《线性代数》知识点 归纳整理

《线性代数》知识点归纳整理诚毅

学生编

01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 -

02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 -

03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 -

04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 -

05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -

06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 -

07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 -

08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 -

09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 -

10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 -

11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 -

12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 -

13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 -

14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -

15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 -

16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -

17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 -

18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -

19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 -

20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 -

21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 -

22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 -

23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -

24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 -

25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 -

26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 -

27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -

28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 -

29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 -

30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 -

31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 -

32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 -

33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -

01、余子式与代数余子式

（1）设三阶行列式D ＝33

323123222113

1211a a a a a a a a a ，则

①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝

33

322322a a a a ，M 12＝

33

312321a a a a ，M 13＝

32

312221a a a a

对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33

322322a a a a ，这个

行列式即元素11a 的余子式M 11。其他元素的余子式以此类推。

②元素11a ，12a ，13a 的代数余子式分别为：A 11＝(－1)1＋1M 11 ，A 12＝(－1)1＋2M 12 ， A 13＝(－1)1＋3M 13 . 对A ij 的解释（i 表示第i 行，j 表示第j 列）：A ij ＝(－1)i ＋j M ij . （N 阶行列式以此类推）

（2）填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。比如说，作业P1第1题：

M 31＝

3

040，A 31＝(-1)3+1

3

040

（3）例题：课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题

02、主对角线

一个n 阶方阵的主对角线，是所有第k 行第k 列元素的全体，k =1, 2, 3… n ，即从左上到右下 的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。

03、转置行列式

即元素j i a 与元素ji a 的位置对调（i 表示第i 行，j 表示第j 列），比如说，12a 与21a 的位置对调、35a 与53a 的位置对调。

04、行列式的性质

详见课本P5-8（性质1.1.1~ 1.1.7） 其中，性质1.1.7可以归纳为这个：

11k i A a ＋22k i A a ＋ … ＋kn in A a ???≠k

i k i A ，，

＝，＝0 （i 表示第i 行，k 表示第k 列）

熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。 例题：作业P1第2题

05、计算行列式

（1）计算二阶行列式

22211211a a a a ：

①方法（首选）：

22

211211a a a a ＝21122211a a a a －（即，左上角×右下角－右上角×左下角）

②方法：22

211211a a a a ＝12121111A a A a ＋＝21122211a a a a －

例题：课本P14

（2）计算三阶行列式33

323123222113

1211a a a a a a a a a ：

33

323123222113

1211a a a a a a a a a ＝131312121111A a A a A a ＋＋＝11a (－1)1＋1M 11 ＋12a (－1)1＋2M 12 ＋13a (－1)1＋3M 13 N 阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0元素较多时方便计算.（r 是row ，即行。c 是column ，即列）

例题：课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题

（3）n 阶上三角行列式（0元素全在左下角）与n 阶下三角行列式（0元素全在右上角）：

D ＝2211a a …nn a （主对角线上元素的乘积） 例题：课本P10、作业P3第4小题

有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式 例题：课本P11

（4）范德蒙行列式：详见课本P12-13

（5）有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到

元素全为1的一行，方便化简行列式。 例题：作业P2第1小题、作业P2第2小题

06、矩阵中未写出的元素

课本P48下面有注明，矩阵中未写出的元素都为0

07、几类特殊的方阵

详见课本P30-32

（1）上（下）三角矩阵：类似上（下）三角行列式 （2）对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其他元素都为0 （3）数量矩阵：主对角线上的元素都相同 （4）零矩阵：所有元素都为0，记作O

（5）单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，记作E 或E n （其行列式的值为1）

08、矩阵的运算规则

（1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A 的行数与矩阵B 的行数相同；

矩阵A 的列数与矩阵B 的列数也相同）： ①课本P32“A ＋B ”、“A －B ” ②加法交换律：A ＋B ＝B ＋A

③加法结合律：A ＋（B ＋C ）＝（A ＋B ）＋C （2）矩阵的乘法（基本规则详见课本P34阴影）：

①数与矩阵的乘法： I.课本P33“kA ”

II.kA ＝k n A （因为k A 只等于用数k 乘以矩阵A 的一行或一列后得到的矩阵的行列式） ②同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：

???? ??22211211a a a a ×???? ??22211211b b b b ＝???

?

??++++22221221212211212212121121121111b a b a b a b a b a b a b a b a 描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为???

? ??D C B A ，则

A 的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A ＝11a ×11b ＋12a ×21b

B 的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即B ＝11a ×12b ＋12a ×22b

C 的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即C ＝21a ×11b ＋22a ×21b

D 的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即D ＝21a ×12b ＋22a ×22b .

????? ??333231232221131211a a a a a a a a a ×????? ??333231232221131211b b b b b b b b b ＝????? ??++++++++++++++++++333323321331323322321231313321321131332323221321322322221221312321221121331323121311321322121211311321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为???

?

?

?

?I H

G F E D

C B A

，则 A 的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A ＝11a ×11b ＋12a ×21b ＋13a ×31b

B 、

C 、

D 、

E 、

F 、

G 、

H 、

I 的值的求法与A 类似。

③数乘结合律：k （lA ）＝（kl ）A ，（kA ）B ＝A （kB ）＝k （AB ） ④数乘分配律：（k ＋l ）A ＝kA ＋lA ，k （A ＋B ）＝kA ＋kB ⑤乘法结合律：（AB ）C ＝A （BC ）

⑥乘法分配律：A （B ＋C ）＝AB ＋AC ，（A ＋B ）C ＝AC ＋BC ⑦需注意的：

I.课本P34例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵 II.课本P34例题数乘的消去律、交换律不成立

III.一般来讲，（AB ）k ≠ A k B k ，因为矩阵乘法不满足交换律

IV .课本P40习题第2题：（A ＋B ）2不一定等于A 2＋2AB ＋B 2 ，（A ＋B ）2不一定等于A 2＋2AB ＋B 2，（A ＋B ）（A －B ）不一定等于A 2－B 2 . 当AB ＝BA 时，以上三个等式均成立 （3）矩阵的转置运算规律：

① (A T )T ＝A ② (A ±B )T ＝A T ±B T ③ (kA )T ＝kA T ④ (AB )T ＝B T A T

⑤(ABC)T＝C T B T A T

⑥(ABCD)T＝D T C T B T A T

（4）同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：（详见课本P46）AB＝A B

（5）例题：课本P35、课本P36-37、课本P40第4大题、课本P40第5大题、课本P51第1 大题、课本P51第4大题、课本P60第4大题、作业P5全部、作业P5第3大题、作业P5第4大题

09、矩阵多项式

详见课本P 36

10、对称矩阵

（1）对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（详见课本P37）

（2）①同阶对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵

②数与对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵

③对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵

11、矩阵的分块

线代老师说这部分的内容做了解即可。

详见课本P38-40

12、矩阵的初等变换

三种行变换与三种列变换：详见课本P 42

例题：作业P6全部

13、矩阵等价

若矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为A B

14、初等矩阵

（1）是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。详见课本P48-49

（2）设A为m×n矩阵，则对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的m阶初等矩阵；A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵.

