九年级数学第一次模拟考试试题
中考数学第一次模拟试卷 时量：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．6-的值是（ ）
A ．﹣6
B ．6
C ．61
D ．6
1- 2．如图，在数轴上点M 表示的数可能是（ ）
A ．1.5
B ．﹣1.5
C ．﹣2.4
D ．2.4
3．下列二次根式中，能与3合并的是（ ）
A ．2
3 B ．12 C ．2
4 D ．8 4．如果一组数据1、2、x 、5、6的众数是6，则这组数据的中位数是（ ）
A .1
B ．2 C.5
D ．6
5．二次函数7)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）
A ．（﹣2，7）
B ．（2，7）
C ．（﹣2，﹣7）
D ．（2，﹣7） 6．下列说法正确的是（ ）
A ．面积相等的两个三角形一定全等
B ．平分弦的直径垂直于弦
C ．矩形的对角线互相平分且相等
D ．对角线互相垂直的四边形是菱形
7．若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长是为（ ）
A ．8
B ．10
C ．8或10
D ．6或12 8．正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
9．如图，一座石拱桥是圆弧形其跨度AB=24米，半径为13米，则拱高CD 为（ )
A ．53米
B ．5米
C ．7米
D ．8米 10．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1= ( )
A ．90°
B ．100°
C ．105°
D ．135°
（第9题图） （第10题图）
11．反比例函数x k y =的图象在第二、四象限，点A ),2(1y -、B ),4(2y 、C ),5(3y 是图象上的三点，则123y y y ,,的大小关系是（ ）
A ．321y y y ＞＞
B ．231y y y ＞＞
C ．213y y y ＞＞
D ．132y y y ＞＞
12．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形外一动点，?=∠45AED ，P 为AB 的中点，当E 运动时，线段PE 的最大值为（ ）
A ．24
B ．22
C.224+
D.222+
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共36分）
13．从2，0，3-，3.14，6这五个数中随机抽取一个数，抽到的无理数的概率是 ． 14．若分式4
242--x x 的值为零，则x 等于__________。 15．如图，直线b a ∥，?=∠75P ，?=∠302，则=∠1 ．
16．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 是BC 延长线上一点，若?=∠100BAD ，则DCE ∠的大小是 .
17．若圆锥的底面积为216cm π，母线长为cm 12，则它的侧面展开图的圆心角为
18．若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________
（第16题图） （第17题图）
三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19．（6分）计算： 3-160sin 2)2018(202+?--+-π
20．（6分）已知3=-y x ，求代数式)2(2)1(2x y y x x -+-+的值．
21．21．（8分）长沙市文化底蕴深厚，旅游资源丰富，天心阁、岳麓山、橘子洲三个景区是人们节假日游玩的热点景区，李老师对中考1班学生五一长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查，调查分四个类别：A 、游三个景区；B 、游两个景区；C 、游一个景区；D 、不到这三个景区游玩．现根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）九(1)班共有学生 人，请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，表示“B 类别”的扇形的圆心角的度数
为 ；
（3）若小明、小华两名同学，各自从三个景区中随机选一个
作为5月1日游玩的景区，请用列表或者画树状图的形式求出
他们同时选中岳麓山的概率．
22．（8分））如图，某公安海上缉私局发现在我国领海的P 处有一条走私船正以22
海里/时的速度沿南偏东64o的方向向公海逃窜，于是缉私局命令位于点P 北偏东30o
方向A 处的我公安缉私快艇前往拦截，已知P 、A 相距20海里，公安缉私快艇向正南
方向行进计划在B 处拦截走私船。
（1）求A 、B 两处的距离；（结果保留整数）
（2）若公安缉私快艇要在B 处成功拦截走私船，则缉私快艇的速度至少为多少海里/时？
【参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2，2 1.4≈，3 1.7≈，5 2.2≈】
23．（9分）“低碳生活，绿色出行”，共享单车已经成了很多人出行的主要选择，今年1月份，“摩拜”共享单车又向长沙河西新投放共享单车640辆．
