2020-2021学年黑龙江大庆实验中学高一上期末数学试卷
【最新】黑龙江大庆实验中学高一上期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．已知集合，则集合
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．根据表格内的数据，可以断定方程的一个根所在区间是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．若，则的大小关系是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
4．某工厂生产某种产品的月产量y 和月份x 满足关系0.5x y a b =+.现已知该厂1月份、
2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为（ ）
x x
c b x a x ln ln 2,)
2
1(,ln ),1,0(===∈c b a ,,a b c >>b a c >>b c a >>c b a >>
A ．1.75万件
B ．1.7万件
C ．2万件
D ．1.8万件
5．已知，且，则下列各式中正确的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 6．已知为锐角，，则的值是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
7．已知非零向量
，且，则
与的夹角是（ ） A 、
B 、
C 、
D 、8．已知函数给出函数的下列五个结论：
（1）最小值为； （2）一个单调递增区间是； （3）其图像关于直线对称；
（4）最小正周期为； （5）将其图像向左平移
后所得的函数是偶函数. 其中正确结论的个数是（ ）
A 、 4
B 、3
C 、2
D 、1 9．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
若对满足的，有
，则
=（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．若，则
（ ） A 、1 B 、 C 、 D 、
R y x ∈,2323x y y x --+>+0x y ->0x y +<0x y -<0x y +>A n A m A
=-=+)cos 1lg(,)cos 11
lg(A sin lg b ,a =)2(b a a +⊥3π2
π
23π56π?
??<≥=x x x x
x x x f cos sin ,cos cos sin ,sin )()(x f 2
2-
)2
,43(ππ-
)(4
Z k k x ∈+=π
ππ24
π
7
tan 3tan πα=sin()75cos()
14
π
απα-=-21314
1
11．是内一点，的面积分别记为，已知
，其中，则=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 12．已知函数
，点
为坐标原点，点
，向量
是向量与的夹角，则( )
A ．
B ．
C ．
D ．1
二、填空题 13．设集合，则
_________.
14．若函数，则满足
的的取值范围是____________.
15．若函数满足：，
则
________.
16．设定义域为
上的单调函数，对于任意的
，都有
，则
_____________.
三、解答题 17．（1）若求； （2）若，求的值.
18．已知点
（1）求证：恒为锐角； （2）若四边形
为菱形，求
的值
19．已知定义在上的奇函数．当时，．
（1）试求的表达式
（2）若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
5
sin ,13
α=-
αtan 2tan =ααααcos sin 2sin 2
+)1,1(-)(x f )0,1(-∈x x
x
x f -+=22)()(x f )1,0(∈x 14)(2-
x x f t t
20．已知函数）图象的一部分如图所示．
（1）求函数的解析式； （2）设，求的值. 21．已知函数的定义域为，值域为
（1）用含有的表达式表示的最大值，最小值
（2）若设，当时，求的最小值. 22．函数
（1）如果 时，有意义，确定的取值范围； （2）若值域为，求的值；
（3）在（2）条件下，为定义域为的奇函数，且时，对任意的恒成立，求的取值范围.
)0,0)(6
sin()(>>+
=ωπ
ωA x A x
f )(x f 5
6
)3(,1310)2
3(],,2
[
,-=+=
-
∈πβπ
αππ
βαf f )cos(
βα-13
()log f x x =],[b a ],0[t t a b -)(t M )(t N )()()(t N t M t g -=21≤≤t ])()[()(k t g t g t h +=)(k h )124lg()(-+?=x
x
a x f )2,1(∈x )(x f a ,0≤a )(x f R a )(x g R 0>x .
110
)()
(+=x f x g |
)(|)
()(],1,1[32
x g x g tx x g t ≥+-∈x
参考答案
1．D 【解析】
试题分析：由题可得
，A 不对；，B 不对；
，C 不对；
，D 正确；故选D.
考点：集合的运算 2．C 【解析】
试题分析：构造函数
，由上表可得
，
，
，
，所以方程的一个根所在区间为
，故选C.
考点：零点存在性定理 3．C 【解析】
试题分析：因为，所以，，所以
，故选C.