详见课本P50-51

（3）课本P51第3大题

15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵

（1）对任意一个非零矩阵，都可以通过若干次初等行变换（或对换列）化为行阶梯型矩阵（2）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：

若在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行（台阶数即是非零行的行数），阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元素，也就是非零行的第一个非零元素，则称该矩阵为行阶梯矩阵。在此基础上，若非零行的第一个非零元素为都为1，且这些非零元素所在的列的其他元素都为0，则称该矩阵为行最简形矩阵。例题：课本P45、作业P6全部、课本P51第2大题

16、逆矩阵

（1）设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB＝BA＝E，则称方阵A是可逆的，并称B为A的逆矩阵.（由逆矩阵的定义可知，非方阵的矩阵不存在逆矩阵）（2）如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的，并将A的逆矩阵记作A－1，AA－1＝E

（3）n阶方阵A可逆的充要条件为A≠0，并且，当A

（证明详见课本P54）

例题：课本P59第1大题

（4）可逆矩阵也称为非奇异方阵（否则称为奇异方阵）

（5）性质：设A，B都是n阶的可逆方阵，常数k≠0，那么

①(A－1)－1＝A②A T也可逆，并且(A T )-1＝(A-1)T

③kA也可逆，并且④AB也可逆，并且(AB) -1＝B-1A-1

⑤A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)-1≠A-1＋B-1

⑥ AA -1＝E

AA -1＝E ＝1

A

A -1＝1

例题：课本P58例2.3.7、作业P7第1题 （6）分块对角矩阵的可逆性：课本P57 （7）由方阵等式求逆矩阵：课本P58例2.3.6

（8）单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的（初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到

的，即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵，而单位矩阵的行列式=1≠0可逆，所 以初等矩阵可逆）

（9）初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵

（10）任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵

（11）方阵A 可逆的充要条件是：A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积（证明：课本P67）

（12）利用初等行变换求逆矩阵：[][||E E A ???→?初等行变换

A -1]（例题：课本P68、课本P71）

（13）形如AX ＝B 的矩阵方程，当方阵A 可逆时，有A -1 AX ＝A -1B ，即X ＝A -1B .

此时有：[][]X E B A ||???→?初等行变换

矩阵方程的例题：课本P35、课本P69、课本P41第6大题、课本P56、课本P58、 课本P59第3大题、课本P60第5大题、课本P60第7大题、课本P71第3大题 矩阵方程计算中易犯的错误：课本P56“注意不能写成……”

17、充分性与必要性的证明题

（1）必要性：由结论推出条件 （2）充分性：由条件推出结论

例题：课本P41第8大题、作业P5第5大题

18、伴随矩阵

（1）定义：课本P52 定义2.3.2

（2）设A 为n 阶方阵（n ≥2），则AA *＝A *A ＝A E n （证明详见课本P53-54） （3）性质：（注意伴随矩阵是方阵）

①

② (kA )* ＝ kA ·(kA )-1 ＝ k n A ·k 1A -1 ＝ k n k

1

·A A -1 ＝ k n -1A *（k ≠0）

③ |A *| ＝ | A A －1 | ＝A n ·| A －1| ＝ A n ·

A

1（因为存在A －1

，所以A ≠0 ）＝ A n -1

④ (A *)* ＝ (A A －1)* ＝ | A A －1 |·(A A －1)－1 ＝ A n | A －1|·

A

1(A －1)－1

＝ A

n

A 1·A

1A ＝ A n -2

A （因为AA －1 ＝ E ，所以A －1的逆矩阵是A ，即(A －1)－1 ）

⑤ (AB ) *＝B *A *

⑥

（4）例题：课本P53、课本P55 、课本P58、课本P60第6大题、作业P7第2题、

作业P8全部

19、矩阵的标准形：

（1）定义：课本P61-62

（2）任何一个非零矩阵都可以通过若干次初等变换化成标准形

20、矩阵的秩：

（1）定义：课本P63

（2）性质：设A 是m ×n 的矩阵，B 是p ×q 的矩阵，则

① 若k 是非零数，则R (kA )＝R (A ) ② R (A )＝R (A T )

③ 等价矩阵有相同的秩，即若A ?B ，则R (A )＝R (B ) ④ 0≤R (A m ×n )≤min {}n m , ⑤ R (AB )≤min {} )( ,)(B R A R

⑥ 设A 与B 都是m ×n 矩阵，则R (A ＋B)≤R (A )＋R (B ) （3）n 阶方阵A 可逆的充要条件是：A 的秩等于其阶数，即R (A )＝n

（4）方阵A 可逆的充要条件是：A 可以表示为若干个初等矩阵的乘积。（证明：P67） （5） 设A 是m ×n 矩阵，P 、Q 分别是m 阶与n 阶可逆方阵，则R (A )＝R (P A )＝R (AQ )＝R (P AQ ) （6）例题：课本P64、课本P66、课本P71、作业P7第3题、作业P9全部

21、矩阵的秩的一些定理、推论

线代老师说这部分的内容做了解即可。详见课本P70

22、线性方程组概念

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。 线性方程组经过初等变换后不改变方程组的解。

23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）

（1）定义：课本P81

（2）方程组的解集、方程组的通解、同解方程组：课本P81 （3）系数矩阵A 、增广矩阵 A 、矩阵式方程：课本P82 （4）矛盾方程组（方程组无解）：课本P85例题 （5）增广矩阵的最简阶梯形：课本P87 （6）系数矩阵的最简阶梯形：课本P87

（7）课本P87下面有注明：交换列只是交换两个未知量的位置，不改变方程组的解。为了方

便叙述，在解方程组时不用交换列。 （8）克莱姆法则：

①初步认知：

已知三元线性方程组??

?

??3

33323213123232221211

313212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ＝＋＋＝＋＋＝＋＋，其系数行列式D ＝33

3231232221131211a a a a a a a a a .

