苏科版八年级下册数学总复习
苏科版八年级下册数学总复习
一、选择题
1．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，
AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有
A．1组B．2组C．3组D．4组
2．将下列分式中x，y(xy≠0)的值都扩大为原来的2倍后，分式的值一定不变的是()
A．31
2
x
y
+
B．2
3
2
x
y
C．
2
3
2
x
xy
D．
3
2
3
2
x
y
3．下列调查中，适合采用普查的是（）
A．了解一批电视机的使用寿命B．了解全省学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量
C．为保证某种新研发的战斗机试飞成功，对其零部件进行检查D．了解扬州市中学生的近视率
4．下列命题中，是假命题的是（）
A．平行四边形的两组对边分别相等B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C．矩形的对角线相等D．对角线相等的四边形是矩形
5．如图，在周长为20cm的平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC和BD相交于点O，
OE⊥BD交AD于E，则ΔABE的周长为（）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
6．如果a＝
32
+
，b＝3﹣2，那么a与b的关系是（）
A．a+b＝0 B．a＝b C．a＝1
b
D．a＞b
7．如图，?ABCD的周长为22m，对角线AC、BD交于点O，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为（）
A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm
8．反比例函数
3
y
x
=-，下列说法不正确的是（）
A．图象经过点(1,-3) B．图象位于第二、四象限C．图象关于直线y=x对称D．y随x的增大而增大
9．下面调查方式中，合适的是（ ）
A ．试航前对我国第一艘国产航母各系统的检查，选择抽样调查方式
B ．了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查方式
C ．为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，采用普查方式
D ．调查某新型防火材料的防火性能，采用普查的方式
10．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC=8cm ，BD=6cm ，则菱形的高为（ ）
A ．
485
cm B ．
245
cm C ．
125
cm D ．
105
cm 二、填空题
11．在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____．
12．不透明的袋子里装有3只相同的小球，给它们分别标上序号1、2、3后搅匀．事件“从中任意摸出1只小球，序号为4”是_____事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）． 13．某口袋中有红色、黄色小球共40个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率为30%，则口袋中黄球的个数约为_____．
14．为估算湖里有多少条鱼，先捕上100条做了标记，然后再放回湖里，过一段时间（鱼群完全混合）后，再捕上200条鱼，发现其中带标记的鱼有20条，那么湖里大约有______条鱼.
15．已知a ，b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣2020＝0的两个根，则a 2+2b ﹣3的值等于_____． 16．若()14,A y -、()22,B y -都在反比例函数6
y x
=
的图像上，则1y 、2y 的大小关系为1y _________2y （填“>”、“<”、“=”）
17．如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝24 cm ，BD ＝10 cm ，则菱形ABCD 的高为________cm ．
18．如图，已知22AB =C 为线段AB 上的一个动点，分别以AC ，CB 为边在AB
的同侧作菱形ACED 和菱形CBGF ，点C ，E ，F 在一条直线上，120D ∠=?，P 、
Q 分别是对角线AE ，BF 的中点，当点C 在线段AB 上移动时，线段PQ 的最小值为
________．
19．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB=3，则BC 的长为 ．
20．如图，在□ABCD 中，AB ＝7，AD ＝11，DE 平分∠ADC ，则BE ＝_
_．
三、解答题
21．如图，平行四边形ABCD 中，已知BC ＝10，CD ＝5．
（1）试用无刻度的直尺和圆规在AD 边上找一点E ，使点E 到B 、D 两点的距离相等（不要求写作法，但要保留清晰的作图痕迹）； （2）求△ABE 的周长．
22．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝6，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F ．
（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形； （2）当DE ＝DF 时，求EF 的长．
23．如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．
（1）求证：△ABE≌△CDF ；
（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由.