（1）若1月份到3月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆．求月平均增长率。
（2）考虑到共享单车市场竞争激烈，摩拜公司准备用不超过60000元的资金再购进A ，B 两种规格的自行车100辆，且A 型车不超过60辆。已知A 型的进价为500元/辆，B 型车进价为700元/辆，设购进A 型车m 辆，求出m 的取值范围。
（3）已知A 型车每月产生的利润是100元/辆，B 型车每月产生的利润是90元/辆，在（2）的条件下，求公司每月的最大利润。 24．（9分）如图，已知AO 为Rt △ABC 的角平分线，∠ACB=90°，
，以O 为圆心，OC 为半径的圆分别交AO ，BC 于点D ，E ，连接ED 并延长交AC 于点F ．
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）求CAO ∠tan 的值。
（3）若⊙O 的半径为4，求AD
CF 的值． 25．（10分）定义：如图1，点N M 、把线段AB 分割成BN MN AM 、、,若以BN MN AM 、、为边的三角形是一个直角三角形，则称N M 、是线段AB 的勾股点。
（1）已知点N M 、是线段AB 的勾股点，若2,1==MN AM ,求BN 的长。
（2）如图2，点),(b a P 是反比例函数)0(2＞x x
y =上的动点，直线2+-=x y 与坐标轴分别交与B A 、两点，过点P 分别向y x 、轴作垂线，垂足为D C 、，且交线段AB 于F E 、。试证明：F E 、是线段AB 的勾股点。
（3）如图3，已知一次函数3+-=x y 与坐标轴交与B A 、两点，与二次函数m x x y +-=42交与D C 、两点，若D C 、是线段AB 的勾股点，求m 的值。
(图1) （图2） （图3）
26．（10分）．如图，在平面直角坐标系xoy 中，
将抛物线2
x y =的对称轴绕着点P （0，2）顺时
针旋转45°后与该抛物线交于B A 、两点，点Q
是该抛物线上的一点．
（1）求B A 、两点的坐标。
（2）如图①，若点Q 在直线AB 的下方，求点Q 到直线AB 的距离的最大值；
（3）如图②，若点Q 在y 轴左侧，且点)2)(,0(＜t t T 是直线PO 上一点，当以Q B P 、、为顶点的三角形与PAT 相似时，求所有满足条件的t 的值．
2018中考数学第一次模拟试卷答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B C B C B D D C B D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共36分）
13、 5
2 ；14、 2-=x ；15、 45° ；16、 100° ；17、 120° ；18、 01≠k k 且＜ ；
三解答题
19(6分)：解：原式=﹣4+1﹣2×
+﹣1 ……………… 4’
=﹣3﹣+﹣1 =﹣4 ……………… 6’
20:（6分）解：原式变为 （x+1）2
﹣2x+y （y ﹣2x ）
=x 2+2x+1﹣2x+y 2﹣2xy
=x 2+y 2﹣2xy+1
=（x ﹣y ）2+1 ……………… 3’
将x ﹣y=代入，上式=（
）2+1 =3+1
=4． …………… 6’
21（8分）：（1）50人 ………… 1’
………… 2’
（2） 72° …………… 4’
（3） 分别设天心阁、岳麓山、橘子洲为A 、B 、C ，列出树状图
A B C
A B C A B C A B C ………… 7’
∴ P= 91 ………… 8’ 22（8分）：解：（1）过P 点作PC ⊥AB 于点C
Rt △APC 中，∵ ∠A=30°，PA=20
∴ AC=310，PC=10 ……………2’
Rt △PBC 中，∵∠B=64°
∴ tan64°=BC
PC =2 PC=5 …………3’ ∴ AB=310+5 ≈22 海里 ………… 4’
（2）Rt △PBC 中，∵BC=5，PC=10
∴PB=55 ………5’
设走私船到B 点时间为t ，则t=22
55 …………6’ 设公安缉私船速度为V ，则由题意
225522≤V 解得 V ≥44 答：缉私船的速度至少为44海里/小时才能在B 拦截走私船。 ……8’ 23（9分）：解：（1）设增长率为x ，由题意
1000)1(6402=+x ………… 1’
解得)(4
9,4121舍-==x x …………2’ 答：月平均增长率为25％ …………3’
(2) 由题意：500m+700(100-m)≤60000 ………… 4’
解得 m ≥50 …………5’
又 m ≤60 ∴ 50≤m ≤60 …………6’
（3）由题意，设利润为W ，有
W= 100m+90（100-m ）
= 10m+9000 …………7’
∵10＞0 ∴ W 随m 的增大而增大
C
m=60时， 9600max =W …………8’ 答：A 型车60辆、B 型车40辆时，最大利润为9600元。 …… 9’
24（9分）（1）证明：作OG ⊥AB 于点G ．
∵∠ACB=∠OGA=90°，∠GAO=∠CAO ，AO=AO ，
∴△OGA ≌△OCA ， ………… 1’
∴OC=OG ， …………2’
∵OC 为⊙O 的半径，
∴AB 是⊙O 的切线； …………3’
（2）解：设AC=4x ，BC=3x ，则AB=5x ，
由切线长定理知，AC=AG=4x ，故BG=x ． ……………4’
∵tan ∠B=OG ：BG=AC ：BC=4：3，