当D ≠0时，其解为：x 1＝

D D 1，x 2＝D D 2，x 3＝D

D 3

. （其中D 1＝333232322213

121a a b a a b a a b ，D 2＝333312322113

111a b a a b a a b a ，D 3＝3

3231222211

1211b a a b a a b a a ）（D n 以此类推）

②定义：课本P15

③使用的两个前提条件：课本P18

④例题：课本P3、课本P16-17、课本P18、作业P3第7题

（9）解非齐次线性方程组（方程组施行初等变换实际上就是对增广矩阵施行初等行变换）例题：

课本P26、课本P42、课本P82、课本P84、课本P85、课本P86第1大题、课本P88、 课本P91、作业P10第1题

（10）解齐次线性方程组例题：课本P17、课本P18、课本P85、课本P86、课本P90、课本

P91、作业P1第5题、作业P10第2题

（11）n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况：（R (A) 不可能＞R (A)）

R (A) ＜R (A) 无解

＜n 有无穷多个解

R (A) ＝R (A) 有解

＝n 有唯一解

有唯一解

特别地，当A是A≠0

由行列式来判断R (A) ＝R (A)

有解当A＝0 有无穷多个解

例题：课本P86第2大题、课本P88、课本P92、作业P11第三题（12）n元齐次线性方程组AX＝O的解的情况：（只有零解和非零解两种情况，有唯一解的充要条件是只有零解，有无穷多个解的充要条件是有非零解）

R (A) ＝n只有零解（有唯一解，为0）

有非零解（有无穷多个解）

R (A) ＜n

特别地，当A是n阶方阵A≠0

例题：课本P24、课本P90-91、作业P11全部

24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念

详见课本P92-93

将列向量组的分量排成矩阵计算时，计算过程中只做行变换，不做列变换。

初等行变换与初等行列变换的使用情况：矩阵、线性方程组、向量涉及行变换；列变换只在矩阵中用。（行列式的性质包括行与列的变换）

手写零向量时不必加箭头。

25、线性方程组的向量形式

详见课本P93

26、线性相关与线性无关的概念

详见课本P93-94

例题：课本P101第6大题、作业P14第五大题

27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关

线代老师课上提到的结论。

28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题

详见课本P94 定理3.3.1、定理3.3.2

例题：课本P94-95 例3.3.2、课本P101第3大题、课22本P101第5大题、作业P12第3小题、

作业P12第二大题、作业P13第三大题、作业P13第四大题

29、线性表示与线性组合的概念

详见课本P95

30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题

详见课本P95-96 定理3.3.3

例题：课本P95-96 例3.3.4

31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理

详见课本P96 定理3.3.4、课本P97定理3.3.5、课本P98定理3.3.6

32、最大线性无关组与向量组的秩

详见课本P98-100 定义3.3.5、定义3.3.6、定3.3.7

单位列向量，即“只有一个元素为1，且其余元素都为0”的一列向量（求最大线性无关组用）例题：课本P100 例3.3.5、课本P101第4大题、作业P14第六大题

33、线性方程组解的结构

看此内容之前，最好先复习下“n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况”与“n元齐次线性

方程组AX ＝O 的解的情况”。

（1）n 元齐次线性方程组AX ＝O 解的结构

① 定理3.4.1：详见课本P101-102

② 定义3.4.1（并理解“基础解系、通解、结构式通解、向量式通解”）：详见课本P102 ③ 定理3.4.2：详见课本P102

④ 解题步骤（“注”为补充说明）（以课本P104例3.4.1为例）：

（I ）A ＝ ??…?????

?

?

?→??

… ?→??

??

0000000031107

2

1-- 0014-??

?

?

?

?

?

注：往“行最简形矩阵”方向转化（因为在解方程组时不用列变换，所以一般没法

真正转化成行最简形矩阵，所以说“往……方向转化”）。

（II ）得到同解方程组???-++--5 4325

4 3x x x x x x x x 34721＝＝

注：由?

??+----+030

4721 x x x x x x x x 5 43254 3＝＝得到同解方程组

（III ）∴ 此方程组的一组解向量为：1ξ＝ ?

?001

1

2

-????????，2ξ＝ ?

?01037-????????，3ξ＝ ?

?10014

-???????

?

注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1有的是0，一看便知

?????

????-++--5

54

43

35 4 32543x x x x x x x x x x x x x x ＝＝＝＝＝34721 （IV ）显然1ξ，2ξ，3ξ线性无关。

注：根据课本P93-94 定义3.3.3 得出线性无关，注意1ξ，2ξ，3ξ下面分别是：

001

、 010

、 1

00

，令它们分别为 1α、2α、3α，则显然1α＝0×2α＋0×3α，

2α＝0×1α＋0×3α，3α＝0×1α＋0×2α，可想而知，线性无关。

（V ）∴ 1ξ，2ξ，3ξ为方程组的基础解系，方程组的通解为：k 11ξ＋k 22ξ＋k 33ξ（k 1，

k 2，k 3可取任意值）

注：根据课本P102 定义3.4.1 得出该方程组的通解。

⑤ 其他例题：课本P109 第1大题、课本P109第3大题、课本P109第4大题、作业

P15第一大题第1小题、作业P15第一大题第3小题

（2）n 元非齐次线性方程组AX ＝b 解的结构

① 导出方程组：非齐次线性方程组AX ＝b 对应的齐次线性方程组AX ＝O （详见课本P105） ② 定理3.4.3：详见课本P105 ③ 定义3.4.4：详见课本P105 ④ 定义3.4.5：详见课本P105

⑤ 课本P105 “上述定理表明，……（3.4.6）的形式”这段内容

⑥ 解题步骤（“注”为补充说明，做题时不用写在卷上）（以课本P106例3.4.2为例）：

（I ） A ＝

?

?

……

…?????

?

??→??

… ?→??

??0

010000

2100101-

0683

-????

??

? （II ）得到同解方程组??

?

??+-- 43

2

3 x x x x x 62831＝＝＝

注：由

??

?

??--+68231 x x x x x 432 3＝＝＝ 得到同解方程组 （III ）令3x ＝0，得到原方程组的特解X 0＝

?

?608

3-??????

? 注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1有的是0，一看便知。

得到原方程组的特解即以下形式的常数部分。

??????

?+-- 43332 3 x x x x x x x 6

2831＝＝＝＝ （IV ）导出方程组的同解方程为：??

?

??- 432

3 x

x x x x 021＝＝＝

注：导出方程组，即非齐次线性方程组AX ＝b 对应的齐次线性方程组AX ＝O ，

即步骤（III ）“注”的“形式”的系数部分。

（V ）令3x ＝1，得到方程组的基础解系ξ＝

?

?012

1

-????

??