24．王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数n1001502005008001000
摸到黑球的次数m233160*********
摸到黑球的频率
m
n
0.230.210.300.260.253
（1）补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率
是；（精确到0.01）
（2）估算袋中白球的个数．
25．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE 的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF=BD．
（2）求证：四边形ADCF是菱形．
26．如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线
MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
27．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；
（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．
28．为了提高学生阅读能力，我区某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；被调查的学生周末阅读时间众数是小时，中位数是小时；
（2）计算被调查学生阅读时间的平均数；
（3）该校八年级共有500人，试估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
如图，（1）∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵∠BAD=∠BCD，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）∵在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（4）∵在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
综上所述，上述四组条件一定能判定四边形ABCD是平行四边形的有3组.故选C.
2．C
解析：C
【分析】
根据分式的基本性质解答． 【详解】
解：∵分式中x ，y （xy ≠0）的值都扩大为原来的2倍， ∴A. 23161
224x x y y
?++=?，分式的值发生改变；
B.
22
2332(2)4x x
y y ?=?，分式的值发生改变；
C. 22
3(2)32222x x x y xy ?=??，分式的值一定不变；
D.
33
223(2)32(2)x x y y
?=?，分式的值发生改变； 故选：C ． 【点睛】
本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的数（或式子），分式的值不变．
3．C
解析：C 【分析】
根据调查的实际情况逐项判断即可． 【详解】
解：A. 了解一批电视机的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，不合题意； B. 了解全省学生的家庭1周内丢弃塑料袋的数量，调查费时费力，适合抽样调查，不合题意；
C. 为保证某种新研发的战斗机试飞成功，对其零部件进行检查，考虑安全性，适合全面调查，符合题意；
D. 了解扬州市中学生的近视率，调查费时费力，适合抽样调查，不合题意． 故选：C 【点睛】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，事关重大的调查往往选用普查．
4．D
解析：D 【分析】
分别利用平行四边形的性质以及矩形的性质与判定方法分析得出即可. 【详解】
解：A 、平行四边形的两组对边分别相等，正确，不合题意；
B、两组对边分别相等的四边形是偶像四边形，正确，不合题意；
C、矩形的对角线相等，正确，不合题意；
D、对角线相等的四边形是矩形，错误，等腰梯形的对角线相等，故此选项正确.
故选D.
“点睛”此题主要考查了命题与定理，正确把握矩形的判定与性质是解题的关键.
5．D
解析：D
【解析】
分析：利用平行四边形、等腰三角形的性质，将△ABE的周长转化为平行四边形的边长之间的和差关系．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC、BD互相平分，
∴O是BD的中点．
又∵OE⊥BD，
∴OE为线段BD的中垂线，
∴BE=DE．
又∵△ABE的周长=AB+AE+BE，
∴△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD．
又∵□ABCD的周长为20cm，
∴AB+AD=10cm
∴△ABE的周长=10cm．
故选D.
点睛：本题考查了平行四边形的性质．平行四边形的对角线互相平分．
请在此填写本题解析!
6．A
解析：A
【分析】
先利用分母有理化得到a2），从而得到a与b的关系．
【详解】
2），
∵a
而b2，
∴a＝﹣b，即a+b=0．
故选：A．
【点睛】
﹣2是解答本题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
由平行四边形的性质可得AB ＝CD ，AD ＝BC ，AO ＝CO ，可得AD+CD ＝11cm ，由线段垂直平分线的性质可得AE ＝CE ，即可求△CDE 的周长＝CE+DE+CD ＝AE+DE+CD ＝AD+CD ＝11cm ． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AO ＝CO ， 又∵EO ⊥AC ， ∴AE ＝CE ，
∵?ABCD 的周长为22cm ， ∴2（AD+CD ）＝22cm ∴AD+CD ＝11cm
∴△CDE 的周长＝CE+DE+CD ＝AE+DE+CD ＝AD+CD ＝11cm 故选：D ． 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A 选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案． 【详解】
解：由点()1,3-的坐标满足反比例函数3
y x
=-
，故A 是正确的； 由30k =-<，双曲线位于二、四象限，故B 也是正确的； 由反比例函数的对称性，可知反比例函数3
y x
=-关于y x =对称是正确的，故C 也是正确的，
由反比例函数的性质，0k <，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D 是不正确的， 故选：D ． 【点睛】
考查反比例函数的性质，当0k <时，在每个象限内y 随x 的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y x =和y x =-是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键.
