我们会利用哪些知识来解决？

对，本题我们可以利用有关二次函数的知识来解决。今天我们学习的内容是“二次函数的应用”。二、新课讲解：

（一）课前练习

1、已知抛物线

23x y =上有一点的横坐标为2，则该点的纵坐标为______。

2、已知二次函数132

612++-

=x x y 的函数图象上有一点的横坐标为2

5，则该点到x 轴的距离是______________。 3、已知二次函数532

-=x

y 有一点的纵坐标是2，

则该点横坐标为__________.

4、已知抛物线过点A （0，1），B （2，1），C （1，0），则该抛物线解析式为___

5、已知如图A （1，1），AB=3，AB ∥x 轴，则点A 的坐标为__________.

注：第四题在处理时，只要求学生知道解题方法，而不需要完全解答。（二）例题讲解

下面我们来解决本堂课的引例。

1、要解决这个实际问题，关键是什么？（建立直角坐标系）

2、那么有几种建立直角坐标系的方法呢？请同学们讨论一下。

（学生分析、讨论完毕后教师进行归纳小结） 3、利用其中一种方法，解决①、②两个。

①、求点A 、B 、C 的坐标. ②、求过点A 、B 、C 的抛物线的函数解析式.

4、同学们能否根据老师所用的方法，分别求出在上述四个图中第1、2两小题呢？ 6、在完成第①、②小题的基础上，请同学们根据老师的方法完成第③、④小题。 ③、你能算出丁的身高吗？

④、若现有一身高为1.625m 的同学也想参加这个活动，请问他能参加这个活动吗？若能，则他应离甲多远的地方进入？若不能，请说明理由？若身高为1.7m 呢？注：在解决第④小题的过程中，可以让学生思考以下问题：

①、在解决第一问时，能否利用二次函数的对称性来解决？

②、

在解决第二问时，能否利用二次函数的有关性质来解决？（利用最值来解决）

小结：建立合适的直角坐标系，是解决实际问题的关键。（教师利用多媒体出示解答过程，强调解题步骤。）

例：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B 的宽为20m ，如果水位上升3米时，水面CD 的宽为10m ．

（1）建立直角坐标系，求点B 、D 的坐标。（2）求此抛物线的解析式；

（3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km

（桥长忽略不计）货车以 40km ／h 的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位到达最高点E 时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，

能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

分析：1、建立直角坐标系是本题的关键，让学生分组讨论。 2、教师选择一种直角坐标系，解决本题。其他方法请学生课后练习。 3、第③小题是本解课的一个难点可以做以下处理

①、考虑货车能否安全通过的基本条件是什么？（水位还没有到达E 点） ②、考虑水位到达E 点所需时间和货车到达桥的时间的关系是什么？ ③、要使货车安全通过此桥，先决条件是什么？

C D

C D x y A B

D x

变式：（4）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km ，货船以 40km ／h 的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m 的速度持续上涨（货船接到通知时水位在AB 处，当水位到达CD 时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

（本题请学生阅读后，作为课后思考题）三、课后练习：

1、如图是我县某公园一圆形喷水池的效果图，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图坐标系，如果喷头所在处A （0，1.25），水流路线最高处B （1，2.25），则该抛物线的解析式为 ___。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要_____________米，才能使喷出的水流不致落到池外。

2、如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米。

(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？

*(3)若墙的最大可用长度为8米，则最大面积是？

A B C D O

y A B C

四、课堂小结

通过这节课的学习，你学会了什么？你有什么体会？（学生小结）

教师小结：

1、本节课主要复习了已知横坐标（或纵坐标），求纵坐标（或横坐标）的方法。

2、主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法。

3、利用二次函数解决实际问题时，建立适当的直角坐标系，是解决问题的关键。

五、作业

完成讲义例题的变式和第三大题

六、教学反思

本节课是有关二次函数的复习课，重点是如何利用二次函数建立数学模型，并利用二次函数的有关性质来解决实际问题。在本堂课的教学过程中有两个难点：1、如何将情景中的已知条件转化为直角坐标系中有关点和线的问题。2、如何根据实际情景建立最有利于问题解决的直角坐标系。为了解决上述两个问题，我做了这样的处理：1、设置课前练习，分散难点。2、设置分组讨论，让学生在集体讨论中体会直角坐标系的建立。3、将题目问题细化，降低题目难度。

上完本节课后我有以下几点体会：1、本节课作为初三复习课容量显得单薄了些。2、在讲课过程中学生配合较为默契，思维比较活跃。但有部分学生对于二次函数的应用题仍无从入手，如何做好这部分同学的教学工作是今后教学中值得探讨的。3、在选题时，为了力求和实际相结合，使得题目的阅读量加大，造成部分学生对题目的理解有一定的困难。4、学生的书写格式有待进一步提高。