∴OG=， ………… 5’
∴tan ∠CAO=tan ∠GAO===； …………6’
（3）解：由（2）可知 在Rt △OCA 中，AO=10422=+AC OC
∴AD=OA ﹣OD=4104- …………7’
连接CD ，则∠DCF+∠ECD=∠ECD+∠CEF ，
∴∠DCF=∠CEF ，
又∠CEF=∠EDO=∠FDA ，
∴∠DCF=∠ADF ，又∠FAD=∠DAC ，
∴△DFA ∽△CDA ， …………8’
∴DA ：AC=AF ：AD ，
即4104-：12=AF ：4104-
∴AF=310
844-，CF=12-310844-=38
108-
∴32=AD CF ………… 9’ 25（10分）解：（1）由题意，BN 为斜边时，BN=541=
+ BN 为直角边时，BN=314=-
∴ BN 的长为5或者3 ………… 3’
（2）易知A （2,0），B （0,2） …………4’
且P （a,b ）由题意知E （a,-a+2），且△BDF 、△PEF 、 △ACE 均为等腰直角三角形。……5’ ∴ BF=BD 2=)2(2b -，AE=)2(22a AC -=，EF=)2(22-+=a b PE
可求出222BF AE EF +=,∴E 、F 是线段AB 的勾股点。 ………… 6’
（3）由题意，∵C 、D 为A 、B 的勾股点，所以C 、D 必在A 、B 之间。
过C 作CE ⊥x 轴于E ，DF ⊥x 轴于F 。
由题意，设C ),(11y x ，D ),(22y x 联立{342+-=+-=x y m
x x y 得0332=-+-m x x ∴321=+x x 321-=?m x x ………… 7’
且0)3(49＞--=?m 4
21＜m ∴OE+OF=3
又∵OF+BF=3 ∴OE=BF
∵以AC 、CD 、BD 为斜边的三个三角形都为等腰直角三角形。
∴ AC=BD
则由题意必有222BD AC CD += 且AC CD 2=
…………8’ 设AC=BD=a,则CD=a 2，又AB=a a a 223++=
∴3232
223-=+=a x y
D C B A O
E F
∴EF=323- ………… 9’ ∴32312-=-x x
解得2
329-=m ………… 10’ 26（10分）解：（1）如图①，设直线AB 与x 轴的交点为M ．
∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M （﹣2，0）．
设直线AB 的解析式为y=kx+b （k ≠0），将M （﹣2，0），P （0，2）两点坐标代入，得
，
解得． 故直线AB 的解析式为y=x+2； …………1’
联立 {22
+==x y x y 解得 1,221-==x x …………2’ ∴ A （-1,1） B （2,4） …………3’
（2）如图①，过点Q 作x 轴的垂线QC ，交AB 于点C ，再过点Q 作直线AB 的垂线，垂足为D ，根据条件可知△QDC 为等腰直角三角形，则QD=
QC ． …………4’ 设Q （m ，m 2），则C （m ，m+2）．
∴QC=m+2﹣m 2=﹣（m ﹣）2+，
QD=QC=[﹣（m ﹣）2+]． …………5’
故当m=时，点Q 到直线AB 的距离最大，最大值为
； …………6’ （3）∵∠APT=45°，
∴△PBQ 中必有一个内角为45°，由图知，∠BPQ=45°不合题意．
①如图②，若∠PBQ=45°，过点B 作x 轴的平行线，与抛物线和y 轴分别交于点Q′、F ．此时满足∠PBQ′=45°．
∵Q′（﹣2，4），F （0，4），
∴此时△BPQ′是等腰直角三角形，由题意知△PAT 也是等腰直角三角形． …… 7’ （i ）当∠PTA=90°时，得到：PT=AT=1，此时t=1；
（ii ）当∠PAT=90°时，得到：PT=2，此时t=0． ……8’
②如图③，若∠PQB=45°，①中是情况之一，答案同上；
先以点F为圆心，FB为半径作圆，则P、B、Q′都在圆F上，设圆F与y轴左侧的抛物线交于另一点Q″．
则∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点Q″也是符合要求．设Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得 n2+（4﹣n20=22，即n4﹣7n2+12=0．
解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣，即Q″（﹣，3）．
可证△PFQ″为等边三角形，所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，
所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．则在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．
（i）若△Q″PB∽△PAT，则过点A作y轴的垂线，垂足为E．则ET=AE=，OE=1，所以OT=﹣1，解得t=1﹣；………… 9’
（ii）若△Q″BP∽△PAT，则过点T作直线AB垂线，垂足为G．
设TG=a，则PG=TG=a，AG=TG=a，AP=，
∴a+a=，
解得PT=a=﹣1，
∴OT=OP﹣PT=3﹣，
∴t=3﹣．………… 10’
综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．