9．C
解析：C
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】
A 、试航前对我国第一艘国产航母各系统的检查，零部件很重要，应全面检查；
B 、了解一批袋装食品是否含有防腐剂，适合抽样调查；
C 、为有效控制“新冠疫情”的传播，对国外入境人员的健康状况，适合采用普查方式；
D 、调査某新型防火材料的防火性能，适合抽样调查． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
10．B
解析：B 【解析】
试题解析：∵菱形ABCD 的对角线86AC cm BD cm ==，，
11
4322
AC BD OA AC cm OB BD cm ∴⊥=
===，，，
根据勾股定理，5AB cm ===， 设菱形的高为h ， 则菱形的面积1
2
AB h AC BD =?=?， 即1
5862h =
??， 解得24.5
h =
即菱形的高为24
5
cm ． 故选B ．
二、填空题 11．20 【分析】
利用频率估计概率，设原来红球个数为x 个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x 的方程，解方程即可得. 【详解】
设原来红球个数为x 个，
解得，x=20，
解析：20
【分析】
利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色小球结合概率公式可得关于x的方程，解方程即可得.
【详解】
设原来红球个数为x个，
则有
10
10
x
=
10
30
，
解得，x=20，
经检验x=20是原方程的根.
故答案为20.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.
12．不可能
【分析】
根据三只小球中没有序号为4的小球进行判断即可求解．
【详解】
解：∵三只小球中没有序号为4的小球，
∴事件“从中任意摸出1只小球，序号为4”是不可能事件，
故答案为：不可能．
【点
解析：不可能
【分析】
根据三只小球中没有序号为4的小球进行判断即可求解．
【详解】
解：∵三只小球中没有序号为4的小球，
∴事件“从中任意摸出1只小球，序号为4”是不可能事件，
故答案为：不可能．
【点睛】
本题考查了事件发生的可能性．一定不可能发生的事件是不可能事件；一定会发生的事件是必然事件；有可能发生，也有可能不发生的事件是随机事件．
13．28
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，所以用黄球的频率乘以总球数求解．
解：根据题意得：
40×（1﹣30%）＝28（个）
答：口袋中黄球的个
解析：28
【分析】
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，所以用黄球的频率乘以总球数求解．
【详解】
解：根据题意得：
40×（1﹣30%）＝28（个）
答：口袋中黄球的个数约为28个．
故答案为：28．
【点晴】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
14．1000
【解析】
【分析】
根据通过样本去估计总体的统计思想．捕上200条鱼，发现其中带有标记的鱼为20条，说明有标记的占到，而有标记的共有100条，从而可求得总数．
【详解】
可估计湖里大约有鱼
解析：1000
【解析】
【分析】
根据通过样本去估计总体的统计思想．捕上200条鱼，发现其中带有标记的鱼为20条，说
明有标记的占到
1
10
，而有标记的共有100条，从而可求得总数．
【详解】
可估计湖里大约有鱼100÷20
200
=1000条．
故答案为1000．
【点睛】
本题考查了用样本估计总体，体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．
15．2021
根据一元二次方程的根与系数的关系得出，再结合原方程可知，由此进一步求解即可. 【详解】
∵a 是一元二次方程的一个根， ∴，
再由根与系数的关系可知：， ∴a2+2b ?3 ＝a2?