上,二次函数应用的类型

教师一对一个性化教案学生姓名年级9年级科目数学日期时间段课时教学目标教学内容二次函数应用专题训练个性化学习问题解决掌握二次函数常见题型应用的最值问题教学重点、难点及考点分析重难点:函数解析式的确定以及根据实际情况处理最值问题教学过程Part1桥·隧道【基础题型】 1.如图所示的抛物线的解析式可设为，若AB∥x轴，且AB＝4，OC＝1，则点A的坐标为，点B的坐标为；代入解析式可得出此抛物线的解析式为。 2.飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是： 2 5.1 60t t s- =.飞机着陆后滑行多少秒(m)后才能停下来. 例题1：有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。例题2如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥顶部3m时，水面宽AB为6m，当水位上升0.5m时：（1）求水面的宽度CD为多少米？（2）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行。 ①若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？ y x O A B

教学过程例题3.许多桥梁都采用抛物线型设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘成如下的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x 轴表示桥面，y 轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y 轴对称.经过测算，中间抛物线的解析式为2 11040 y x =-+，并且BD=12CD. （1）求钢梁最高点离桥面的高度OE 的长；（2）求桥上三条钢梁的总跨度AB 的长；（3）若拉杆DE ∥拉杆BN ，求右侧抛物线的解析式. 例题4. 一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示） , 拱高6m, 跨度20m, 相邻两支柱间的距离均为5m ． (1) 将抛物线放在所给的平面直角坐标系中（如图2所示）, 求抛物线的解析式； (2) 求支柱EF 的长度； (3) 拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带）, 若并排行驶宽2m 、高3m 的汽车,要求车与车之间, 车与隔离带之间的间隔均为0.5米, 车与桥的竖直距离至少为0.1米, 问其中一条行车道最多能同时并排行驶几辆车？图1 图2 例5.如图1，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）如图2，将抛物线放在所给的直角坐标系中，求该抛物线的解析式（不需要写出自变量x 的取值

二次函数在实际生活中的应用

二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x， y＝(x－9)(1 360－80x) ＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)．－b 2a＝－ 2 080 2×（－80）＝13， ∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值， y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)．答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元．【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论．【中考变形】 1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示． (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元 /件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时，销售量相应减少__20__件； (2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x图Z8－1

求二次函数解析式的几种基本解法

求二次函数解析式的几种基本解法奉贤区新寺学校胡纪英二次函数是初中数学中的重要内容，也蕴涵着一种重要的数学思想方法。它是在一次函数、反比例函数的基础上，进一步由数、式、方程（二次方程）到二次函数，贯穿了初中代数。纵观近几年的中考试卷可以发现，二次函数始终是中考命题中的重点与热点，一方面是考查二次函数中学生对基础知识的掌握程度，另一方面以其新颖独特的综合试题引导学生探究和创新。在此我就以二次函数中求解析式这一小块内容提供几种常见的基本解法，方便同学们在学习中进行参考：一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，可选用y＝a（x＋m）2+k (a≠0)求解。我们称y＝a（x＋m）2+k (a≠0)为顶点式（配方式）。例：若二次函数图像的顶点坐标为（－2,3），且过点（－3,5）,求此二次函数的解析式。说明：由于顶点式中要确定a、m、k的值，而已知顶点坐标即已知了－m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的，不妨让学生尝试一下加深印象。三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y＝a（x-x1）(x- x2 ) (a≠0)为双根式（交点式）。例：已知一个二次函数的图象经过点A（－1，0）、B（3，0）和C（0，－3）三点，求此二次函数的解析式。说明：很多同学看到此例会想到使用一般式来解，将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标，而用双根式来求解就相对比较简单容易。四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时，可选用或例：抛物线y＝2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4，求此二次函数的解析式。说明：对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程，记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。总之，要求一个二次函数的解析式，可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法，使计算过程简单化，达到迅速解题的目的。当然，也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数，才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法，提高解题能力。

二次函数在实际生活中的应用及建模应用

二次函数的建模知识归纳：求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值．一、利用二次函数解决几何面积最大问题 1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得： x x x x y 18)18(2+-=-=；又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴? ??- （自变量x 的取值范围是关键，在几何类题型中，经常采用的办法是：利用含有自变量的加减代数式的边长来确定自变量的取值范围，例如上式中，18-x ，就是含有自变量的加减代数式，考虑到18-x 是边长，所以边长应该＞0，但边长最长不能超过18，于是有0＜18-x ＜18，0＜x ＜18）（2）∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，即当9) 1(2182=-?-=-=a b x 时， 81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。点评：在回答问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（250x -）（米），根据题意，得：x x x x y 252 1)250(2+-=-=；又∵500,02 500＜x＜＞x x ＞∴?????- ∵x x x x y 252 1)250(2+-=-=中，a=21-＜0，∴y 有最大值，

