高等数学上册课后习题答案

高等数学上册课后习题答案【篇一：历年大一上学期高数试题及其答案a】

xt>一、填空题（每小题4分，共20分）

sinkx

?5

x?0x

ln(1?)

8 (1) 若，则k?（）

lim

ax

(2) 设当x?0时, e?1与cosx?1是等价无穷小,

则常数a?（）

2

?

(3) ??

?(sinx?cosx)

limn(sin

3

dx

＝（）

(4) n??

a

121000?sin???sin)?nnn（）

(5) ?a

二、选择题（毎小题4分，共40分） (1) 下列广义积分收敛的是________

?

?

a2?x2dx?

(

),(a?0)

(a)

?

1

1x

1

dx(b)

?x

1x

?

dx(c)

?

1

(d)dx2

x

?

?x

1

1x

dx

?1?x

f(x)??x

?e?e (2) 函数

0?x?1

1?x?2的连续区间为________

(a)[0,1)；(b) [0,2]； (c) [0,1)?(1,2]；(d)(1,2]

50?

(3)

?sinx?________

(a)200;(b)110;

(c)100;

(4) 下列各命题中哪一个是正确的________

(a)f(x)在(a,b)内的极值点，必定是f(x)?0的根

(b)

f(x)?0的根，必定是f(x)的极值点

(d)50;

(c)

f(x)在(a,b)取得极值的点处，其导数f(x)必不存在

(d) 使f(x)?0的点是f(x)可能取得极值的点

(5) 已知f(3)?2则h?0

lim

f(3?h)?f(3)

2h＝.

33

?

(a) 2(b)2 (c) 1(d) ?1

??x????y?? (6) 设函数y?y(x)由参数方程?

t2

2t4

4确定，则y(x)________

2

(a) 1 (b) 2(c) 2t(d)t

2

(7) 设函数f(x)?(x?3x?2)(x?3)(x?4)(x?5),则方程f(x)?0实根的个数为________

(a) 2个 (b) 3个 (c) 4个(d) 5个

(8) 已知椭圆x?2cost,y?3sint

vx,vy

(0?t?2?绕x轴和y轴旋转的体积分别为

，则有________

(b) (d)

1

1x

(a)(c)

x?vy?2?x?vy?8?

x?vy?4?

x?vy?10?

f(x)?

e?2的间断点________ (9) x?0点是函数

(a) 振荡间断点 (b) 可去间断点 (c) 跳跃间断点 (d) 无穷间断点

1?e?x________ (10) 曲线

(a) 没有渐近线(b) 仅有水平渐近线

(c) 仅有铅直渐近线 (d) 既有水平渐近线又有铅直渐近线

3?x?exsinxlim()x?0x?2三、（6分）求极限

1

y?

1?e?x

2

2

四、（6分）已知f(0)存在，且x?0

x

lim

f(x)d3sinx

?(?dx?3x)3xdx0x，求f(0)

(1001)

y(x) ，求

五、（6分）

y(x)??[sintcost?(2t?1)1000?100t100]dt

33

x?acost,y?asint围成六、（6分）已知星形线

求a的面积s

10199

七、（6分）证明：方程x?x?1?0只有一个正根。

t

a,

t

八、（6分）已知y?y(x)是由参数表示式x=0

?arcsinudu,y??teudu

所确定的

函数，求t?0

lim

dydx

1?2

x?0?xsin

f(x)??x

?0x?0 ?九、（4分）设

证明f(x)在x?0处连续且可微，但f(x)在x?0处不连续。

2006级高等数学试题a-1

一、填空题（每小题4分，共20分）

arcsinkx?5x?0ln(1?)

6(1) 若，则k?（）.

3

ln(x?ax)?lnx与cosx?1是等价无穷小,则常数a?x?0(2) 设当时, （）. (3) ?

（）.

135999

limn(tan?tan?tan??tan)?n??nnnn(4) （）.

(x?sinx)3dx?

a

(5) 0

?

xa?x

2

2

dx?(),(a?0)

.

二、选择题（毎小题4分，共40分） (1) 下列广义积分收敛的是________.

?

1

?

?

(a)

?

1

1x

dx

(b)

x?0

?x

2x

dx

(c)

?

3

dx(d)2x

?x

1

4x

dx (2) 函

2?

xsin?x?

f(x)??2?x

?1??数

?1?x?0x??1

的连续区间为________. (a) (??,??) (b) (?1,??) (c) (??,0)?(0,??) (d) (??,?1)?(?1,??)