?，则原方程组的通解为： X 0 ＋ k ξ（k 可取任意值）

⑦ 其他例题：

（I ）课本P107 例3.4.3（之前先复习“n 元非齐次线性方程组AX ＝b 的解的情况”）

要将含有参数的式子作为分母时，得注意该式子是否≠0

（II ）课本P109 第2大题、作业P15第一大题第4小题、作业P15第二大题、

作业P16第三大题、作业P15第一大题第2小题、作业P15第一大题第3小题

陈情表文言知识整理

《陈情表》文言知识整理 一、通假字 夙遭闵凶（通“悯”，闵凶，忧伤的事） 零丁孤苦（通“伶仃”孤独的样子） 常在床蓐（通“褥”草席） 四十有四（通“又”） 二、词类活用 1.是以区区不能废远形容词作动词，远离 2.臣具以表闻谨拜表以闻动词的使动用法，使．．．．．．知道 3.且臣少仕伪朝名词作动词，做官 4.臣欲奉诏奔驰，则刘病日笃名词作状语，一天天地 5.夙遭闵凶形容词作名词，忧患不幸的事 6.臣之进退动词作名词，进退两难的境地 7.举臣秀才名词作动词，做秀才，为秀才 8.举臣孝廉名词作动词，做孝廉，为孝廉 9.猥以微贱形容词作名词，卑微低贱的身份 10.沐浴清化形容词作名词，清明的政治教化 11.臣不胜犬马怖惧之情名词作状语，像犬马一样 12.凡在故老形容词作名词，年老之人故老，旧臣 13.无以终余年动词的使动用法，使……度过 14.保卒余年使动用法，使……保全 15.臣侍汤药名词作动词，喝水吃药 16.臣少多疾病名词作动词，生病 17.历职郞署名词作动词，任职 18．非臣陨首所能上报名词作状语，向上 19.诏书特下方位名词作动词，下诏 20.催臣上道方位名词作动词，上路 21.外无期功强近之亲名词用作状语，在外 内无应门五尺之童名词用作状语，在内 三、古今异义 古义今义 九岁不行不能走路不可以 至于成立成人自立（组织，机构）正式建立非臣陨首所能上报报答向上级报告或刊登在报纸上欲苟顺私情，则告诉不许申诉，诉说说给别人听，让人知道

臣之辛苦辛酸苦楚身心劳苦 臣欲奉诏奔驰极速上路，奔走效力迅速地跑 拜臣郎中尚书部的属官中医医生 是以区区不能废远拳拳，形容自己的私情数量少，微不足道 臣之进退，实为狼狈形容进退两难形容困苦或受窘的样子 四、特殊句式 1、判断句 非臣陨首所能上报 今臣亡国贱俘 2、被动句 而刘夙婴疾病 则告诉不许 3、介词结构后置（状语后置） 急于星火 是臣尽节于陛下之日长 且臣少仕伪朝 4．宾语前置 是以区区不能废远 慈父见背 五、一词多义 以 臣以险衅连词，因为 猥以微贱介词，凭借 臣具以表闻介词，用 谨拜表以闻连词，表目的 伏惟圣朝以孝治天下介词，用 臣以供养无主连词，因为 但以刘日薄西山因为 于 急于星火介词，比 是以臣尽节于陛下之日长介词，向 之 外无期功强近之亲助词，的

《过秦论》知识点整理

《过秦论》要点一．通假字 倔．起阡陌之中通“崛”：突然兴起非抗．于九国之师也通“亢”：强 孝公既没．/始皇既没．通“殁”：死 合从．缔交通“纵”：纵向联盟赢粮而景．从通“影”：影子 百有．余年通“又” 陈利兵而谁何．通“呵”：盘问 约从离衡．通“横”：横向联盟 三．古今异义 国家古：国：诸侯国今：一个国家的整个区域 爱人古：爱护别人，体贴别人今：指丈夫或妻子，或指恋爱中的一方铸以为金．人十二古：把……作为今：认为 山东古：崤山以东的地区今：指山东省 西河．之外古：黄河今：一般河流 流血漂橹．古：盾牌今：使船前行的工具 因河．为池古：护城河今：池塘 赢．粮而景从古：担负今：获胜、胜利 以致 ．．天下之士古：用来招纳今：连词 铸以为金．人十二古：铜人今：黄金 三.词类活用 1.名词的活用 （1）名词作状语 席卷 ．．、包举 ．．、囊括 ．．像席子一样、像包裹一样、像布袋一样 天下云．集响．应像云一样、像声音一样 赢粮而景．从像影子一样 南．取汉中，西．举巴、蜀向南、向西 东．割膏腴之地，北．收要害之郡向东、向北 南．取百越之地向南 乃使蒙恬北．筑长城而守藩篱向北 内．立法度……外．连衡而斗诸侯内．：对内外．：对外 （2）名词作动词 然陈涉瓮．牖绳．枢之子作窗户、做门轴 子孙帝王 ．．万世之业也称帝、称王 外连衡 ．．而斗诸侯采取连横的策略 履．至尊而制六合登上 将．数百之众率领 序．八州而朝同列使……按次序排列 会盟．而谋弱秦结盟

2.动词的活用 （1）动词作名词 追亡．逐北．逃走的军队（2）动词使动 外连横而斗．诸侯使……相斗流血漂．橹使……漂浮吞二周而亡．诸侯使……灭亡序八州而朝．同列使……朝拜却．匈奴七百余里使……退却约从离．衡使……离散 3.形容词的活用 （1）形容词作名词 崤函之固．，拥雍州之地险要的地势因利．乘便，宰割天下有利的形势（2）形容词动用 且夫天下非小弱 ．．也变小，变弱 （3）形容词使动 诸侯恐惧会盟而谋弱．秦使……弱 焚百家之言以愚．黔首使……愚蠢 士不敢弯．弓而抱怨使……弯 四．特殊句式 1.判断句 此四君者，皆明智而忠信，宽厚而爱人，尊贤而重士 然陈涉瓮牖绳枢之子，氓隶之人，而迁徙之徒也 关中之固，金城千里，子孙帝王万世之业也。 2.倒装句 （1）状语后置句 余威震于殊俗 陈涉之位，非尊于齐、楚、燕、赵、韩、魏、宋、卫、中山之君也。 谪戍之众，非抗于九国之师也。 锄耰棘矜，非铦于钩戟长铩也。 （2）宾语前置句 且夫天下非小弱也，雍州之地，肴函之固，自若也。 陈利兵而谁何。 （3）被动句 谪戍之众，非抗于九国之师也 身死人手，为天下笑者 （4）省略句 商君佐之，（秦孝公）内立法度 以（之）为桂林象君 聚之（于）咸阳

