江西省丰城中学、高安二中等六校2021届高三1月联考 数学(理)
丰城中学、高安二中、上高二中、樟树中学、新余一中、宜春中学
2021届六校联考理科数学试卷
命题人：上高二中 审题人：上高二中 2021年元2日
本试卷总分值为150分 考试时长120分钟 考试范围：高考范围
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1
B ．1
C ．－i
D ．i
2．已知集合{|270}A x N x =∈-<，2{|340}B x x x =--≤，则A B =（ ）
A ．{}1,2,3
B ．{}0,1,2,3
C ．7|2x x ??≤
????
D ．7|02x x ??<≤
????
3．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）
A ．1
2cos α
B ．12sin α
C ．sin 3πsin
8α
D ．cos 3πcos
8
α
4．已知点P 是抛物线28y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)A 的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是（ ） A
．B ．3
C
．D ．
5．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（ ）
A ．24310r r r r <<<<
B ．42130r r r r <<<<
C ．42310r r r r <<<<
D ．24130r r r r <<<<
6．已知函数()()
2
1x
f x x x e =++，则()f x 在(0())0f ，处的切线方程为（ ）
A ．10x y ++=
B ．10x y -+=
C ．210x y ++=
D ．210x y -+=
7．函数()()cos 0,2f x x πω?ω???
=+><
??
?
的图象如图所示，为了得到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）
A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向右平移12
π
个单位长度 C ．向左平移
6
π
个长度单位 D ．向左平移
12
π
个长度单位
8．在()62x y x y ??
-+ ???
的展开式中，34x y 的系数是（ ） A ．20
B ．
15
2
C ．5-
D ．252
-
9．若23sin 22sin 0αα-=，则πcos 24α??
+
= ??
?
（ ）
A ．10
-
B ．
2或10-
C ．10
-
或2 D ．
2
10．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，
1204BAC AP AB AC ∠====，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是
（ ） A ．18π
B ．36π
C ．72π
D ．40π
11．已知点M 为直线30x y +-=上的动点，过点M 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则点()0,1P -到直线AB 的距离的最大值为（ ）
A ．
32
B ．
53
C
．
2
D
．
3
12．已知函数1()x f x xe -=，若对于任意的(
2
00,x e ?∈?，函数
()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(20,e ??内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围
为（ ）．
A ．2231,e e ??-
???
B ．2
23,e e ??-∞-
???
C ．22,e e e
e ?
?-
+ ??
?
D ．21,e e ?
?-
???
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知x ，y 满足约束条件0
122x x y x y ≥??
+≥??+≤?
，则32z x y =+的最小值为______．
14．设向量a ，b 满足3a =，1b =，且1
cos ,6
a b =
，则2a b -=__________. 15．设1F ，2F 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左?右焦点，若双曲线右支上存
在一点P ，使()
220OP OF F P +?=，O 为坐标原点，且123PF PF =，则该双曲线的离心率为__________.
16．在三棱锥A BCD -中，已知AD BC ⊥，8AD =，2BC =，
10AB BD AC CD +=+=，则三棱锥ABCD 体积的最大值是______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 17．已知数列{}n a 中，11a =，1(1)()2n
n n
n a a n N n a *++=
∈+
（1）求证：n n a ??
????
是等差数列；
（2）若1n n n c a a +=，且数列4
3n n
b n
=?，数列{}n n b c 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围.
18．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝1，CD ＝2，E 为CD 中点，以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ?平面ABCE ）．
（1）证明：AE ⊥PB ；
（2）若直线PB 与平面ABCE 所成的角为4
π
，求二面角A ﹣PE ﹣C 的余弦值．
19．为了实现中华民族伟大复兴之梦，把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国，党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”，某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别，该农场选取了40间大棚（每间一亩），分成两组，每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案，第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季，得到各间大棚产量数据信息如下图：
（1）如果你是该农场的负责人，在只考虑亩产量的情况下，请根据图中的数据信息，对于下一季大棚蔬菜的种植，说出你的决策方案并说明理由；
（2）已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.
若采用延长光照时间的方案，光照设备
每年的成本为0.22千元/亩；若采用夜间降温的方案，降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间（每间1亩），农场种植的该蔬菜每年产出两次．．，且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据，用样本估计总体，请计算在两种不同的方案下，种植该蔬菜一年的平均利润；
（3）农场根据以往该蔬菜的种植经验，认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间，记增产明显的大棚间数为X ，求X 的分布列及期望.
20．已知椭圆()22
22:10x y M a b a b
+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的
三个顶点，且椭圆经过点2N ?
???
. （1）求椭圆M 的方程；
（2）若直线()0y kx m k =+≠与圆22
3
:4
E x y +=
相切于点P ，且交椭圆M 于,A B 两点，射线OP 于椭圆M 交于点Q ，设OAB ?的面积与QAB ?的面积分别为12,S S . ①求1S 的最大值； ②当1S 取得最大值时，求1
2
S S 的值.
