【必考题】数学高考模拟试卷(含答案)
【必考题】数学高考模拟试卷(含答案)
一、选择题
1．函数ln ||
()x
x f x e =
的大致图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
2．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ）
A ． 1.2308?.0y
x =+ B ．0.0813?.2y
x =+ C ． 1.234?y
x =+ D ． 1.235?y
x =+ 3．设5sin
7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π
=，则（ ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．14 5．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
6．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31
44AB AC - B ．13
44AB AC - C ．
31
44
+AB AC D ．
13
44
+AB AC 7．如图，12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线
C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．23y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =
D ．2y x =±
8．在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）
A ．1,04??
- ???
B ．10,4?? ???
C ．11,42?? ???
D ．13,24?? ???
9．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
10．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）
x
3 4 5 6 y 2.5
t
4
4.5
A ．产品的生产能耗与产量呈正相关
B ．回归直线一定过
4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨
D ．t 的值是3.15
11．在ABC ?中，60A =?，45B =?，32BC =AC =（ ）
A．
3
2
B
．3C．23D ．43
12．若奇函数()
f x在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[3,1]
--上（）
A．是减函数，有最小值0
B．是增函数，有最小值0
C．是减函数，有最大值0
D．是增函数，有最大值0
二、填空题
13．若双曲线
22
22
1
x y
a b
-=()
0,0
a b
>>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.
14．在平行四边形ABCD中，
3
A
π
∠=，边AB，AD的长分别为2和1，若M，N分别是边BC，CD上的点,且满足
CN
CD
BM
BC
=，则AM AN
?的取值范围是_________．
15．双曲线
22
22
1
x y
a b
-=(0
a>，0
b>)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.
16．如图，长方体1111
ABCD A B C D
-的体积是120，E为
1
CC的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.
17．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖D的仰角为45?，乙同学在B地测得树尖D 的仰角为30，量得10
AB AC m
==，树根部为C（,,
A B C在同一水平面上），则ACB=
∠______________.
18．在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．
19．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.
20．()sin 5013tan10
+=________________.
三、解答题
21．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==
，
2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．
22．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y α
α=+??=-?
（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，
x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1
sin 2cos θθρ
-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.
23．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友
（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、0
2000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以
下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所
示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在2000
8000的人数；
（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽
取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．
24．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214
y x =的焦点，离心率为
25
. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若
1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值.
25．如图所示，在四面体PABC 中，PC⊥AB，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点，求证： (1)DE∥平面BCP ； (2)四边形DEFG 为矩形．
26．已知函数()|1|f x x =+
（1）求不等式()|21|1f x x <+-的解集M （2）设,a b M ∈，证明：(ab)()()f f a f b >--.
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
由函数解析式代值进行排除即可. 【详解】 解：由()x
ln x f x =e
，得()f 1=0，()f 1=0-
又()1f e =
0e e >，()1f e =0e
e --> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D 故选A 【点睛】
本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
由题意得在线性回归方程?y bx a =+中 1.23b =，然后根据回归方程过样本点的中心得到
a 的值，进而可得所求方程．
【详解】
设线性回归方程?y bx a =+中，由题意得 1.23b =， ∴ 1.23?y x a =+．
又回归直线过样本点的中心()4,5， ∴5 1.234a =?+， ∴0.08a =，
∴回归直线方程为 1.2308?.0y
x =+． 故选A ． 【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．
3．D
解析：D
【解析】 【分析】 【详解】 因为
，
，所以，
，且，所以
，
，所以
,
故选D.