第一章运动的描述知识点归纳专题总结典型例题分析整理

第一章.运动的描述 基础知识点归纳 1.质点（A ）（1）没有形状、大小，而具有质量的点。 （2）质点是一个理想化的物理模型，实际并不存在。 （3）一个物体能否看成质点，并不取决于这个物体的大小，而是看在所研究的问题中物体的 形状、大小和物体上各部分运动情况的差异是否为可以忽略的次要因素，要具体问题具体分析。 2.参考系（A ）（1）物体相对于其他物体的位置变化，叫做机械运动，简称运动。 （2）在描述一个物体运动时，选来作为标准的（即假定为不动的）另外的物体，叫做参考系。 对参考系应明确以下几点： ①对同一运动物体，选取不同的物体作参考系时，对物体的观察结果往往不同的。 ②在研究实际问题时，选取参考系的基本原则是能对研究对象的运动情况的描述得到尽量的简化，能够使解题显得简捷。 ③因为今后我们主要讨论地面上的物体的运动，所以通常取地面作为参照系 3.路程和位移（A ） （1）位移是表示质点位置变化的物理量。路程是质点运动轨迹的长度。 （2）位移是矢量，可以用以初位置指向末位置的一条有向线段来表示。因此，位移的大小等于物体 的初位置到末位置的直线距离。路程是标量，它是质点运动轨迹的长度。因此其大小与运动路径有关。 （3）一般情况下，运动物体的路程与位移大小是不同的。只有当质点做单一方向的直线运动时，路 程与位移的大小才相等。图1-1中质点轨迹ACB 的长度是路程，AB 是位移S 。 （ 4）在研究机械运动时，位移才是能用来描述位置变化的物理量。路程不能用来表达物体的确切位 置。比如说某人从O 点起走了50m 路，我们就说不出终了位置在何处。 4、速度、平均速度和瞬时速度（A ） （1）表示物体运动快慢的物理量，它等于位移s 跟发生这段位移所用时间t 的比值。即v=s/t 。速度 是矢量，既有大小也有方向，其方向就是物体运动的方向。在国际单位制中，速度的单位是（m/s ）米/秒。 （2）平均速度是描述作变速运动物体运动快慢的物理量。一个作变速运动的物体，如果在一段时间t 内的位移为s, 则我们定义v=s/t 为物体在这段时间（或这段位移）上的平均速度。平均速度也是矢量，其方向就是物体在这段时间内的位移的方向。 （3 ）瞬时速度是指运动物体在某一时刻（或某一位置）的速度。从物理含义上看，瞬时速度指某一 时刻附近极短时间内的平均速度。瞬时速度的大小叫瞬时速率，简称速率 5、匀速直线运动（A ） （1） 定义：物体在一条直线上运动，如果在相等的时间内位移相等，这种运动叫做匀速直线运动。 根据匀速直线运动的特点，质点在相等时间内通过的位移相等，质点在相等时间内通过的路程相等，质点的运动方向相同，质点在相等时间内的位移大小和路程相等。 （2） 匀速直线运动的x —t 图象和v-t 图象（A ） （1）位移图象（x-t 图象）就是以纵轴表示位移，以横轴表示时间而作出的反映物体运动规律的数学图象，匀速直线运动的位移图线是通过坐标原点的一条直线。 B A B C 图1-1

陈情表 文言知识整理。

《陈情表》文言知识归纳 一、通假字 夙遭闵凶（通“悯”，怜悯） 零丁孤苦（通“伶仃”孤独的样子） 常在床蓐（通“褥”草席） 四十有四（通“又”） 二、古今异义 古义今义 1、九岁不行不能走路不可以 2、举臣秀才优秀人才科举考试的初级 3、孤苦零丁，至于成立成人自立（组织，机构）正式建立 4、非臣陨首所能上报报答向上级报告或刊登在报纸上 5、欲苟顺私情，则告诉不许申诉，诉说说给别人听，让人知道 6、臣之辛苦，非独蜀之人士及二州牧伯所见明知辛酸，苦楚身心劳苦 7、臣欲奉诏奔驰赶快向前，奔走效力很快的跑 8、拜臣郎中上书部的属官中医医生 9、是以区区不能废远拳拳，形容自己的私情数量少 10、岂敢盘桓犹疑不决的样子在一个地方来回走；逗留 11、除臣洗马太子的属官清洗马匹 12、寻蒙国恩不久寻找 三、词类活用 1、是以区区不能废远形容词作动词，远离 2、臣具以表闻动词的使动用法，使．．．．．．知道 3、且臣少仕伪朝名词作动词，做官 4、臣欲奉诏奔驰，则刘病日笃名词作状语，一天天的 5、夙遭闵凶形容词作名词，忧患不幸的事 6、臣之进退动词作名词，是否出来做官之事 7、举臣秀才名词作动词，做秀才，为秀才 8、举臣孝廉名词作动词，做孝廉，为孝廉 9、猥以微贱形容词作名词，微贱的身份 10、沐浴清化形容词作名词，清明的政治教化 11、臣不胜犬马怖惧之情名词作状语，像犬马一样 12、凡在故老形容词作名词，年老之人 13、内无五尺应门之童名词作状语在家内 14、外期极功强近之亲名词作状语在家外 四、一词多义 1、以

臣以险衅连词，因为 猥以微贱介词，凭借 臣具以表闻介词，用 谨拜表以闻连词，表目的 伏维圣朝以孝治天下介词，用 臣以供养无主连词，因为 2、于 急于星火介词，比 是以臣尽节于陛下之日长介词，对向 3、之 外无期工强近之亲助词，的 臣之进退助词，取消句子独立性4、少 少多疾病年岁小 解鞍少驻初程稍稍 少仕伪朝年青时 一时多少豪杰多少 5、志 舅夺母志志向 听臣微志愿望 便扶向路，处处志之做标记 寻向所志标志 6、应 内无应门五尺之僮照料 以子之矛，攻子之盾，何如？其人弗能应也回答7、婴 夙婴疾病缠绕，被缠绕 举婴，欲投之河婴孩 8、矜 犹蒙矜育怜惜 不矜名节自夸 鉏耰棘矜矛、戟等武器的柄 9、悯 夙遭闵凶通“悯”，可忧患的事悯臣孤弱怜惜，悲痛 10、薄 门衰祚薄浅薄 日薄西山迫近，靠近 厚古薄今轻视，看不起 11、期 会天大雨，道不通，度已失期一定的期限 今夜半，方期我决斗某所约定，约会 良剑期乎断希望，要求

《过秦论》文言知识梳理归纳

《过秦论》文言知识梳理归纳 ◆生字： 腴（yú）轸（zhěn）镞（cú）笞（chī）恬（tián）藩（fān）瓮（wèng）牖（yǒu） ◆多音字：（判断在具体语境中的读音） 孝公既没．（mò）召．滑（shào）俯首颈系．（xì）践华．为城（huà）劲．弩（jìng）不及中人（zhōng）墨翟（dí）蹑足行伍（háng）将数百之众（jiàng） 度．） 3. 6. 3.铸以为金人十二 古义：把……作为，把……做成；今义：认为 4.山东 古义：崤山以东，即东方诸国；今义：指山东省

5.河 古义：黄河；今义：指一般河流 6.橹 古义：盾牌；今义：指外形似桨的一种用人力推进船的工具。 7.池 ③南取汉中，西举巴蜀，东割膏腴之地，北收要害之郡。（南，向南；西，向西；东， 向东；北，向北） ④南取百越之地，以为桂林、象郡。（南，向南） ⑤乃使蒙恬北筑长城而守藩篱（北，向北） ⑥内立法度，……外连横而斗诸侯。（内，对内；外，对外）