21. 定义在0,
的函数1
()(1)ln e
x f x a x x x -=--+（其中a ∈R ）.
（1）若0a =，求()f x 的最大值；
（2）若函数()f x 在1x =处有极小值，求实数a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
2x m y m
?=?=?(m 为参数).以坐标原点O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
sin cos 10ρθρθ-+=.
（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；
（Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求11PM PN
+的值.
23．已知函数1
()||()3
f x x a a =
-∈R . （1）当2a =时，解不等式1
()13
x f x -
+≥； （2）设不等式1()3x f x x -
+≤的解集为M ，若11,32M ??
?????
，求实数a 的取值范围.
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2021届六校联考理科数学试卷答案
BBAC,BDAD,BCDA 13． 2 14．
15．
1 16．
17.解：（1）
1(1)()2n
n n
n a a n N n a *++=
∈+，
1212n n n n
n a n n
a a a +++∴
==+， 112n n n n
a a ++∴
-=，1
11a
n n a ??
∴????
是以1为首项，2为公差的等差数列. 21n
n
n a ∴
=- （2）由（1）可得21
n n
a n =
-， 所以(1)
(21)(21)
n n n c n n +=
-+，
14(1)11
3(21)(21)3(21)3(21)n n n n n n b c n n n n -+=
=--+-+
21111111
11333335
3(21)3(21)3(21)
n n n n T n n n -=-
+-++
-=-???-++
因为111114803(21)3(23)3(21)(23)
n n n n n n T T n n n n ++++-=
-=>++++，
所以{}n T 是递增数列，
n T 的最小值为18
9
T =
，又因为1n T < 8
19
n T ∴≤< 18．（1）连接BD ，设AE 的中点为O ，
∵AB ∥CE ，AB ＝CE 1
2
=
CD ， ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE ＝BC ＝AD ＝DE ， ∴△ADE ，△ABE 为等边三角形，
∴OD ⊥AE ，OB ⊥AE ，折叠后,OP AE OB AE ⊥⊥， 又OP ∩OB ＝O ，
∴AE ⊥平面POB ，又PB ?平面POB ， ∴AE ⊥PB ．
（2）在平面POB 内作PQ ⊥平面ABCE ，垂足为Q ，则Q 在直线OB 上， ∴直线PB 与平面ABCE 夹角为∠PBO
4
π
=，
又OP ＝OB ，∴OP ⊥OB ，
∴O 、Q 两点重合，即PO ⊥平面ABCE ，
以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则P （0，0，
2），E （12，0，0），C （1，2
，0），
∴PE =（
12，0，），EC =（120）， 设平面PCE 的一个法向量为1n =（x ，y ，z ），则1100n PE n EC ??=???=??，即1
02
102
2
x z x y ?-=???
?+
=??，
令x =1n =1，1），
又OB ⊥平面PAE ，∴2n =（0，1，0）为平面PAE 的一个法向量， 设二面角A ﹣EP ﹣C 为α，则|cosα|＝|cos 12,n n ＜＞|1212
5
n n n n ?=
=
=，
由图可知二面角A ﹣EP ﹣C 为钝角，所以
cosα=
19．（1）第一组数据平均数为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24?+?+?+?=千斤/亩， 第二组数据平均数为5442325.18 5.20 5.22 5.24 5.26 5.28 5.22202020202020
?+?+?+?+?+?=千斤/亩，
可知第一组方法较好，所以采用延长光照时间的方法；（ （2）（i ）对于采用延长光照时间的方法：
每亩平均产量为5.050.1 5.150.2 5.250.4 5.350.3 5.24?+?+?+?=千斤. ∴该农场一年的利润为()5.242160.22100426??--?=千元. （ii ）对于采用降低夜间温度的方法： 每亩平均产量为
5.185 5.204 5.224 5.242 5.263 5.282
5.2220
?+?+?+?+?+?=千斤，
∴该农场一年的利润为()5.222160.2100424??--?=千元.
因此，该农场若采用延长光照时间的方法，预计每年的利润为426千元；若采用降低夜间温度的方法，预计每年的利润为424千元.
（3）由图可知，增产明显的大棚间数为5间，由题意可知，
X 的可能取值有0，1，2，3，
()31532091
0228C C P X ===；
()2115532035
176C C C P X ===；
()121553205
238
C C C P X ===；
()353201
3114
C P X C ===.
所以X 的分布列为
所以()3551312376381144
E X =?
+?
+?=. 20．解：（1）由题意设椭圆的上下顶点为12(0,),(0,)B b B b -，左焦点为1(,0)F c -，则
121B B F △是等边三角形，所以2b a ==，则椭圆方程为22
2214x y b b
+=，将
2N
????