解析：2021 【分析】
根据一元二次方程的根与系数的关系得出2a b +=，再结合原方程可知222020a a -=，由此进一步求解即可. 【详解】
∵a 是一元二次方程的一个根， ∴222020a a -=，
再由根与系数的关系可知：2a b +=， ∴a 2+2b ?3
＝a 2?2a +2a +2b ?3， ＝2020+2(a +b )?3 ＝2020+2×2?3 ＝2021， 故答案为：2021. 【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的性质与根与系数的关系的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
16．＞ 【分析】
根据反比例函数的图象与性质即可解答. 【详解】
解：的图象当时，y 随x 的增大而减小， ∵，故， 故答案为：＞. 【点睛】
本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数
解析：＞
根据反比例函数的图象与性质即可解答. 【详解】 解：6
y x
=的图象当0x <时，y 随x 的增大而减小， ∵
4-<-2，故12y y >，
故答案为：＞. 【点睛】
本题考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质．
17．【分析】
先根据菱形的面积=两条对角线积的一半得出面积，再求出菱形的边长，由面积即可得出菱形的高． 【详解】
解：作DE⊥AB 于E ，如图所示：
∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC=24，BD=1 解析：
120
13
【分析】
先根据菱形的面积=两条对角线积的一半得出面积，再求出菱形的边长，由面积即可得出菱形的高． 【详解】
解：作DE ⊥AB 于E ，如图所示：
∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC=24，BD=10， ∴AC ⊥BD ，OA=
12AC=12，OB=1
2
BD=5， 菱形ABCD 的面积=
12AC ·BD=1
2
×24×10=120， 2212+5，
又∵菱形ABCD 的面积=AB ·DE=120， ∴DE=
120
13
，
故答案为：120
13
． 【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算；根据菱形的性质由勾股定理求出边长是解题的关键．
18．【分析】
连接QC 、PC ，先证明∠PCQ=90°，设AC=，则BC=，PC=，CQ=()，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】 连接PC 、CQ ．
∵四边形ACED ，四边形CB 解析：
62
【分析】
连接QC 、PC ，先证明∠PCQ=90°，设AC=2a ，则BC=222a -，PC=a ，CQ=3(2a -)，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】 连接PC 、CQ ．
∵四边形ACED ，四边形CBGF 是菱形，∠D=120°， ∴∠ACE=120°，∠FCB=60°，
∵P ，Q 分别是对角线AE ，BF 的中点， ∴∠ECP=∠ACP=12∠ACE=60°，∠FCQ=∠BCQ=1
2
∠BCF=30°， ∴∠PCQ=90°，
设AC=2a ，则BC=222a ，PC=
1
2
AC=a ，CQ=BC cos30??32a )， ∴(
)
2
2
222323
3
2442PQ PC QC a a a ????=
+=+-=-+ ? ??
??
? ∴当32
4
a =
PQ 362=
．
故答案为：6
．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．
19．【分析】
根据折叠的性质结合菱形的性质可得∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果.
【详解】
解：∵AECF为菱形，
∴∠FCO=∠ECO
解析：
【分析】
根据折叠的性质结合菱形的性质可得∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果.
【详解】
解：∵AECF为菱形，
∴∠FCO=∠ECO，
由折叠的性质可知，
∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，
∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，
在Rt△EBC中，EC=2EB，
又EC=AE，AB=AE+EB=3，
∴EB=1，EC=2，
∴223
BC EC EB
=-=
【点睛】
解题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．
20．4
【解析】
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵?ABCD中AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵在?ABCD 中，AB=7，AD=11，
解析：4 【解析】
解：∵DE 平分∠ADC ， ∴∠ADE=∠CDE ， ∵?ABCD 中AD ∥BC ， ∴∠ADE=∠CED ， ∴∠CDE=∠CED ， ∴CE=CD ，
∵在?ABCD 中，AB=7，AD=11， ∴CD=AB=7，BC=AD=11， ∴BE=BC-CE=11-7=4．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）15；见解析． 【分析】
（1）连接BD 作线段BD 的垂直平分线MN 交AD 于点E ，点E 即为所求． （2）证明△ABE 的周长＝AB +AD 即可． 【详解】
解：（1）如图，点E 即为所求．
（2）解：连接BE
∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ＝BC ＝10，AB ＝CD ＝5 又由（1）知BE ＝DE ∴15ABE
AB AE BE AB AE ED AB C
AD +++++＝＝＝＝．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的作法及性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）15
2
【分析】
（1）由矩形的性质得到AB ∥CD ，再根据平行线的性质得到∠DFO=∠BEO 再证明△DOF ≌△BOE ，根据全等三角形的性质得到DF=BE ，从而得到四边形BEDF 是平行四边形；
（2）先证明四边形BEDF 是菱形，再得到DE=BE ，EF ⊥BD ，OE=OF ，设AE=x ，则DE=BE=8-
x 根据勾股定理求解即可． 【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ， ∴∠DFO ＝∠BEO ． 在△DOF 和△BOE 中
DFO BEO DOF BOE OD OB ∠∠??
