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直线与椭圆的综合问题考点与题型归纳

考点一弦中点问题

[典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是

x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )

A.1

2 B.22 C.32

D.55

[解析] 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB

的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1

＝1.由

???

x 21a 2

＋y 21

2＝1，x 22a 2

＋y

22b 2

＝1，

两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2

x 1－x 2

＝－

b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝c

＝ 1－b 2a 2＝3

，故选C. [答案] C

[解题技法]

1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤

2．解有关弦中点问题的注意点

对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．

[题组训练]

1．已知椭圆：x 29＋y 2

＝1，过点P ????12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )

A ．9x ＋y －5＝0

B ．9x －y －4＝0

C ．x ＋9y －5＝0

D ．x －9y ＋4＝0

解析：选C

设A (x 1

，y 1

)，B (x 2

，y 2

)，则有???

x 21

＋y 21＝1，x

9＋y 22

＝1，

两式作差得

(x 2－x 1)(x 2＋x 1)

＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0，因为x 2＋x 1＝1，y 2＋y 1＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB ＝－1

9，所以

弦所在的直线方程为y －12＝－1

9???

?x －12，即x ＋9y －5＝0. 2．焦点为F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是2

7的椭圆的标准方程

为________________．

解析：设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，

B (x 2，y 2)．

由题意，可得弦AB 的中点坐标为? ??

??x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－3

7. 将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得???

y 21

a 2＋x 2

1b 2

＝1，y 22a 2

＋x

22b 2

＝1.

两式相减并化简，得a 2

b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2

＝－2×－6747＝3，

所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25，故所求椭圆的标准方程为y 275＋x 2

25＝1.

答案：y 275＋x 2

25＝1

考点二弦长问题

[典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6

3，焦距为

2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .

(1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值．

[解]

(1)由题意得?????

a 2＝

b 2＋

c 2，

c a ＝6

3，

2c ＝22，

解得a ＝3，b ＝1.

所以椭圆M 的方程为x 23

＋y 2

＝1.

(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

由?????

y ＝x ＋m ，x 23＋y 2

＝1，

得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，

所以x 1＋x 2＝－3m

2，x 1x 2＝3m 2－34.

所以|AB |＝

(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝

2(x 2－x 1)2＝

2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝

12－3m 2

. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. [解题技法] 弦长的求解方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝

???

?1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．

[题组训练]

1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝42

3，则实数m 的值

为

( )

A ．±1

B ．±1

C. 2

D ．±2

解析：选A 由?????

x 2

2＋y 2＝1，

y ＝x ＋m 消去y 并整理，

得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m

3，x 1x 2＝2m 2－23.

由题意，得|AB |＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝

3－m 2＝

，解得m ＝±1.

2．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝1

2，过F 1的直

线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积．解：(1)由题意知，4a ＝8，所以a ＝2，又e ＝12，所以c a ＝1

2，c ＝1，

所以b 2＝22－1＝3，

所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2

3＝1.

(2)设直线AB 的方程为y ＝3(x ＋1)，

由?????

y ＝3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，

得5x 2＋8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－85，

所以y 1＝3，y 2＝－33

所以S △ABF 2＝c ·|y 1－y 2|＝1×?

?3＋

335＝83

考点三椭圆与向量的综合问题

[典例] (2019·长春质检)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ?

3，

32. (1)求椭圆C 的方程；

(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→

，求直线l 的斜率k 的值．

[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，

由????

2a ＝|EF 1

|＋|EF 2

|＝4，a 2

＝b 2

＋c 2

，c ＝1，

解得?????

a ＝2，

c ＝1，

b ＝3，

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，

联立?????

y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23

＝1，整理得????3k 2＋4y 2－6

k y －9＝0，则Δ＝144

k 2＋144＞0，

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k

3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2

，又AF 1―→＝2F 1B ―→

，所以y 1＝－2y 2，所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8，解得k ＝±52

，又k ＞0，所以k ＝

. [解题技法] 解决椭圆中与向量有关问题的方法

(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．

(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题． [题组训练]

1．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，BF 1―→·BF 2

―→

≥14

F 1F 2―→

2，则椭圆的离心率的取值范围为( )

A.????0，1

2 B.?

0，

22 C.?

?0，

33 D.????12，1

解析：选C 根据题意不妨设B (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，因为BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，BF 1

―→

＝(－c ，－b )，BF 2―→

＝(c ，－b )，|F 1F 2|2＝4c 2，所以b 2≥2c 2，又因为b 2＝a 2－c 2，所以a 2≥3c 2，所以0＜c a ≤33

2．已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |，

△AOF 的面积为1(其中O 为坐标原点)．

(1)求椭圆D 的标准方程；

(2)过椭圆D 长轴左端点C 作直线l 与直线x ＝a 交于点M ，直线l 与椭圆D 的另一交点为P ，求OM ―→·OP ―→

的值．

解：(1)因为|OA |＝|OF |，所以b ＝c ，

又△AOF 的面积为1，所以1

2bc ＝1，解得b ＝c ＝2，

所以a 2＝b 2＋c 2＝4，

所以椭圆D 的标准方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)由题意可知直线MC 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋2)，代入x 24＋y 2

＝1，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，

所以P ? ????

－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1.又M (2,4k )，

所以OM ―→·OP ―→

＝(2,4k )·? ??

??－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1＝4.

[课时跟踪检测]

A 级

1．(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )

A ．－2

B ．－32

C ．－49

D ．－94

解析：选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为

k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 2

2＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又

x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2

＝k ，代入解得k ＝－23.