80?

(3)

?x?________

(a)80(c)240(d)320

(4) 下列函数中在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是.

(b)160

.

1

(a) lnx (b) lnx(c) lnlnx(d)ln(2?x)

h1

?h?0f(x?2h)?f(x)4，00(5) 设f(x)在点x0可导，且则f(x0)?.（a）4 （b）?4 （c）2 （d）-2

?x?2et?1?3y?ty?y(x)?(6) 设函数由参数方程确定，则

y(x)t?1?________.

3312

(a) 0(b) 4e (c) 4e (d) 2

22

(7) 设函数f(x)?(x?3x?2)(x?7x?12),则方程f(x)?0实根的个数为________.

(a) 2个 (b) 3个 (c)4个(d) 5个

(8) 已知椭圆x?2cost,y?3sint

vx?________.

(0?t?2?绕x轴旋转的体积为vx,则有

1

f(x)?1

2x?2的间断点________. (9) x?0点是函数

(a) 振荡间断点(b) 可去间断点

(c) 无穷间断点(d) 跳跃间断点

f(x)?

5?1

1x1x

5?1________. (10) 曲线

(a) 没有渐近线 (b) 仅有水平渐近线

(c) 仅有铅直渐近线(d) 既有水平渐近线又有铅直渐近线

三、（6分）求积分

.

f(x)dx2

lim?[?tln(t??t2)dt?5x]

dx?x四、（6分）已知f(0)存在，且x?03x，求f(0).

x

2

x(arctanx)dx?

五、（6分）

y(x)??[ln(1?t)?(2t2?1)100?2t1000]dt

，求 y

(1001)

(x).

六、（6分）求心脏线r?a(1?cos?)所围平面图形的面积(a?0).

322f(x)?x?ax?bx?c?0有唯一实根. a?3b?0七、（6分）证明：若,则方程

tt

八、（6分）已知y?y(x)是由参数

dylim

求t?0dx.

x??arctanudu,

y??teudu

所确定的函数，

0?x?1,?arctanx

?f(x)???sinpx?2

dx1?x???0

2 ?cospx?sinpx九、（4分）已知

?[0,]

(其中p?0),问p取何值时,f(x)在2连续。（请详细写明过程）.

07级高等数学（上）试题a

一、填空题（每小题4分，共20分）

6ln(1?)

?lim

(1) 极限x???arctanx（）。

?arcsinkx?,x?0f(x)?? x

?x?0在x?0处连续,则k?（）?2,(2) 设。 (3) ??a（）。

(4) 设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100), 则 f?(100)?（）。 (5) 广义积分

a

x2[f(x)?f(?x)?2]dx?

?

??e

1

dx?

x(lnx)2

（）。

二、选择题（毎小题4分，共40分）

?

(1) 设当x?0时,x?x与（）是等价无穷小。

2(a) x (b) x (c) x (d) x

0 (2) 设,则f?(x)?________。

(a) cosx(b) ?sinx (c) sinx (d) 0

f(x)??sin(x?t)dt

x

(3)?0

100?

?cos2xdx?________

。

x

(a) 100(b)2(c) 200(d)2

?(x)??f(t)dt

0(4) 设f(x)在[a,b]上可导，且f?(x)?0，若，则下列说法正

确的是。

(a) ?(x)在[a,b]上单调减少 (b) ?(x)在[a,b]上单调增加

【篇二：同济大学第六版高等数学上册课后答案全集】=txt>第一章

习题1?1

1? 设a?(??? ?5)?(5? ??)? b?[?10? 3)? 写出a?b? a?b? a\b及a\(a\b)的表达式?

解 a?b?(??? 3)?(5? ??)?

a?b?[?10? ?5)?

a\b?(??? ?10)?(5? ??)?

a\(a\b)?[?10? ?5)?

2? 设a、b是任意两个集合? 证明对偶律? (a?b)c?ac ?bc ?

证明因为

x?(a?b)c?x?a?b? x?a或x?b? x?ac或x?bc ? x?ac ?bc? 所以(a?b)c?ac ?bc ?

3? 设映射f ? x ?y? a?x? b?x ? 证明

(1)f(a?b)?f(a)?f(b)?

(2)f(a?b)?f(a)?f(b)?

证明因为

y?f(a?b)??x?a?b? 使f(x)?y

?(因为x?a或x?b) y?f(a)或y?f(b)

? y?f(a)?f(b)?

所以 f(a?b)?f(a)?f(b)?

