《平面向量及其应用》单元测试题百度文库
一、多选题1．题目文件丢失！
2．下列说法中错误的为（ ）
A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3??-+∞ ???
B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ??
=-
???
不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a
D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 3．已知非零平面向量a ，b ,c ,则（ ）
A ．存在唯一的实数对,m n ，使c ma nb =+
B ．若0?=?=a b a c ，则//b c
C ．若////a b c ，则a b c a b c =++++
D ．若0a b ?=，则a b a b +=- 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45°
D ．()
//2a a b +
5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且
AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1A
B CE ?=- B ．0OE O
C +=
C ．32
OA OB OC ++=
D ．ED 在BC 方向上的投影为
76
6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.
B ．若4A
C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =
D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）
A ．
B ．
C ．8
D ．8．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C = B ．ABC ?是钝角三角形
C ．ABC ?的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC ?外接圆半径为
87
9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）
A ．若a b >，则sin sin A
B >
B ．若sin 2sin 2A B =，则AB
C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形
D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形
10．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =
B ．a b =
C ．a 与b 的方向相反
D ．a 与b 都是单位向量
11．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ?= B ．()
()
a b c a b c ??=?? C ．0a b a b ?=?⊥
D ．(
)(
)
22
b b a b a a +-=?-
12．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=
B ．a b ⊥
C ．()
4a b b +⊥
D ．1a b ?=-
13．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）
A ．A
B D
C =
B ．AB D
C =
C ．AB DC >
D ．BC AD ∥
14．对于ABC ?，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ?为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >
C ．若8a =，10c =，60B ?=，则符合条件的ABC ?有两个
D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ?是钝角三角形15．题目文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若
()2
2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）
A ．
45
B ．45
-
C ．
1517
D ．1517
-
17．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???
，且1
||||2AB AC AB AC =，则ABC ?的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形
D ．等边三角形
18．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosC
a b c
==，则
∠B 的大小是（ ）
A ．
12π
B ．
6
π C ．4
π
D ．
3
π 19．在ABC ?中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若22sin cos sin a b c
A B B
===，则ABC ?的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．2 D ．22
20．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=?，45BDC ∠=?，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )
A ．302m
B ．203m
C ．60m
D ．20m
21．在ABC ?中，D 为BC 中点，且1
2
AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1
B ．23
-
C ．13
- D ．34
-
22．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）
A ．33A
B A
C HM MO +=+
B ．33AB A
C HM MO +=-
C ．24AB AC HM MO +=+
D ．24AB AC HM MO +=- 23．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
24．在ABC ?中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ?、PBC ?、PCA ?、PAB ?的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记
i
i S S
λ=（1,2,3i =），则23λλ?取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1
B ．1
C ．32
-
D ．
32
25．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15?的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60?和30，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）
A ．
33
23
B ．
53
23
C ．
73
23
D ．
83
23
26．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）
A 3
B ．
22
C 31
- D 21 27．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）
A ．
34
B ．
58
C ．38
D ．
23
28．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．
3
π B ．23
π C ．
56
π D ．
6
π 29．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（ ）
A ．13
24
AB AD -+ B ．12
23AB AD + C ．
11
32
AB AD - D ．
13
24
AB AD - 30．ABC ?中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ?一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
31．已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且
???PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的( )
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心
D ．外心重心内心
32．在ABC ?中，60A ∠=?，1b =，3ABC S ?，则2sin 2sin sin a b c
A B C
++=++（ ）
A 239
B 263
C 83
D ．2333．在ABC ?中，2,2,120,,AC AB BAC A
E AB A
F AC λμ==∠===，M 为线段EF 的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ） A 7 B 27
C ．2
D 21
34．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()2
26,c a b =-+3
C π
=
，则
ABC 的面积为（ ）
A ．6
B ．
33
C ．33
D ．3
35．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45?，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75?，则山高BC =（ ）
A ．500米
B ．1500米
C ．1200米
D ．1000米
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一、多选题 1．无 2．ACD 【分析】
由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，
且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】
由向量的数量积?向量的投影?基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ?+=?++
142350λλλ=+++=+>，
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以5
3
λ>-
且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；
对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =?， 则2
2
3()||||2
a a
b a a b a ?+=+?=
， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+?+=，
故2
3||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ?+<+>===
+?∣， 而向量的夹角范围为[]0,180??， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.
