2、(05)已知点I 是锐角三角形ABC 的心,A1,B1,C1分别是点I 关于边BC ,CA ,AB 的对称点。若点B 在△A1B1C1的外接圆上,则∠ABC 等于( ) A 、30° B 、45° C 、60° D 、90°
3.(06)正方形ABCD 接于⊙O ,点P 在劣弧AB 上,连结DP ,交AC 于点Q .若QP=QO ,则
QA
QC
的值为( ) (A )132-(B )32 (C )23+(D )23+
5(07)已知△ABC 为锐角三角形,⊙O 经过点B ,C ,且与边AB ,AC 分别相交于点D ,E .若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等,则⊙O 一定经过△ABC 的( ).
(A )心 (B )外心 (C )重心 (D )垂心
10.已知线段AB 的中点为C ,以点A 为圆心,AB 的长为半径作圆,在线段AB 的延长线上取点D ,使得BD =AC ;再以点D 为圆心,DA 的长为半径作圆,与⊙A 分别相交于F ,G 两点,连
接FG 交AB 于点H ,则AH AB
的值为 .
8、△ABC 中,AB =7,BC =8,CA =9,过△ABC 的切圆圆心l 作DE ∥BC ,分别与AB 、AC 相交于点D ,E ,则DE 的长为 。
9、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦,且AB =a <1,以AB 为一边在圆O 作正△ABC ,点D 为圆O 上不同于点A 的一点,且DB =AB =a ,DC 的延长线交圆O 于点E ,则AE 的
(第3题图)
A
B
C
D
O
Q P
B 1
I
C 1 A 1
B
C
(第8题) C
E
I A
D
B
长为( )。
A 、52a
B 、1
C 、3
2
D 、a
1(04).D 是△ABC 的边AB 上的一点,使得AB =3AD ,P 是△ABC 外接圆上一
点,使得ACB ADP ∠=∠,求PD
PB
的值.
4.(06)如图,点P 为⊙O 外一点,过点P 作⊙O 的两条切线,切点分别为A ,B .过点A 作PB 的平行线,交⊙O 于点C .连结PC ,交⊙O 于点E ;连结AE ,并延长AE 交PB 于点K .求证:PE ·AC=CE ·KB .
6.已知AB 为半圆O 的直径,点P 为直径AB 上的任意一点.以点A 为圆心,AP 为半径作⊙A ,⊙A 与半圆O 相交于点C ;以
(第4题)
A
B
C
O
P
E
K
点B为圆心,BP为半径作⊙B,⊙B与半圆O相交于点D,且线段CD的中点为M.求证:MP分别与⊙A和⊙B相切.
7.如图,点E,F分别在四边形ABCD的边AD,BC的延长线上,
且满足DE AD
CF BC
=.若CD,FE的延长线相交于点G,△DEG
的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P,连接P A,PB,PC,PD.求证:
(1)AD PD BC PC
=;
(2)△PAB∽△PDC.
11(10).如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC 上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△
ABD 和△ACD 的外接圆直径,连接EF . 求证: tan EF
PAD BC
∠=.
12(11)、如图,点H 为△ABC 的垂心,以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ,延长AD 交CH 于点P ,求证:点P 为CH 的中点。
初中数学竞赛《圆》历届考题
)
1(04).D 是△ABC 的边AB 上的一点,使得AB =3AD ,P 是△ABC 外接圆上一
点,使得ACB ADP ∠=∠,求PD PB
的值.
解:连结AP ,则ADP ACB APB ∠=∠=∠,
所以,△APB ∽△ADP , …………………………(5分) ∴AD AP AP AB =, 所以223AD AD AB AP =?=,
∴AD AP 3=, …………………………(10分) 所以
3==AD
AP
PD PB . …………………………(15分)
2、(05)已知点I 是锐角三角形ABC 的心,A1,B1,C1分别是点I 关于边BC ,CA ,AB 的对称点。若点B 在△A1B1C1 圆上,则∠ABC 等于( )
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、90° 答:C
解:因为IA1=IB1=IC1=2r (r 为△ABC 的切圆半径),所以 点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心,设IA1与BC 的交点为D ,则IB =IA1
=2ID ,
所以∠IBD =30°,同理,∠IBA =30°,于是,∠ABC =60°
3.(06)正方形ABCD 接于⊙O ,点P 在劣弧AB 上,连结DP ,交AC 于点Q .若QP=QO ,则
QA
QC
的值为( ) (A )132-(B )32 (C )23+(D )23+
答:D .