∠∠???
＝＝＝ ， ∴△DOF ≌△BOE(AAS )． ∴DF ＝BE ．
又∵DF ∥BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． (2)解：∵DE ＝DF ，四边形BEDF 是平行四边形， ∴四边形BEDF 是菱形． ∴DE ＝BE ，EF ⊥BD ，OE ＝OF ． 设AE ＝x ，则DE ＝BE ＝8－x ，
在Rt △ADE 中，根据勾股定理，有AE 2＋AD 2＝DE 2， ∴x 2＋62＝(8－x)2．解得x ＝74
． ∴DE ＝8－
74
＝254． 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，有AB 2＋AD 2＝BD 2， ∴BD
＝10． ∴OD ＝
1
2
BD ＝5． 在Rt △DOE 中，根据勾股定理，有DE 2－OD 2＝OE 2，
∴OE
＝154． ∴EF ＝2OE ＝15
2
． 【点睛】
考查了菱形的判定和性质、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的性质．
23．（1）见解析；（2）2AC AB =时,四边形EGCF 是矩形，理由见解析. 【分析】
（1）由平行四边形的性质得出AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF ，证出BE=DF ，由SAS 证明△ABE ≌△CDF 即可；
（2）证出AB=OA ，由等腰三角形的性质得出AG ⊥OB ，∠OEG=90°，同理：CF ⊥OD ，得出
EG ∥CF ，由三角形中位线定理得出OE ∥CG ，EF ∥CG ，得出四边形EGCF 是平行四边形，即可得出结论． 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD ，AB ∥CD ，OB=OD ，OA=OC ， ∴∠ABE=∠CDF ，
∵点E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴BE=
12OB ，DF=1
2
OD ， ∴BE=DF ，
在△ABE 和△CDF 中，
AB CD ABE CDF BE DF =??
∠=∠??=?
()ABE CDF SAS ∴?
（2）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形；理由如下： ∵AC=2OA ，AC=2AB ， ∴AB=OA ， ∵E 是OB 的中点， ∴AG ⊥OB ， ∴∠OEG=90°， 同理：CF ⊥OD ， ∴AG ∥CF ， ∴EG ∥CF ， ∵EG=AE ，OA=OC ， ∴OE 是△ACG 的中位线， ∴OE ∥CG ， ∴EF ∥CG ，
∴四边形EGCF 是平行四边形， ∵∠OEG=90°， ∴四边形EGCF 是矩形． 【点睛】
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 24．（1）0.25；（2）3个． 【分析】
（1）用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可； （2）列用概率公式列出方程求解即可． 【详解】
解：（1）251÷1000＝0.251；
∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到0.25附近， ∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； （2）设袋中白球为x 个， 1
1x
+＝0.25，解得x ＝3． 答：估计袋中有3个白球， 故答案为：（1）0.25；（2）3个． 【点睛】
本题主要考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近． 25．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】
（1）由“AAS”可证△AFE ≌△DBE ，从而得AF=BD
（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ADCF 是平行四边形，由直角三角形的性质的AD ＝DC ，即可证明四边形ADCF 是菱形． 【详解】 （1）∵AF ∥BC ， ∴∠AFE=∠DBE
∵△ABC 是直角三角形，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点， ∴AE=DE ，BD=CD 在△AFE 和△DBE 中，
AFE DBE AEF BED AE DE ∠∠??
∠∠???
＝＝＝， ∴△AFE ≌△DBE （AAS ）） ∴AF=BD
（2）由（1）知，AF=BD ，且BD=CD ， ∴AF=CD ，且AF ∥BC ， ∴四边形ADCF 是平行四边形 ∵∠BAC=90°，D 是BC 的中点， ∴AD ＝
1
2
BC ＝DC ∴四边形ADCF 是菱形 【点睛】
本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．证明AD ＝DC 是解题的关键．
26．当点O 运动到AC 的中点（或OA=OC ）时，四边形AECF 是矩形．证明见解析. 【分析】