3．BD 【分析】
假设与共线，与，都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若与共线，与，都
解析：BD 【分析】
假设a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，即可判断A 错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B 正确；向量共线可以是反向共线，故C 错；根据向量数量积法则，可判断D 正确. 【详解】
A 选项，若a 与b 共线，c 与a ，b 都不共线，则ma nb +与c 不可能共线，故A 错；
B 选项，因为a ，b ,c 是非零平面向量,若0?=?=a b a c ，则a b ⊥，a c ⊥，所以
//b c ，即B 正确；
C 选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由////a b c 不能推出
a b c a b c =++++；如a 与b 同向，c 与a 反向，且a b c +>，则a b c a b c =+-++，故C 错；
D 选项，若0a b ?=，则(
)
2
2
2
2
2
2a b a b
a b a b a b
+=+=++?=
+，
()
2
2
2
2
2
2a b a b a b a b a b -=
-=+-?=
+，所以a b a b +=-，即D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
4．AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量，， 则，故A 正确； ，故B 错误；
解析：AC 【分析】
利用向量线性的坐标运算可判断A ；利用向量模的坐标求法可判断B ；利用向量数量积的坐标运算可判断C ；利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】
由向量()1,0a =，()2,2b =，
则()()()21,022,25,4a b +=+=，故A 正确；
222b =+=，故B 错误；
2cos ,21a b a b a b
?<>=
=
=
?+，
又[],0,a b π<>∈，所以a 与b 的夹角为45°，故C 正确； 由()1,0a =，()25,4a b +=，140540?-?=≠，故D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题考查了向量的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题.
5．BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.
【详解】
由题E 为AB 中点，则，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 所以，，
解析：BCD 【分析】
以E 为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可. 【详解】
由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，
以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，123
(0,0),(1,0),(1,0),3),()3E A B C D -， 设123
(0,),3),(1,),(,3
O y y BO y DO y ∈==-，BO ∥DO ， 所以2313y y =-，解得：3
y =
， 即O 是CE 中点，0OE OC +=，所以选项B 正确；
3
22
OA OB OC OE OC OE ++=+==
，所以选项C 正确； 因为CE AB ⊥，0AB CE ?=，所以选项A 错误；
123(3ED =，(1,3)BC =，
ED 在BC 方向上的投影为12
7326BC BC
ED +?==，所以选项D 正确.
故选：BCD 【点睛】
此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
【分析】
根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图
解析：ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得2
24sin sin30AB R ACB =
==∠?
，故A 正确；
对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当
1
22
x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；
当AD AB AC <<，即1
22
x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．
故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．
7．AC 【分析】
利用余弦定理：即可求解. 【详解】
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得.
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基
解析：AC 【分析】
利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-， 即216310a a -+=
，解得8a = 故选：AC 【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.
8．ACD 【分析】
先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为
所以可设：（其中），解得： 所以，所以A 正确；
由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为
解析：ACD 【分析】
先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】
因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=
所以可设：91011a b x a c x b c x +=??
+=??+=?
（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===
所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，
又222222(4)(5)(6)1
cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>?? ，所以C 角为锐角，所以B 错
误；
由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，
又222222(6)(5)(4)3
cos 22654
c b a x x x A cb x x +-+-===??，
所以2
1
cos22cos 18
A A =-=
，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π??
∈ ??
?
所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =
，又sin 8
C ==
所以
2R =
，解得：7
R =，所以D 正确. 故选:ACD. 【点睛】
本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.
9．AC 【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判
解析：AC 【分析】
对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误. 【详解】
对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >?>?>，故A 正确； 对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =?= 所以A B =或2
A B π
+=
，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；
对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，
所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，
sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，
因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2
A π
=，ABC 是直角三角形，故③正确；
对D ，因为2
2
2
0a b c +->，所以222
cos 02a b c A ab
+-=>，A 为锐角.
但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.
10．AC 【分析】
根据共线向量的定义判断即可. 【详解】
对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，
解析：AC 【分析】
根据共线向量的定义判断即可. 【详解】
对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；
对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；
对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意. 故选：AC. 【点睛】
本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.