⑦陈涉瓮牖绳枢之子（瓮，用破瓮；绳，用绳子） 2.名词作动词 ①陈涉瓮牖绳枢之子（牖，当作窗户；枢，当作门轴） ②子孙帝王万世之业也（帝王，称帝称王） ③外连横而斗诸侯（连横，采取连横的策略） （三）形容词的活用 1.形容词作名词 ①崤函之固（固，险固的地势） ②因利乘便，宰割天下（利，有利的形势） 2.形容词作动词

且夫天下非小弱也（小，变小；弱，削弱） 3.形容词的使动用法???? ①诸侯恐惧，会盟而谋弱秦（弱，使……弱，削弱）?? ②焚百家之言，以愚黔首（愚，使……愚昧） ③士不敢弯弓而报怨（弯，使……弯） ④卒买鱼烹食，得鱼腹中书，固以怪之矣《陈涉世家》副词：本来 ⑤汝心之固，固不可彻《愚公移山》形容词：固执、顽固 4.利 ①故木受绳则直，金就砺则利《劝学》形做动的使动用法：变得锐利、锋利 ②假舆马者，非利足也，而致千里《劝学》形做动的使动用法：使…变快

有机化学知识点全面总结

高中（人教版）《有机化学基础》必记知识点 目录 一、必记重要的物理性质 二、必记重要的反应 三、必记各类烃的代表物的结构、特性 四、必记烃的衍生物的重要类别和各类衍生物的重要化学性质 五、必记有机物的鉴别 六、必记混合物的分离或提纯（除杂） 七、必记有机物的结构 八、必记重要的有机反应及类型 九、必记重要的有机反应及类型 十、必记一些典型有机反应的比较 十一、必记常见反应的反应条件 十二、必记几个难记的化学式 十三、必记烃的来源－－石油的加工 十四、必记有机物的衍生转化——转化网络图一（写方程） 十五、煤的加工 十六、必记有机实验问题 十七、必记高分子化合物知识 16必记《有机化学基础》知识点

一、必记重要的物理性质 难溶于水的有：各类烃、卤代烃、硝基化合物、酯、绝大多数高聚物、高级的（指分子中碳原子数目较多的，下同）醇、醛、羧酸等。 苯酚在冷水中溶解度小（浑浊），热水中溶解度大（澄清）；某些淀粉、蛋白质溶于水形成胶体溶液。 1、含碳不是有机物的为： CO、CO2、 CO32-、HCO3-、H2CO3、CN-、HCN、SCN-、HSCN、SiC、C单质、金属碳化物等。2．有机物的密度 （1）小于水的密度，且与水（溶液）分层的有：各类烃、一氯代烃、酯（包括油脂） （2）大于水的密度，且与水（溶液）分层的有：多氯代烃、溴代烃（溴苯等）、碘代烃、硝基苯 3．有机物的状态[常温常压（1个大气压、20℃左右）] 常见气态： ①烃类：一般N(C)≤4的各类烃注意：新戊烷[C(CH3)4]亦为气态 ②衍生物类：一氯甲烷、氟里昂（CCl2F2）、氯乙烯、甲醛、氯乙烷、一溴甲烷、四氟乙烯、甲醚、甲乙醚、环氧乙烷。 4．有机物的颜色 ☆绝大多数有机物为无色气体或无色液体或无色晶体，少数有特殊颜色，常见的如下所示： ☆三硝基甲苯（俗称梯恩梯TNT）为淡黄色晶体； ☆部分被空气中氧气所氧化变质的苯酚为粉红色； ☆2，4，6—三溴苯酚为白色、难溶于水的固体（但易溶于苯等有机溶剂）； ☆苯酚溶液与Fe3+(aq)作用形成紫色[H3Fe(OC6H5)6]溶液； ☆淀粉溶液（胶）遇碘（I2）变蓝色溶液； ☆含有苯环的蛋白质溶胶遇浓硝酸会有白色沉淀产生，加热或较长时间后，沉淀变黄色。 5．有机物的气味 许多有机物具有特殊的气味，但在中学阶段只需要了解下列有机物的气味： ☆甲烷：无味；乙烯：稍有甜味(植物生长的调节剂) ☆液态烯烃：汽油的气味；乙炔：无味 ☆苯及其同系物：特殊气味，有一定的毒性，尽量少吸入。 ☆C4以下的一元醇：有酒味的流动液体；乙醇：特殊香味 ☆乙二醇、丙三醇（甘油）：甜味（无色黏稠液体） ☆苯酚：特殊气味；乙醛：刺激性气味；乙酸：强烈刺激性气味（酸味） ☆低级酯：芳香气味；丙酮：令人愉快的气味 6、研究有机物的方法 质谱法确定相对分子量；红外光谱确定化学键和官能团；核磁共振氢谱确定H的种类及其个数比。 二、必记重要的反应 1．能使溴水（Br2/H2O）褪色的物质

第一章丰富的图形世界知识点总结

第一章丰富的图形世界知识点总结 本章可分为三大板块 第一大板块常见几何体的性质与分类 1、常见几何体：圆柱、棱柱（长方体、正方体）、棱锥、圆锥、球体。 2、性质：底面的个数与形状、侧面的个数与形状、是否含有曲面。 3、分类依据：底面数（柱体、椎体、球体）；是否含有曲面；是否含有顶点等。总结时注意类比与对比。 4、棱体（棱锥）的命名以及N棱柱棱数、面数、顶点数求法（尝试总结N棱锥的棱数、面数、顶点数）。简单逆向思维应用，根据棱数、面数、顶点数判断是何种几何体（注意数学思想之分类讨论）。 第二大板块常见几何体的组成与形成 1、组成：点、线、面。 面与面相交得到线，线与线相交得到点。点动成线，线动成面，面动成体。 能说出常见几何体中侧面与底面相交得到几条线，分别是什么形状。顶点处有几条棱，几个面。 2、形成：面的旋转。常见几何体可以看作哪些平面图形旋转得到。 第三大板块体与面之间的转化关系（体会数学思想之转化化归思想）。 1、展开与折叠： 一般几何体的展开与折叠，展开时注重动手操作到空间想象的转变，折叠时注意结合几何体的性质来判断。 正方体的展开与折叠，对展开图的观察总结，掌握对面、邻面以及有共同顶点的几个面在展开图中的关系，并能利用逆向思维还原。 截面：截面的形成（面截体），截面的本质（面截面所得线围成的平面）。 正方体、圆柱、圆锥等所能得到的截面类型并能通过空间想象做出截面，逆向思维通过截面判断是由什么几何体截得。 2、三视图：主视图（长与高）、左视图（宽与高）、俯视图（长与宽） 会画单独几何体和简单组合体的三视图（长对正、宽相等、高平齐）。简单应用之求组合体面积。 根据数字俯视图画出主视图与俯视图（答案唯一），体会三视图之间的联系。 逆向思维根据三视图还原几何体（理解答案不唯一），从而得到简单应用之根据三视图推测组合体中小方块数目。 本章贯穿的几大思维： 逆向思维 形象思维到抽象思维 转化的思维 学习方法 通过动手操作培养空间想象‘