解:如图,设⊙O 的半径为r ,QO=m ,则QP=m ,QC=r +m , QA=r -m .在⊙O 中,根据相交弦定理,得QA ·QC=QP ·QD .
即 (r -m )(r +m )=m ·QD ,所以 QD=m
m r 2
2-.连结DO ,由勾股定理,得QD 2=DO 2
+QO 2
,即222
2
2m r m
m r +=???
? ??-,解得r m 33=所以, 231313+=-+=-+=m r m r QA QC A 1
B
C
D A
B 1
C 1 I (第3题图)
A
B
C
D O Q P
4.(06)如图,点P 为⊙O 外一点,过点P 作⊙O 的两条切线,切点分别为A ,B .过点A 作PB 的平行线,交⊙O 于点C .连结PC ,交⊙O 于点E ;连结AE ,并延长AE 交PB 于点K .求证:PE ·AC=CE ·KB .
证明:因为AC ∥PB ,所以∠KPE=∠ACE .又P A 是⊙O 的切线, 所以∠KAP=∠ACE ,故∠KPE=∠KAP ,于是
△KPE ∽△KAP , 所以
KP
KE
KA KP =
, 即 KA KE KP ?=2. 由切割线定理得 KA KE KB ?=2
所以 KB KP =. …………………………10分
因为AC ∥PB ,△KPE ∽△ACE ,于是
AC KP CE PE = 故 AC
KB
CE PE =
, 即 PE ·AC=CE ·KB . ………………………………15分
5(07)已知△ABC 为锐角三角形,⊙O 经过点B ,C ,且与边AB ,AC 分别相交于点D ,E .若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等,则⊙O 一定经过△ABC 的( ).
(A )心 (B )外心 (C )重心 (D )垂心 答:(B ).
解: 如图,连接BE ,因为△ABC 为锐角三角形,所以BAC ∠,
ABE ∠均为锐角.又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等,
且DE 为两圆的公共弦,所以BAC ABE ∠=∠. 于是,2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠.
若△ABC 的外心为1O ,则12BO C BAC ∠=∠,所以,⊙O 一定过△ABC 的外心.故选(B ).
6.已知AB 为半圆O 的直径,点P 为直径AB 上的任意一点.以点A 为圆心,AP 为半径作⊙A ,⊙A 与半圆O 相交于点C ;以点B 为圆心,BP 为半径作⊙B ,⊙B 与半圆O 相交于点D ,且线段
CD 的中点为M .求证:MP 分别与⊙A 和⊙B 相切.
证明:如图,连接AC ,AD ,BC ,BD ,并且分别过点C ,D 作AB 的垂线,垂足分别
(第4题)
A
B
C
O
P
E
K
(第3题答案图)
(第13A 题答案图)
为,E F ,则CE ∥DF .因为AB 是⊙O 的直径,所以90ACB ADB ∠=∠=?.在Rt △ABC 和
Rt
△
ABD
中,由射影定理得
22PA AC AE AB
==?,
22PB BD BF AB ==?. ……………5分
两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-,
又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-, 于是有 AE BF PA PB -=-,即PA AE PB BF -=-,
所以PE PF =,也就是说,点P 是线段EF 的中点.因此,MP 是直角梯形CDFE 的中位线,于是有MP AB ⊥,从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切.
7.如图,点E ,F 分别在四边形ABCD 的边AD ,BC 的延长线上,且满足
DE AD
CF BC
=
.若CD ,FE 的延长线相交于点G ,△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点
P ,连接P A ,PB ,PC ,PD .求证:
(1)
AD PD
BC PC
=
; (2)△PAB ∽△PDC .