(2)因为

y?f(a?b)??x?a?b? 使f(x)?y?(因为x?a且x?b) y?f(a)且y?f(b)? y? f(a)?f(b)?

所以 f(a?b)?f(a)?f(b)?

4? 设映射f ? x?y? 若存在一个映射g? y?x? 使g?f?ix? f?g?iy?

其中ix、iy分别是x、y上的恒等映射? 即对于每一个x?x? 有ix x?x? 对于每一个y?y? 有iy y?y? 证明? f是双射? 且g是f的逆映射? g?f ?1?

证明因为对于任意的y?y? 有x?g(y)?x? 且f(x)?f[g(y)]?iy y?y?

即y中任意元

素都是x中某元素的像? 所以f为x到y的满射?

又因为对于任意的x1?x2? 必有f(x1)?f(x2)? 否则若

f(x1)?f(x2)?g[ f(x1)]?g[f(x2)] ? x1?x2?

因此f既是单射? 又是满射? 即f是双射?

对于映射g? y?x? 因为对每个y?y? 有g(y)?x?x? 且满足

f(x)?f[g(y)]?iy y?y? 按逆映射的定义? g是f的逆映射?

5? 设映射f ? x?y? a?x ? 证明?

(1)f ?1(f(a))?a?

(2)当f是单射时? 有f ?1(f(a))?a ?

证明 (1)因为x?a ? f(x)?y?f(a) ? f ?1(y)?x?f ?1(f(a))?

所以 f ?1(f(a))?a?

(2)由(1)知f ?1(f(a))?a?

另一方面? 对于任意的x?f ?1(f(a))?存在y?f(a)? 使

f ?1(y)?x?f(x)?y ? 因为y?f(a)且f是单射? 所以x?a? 这就证明了

f ?1(f(a))?a? 因此f ?1(f(a))?a ?6? 求下列函数的自然定义域?

(1)y??

解由3x?2?0得x??2? 函数的定义域为[?2, ??)? 33

(2)y?1

? 1?x

解由1?x2?0得x??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)?

(3)y?1??x2? x

解由x?0且1?x2?0得函数的定义域d?[?1? 0)?(0? 1]?

(4)y?1? 24?x

解由4?x2?0得 |x|?2? 函数的定义域为(?2? 2)?

(5)y?sin?

解由x?0得函数的定义d?[0? ??)?

(6) y?tan(x?1)?

解由x?1??(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为x?k????1 (k?0? ?1? ?2? ? ? 22

?)?

(7) y?arcsin(x?3)?

解由|x?3|?1得函数的定义域d?[2? 4]?

(8)y??x?1? x

解由3?x?0且x?0得函数的定义域d?(??? 0)?(0? 3)?

(9) y?ln(x?1)?

解由x?1?0得函数的定义域d?(?1? ??)?

(10)1y?e?

解由x?0得函数的定义域d?(??? 0)?(0? ??)?

7? 下列各题中? 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？

(1)f(x)?lg x2? g(x)?2lg x?

(2) f(x)?x? g(x)?x2?

(3)f(x)?x4?x3?g(x)?x?1?

(4)f(x)?1? g(x)?sec2x?tan2x ?

解 (1)不同? 因为定义域不同?

(2)不同? 因为对应法则不同? x?0时? g(x)??x?

(3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同?

(4)不同? 因为定义域不同?

?|sinx| |x|???3? 求?(?)? ?(?)? ?(??)? ?(?2)? 并作出函数y??(x) 8? 设?(x)??464 |x|???0 3?

的图形?

解 ?(??|sin?|?1? ?(??|sin?|?? ?(??)?|sin(??)|?? ?(?2)?0? 442442662

9? 试证下列函数在指定区间内的单调性?

(1)y?x? (??? 1)? 1?x

(2)y?x?ln x? (0? ??)?

证明 (1)对于任意的x1? x2?(??? 1)? 有1?x1?0? 1?x2?0? 因为当x1?x2时?

y1?y2?xxx?x???0? 1?x11?x2(1?x1)(1?x2)

所以函数y?x在区间(??? 1)内是单调增加的? 1?x

(2)对于任意的x1? x2?(0? ??)? 当x1?x2时? 有

x y1?y2?(x1?lnx1)?(x2?lnx2)?(x1?x2)?l?0? x2

所以函数y?x?ln x在区间(0? ??)内是单调增加的?

10? 设 f(x)为定义在(?l? l)内的奇函数? 若f(x)在(0? l)内单调增加? 证明f(x)在(?l? 0)内也单调增加?