陈情表知识点归纳整理

陈情表知识点归纳整理-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

《陈情表》知识点整理 一、基础知识 1、选自南朝梁萧统编选《文选》。李密：字令伯，一名虔，西晋文学家 2、表：古代奏章的一种，一般陈述某种意见或事情，多用于臣向君陈情谢贺，如诸葛亮的《出师表》。 二、一词多义 1、行： ①行年四岁（动词，经历） ②九岁不行（动词，走路） 2、矜： ①犹蒙矜育（动词，怜惜） ②不矜名节（动词，夸耀） ③愿陛下矜悯愚诚（动词，怜悯） 3、至： ①至微至陋（副词，极其） ②无以至今日（动词，到达） 4、以 ①臣以险衅（连词，因为） ②臣以供养无主（连词，因为） ③谨拜表以闻（连词，相当于“而”） ④猥以微贱（介词，凭） ⑤伏惟圣朝以孝治天下（介词，用） ⑥臣具以表闻（介词，用） 5、见： ①慈父见背（我） ②二州牧所见明知（动词，看见） 6、亲： ①躬亲抚养（代词，亲自） ②外无期功强近之亲（名词，亲戚） 7、日： ①日薄西山（名词，太阳） ②报养刘之日短（名词，日子） 8、当： ①当侍东宫（动词，任，） ②死当结草（副词，应当） 9、薄： ①日薄西山（动词，迫近） ②门衰祚薄（形容词，微薄，少） 10、拜： ①拜臣郎中（动词，授官） ②谨拜表以闻（动词，奉上）

11、于： ①州司临门，急于星火（介词，比） ②是臣尽节于陛下之日长（介词，给） 12、夙： ①夙遭闵凶（名词，很早，幼年） ②夙夜忧叹（名词，早晨） 三、古今异义 1、九岁不行：不能走路 2、至于成立：成人自立 3、举臣秀才：优秀人才 4、非臣殒首所能上报：报答皇上 5、臣欲奉召奔驰：奔走效劳 6、有所希冀：非分的愿望 7、臣之辛苦：辛酸苦楚 8、则告诉不许：申诉。 9、是以区区不能废远：拳拳，形容自己的私情 10、晚有儿息息：子 11、而刘夙婴疾病婴：被……缠着 12、逮奉圣朝逮：及，至 13、前太守臣违察臣孝廉察：考察和推举 14、寻蒙国恩寻：不久 15、除臣洗马除：授予官职 16、庶刘侥幸，保卒余年庶：或许。 三、通假字 1、.夙遭闵凶。闵，通“悯”，可忧患的事。 2、零丁孤苦。零丁，通“伶仃”，孤单的样子。 3、.臣今年四十有四。有，通“又”。 4、常在床蓐。蓐，通“褥”，草席。 四、词类活用 （一）名词作动词 1、臣少仕伪朝。做官 （二）形容词作动词 1、是以区区不能废远。远：形容词作动词，离开 2、终鲜兄弟没有 （三）形容词作名词 1、夙遭闵凶。忧患不幸的事。 2、猥以微贱。卑微低贱的身份 3、愿陛下矜悯愚诚诚心

过秦论文言知识点整理

《过秦论》梳理 一、通假字 ①外连衡．而斗诸侯/ 约从离衡．（衡，通“横”） ②孝公既没．（没，通“殁”，死亡） ③合从．缔交/约从．离衡/ 于是从．散约败（从，通“纵”，指战国时期六国联合共同对付秦 国的策略，称为“合纵”） ④秦有余力而制其弊．（弊，通“敝”，疲惫） ⑤信臣精卒陈利兵而谁何．（通“呵”，喝问） ⑥倔．起阡陌之中（倔，通“崛”，崛起） ⑦赢粮而景．从（景，通“影”，像影子一样） ⑧百有．余年矣（有，通“又”） ⑨非抗．于九国之师也（抗，通“亢”，高） ⑩威振．四海（振，通“震”，震动） 二、古今异义 ①于是 ．．秦人拱手而取西河．之外（于是，在这种情况下；西河：黄河以西。） ②于是 ．．六国之士，有宁越、徐尚、苏秦、杜赫之属为之谋；（在这时） ③．山东 ．．豪俊遂并起（山东：崤山以东，即东方诸国。今指山东省。） 三、一词多义 1．固 ①据崤函之固（险固，坚固，特指地势险要，城郭坚固，形容词用作名词） ②君臣固守以窥周室（牢固，顽强，形容词） ③然后践华为城，因河为池，据亿丈之城，临不测之渊，以为固（固守的据点，屏障，名词） 2．因 ①因遗策（沿袭，动词） ②因利乘便（趁着，介词） ③因河为池（凭借，依据，介词） 3．亡 ①秦无亡矢遗镞之费（丢失，损失，动词） ②追亡逐北（逃亡，动词；此用作名词，指逃亡的军队） ③吞二周而亡诸侯（灭亡，动词；这里是使动用法，使……灭亡） 4．制 ①吴起……赵奢之伦制其兵（统率，动词） ②秦有余力而制其弊（制服，动词） ③履至尊而制六合（统治、控制，动词） 5．兵

①……赵奢之伦制其兵/ 行军用兵之道（军队，名词） ②收天下之兵/ 信臣信精卒陈利兵而谁何/ 斩木为兵（兵器，名词） 6．策 ①蒙故业，因遗策（策略、计策，名词） ②振长策而御宇内（马鞭子，名词） 7．致 ①以致天下之士（招引、招纳，动词） ②致万乘之势（达到、获得，动词） 8．之 ①不爱珍器重宝肥饶之地（的，结构助词） ②……赵奢之伦制其兵（这，指示代词） ③商君佐之（他，指秦孝公，代词） ④聚之咸阳（代“天下之兵”，代词） 9．及 ①非及向时之士（比得上，动词） ②及至秦始皇（到，等到，介词） 10．北 ①乃使蒙恬非筑长城而守藩篱（在北方，方位名词作状语） ②追亡逐北（败北的军队，动词作名词） 11．度 ①内立法度（制度，名词） ②试使山东之国与陈涉度长絜大（量长短） 12．遗 ①因遗策（遗留下来，动词） ②秦无亡矢遗镞之费（遗失，丢失，动词） 13．爱 ①不爱珍器重宝肥饶之地（吝惜，动词） ②宽厚而爱人（爱护，尊重，动词。） 四、词类活用 1．名词作状语 ①有席卷天下，包举宇内，囊括四海之意（席，像席子一样；包，像布包一样；囊，像口袋一样） ②内立法度，务耕织，修守战之具，外连衡而斗诸侯（内，在国内，对内；外，对外） ③南取汉中，西举巴、蜀，东割膏腴之地，北收要害之郡（南，向南；西，向西；东， 向东；北，向北） ④然陈涉瓮牖绳枢之子（瓮，用破瓮；绳，用绳子） ⑤南取百越之地，以为桂林、象郡（南，向南） ⑥乃使蒙恬北筑长城而守藩篱（北，在北方） ⑦天下云集响应，赢粮而景从（云，像云一样；响，像回声一样；景，通“影”，像影子一样） ⑧深谋远虑（远，从长远） 2．名词作动词 ①履至尊而制六合（履，登上）