证明:(1)连接PE ,PF ,PG ,因为PDG PEG ∠=∠, 所以PDC PEF ∠=∠.
又因为PCG PFG ∠=∠,所以△PDC ∽△PEF ,
于是有
,PD PE
CPD FPE PC PF
=∠=∠,从而△PDE ∽△PCF ,所以PD DE PC CF =.又已知DE AD CF BC =,所以,AD PD BC PC
=. ………………10分 (2)由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠,结合(1)知,△PDA ∽△PCB ,从而有,PA PD
PB PC
= DPA CPB ∠=∠,所以APB DPC ∠=∠,因此△PAB ∽△PDC . ………………15分
8、△ABC 中,AB =7,BC =8,CA =9,过△ABC 的切圆圆心l 作DE ∥BC ,
分别与AB 、AC 相交于点D ,E ,则DE 的长为 163
。 解:如图,设△ABC 的三边长为,,a b c , 切圆l 的半径为r ,BC 边上的高为a h ,则
11()22
a ABC ah S a
b
c r ?==++,所以a r a h a b c =++,
A C
D
E
I r h a
(第8题)
因为△ADE ∽△ABC ,所以它们对应线段成比例,因此
,a a h r DE
h BC
-= 所以DE =()
(1)(1)a a a h r r a a b c a a a h h a b c a b c
-+?=-=-=++++ 故 DE =
8(79)16
8796
?+=++。
9、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦,且AB =a <1,以AB 为一边在圆O 作正△ABC ,点D 为圆O 上不同于点A 的一点,且DB =AB =a ,DC 的延长线交圆O 于点E ,则AE 的长为( B )。
A 、
52a B 、1 C 、3
2
D 、a 解:如图,连接O
E ,OA ,OB ,设∠D =a ,则 ∠ECA =120°-a =∠EAC
又因为∠ABO =11
(601802)12022
ABD a a ∠=?+?-=?-
所以 △ACE ≌△ABO ,于是AE =OA =1
10.已知线段AB 的中点为C ,以点A 为圆心,AB 的长为半径作圆,在线段AB 的延长线上取点D ,使得BD =AC ;再以点D 为圆心,DA 的长为半径作圆,与
⊙A 分别相交于F ,G 两点,连接FG 交AB 于点H ,则AH
AB
的值为 .
解:如图,延长AD 与⊙D 交于点E ,连接AF ,EF .由题设知13AC AD =
,1
3
AB AE =,在△FHA 和△EF A 中,90EFA FHA ∠=∠=?,FAH EAF ∠=∠ 所
以
Rt
△
FHA
∽
Rt
△
EF A
,
AH AF AF AE =.而AF AB =,所以AH AB 1
3
=.
11(10).如图,△ABC 为等腰三角形,AP 是底边BC 上的高,点D 是线段PC 上的一点,
A B
C
O D
E
(第9题)
(第10题)
BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径,连接EF . 求证: tan EF
PAD BC
∠=. 证明:如图,连接ED ,FD . 因为BE 和CF 都是
直径,所以
ED ⊥BC , FD ⊥BC ,
因此D ,E ,F 三点共线. …………(5分) 连接AE ,AF ,则
AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠,
所以,△ABC ∽△AEF . …………(10分)
作AH ⊥EF ,垂足为H ,则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得
EF AH
BC AP =
, 从而 EF PD
BC AP
=
, 所以 tan PD EF
PAD AP BC ∠==
. …………(20分)
12(11)、如图,点H 为△ABC 的垂心,以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ,延长AD 交CH 于点P ,求证:点P 为CH 的中点。 证明:如图,延长AP 交⊙2O 于点Q
连结AH ,BD ,QC ,QH
∵AB 为直径 ∴∠ADB =∠BDQ =900 ∴BQ 为⊙2O 的直径 于是CQ ⊥BC ,BH ⊥HQ
∵点H 为△ABC 的垂心 ∴AH ⊥BC ,BH ⊥AC ∴AH ∥CQ ,AC ∥HQ ,四边形ACHQ 为平行四边形 则点P 为CH 的中点。
)
(第11题)
A
B
1O H
2O
P
D Q