证明对于?x1? x2?(?l? 0)且x1?x2? 有?x1? ?x2?(0? l)

且?x1??x2?

因为f(x)在(0? l)内单调增加且为奇函数? 所以

f(?x2)?f(?x1)? ?f(x2)??f(x1)? f(x2)?f(x1)?

这就证明了对于?x1? x2?(?l? 0)? 有f(x1)? f(x2)? 所以f(x)在(?l?

0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l? l)上的? 证明?

(1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?

(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函

数与奇函数的乘积是奇函数?

证明 (1)设f(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则

f(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?f(x)?

所以f(x)为偶函数? 即两个偶函数的和是偶函数?

如果f(x)和g(x)都是奇函数? 则

f(?x)?f(?x)?g(?x)??f(x)?g(x)??f(x)?

所以f(x)为奇函数? 即两个奇函数的和是奇函数?

(2)设f(x)?f(x)?g(x)? 如果f(x)和g(x)都是偶函数? 则

f(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)?g(x)?f(x)?

所以f(x)为偶函数? 即两个偶函数的积是偶函数?

如果f(x)和g(x)都是奇函数? 则

f(?x)?f(?x)?g(?x)?[?f(x)][?g(x)]?f(x)?g(x)?f(x)?

所以f(x)为偶函数? 即两个奇函数的积是偶函数?

如果f(x)是偶函数? 而g(x)是奇函数? 则

f(?x)?f(?x)?g(?x)?f(x)[?g(x)]??f(x)?g(x)??f(x)?

所以f(x)为奇函数? 即偶函数与奇函数的积是奇函数?

12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又

非偶函数？

(1)y?x2(1?x2)?

(2)y?3x2?x3?

2 (3)y?1?x

? 1?x

(4)y?x(x?1)(x?1)?

(5)y?sin x?cos x?1?

x?x (6)y?a?a? 2

解 (1)因为f(?x)?(?x)2[1?(?x)2]?x2(1?x2)?f(x)? 所以f(x)是偶函数?

(2)由f(?x)?3(?x)2?(?x)3?3x2?x3可见f(x)既非奇函数又非偶函数? 1?(?x)21?x2??f(x)? 所以f(x)是偶函数?(3)因为f(?x)?221?x1??x (4)因为f(?x)?(?x)(?x?1)(?x?1)??x(x?1)(x?1)??f(x)? 所以f(x)是

奇函数?

(5)由f(?x)?sin(?x)?cos(?x)?1??sin x?cos x?1可见f(x)既非奇函数又非偶函数?

(?x)?(?x)?xxa?aa?a??f(x)? 所以f(x)是偶函数?(6)因为f(?x)?22

13? 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数? 指出其周期?

(1)y?cos(x?2)?

解是周期函数? 周期为l?2??

(2)y?cos 4x?

解是周期函数? 周期为l??? 2

(3)y?1?sin ?x?

解是周期函数? 周期为l?2?

(4)y?xcos x?

解不是周期函数?

(5)y?sin2x?

解是周期函数? 周期为l???

14? 求下列函数的反函数?

(1)y?x?1错误！未指定书签。错误！未指定书签。?

【篇三：大一第一学期期末高等数学(上)试题及答案】xt>一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计80分)

1、(本小题5分)

2、(本小题5分) x3?12x?16求极限lim3x?22x?9x2?12x?4

xdx.22(1?x)

1

x 求?3、(本小题5分) x??求极限limarctanx?arcsin

4、(本小题5分)

求?

5、(本小题5分) xdx.1?x

d求dx?x2

0?t2dt． 6、(本小题5分)

7、(本小题5分) 求?cot6x?csc4xdx.

求2

?1

?

8、(本小题5分) 11cosdx．xx2

9、(本小题5分)

3

0t2?dy?x?ecost设?确定了函数y?y(x),求．2tdx??y?esint

求?x?xdx．

10、(本小题5分)

11、(本小题5分) 求函数y?4?2x?x2的单调区间

?

2

0求?

12、(本小题5分)

13、(本小题5分) sinxdx．28?sinx 设

x(t)?e?kt(3cos?t?4sin?t)，求dx．

设函数y?y(x)由方程y2?lny2?x6所确定,求dy．dx 14、(本小题5分)

15、(本小题5分) 求函数y?2ex?e?x的极值

16、(本小题5分) (x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2???(10x?1)2求极限limx??(10x?1)(11x?1)

求?

cos2xdx.1?sinxcosx

二、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分)

1、(本小题7分)

2、(本小题7分) 某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.

x2x3

求由曲线y?和y?所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28 三、解答下列各题

( 本大题6分 )

设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3),证明f?(x)?0有且仅有三个实根.

