《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的
概率为__________. 答案：
解：
3.0)(=+B A B A P
即
)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=
所以
&
1.0)(=AB P
9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P .
2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.
答案：
161-e
解答：
λλ
λ
λλ---=
=+==+==≤e X P e e
X P X P X P 2
)2(,
)1()0()1(2
】
由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λ
λλλλ---=+e e e 22 即 0122
=--λλ 解得
1=λ，故
16
1)3(-=
=e X P
3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2
X Y =在区间)4,0(内的概率
密度为=)(y f Y _________. 答案：
04,()()0,.
Y Y X y f y F y f <<'===?
其它
解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则
2
()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-
因为~(0,2)X U
，所以(0X F =
，即()Y X F y F =
|
故
04,
()()
0,.
Y Y X
y
f y F y f
<<
'
===
?其它
另解在(0,2)上函数2
y x
=
严格单调，反函数为()
h y=
所以
04,
()
0,.
Y X
y
f y f
<<
==
?其它
4．设随机变量Y
X,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2
)1
(-
=
>e
X
P，则=
λ_________，}1
)
,
{min(≤
Y
X
P=_________.
答案：2
λ=，-4
{min(,)1}1e
P X Y≤=-
解答：
…
2
(1)1(1)
P X P X e e
λ
--
>=-≤==，故2
λ=
{min(,)1}1{min(,)1}
P X Y P X Y
≤=->
1(1)(1)
P X P Y
=->>
4
1e-
=-.
5．设总体X的概率密度为
??
?
?
?<
<
+
=
其它
,0
,1
,
)1
(
)
(
x
x
x
f
θ
θ
1-
>
θ.
n
X
X
X,
,
,
2
1
是来自X的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.
答案：
"
1
1
1
1
ln
n
i
i
x
n
θ
=
=-
∑
解答：
似然函数为
11
1
(,,;)(1)(1)(,,)
n
n
n i n
i
L x x x x x
θθ
θθθ
=
=+=+
∏
1
ln ln(1)ln
n
i
i
L n x
θθ
=
=++∑
1
ln ln 01n
i i d L n
x d θθ==++
∑
解似然方程得θ的极大似然估计为
1
111ln n
i i x n θ==
-∑.
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
。
1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A
C 与B 也独立.
（C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.
（D ）若C B ?，则A 与C 也独立. （ ）
答案：（D ）.
解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.
>
事实上由图
可见A 与C 不独立.
2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.
/
（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ）
答案：（A ）
解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.
3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是
（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.
（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ）
;
解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =?=）
，（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.
4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为
(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1111
69183
X Y P αβ
若,X Y 独立，则,αβ的值为
（A ）21,99αβ==. （A ）12
,99
αβ==.
|
（C ） 11,66αβ=
= （D ）51
,1818
αβ==. （ ）
解答： 若,X Y 独立则有
(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======
1121
()()()3939
αβαα=+++=+ ∴29α=， 19β= 故应选（A ）.
。
5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中
正确的是
（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）
答案：（A ） 解答：
：
1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.
三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为，
一个次品被误认为是合格品的概率为，
求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解：设A =‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’
则（1） ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+
…
0.90.950.10.020.857.=?+?= （2） ()0.90.95
(|)0.9977()0.857
P AB P B A P A ?===.
四、（12分）