4．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
由a=14，b=18，a ＜b ， 则b 变为18﹣14=4， 由a ＞b ，则a 变为14﹣4=10， 由a ＞b ，则a 变为10﹣4=6， 由a ＞b ，则a 变为6﹣4=2， 由a ＜b ，则b 变为4﹣2=2， 由a=b=2， 则输出的a=2． 故选B ．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】
由题意得x 3的系数为31
4424812C C +=+=，故选A ．
【点睛】
本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．
6．A
解析：A 【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得11
22
BE BA BC =
+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到
3144BE BA AC =
+，下一步应用相反向量，求得31
44EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得
()
111111
222424BE BA BD BA BC BA BA AC =
+=+=++ 11131
24444BA BA AC BA AC =++=+， 所以31
44
EB AB AC =
-，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b
y x a
=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，
由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =
+=13c ?=
因为2521a x a =-=?=，所以23b = 所以双曲线的渐近线方程为23b
y x x a
=±=±. 【点睛】
本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双
曲线的定义，考查运算求解能力.
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ???< ???
??
?
???> ????
?
,利用零点存在定理可得结果.
【详解】
因为函数()43x
f x e x =+-在R 上连续单调递增，
且11
44
11
22114320
4411431022f e e f e e ???=+?-=-
????=+?-=-> ????
?, 所以函数的零点在区间11,42??
???
内，故选C. 【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
9．D
解析：D 【解析】
试题分析：因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人.
考点：本小题主要考查分层抽样的应用.
点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.
10．D
解析：D 【解析】 由题意，x =
3456
4
+++=4.5， ∵?y
=0.7x+0.35， ∴y =0.7×
4.5+0.35=3.5， ∴t=4×3.5﹣2.5﹣4﹣4.5=3， 故选D ．
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
在三角形中，利用正弦定理可得结果. 【详解】 解：在ABC ?中， 可得
sin sin BC AC
A B
=
,
即
sin 60
sin 45
AC
，即
2
， 解得AC = 故选C. 【点睛】
本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正弦定理公式.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
因为()f x 为奇函数，且在[1,3]上为增函数，且有最小值0， 所以()f x 在[3,1]--上为增函数，且有最大值0，选D.
二、填空题
13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案
为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题 解析：y =±
【解析】 【分析】
由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1
223
a c =?，再据222c a
b =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可． 【详解】
∵双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距，
∴1
223
a c =
?，3c a =，又222c a b
=+，∴b =
∴渐近线方程是22b
y x x a
=±=±，故答案为22y x =±． 【点睛】
本题考查双曲线的几何性质即双曲线22
221x y a b
-= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y x
a =±属于基础题．
14．【解析】【分析】画出图形建立直角坐标系利用比例关系求出的坐标然后通过二次函数求出数量积的范围【详解】解：建立如图所示的直角坐标系则设则所以因为二次函数的对称轴为：所以时故答案为：【点睛】本题考查向量
解析：
[2]5, 【解析】 【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0)B ，(0,0)A ，
13,2D ?? ? ???
，设||||||||BM CN BC CD λ==，[]
0,1λ∈，则(22M λ+，3)λ，5(22N λ-，3)， 所以(22
AM AN λ
=+
，
35)(22λλ-，22353
)542544
λλλλλλ=-+-+=--+， 因为[]0,1λ∈，二次函数的对称轴为：1λ=-，所以[]
0,1λ∈时，[]2
252,5λλ--+∈．
故答案为：
[2]5,
【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．
15．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容
解析：2 【解析】
试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=?，所以直线OA 的方程为
y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以
22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为
的形式，当
，
，
时为椭圆，当
时为双曲线.
16．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体的体积为120所以因为为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴
解析：【解析】 【分析】
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】
因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ??=， 因为E 为1CC 的中点， 所以11
2
CE CC =
， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ， 所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积
1132V AB BC CE =???=11111
1201032212AB BC CC =???=?=.
【点睛】
本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.
17．【解析】【分析】作出立体图利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长再利用余弦定理求解即可【详解】如图所示在中∵∴在中∵∴在中∴故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题依据 解析：30
【解析】 【分析】
作出立体图,利用直角三角形中的三角函数关系求得对应的边长,再利用余弦定理求解
cos ACB ∠即可. 【详解】
如图所示,在Rt ACD 中,∵10,45AC m DAC =∠=?,∴10DC m = 在Rt DCB △中,∵30DBC ∠=?,∴103BC m =. 在ABC 中,)
2
2
2
10103103cos 2
210103
ACB +-∠=
=
??,∴30ACB ∠=?.