一学期期末高数考试(答案)

一、解答下列各题

(本大题共16小题，总计77分)

1、(本小题3分)

2、(本小题3分) 3x2?12解:原式?lim2x?26x?18x?12

6x?limx?212x?18 ?2

3、(本小题3分) x?(1?x2)2dx 21d(1?x)?2?(1?x2)2

11???c.21?x2

因为arctanx??2而limarcsinx??1?0x

故limarctanx?arcsinx??

4、(本小题3分) 1?0x

5、(本小题3分)

6、(本小题4分)

x?1?xdx 1?x?1???dx1?x dx???dx??1?x ??x?ln1?x?c. 原式?2x?x4

?cotx?cscxdx

???cotx(1?cotx)d(cotx) 6264

7、(本小题4分) 11??cot7x?cot9x?c.79

11原式??1cosd()xx ??2

??1 8、(本小题4分) 1??six2??1

9、(本小题4分)

2dye2t(2sint?cost)解：?tdxe(cost2?2tsint2)

et(2sint?cost)?(cost2?2tsint2) 令?x?u 原

式?2?(u4?u2)du1

10、(本小题5分) u5u32?2(?)153 116?15

11、(本小题5分)

?函数定义域(??,??) y??2?2x?2(1?x)当x?1，y??0 ???,1?当x?1，y??0函数单调增区间为?1,??? 当x?1，y??0函数的单调减区间为

原式???2

0dcosx9?cos2x

?

12、(本小题6分) 13?cosx2??ln63?cosx0 1?ln2 6

dx?x?(t)dt

13、(本小题6分) ?e?kt?(4??3k)cos?t?(4k?3?)sin?t?dt

2y??6x5

y 2yy??

14、(本小题6分)

3yx5y??2y?1

15、(本小题8分) 定义域(??，??),且连续 1y??2e?x(e2x?)2 11驻点：x?ln22 由于y???2ex?e?x?0 11故函数有极小值,,y(ln)?2222 16、(本小题10分) 1111(1?)2?(2?)2?(3?)2???(10?)2原

式?limx??11(10?)(11?)xx 10?11?21?6?10?117? 2

cos2xcos2xdx??1?sinxcosx1?sin2x2

d(sin2x?1)??1?sin2x2

1?ln1?sin2x?c2 解:?二、解答下列各题

(本大题共2小题，总计13分)

1、(本小题5分)

设晒谷场宽为x,则长为

l?2x?512米,新砌石条围沿的总长为x

2、(本小题8分) 512(x?0)x 512l??2?2唯一驻点

x?16x 1024l???3?0即x?16为极小值点x 512故晒谷场宽为16米,长为?32米时,可使新砌石条围沿16所用材料最省

x2x3

解:?,8x2?2x3x1?0,x1?4.28

244?x4xx3

2?x6

2vx????()?()?dx???(?)dx008?464 ?2

1111??(?x5??x7)456470

4

三、解答下列各题

( 本大题10分 ) ??44(11512?)??5735

证明:f(x)在(??,??)连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.

又f(0)?f(1)?f(2)?f(3)?0

则分别在[01,],[12,],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在

?1?(01,),?2?(12,),?3?(2,3)使f?(?1)?f?(?2)?f?(?3)?0

,它至多有三个实根, 即f?(x)?0至少有三个实根,又f?(x)?0,是三次方程

由上述f?(x)有且仅有三个实根

高等数学（上）试题及答案

一、填空题（每小题3分，本题共15分）

2

x1、lim(1?3x)x?0?______.。

x?x?0?e2、当kf(x)??2在x?0处连续． ??x?kx?0

3、设y?x?lnx,则dx?______ dy

4、曲线y?ex?x在点（0，1）处的切线方程是

5、若?f(x)dx?sin2x?c，c为常数，则f(x)?

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

1、若函数f(x)?x

x，则limf(x)?（） x?0

a、0

b、?1

c、1

d、不存在

2、下列变量中，是无穷小量的为（） a. ln1x?2(x?0?) b. lnx(x?1)

c. cosx (x?2) (x?0)

d. 2xx?4

3、满足方程f?(x)?0的x是函数y?f(x)的（）．

a．极大值点 b．极小值点 c．驻点d．间断点

4、下列无穷积分收敛的是（）