考点：函数值的大小比较 4．A 【解析】
由题设可得10.51.50.25a b
a b
=+??=+?，解得a=﹣2，b=2,所以y=﹣2×
0.5x +2, 将x=3代入解得，y=1.75 ,故选A ．
点睛：本题解答的关键是求出模型中的两个参数，由于给出了一月份和二月份的产量，所以采用待定系数法求参数，从而求出函数解析式，计算3月份的产量，待定系数法是已知函数类型求解析式的常用方法． 5． B
()0,1x ∈ln 0a x = x b c ?? =><=< ? ?? b c a >> 【解析】 试题分析：若，因为指数在上单调递增，所以 ，两式 相加得，与题意相符，因此满足条 件，故选B. 考点：指数的单调性 6．D 【解析】 试题分析：由题 所以，故选D. 考点：对数的运算 7．C 【解析】 试题分析：因为，所以，所以， ，所以，故选 C. 考点：向量的夹角 8．A 【解析】 试题分析：如图实线即为的图像， ， 单调增区间为， 单调递减区间为， 0,x y x y y x +<∴<-<-2,3x x y y ==R 22,22x y y x --<<2323x y x x --+<+0x y +<()()22 1lg 1cos lg lg 1cos lg sin 2lg sin 1cos n m A A A A A ??-=--=-== ? +?? ()1 lgsin 2 A n m = -)2(+⊥() 2 220a a b a a b ?+=+?=2 cos 2a b a θ=-=1 2cos 23 π θθ=-∴=()f x 52,2,2,22,4 24k k k k k Z π πππππππ??? ? + + ++∈????? ??? 52,2,2,2,424k k k k k Z πππππππ? ?? ? + ++∈????? ??? 为周期函数，.①最小值为 正确；②一 个单调递增区间是，错误；③其图像关于对称，正确；最小 正周期为，正确；将其图像向左平移 后所得的函数是偶函数，正确.故选A. 考点：（1）三角函数的最值（2）正弦函数的对称性 9．B 【解析】 试题分析：由题可得 ，由 ， 所以，所以，又， 故选B. 考点：三角函数图像的平移 10． B 【解析】 试题分析： ，故选B. 考点：三角恒等变换 11．C 【解析】 试题分析：延长 到 ，使 ，连接 ，延长 交 的中点 . ， ，又，所以，故选C. ()()()max min 1,f x f x f x ==2T π=3,42ππ?? - ??? ()4x k k Z ππ=+∈2π4 π sin()sin cos cos sin sin cos cos sin 777775cos()cos sin 14727πππππ αααααππππααα---==????-+-+ ? ???? ?sin cos cos sin tan tan 2tan 17 7772sin cos cos sin tan tan 4tan 7 7 7 7 ππππ αααπ π π πααα--===++ 考点：向量加减运算及其几何意义 【思路点睛】在利用平面向量基本定理解题时要注意三点⑴充分利用平面几何的一些结论，转化为相等向量、相反向量、共线向量及比例关系，建立已知向量与未知向量有直接关系的向量来解决问题;⑵注意几何条件的运用：如平行四边形的性质等；⑶此类问题直接转化困难时，可建立相关向量的方程求解. 12．A 【解析】 试题分析：由题意可得是直线的倾斜角， ， ，故选A. 考点：（1）三角恒等变换（2）裂项相消法求和 【思路点睛】使用裂项相消法求和，要注意正项，负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项；应注意到，由于数列中每一项均裂成一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多，切不可漏写未被消去的项有前后对称的特点，即经过裂项后有“对称剩项”的特征.另外从实质上看，正，负项相消是裂项法的根源和目的. 13． 【解析】 试题分析：由题可得 考点：集合的运算 14． 【解析】 试题分析： . 考点：不等式的解集 15．2 【解析】 试题分析：令 ， ，所以 周期为 6； ，令 （舍去）， . 考点：抽象函数及其应用 【思路点睛】解决抽象函数的求值问题，一般都要根据所给等式进行适当的赋值，而本题中要求的所对应的值很大，所以肯定具有周期性或者满足某个关系.赋值化简后发现其具有周期性且6为其一个周期，要求 经过化简可得只需求 即可，由于题设只给了 的值，再进行适当的赋值即可求出所求的值. 16．6 【解析】 试题分析：令 ，令 （舍去）， . 考点：函数的值 【思路点睛】本题采用换元法进行求解，换元是通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来．或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．其中换元法在高中阶段又常用的是整体代数换元和三角换元两种，同学们在做题时要把握住采用的是哪一种，其中最常用的整体代数换元. 17．（1）或（2） 【解析】 512512 8 5 试题分析：（1）要求，需要知道，又，所以是第三或第四象限角，讨论可得的值，进而求出； （2）本题考查的是同角三角函数的基本关系，利用齐次式，把原式化简成只与已知有关的式子，代入即可求出其值. 试题解析：（1） 若 第三象限角，则若 第四象限 角，则 （2） 考点：三角恒等变换 【思路点睛】三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值就角等，本题考查的是给值求值，给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或者具有某种关系，解题的基本方法是①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的互相关系，并根据这些关系来选择公式. 