代入椭圆方程，可得2221
142b b +=，解得1b =， 所以椭圆方程为2214
x y +=
（2）①由直线()0y kx m k =+≠与圆2
2
3
:4E x y +==，则22433m k =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，
将直线()0y kx m k =+≠代入椭圆方程得，222
(14)8440k x kmx m +++-=，
222222644(14)(44)4(1644)k m k m k
m ?=-+
-=-+，
因为22433m k =+，所以2
4(131)0k ?=+>，
且2121222
844
,141
4km m x x x x k k
-+=-=++， 所以12AB x =-=
=
设点O
到直线的距离为d=
所以OAB的面积为
22
1122
11(33)(131)
1 224(41)
k k
S AB d m x x
k
+++ ==-=≤=
+
，当22
33131
k k
+=+，得2
1
5
k=时等号成立，所以
1
S的最大值为1
②设33
(,)
Q x y，由直线()0
y kx m k
=+≠与圆22
3
:
4
E x y
+=相切于点P，可得OQ AB
⊥，则
2
2
1
1
4
y x
k
x
y
?
??
?
=-
+=
?
??
，可得
2
22
33
22
44
,
44
k
x y
k k
==
++
，
所以
7
OQ====，
因为
2
OP=
，所以
72
PQ OQ OP
=-=-，
所以1
2
1
21
2
111
2
OP AB OP
S
S PQ
PQ AB
===
21.（1）若0
a=，则1
()e x
f x x
-
=-+，求导得1
()e1
x
f x-
'=-+，
令()0
f x
'>，得01
x
<<；令()0
f x
'<，得1
x>，
所以函数()
f x在()
0,1上单调递增，在()
1,+∞上单调递减，
所以1,()
x f x
=取得极大值也是最大值，
max
()(1)e10
f x f
==-+=.
（2）1
1
()ln1e1
x
f x a x
x
-
??
'=+--+
?
??
，其中()0
1
f'=，
令11()ln 1e 1x h x a x x -??=+-
-+ ???，则1
211()e x h x a x x -??'=+- ???
，
当0a ≤时，()0h x '<，则函数()f x '在()0,∞+上单调递减，又()01f '=， 所以()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；
()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，
即()f x 在1x =处有极大值，与题干矛盾，故0a ≤不符合题意； 当0a >时，令1
211()()e x t x h x a x x -??'==+-
??
?， 则1231
2()e x t x a x
x -??'=--- ???，显然()0t x '<， 则()h x '在()0,∞+上单调递减，而()0
(1)11e 21h a a '-=+-=.
①若1
02
a <≤
，21(1)0h a '=-≤， 故当()1,x ∈+∞时，()(1)0h x h ''<≤，此时()f x '单调递减， 所以()(1)0f x f ''<=，故()f x 在()1,+∞单调递减， 显然()f x 在1x =处不可能有极小值，故1
02
a <≤不满足题意； ②若1
2
a >
时，21(1)0h a '=->， 故当()0,1x ∈时，()(1)0h x h ''>>，此时()f x '单调递增， 所以()0,1x ∈时，()(1)0f x f ''<=，即()f x 在()0,1单调递减， 由（1）知，1e 0x x --+≤，即1
e x x -≥，则e 1a a ≥+，
所以()2
11(1)e 11a h a a a a ??'+=+-??++????
()()211111a a a a ??
+-??++????≤+()
()
322
2101a a a a +=
-++<+，
因为(1)0h '>，(1)0h a '+<，所以存在()01,1x a ∈+使得0()0h x '=， 则()01,x x ∈时，()0h x '>，即()f x '
单调递增，
所以()01,x x ∈时，()(1)0f x f ''>=，即()f x 在()01,x 单调递增， 所以()f x 在()0,1单调递减，在()01,x 单调递增， 故()f x 在1x =处取得极小值.
综上所述，若()f x 在1x =处有极小值，则12
a >. 22．()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ== 可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --= 由曲线C 的参数方程，消去参数,m 可得曲线C 的普通方程为2
4y x =.
()II 易知点()2,1P 在直线l 上，直线l
的参数方程为22
12
x y t ?
=+
???
?=+??
(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入曲线C
的普通方程，并整理得2140t --=. 设12,t t
是方程2140t --=
的两根，则有121214t t t t +==-.
2122212
1111111
t t t PM PN t t t t t t t +∴+=+===-
47
=
=
23．（1）当2a =时，
原不等式可化为|31||2|3x x -+-≥. ①当1
3
x ≤
时， 则33012x x x -++-?≤≥，所以0x ≤； ②当
1
23
x <<时， 则32113x x x -+≥?≥-，所以12x ≤<； ⑧当2x ≥时，
则332
13
2x x x +≥?≥
--，所以2x ≥.
综上所述：
当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥. （2）由1
||()3
x f x x -
+≤， 则|31|||3x x a x -+-≤， 由题可知：
|31|||3x x a x -+-≤在11,32
??????
恒成立，
所以31||3x x a x -+-≤，即||1x a -≤， 即11a x a -≤≤+，
所以11143
1
2312a a a ?
-≤???-≤≤?
?+≥?? 故所求实数a 的取值范围是14,23??
-?
???.