故答案为：30 【点睛】
本题主要考查了解三角形求解实际情景中的角度问题,依据题意正确画出立体图形,确定边的关系再利用余弦定理求解即可.属于基础题.
18．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所 解析：1
【解析】 【分析】
由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求． 【详解】
设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h
==
，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19
'23h h
??=， 所以
'2
3
h h =，
则S 到上底面111A B C 的距离为13
h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111
'91339
S h ?=?=． 故答案为1． 【点睛】
本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1
V 3S h =
底
，本题是中档题． 19．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：
1015
π
【解析】 【分析】
先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】
由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，
因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，
令1r 为SAB ?外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23
SBA ∠=, ∴sin 5SBA ∠=
，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =,
可得222
1R r OF =+，
计算得，2
8110112020
R =
+= ， 所以2
101
45
S R ππ==. 故答案为
101
.5
π 【点睛】
本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.
20．【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择 解析：1
【解析】 【分析】
利用弦化切的运算技巧得出(
)cos103sin10
sin 500
sin 5013t an10
++=?，然后
利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果.
【详解】 原式
()2sin 1030sin50cos103sin102sin 40cos 40
sin50cos10cos10cos10
++=?==
()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====. 故答案为：1. 【点睛】
本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
21．（1）见解析（2）4
（3）7
【解析】 【分析】
（1）连接OC ，由BO ＝DO ，AB ＝AD ，知AO ⊥BD ，由BO ＝DO ，BC ＝CD ，知
CO ⊥BD ．在△AOC 中，由题设知AO 1CO ==，AC ＝2，故AO 2+CO 2＝AC 2，由此能够证明AO ⊥平面BCD ；
（2）取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点，知ME ∥AB ，OE ∥DC ，故直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．在△OME
中，11EM AB OE DC 122
====，由此能求出异面直线AB 与CD 所成角大小的余弦；
（3）设点E 到平面ACD 的距离为h ．在△ACD
中，CA CD 2AD ===
，
ACD
1S
22==，由AO ＝1
，知2CDE
1S 22=
=
，由此能求出点E 到平面ACD 的距离． 【详解】
（1）证明：连接OC ，∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ， ∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD ．
在△AOC
中，由题设知1AO CO ==，AC ＝2， ∴AO 2+CO 2＝AC 2，
∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ． ∵AO ⊥BD ，BD ∩OC ＝O ， ∴AO ⊥平面BCD ．
（2）解：取AC 的中点M ，连接OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点， 知ME ∥AB ，OE ∥DC ，
∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角． 在△OME
中，11
1222
EM AB OE DC =
===， ∵OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线，∴1
12
OM AC =
=，
∴111
42
cos OEM +
-∠==， ∴异面直线AB 与CD
（3）解：设点E 到平面ACD 的距离为h ．
E ACD A CDE V V --=，
1
1
3
3
ACD
CDE
h S AO S ∴=
．．．，
在△ACD 中，2CA CD AD ===，，
∴
2
127
24
22
ACD
S
??
=??-=
?
?
??
，
∵AO＝1，2
133
2
242
CDE
S=??=，
∴
3
121
2
7
7
CDE
ACD
AO S
h
S
?
?
===，
∴点E到平面ACD的距离为
21
7
．
【点睛】
本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．
22．（1）26cos2sin60
ρρθρθ
--+=（2
6
52
5
【解析】
【分析】
（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C的直角坐标方程，再利用
y sin
x cos
ρθ
ρθ
=
?
?
=
?
，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离.
【详解】
（1）由
32
12
x cos
y sin
α
α
=+
?
?
=-
?
，得
32
12
x cos
y sin
α
α
-=
?
?
-=-
?
，
两式两边平方并相加，得()()
22
314
x y
-+-=，
所以曲线C表示以()
3,1为圆心，2为半径的圆.
将
y sin
x cos
ρθ
ρθ
=
?