18．（1）证明见解析（2）2 【解析】 试题分析：（1）只需证明且 三点不在一条直线上即可； （2）利用菱形的定义可求得坐标，进而求出所求的值. 试题解析：（1）∵点 ∴ ∴.若A ，P ，B 三点在一条直线上，则 ， 得到 ，此方程无解，∴ ∴∠APB 恒为锐角． （2）∵四边形ABPQ 为菱形，∴，即 ， 化简得到 解得 设Q （a ，b ），∵ ， tan αsin ,cos αα5 sin 13 α=-αcos αtan α2tan =α,1cos sin ,13 5 sin 22=+- =ααα ,169144cos 2=∴αα,125 cos sin tan ,1312cos ==-=ααααα12 5 cos sin tan ,1312cos -===αααα58 1 tan tan 2tan cos sin cos sin 2sin cos sin 2sin 2 22222 =++=++=+αααααααααα α ∴ ，∴ 考点：平面向量数量积的运算 19．（1）（2） 【解析】 试题分析：（1）由是定义在上的奇函数可得时， ，从而写出的表达式； （2）对于上的每一个值，不等式恒成立转化为对于上的每一个值，不等式恒成立，从而可得. 试题解析：（1）∵是定义在上的奇函数，∴ 设 ，则，则 （2 ） 由题 意， 可化为，令∴，故若对于上的每一个值，不等式恒成立，则 考点：指数函数的综合题 【思路点睛】本题采用换元法进行求解，换元是通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。其中换元法在高中阶段又常用的是整体代数换元和三角换元两种，同学们在做题时要把握住采用的是哪一种，其中最常用的整体代数换元.另外求参数的取值范围一般采用的是分离参数法，结合恒成立和存在性问题进行求解 20．（1）（2） 【解析】 22,(1,0)()0,0(22),(0,1)x x x x x f x x x --?+∈-? ==??-+∈? 0≥t ()f x ()1,1-()()00,0,1f x =∈()()()22x x f x f x -=--=-+()f x ()0,1x ∈()241x x t f x ??<-() 0,1x ∈4141 x x t ->+)(x f )1,1(-0)0(=f 22,(1,0) ()0,0(22),(0,1) x x x x x f x x x --?+∈-? ∴==??-+∈? 1414+-->x x t )1,0(14211414)(∈++-=+--=x x g x x x 01421)(0=++- 试题分析：（1）由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式； （2）由条件可求得和的值，再利用同角三角函数的基本关系求得和 的值，再利用两角和差的余弦公式即可求得的值. 试题解析：（1）由图象可知∵ （2）∵.又 ∵ ∴ 考点：两角和与差的余弦函数 21．（1）（2） 【解析】 试题分析：（1）由题意得在单调递减，在单调递增，所以的最大值和最小值为. （2）由（1）可得，对进行讨论，即可得到所求值域. 试题解析：（1） （2）又 当 时，； 当时，A ω?cos αsin βsin αcos β)cos(βα-2=A 31 26292114 3 =∴==∴=-= ωωπππππT T )6 31sin(2)(π +=∴x x f 13 5 sin 1310sin 2)23(=∴= =- ααπ αf 5 6 cos 2)2sin(2)3(-==+=+βπβπβf 53cos -=∴β],2[,ππβα∈5 4 sin ,1312cos =-=∴βα65 56 sin sin cos cos )cos(=+=-βαβαβα()33,()13t t t M t N t --=-=-2 4 k -()f x ()0,1()1,+∞b a -()33,()13t t t M t N t --=-=-()2 2 2324t k k h t -??=-- ??? 22k -()33,()13t t t M t N t --=-=-9332113)(≤≤∴≤≤-=t t t t g )1(3)2()3()(2 ---+=k k t h t t 4 )223(22k k t ---=4322-≥≤-k k 即42)1()()(21)(min +===∴≤≤k g t g t h t t g 上单调递增在1692 2-≤≥-k k 即 ； 当时， 考点： 22．（1）（2）（3） 【解析】 试题分析：（1）根据时，则，设，不等式，求出 的取值范围即可. （2）设，则的值域包含，讨论与时，的值域情况，求出的值即可. （3）根据题意求出的解析式，把不等式转化为在 时恒成立，由此列出不等式组求出的取值范围. 试题解析：（1）由题意，，即，令， 则 ，，的取值范围为. （2）令，由题意，的值域包含 ①时，，值域为，满足条件； ②时，令，易知的值域为 ，不满足条件 综上， （3）时，，若，又为奇函数， ，综上， 648)2()()(21)(min +===∴≤≤k g t g t h t t g 上单调递减在41692 12 3-<<-<- 即上先减后增在21)(≤≤t t g 4 -)()(2min k t g t h ==∴),16 3 [+∞-0=a (,0)[3,)-∞+∞()1,2x ∈()22,4x ∈2x t =2 10at t +->a ()421x x h x a =+-()h x ()0,+∞0a =0a <() h x a ()g x () ()() 32 g x g x tx g x +≥ 2 2x tx x +≥[]1,1t ∈-x 0124),2,1(>-+?∈x x a x x x a )21()41 (->x t )2 1(=t t a t -><<2,2141163-≥∴a a ),16 3 [+∞-124)(-+?=x x a x h )(x h ),0(+∞0=a 12)(-=x