二次函数顶点式图像特点

二次函数顶点式图像及其特点教学设计【教材】人教版九年级 22.1 二次函数的图象及其特点（第4课时）【教学对象】九年级学生【授课教师】珠海市斗门区城南学校孔志坚【教材分析】本节的学习内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y=ax 2、y=ax 2+h 的图像和性质的基础上，运用图像变换的观点把二次函数y=ax 2的图像经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h)2+k (h ≠0，k ≠0)的图像。二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图像性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一。教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究。这是教学发现与学习的常用方法，同学们应注意学习和运用。另外，在本节内容学习中同学们还要注意 “类比”前几节的内容学习，在对比中加强联系和区别，从而更深刻的体会二次函数的图像和性质。【教学目标】 ◇ 知识技能（1）会用描点法画出二次函数 ()2 h x a y -= 、()k h x a y +-=2 的图象，通过图象了解它们的图象特征和性质．（2）观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现它们之间的关系。 ◇过程与方法（1）在用描点法画出二次函数的图象过程中，体会数形结合的思想；（2）通过观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现图像之间的关系，发展数学的化归思维；（3）在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思想的过程和探究的结果。 ◇情感态度与价值观（1）通过画二次函数的图象，感受数学美，激发学习热情；（2）在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。【教学重点】观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质【教学难点】观察对比图象发现它们之间的关系【教学方法】引导探索、讨论交流【教学手段】PPT 、几何画板【教学过程设计】一、教学流程安排

二次函数实际应用问题及解析

中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题，主要是解答题，也有少量的选择和填空题，常见问题有以几何为背景问题，以球类为背景问题，以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。一. 以几何为背景问题原创模拟预测题1. 市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水，安装了一些自动旋转喷水器，如图所示，设喷水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水流呈抛物线状．喷头B 与水流最高点C 的连线与地平面成45的角，水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m ，水流的落地点为D ．在建立如图所示的直角坐标系中：（1）求抛物线的函数解析式；（2）求水流的落地点D 到A 点的距离是多少m ？【答案】（1）213222y x x =-++；（2）(2+m ．【解析】试题分析：（1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点C （2，3.5）及B （0，1.5），设顶点式求解析式；（2）求AD ，实际上是求当y=0时点D 横坐标．在如图所建立的直角坐标系中，由题意知，B 点的坐标为(01.5)，， 45CBE BEC ∠=∴，△为等腰直角三角形， 2BE ∴=，点坐标为(23.5)，（1）设抛物线的函数解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠，

则抛物线过点(01.5)，顶点为(23.5)，，当0x =时， 1.5y c == 由22b a -=，得4b a =-，由24 3.54ac b a -=，得2 616 3.54a a a -= 解之，得0a =（舍去），1422a b a =-∴=-=，．所以抛物线的解析式为213222 y x x =-++．考点：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．结合实际问题并从中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型．原创模拟预测题2.在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成（如图所示）．若设花园的BC x 边长为（m ），花园的面积为y （m ）．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200 m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由；（3）根据(1)中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）x x y 202 12+- =)150(≤

中考专项复习：二次函数的应用题型总结解析版

专题10二次函数的应用一．解读考点知识点二次函（1）利润问题数应用（2）几何问题类型（3）抛物线型问题名师点晴利用二次函数的最值确定最大利润、最大面积是二次函数应用最常见的问题. 一般方法是：（1）建模（最重要的就是可以读懂题意），然二次后求二次函数的解析式，解决此类问题的关键是①函数并把x的取值范围求出；认真审题，理解题意，建应用（2）求x= ﹣b 2a 的值；立二次函数的数学模型，的解（3）判断x=﹣b的值在再用二次函数的相关知识 2a 题步不在自变量x的取值范解决②注意自变量的取值骤围 ①在，即相当于求顶点处函数的最大值或最小值 ②不在，可画草图根据二范围．

次函数的增减性来解答．二．考点归纳归纳1：利润问题基础知识归纳： ①每件商品的利润=售价—进价 ②商品的总利润=每件商品的利润×销售量=（售价—进价）×销售量 ③商品的总利润=总收入－总支出 ④商品的利润率==

例1.（2017湖北十堰）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销量为y箱． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=60+10x（1≤x≤12，且x为整数）；（2）超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元. 【解析】试题分析：(1)根据题意，得：y=60+10x，由36?x≥24得x ≤12， ∴1≤x≤12，且x为整数； (2)设所获利润为W，则W=(36?x?24)(10x+60)=?10x2+60x+720=?10(x?3)2+810， ∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810，答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元.

二次函数的实际应用----最值问题以及设计方案问题

二次函数的实际应用——最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2 (0≠a )化成顶点式a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当a b x 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0 B. 0,0a h >> C. 0,0a k >> D. 0,0a k << 5.函数92 +-=x y 。当-2