?
=
?
代入得()()
22
cos3sin14
ρθρθ
-+-=，化简得
26cos2sin60
ρρθρθ
--+=
所以曲线C 的极坐标方程为26cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1
sin 2cos θθρ
-=
，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=
所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+= 因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离
d ==
，
所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为2d r +=+. 【点睛】
本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题. 23．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）35
． 【解析】 【分析】
（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人，由此能求出400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数． （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数：男6人，女3人，共9人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人，由此能求出其中至少有一位女性微信好友被采访的概率． 【详解】
（Ⅰ）由题意，所抽取的40人中，该天行走20008000~步的人数：男12人，女14人， 所以400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000~步的人数约为
26
40026040
?
=人； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000~的人数中，根据频率分布直方图可知，男生人数所占的频率为0.1520.3?=，所以男生的人数为为200.36?=人，根据柱状图可得，女生人数为3人，再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人．再从这6位微信好友
中随机抽取2人进行采访，基本事件总数2
615n C ==种，
至少1个女性的对立事件是选取中的两人都是男性，
∴其中至少有一位女性微信好友被采访的概率：24263
15
C P C =-=．
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及古典概型及其概率的求解，以及分层抽样等知识的综合应用，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理运算求解是解答此类问题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
24．（Ⅰ）2
215
x y +=（Ⅱ）-10
【解析】 【分析】
（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=，根据它的一个顶点恰好是抛物线214y x =的焦点，
得到1b =，又c a ==C 的标准方程. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程
2215
x y +=，得()2222
15202050k x k x k +-+-=，由此利用韦达定理结合已知条件能求出12λλ+的值. 【详解】
（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
抛物线方程化为2
4x y =，其焦点为()0,1
则椭圆C 的一个顶点为()0,1，即1b =，
由5
c e a ===
，解得25a =， ∴椭圆C 的标准方程为2
215
x y +=
（Ⅱ）证明：∵椭圆C 的方程为2
215
x y +=，
∴椭圆C 的右焦点()2,0F
设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M y ，由题意知直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为()2y k x =-，代入方程2
215
x y +=，
并整理，得(
)2
2
2215202050k
x
k x k +-+-=，
∴21222015k x x k +=+，2122
205
15k x x k
-=+， 又()110,MA x y y =-，()220,MB x y y =-，()112,AF x y =--，()222,BF x y =--， 而1MA AF λ=，2MB BF λ=，
即()()1101110,2,x y y x y λ--=--，()()2202220,2,x y y x y λ--=--，
∴1112x x λ=
-，2
22
2x x λ=-， ∴()()121212
12121212
22102242x x x x x x x x x x x x λλ+-+=
+==----++. 【点睛】
本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
25．(1)见解析； (2)见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据DE 平行PC 即可证明（2）利用PC ，可知DE 与FG 平行且相等，即可证明. 【详解】
证明：(1)因为D ，E 分别为AP ，AC 的中点，所以DE∥PC. 又因为DE ?平面BCP ，PC ?平面BCP ，所以DE∥平面BCP. (2)因为D ，E ，F ，G 分别为AP ，AC ，BC ，PB 的中点， 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF. 所以四边形DEFG 为平行四边形． 又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG. 所以四边形DEFG 为矩形． 【点睛】
本题主要考查了直线与平面平行的判定及中位线的性质，属于中档题.
26．(1){
1M x x =<-或 }
1x >；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集（2）利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明1ab a b +>+，再两边平
方，因式分解转化为证明(
)(
)
2
2
110a b -->，最后根据条件22
1,1a b >>确定
()()2
2110a
b -->成立.
【详解】
（1）∵()211f x x <+-，∴12110x x +-++<. 当1x <-时，不等式可化为()12110x x --+++<， 解得1x <-，∴1x <-； 当1
12
x -≤≤-,不等式可化为()12110x x ++++<，解得1x <-， 无解； 当1
2
x >-
时，不等式可化为()12110x x +-++<，解得1x >，∴1x >.