2．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率

为

，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223

B.423

C. 2

D ．2

解析：选B 由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2

＝1，

联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，????43，－13，所以|AB |＝42

. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2

＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )

A ．2 B.455 C.4105

D.8105

解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，

由?

????

x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－8

5t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.

∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝

1＋k 2·

(x 1＋x 2)2－4x 1x 2

＝2·

????－85t 2－4×4(t 2

－1)5

＝

·5－t 2，

当t ＝0时，|AB |max ＝

410

. 4．(2019·石家庄质检)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭

圆交于A ，B 两点，且AF ―→＝2FB ―→

，则该椭圆的离心率为( )

A.32

B.23

C.22

D.33

解析：选B 由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立?????

x 2

a 2＋y 2

b 2＝1，

y ＝x －c ，得(b 2

＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A (x 1，

y 1

)，B (x 2

，y 2

)，则?

???? y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b

2，

y 1y 2

＝－b

a 2

＋b 2

，又AF ―→＝2FB ―→，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)， ∴

－y 1

＝2y 2

，可得?????

－y 2＝－2b 2c a 2＋b

2，

－2y 2

＝－b 4

a 2

＋b 2

∴12＝4c 2a 2＋b 2，∴e ＝23

，故选B. 5．已知点P 是椭圆x 216＋y 2

8＝1上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原

点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→

|的取值范围是( )

A ．[0,3)

B ．(0,22)

C ．[22，3)

D ．(0,4]

解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线， ∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点．

∵O 为F 1F 2中点，∴OM 綊1

2F 2G .

∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝1

2|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.

∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22， ∴|OM ―→

|∈(0,22)．

6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为________．

解析：由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

a 2－1＝1(a

＞1)，由|AB |＝3，知点????1，3

2在椭圆上，代入椭圆方程得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2

＝1. 答案：x 24＋y 2

＝1

7．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2

＝1(a ＞0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆

于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．

解析：因为椭圆x 2a

2＋y 2

＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上，所以c ＝

a 2－1，又过右焦点且垂直

于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a 2＋y 2

＝1，则y ＝±

1－c 2

2，又|AB |＝1，所以2

1－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 答案：

8．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 2

2＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此

弦所在的直线方程为________．

解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ，弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，

则x 214＋y 212＝1 ①，x 224＋y 22

＝1 ②，

①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)

2＝0，

∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 2

2＋y 1－y 2＝0，

∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2

＝－12.

∴此弦所在的直线方程为y －1＝－1

2(x －1)，

即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝0

9．(2019·湖北武汉部分学校调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2

＝1(a ＞1，

a ∈R )上，过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．

(1)若△F AB 的面积的最大值为1，求a 的值；

(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－1

3，求椭圆C 的离心率．

解：(1)因为S △F AB ＝1

|OF |·|y A －y B |≤|OF |＝

a 2－1＝1，所以a ＝ 2.

(2)由题意可设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，M (x ，y )，则x 2a 2＋y 2＝1，x 20

2＋y 20＝1， k MA ·k MB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝1－x 2a 2－????

1－x 20a 2x 2－x 20＝－1a 2(x 2－x 20)x 2－x 20＝－1a 2＝－1

3，所以a 2＝3，所以a ＝3，所以c ＝

a 2－

b 2＝2，

所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＝63

10．(2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与

短半轴的比值为2.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．

解：(1)由题可知c ＝3，a

b ＝2，a 2＝b 2＋

c 2，

∴a ＝2，b ＝1.

∴椭圆C 的方程为x 24

＋y 2

＝1.

(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．

当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．

联立?

????

x ＝my ＋1，x 2＋4y 2＝4消去x ，可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.

Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝

－34＋m 2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→

＝0.

∵BM ―→·BN ―→

＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·

－3

4＋m 2

＋(m －1)·－2m

4＋m 2

＋2＝0，

整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝5

∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.

B 级

1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为1

2，点A 在

椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段P Q 的中点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)已知点M ????0，1

8，且MN ⊥P Q ，求线段MN 所在的直线方程．解：(1)由e ＝1

2，得a ＝2c ，

易知|AF 1|＝2，|AF 2|＝2a －2，

由余弦定理，得|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos A ＝|F 1F 2|2，即4＋(2a －2)2－2×2×(2a －2)×1

2＝a 2，

解得a ＝2，则c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，

∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

联立?????

y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，

整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，

则x 1＋x 2＝8k 2

3＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝

－6k 3＋4k 2

， ∴N ? ????4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又M ????0，1

8，则k MN ＝18＋

3＋4k 20－

4k 23＋4k 2＝－24k ＋3＋4k 232k 2. ∵MN ⊥P Q ，∴k MN ＝－1k ，得k ＝12或3

，

则k MN ＝－2或k MN ＝－2

3，故直线MN 的方程为16x ＋8y －1＝0或16x ＋24y －3＝0.

2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→

.记点P 的轨迹为曲线E .

(1)求曲线E 的方程；

(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→

，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．

解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．

由CP ―→＝ 2 PD ―→

，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，

所以?

???? x －m ＝－2x ，

y ＝2(n －y )，得?

m ＝(2＋1)x ，

n ＝2＋1

y ，

由|CD ―→

|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2，

所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)2

2y 2＝(2＋1)2，

整理，得曲线E 的方程为x 2

＋y 2

＝1.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→

，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2

＋2kx －1＝0，

则x 1＋x 2＝－2k

k 2＋2，

所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝

4k 2＋2

. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2

2＝1，

即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2，即k ＝±2，此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.

直线与椭圆的综合问题考点与题型归纳

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