11．AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】
对于A 选项，，A 选项错误；
对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误； 对于C 选项，
解析：AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.
【详解】
对于A 选项，00a ?=，A 选项错误；
对于B 选项，()
a b c ??表示与c 共线的向量，()
a b c ??表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，0a b a b ?=?⊥，C 选项正确；
对于D 选项，(
)()
2
2
22a b a b a b a b +?-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
12．CD 【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确； 由，所以，故A 错误； 由，所以，故C 正确. 故选：CD 【点睛】
解析：CD 【分析】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120?.
由12cos12010a b ??=??=-≠，故B 错误，D 正确；
由()2
2
221243a b
a a
b b +=+?+=-+=，所以3a b +=，故A 错误； 由()()2
144440a b b a b b +?=?+=?-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.
故选：CD 【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
13．BD 【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】
解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故
解析：BD 【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】
解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；
AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误； 等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确； 故选：BD . 【点睛】
本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.
14．BD 【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在中，
对于A ，若，则或， 当A ＝
解析：BD 【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在ABC ?中，
对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2
A B π
+=
时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，
对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B
=，即sin sin A B >成立．故B 正确；
对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，
∴222
cos 02a b c C ab
+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ?是钝角三角形，故D 正确；
综上，正确的判断为选项B 和D ． 故选：BD ． 【点睛】
本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
15．无
二、平面向量及其应用选择题
16．D 【分析】
由2
2
()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：
1
sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可． 【详解】
解：22()S a b c +=+，
2222S b c a bc ∴=+-+， ∴
1
sin 2cos 22
bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=， 因为22sin cos 1A A +=． 解得15
cos 17
A =-
或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．
15cos 17
A ∴=-
． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．D 【分析】
先根据0||||AB AC BC AB AC ??
+= ? ???
，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【详解】
解：0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???
，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直， AB AC ∴=，
1
cos ||||2
AB AC A AB AC =
=，
3
A π∴∠=
， 3
B C A π
∴∠=∠=∠=
，
∴三角形为等边三角形．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题． 18．D 【分析】
根据正弦定理，可得
111
tan tan tan 235
A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得
到B 的大小. 【详解】 解：∵2cosA 3cosB 5cosC
a b c ==， ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C
A B C ==，
即
111
tan tan tan 235
A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1
A C
B A
C A C +=-+=-，
∴273101k k k =
-，解得k =
∴tan 3B k ==B ＝3
π
．
故选：D . 【点睛】
本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键
19．A 【分析】
首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积. 【详解】 由正弦定理可知2sin sin sin a b c
r A B C
===
已知
sin cos sin a b c
A B B
===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，
由条件可知ABC ，即等腰直角三角形的斜边长为
所以1
22
ABC
S
=?=. 故选：A 【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 20．D 【分析】
由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．
【详解】
15BCD ∠=?，45BDC ∠=?
120CBD
由正弦定理得：
sin120sin 45
BC
302sin 45203BC
3tan 30203
20AB
BC
故选D
【点睛】
本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题． 21．B 【分析】
选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】
13BE AE AB AD AB =-=
-，1
()2
AD AB AC =+ ， 51
66
BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，
56λ∴=-，1
6μ=，23
λμ∴+=-.
故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 22．D 【分析】
构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解． 【详解】
解：如图所示的Rt ABC ?，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，
O 为ABC ?的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，
又
M 为BC 中点，∴2AH OM =，
M 为BC 中点，
∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．
4224OM HM HM MO =+=-
故选：D ． 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力． 23．D 【分析】
首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果． 【详解】
解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，
所以：22A B =或21802A B =?-，解得：A B =或90A B +=? 所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形 故选：D ． 【点评】
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 24．D 【分析】
根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到1231
2
S S
S S =
=+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ?取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11
022
PA PB PC ++=，根据平面向量基本定理可
求得1
2
x y ==，从而可求得结果. 【详解】 如图所示：
因为EF 是△ABC 的中位线，
所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半， 所以1231
2
S S S S =
=+， 由此可得2
2232322322(
)
1216
S S S S S S S S S S λλ+=?=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立， 所以0PE PF +=，
由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=， 将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=， 所以11
022
PA PB PC +
+=， 又已知0PA xPB yPC ++=， 根据平面向量基本定理可得1
2
x y ==
，