高中化学有机化学知识点总结

高中化学有机化学知识点总结 1．需水浴加热的反应有： （1）、银镜反应（2）、乙酸乙酯的水解（3）苯的硝化（4）糖的水解 （5）、酚醛树脂的制取（6）固体溶解度的测定 凡是在不高于100℃的条件下反应，均可用水浴加热，其优点：温度变化平稳，不会大起大落，有利于反应的进行。 2．需用温度计的实验有： （1）、实验室制乙烯（170℃）（2）、蒸馏（3）、固体溶解度的测定 （4）、乙酸乙酯的水解（70－80℃）（5）、中和热的测定 （6）制硝基苯（50－60℃） 〔说明〕：（1）凡需要准确控制温度者均需用温度计。（2）注意温度计水银球的位置。 3．能与Na反应的有机物有：醇、酚、羧酸等——凡含羟基的化合物。 4．能发生银镜反应的物质有：醛、甲酸、甲酸盐、甲酸酯、葡萄糖、麦芽糖——凡含醛基的物质。 5．能使高锰酸钾酸性溶液褪色的物质有：（1）含有碳碳双键、碳碳叁键的烃和烃的衍生物、苯的同系物 （2）含有羟基的化合物如醇和酚类物质（3）含有醛基的化合物 （4）具有还原性的无机物（如SO2、FeSO4、KI、HCl、H2O2等） 6．能使溴水褪色的物质有： （1）含有碳碳双键和碳碳叁键的烃和烃的衍生物（加成）（2）苯酚等酚类物质（取代）（3）含醛基物质（氧化）（4）碱性物质（如NaOH、Na2CO3）（氧化还原――歧化反应）（5）较强的无机还原剂（如SO2、KI、FeSO4等）（氧化） （6）有机溶剂（如苯和苯的同系物、四氯甲烷、汽油、已烷等，属于萃取，使水层褪色而有机层呈橙红色。） 7．密度比水大的液体有机物有：溴乙烷、溴苯、硝基苯、四氯化碳等。 8、密度比水小的液体有机物有：烃、大多数酯、一氯烷烃。 9．能发生水解反应的物质有 卤代烃、酯（油脂）、二糖、多糖、蛋白质（肽）、盐。 10．不溶于水的有机物有：烃、卤代烃、酯、淀粉、纤维素 11．常温下为气体的有机物有：分子中含有碳原子数小于或等于4的烃（新戊烷例外）、一氯甲烷、甲醛。

(完整版)初中数学第一章有理数知识点归纳总结

第一章有理数 思维路径： 有理数 数轴 运算 （数） （形） 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. ▲注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数? 0和正整数； a ＞0 ? a 是正数； a ＜0 ? a 是负数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数；▲ a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3．相反数：

(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c ； a-b 的相反数是b-a ； a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）相反数的绝对值相等 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或 ???≤-≥=)0()0(a a a a a ； (3) 0a 1a a >?= ； 0a 1a a

高中有机化学基础知识点归纳小结

高中有机化学基础知识点归纳小结 一、重要的物理性质 1．有机物的溶解性 （1）难溶于水的有：各类烃、卤代烃、硝基化合物、酯、绝大多数高聚物、高级的（指分子中碳原子数目较多的，下同）醇、醛、羧酸等。 （2）易溶于水的有：低级的[一般指N(C)≤4]醇、（醚）、醛、（酮）、羧酸及盐、氨基酸及盐、单糖、二糖。（它们都能与水形成氢键）。 二、重要的反应 1．能使溴水（Br2/H2O）褪色的物质 （1）有机物①通过加成反应使之褪色：含有、—C≡C—的不饱和化合物 ②通过取代反应使之褪色：酚类注意：苯酚溶液遇浓溴水时，除褪色现象之外还产生白色沉淀。 ③通过氧化反应使之褪色：含有—CHO（醛基）的有机物（有水参加反应）注意：纯净的只含有—CHO （醛基）的有机物不能使溴的四氯化碳溶液褪色 ④通过萃取使之褪色：液态烷烃、环烷烃、苯及其同系物、饱和卤代烃、饱和酯 （2）无机物①通过与碱发生歧化反应3Br2 + 6OH- == 5Br- + BrO3- + 3H2O或Br2 + 2OH- == Br- + BrO- + H2O ②与还原性物质发生氧化还原反应，如H2S、S2-、SO2、SO32-、I-、Fe2+ 2．能使酸性高锰酸钾溶液KMnO4/H+褪色的物质 1）有机物：含有、—C≡C—、—OH（较慢）、—CHO的物质苯环相连的侧链碳上有氢原子的苯的同系物（但苯不反应） 2）无机物：与还原性物质发生氧化还原反应，如H2S、S2-、SO2、SO32-、Br-、I-、Fe2+ 3．与Na反应的有机物：含有—OH、—COOH的有机物 与NaOH反应的有机物：常温下，易与含有酚羟基 ．．．、—COOH的有机物反应 加热时，能与卤代烃、酯反应（取代反应） 与Na2CO3反应的有机物：含有酚．羟基的有机物反应生成酚钠和NaHCO3； 含有—COOH的有机物反应生成羧酸钠，并放出CO2气体； 含有—SO3H的有机物反应生成磺酸钠并放出CO2气体。 与NaHCO3反应的有机物：含有—COOH、—SO3H的有机物反应生成羧酸钠、磺酸钠并放出等物质的量的CO2气体。4．既能与强酸，又能与强碱反应的物质 （1）2Al + 6H+ == 2 Al3+ + 3H2↑2Al + 2OH- + 2H2O == 2 AlO2- + 3H2↑ （2）Al2O3 + 6H+ == 2 Al3+ + 3H2O Al2O3 + 2OH-== 2 AlO2- + H2O （3）Al(OH)3 + 3H+ == Al3+ + 3H2O Al(OH)3 + OH-== AlO2- + 2H2O （4）弱酸的酸式盐，如NaHCO3、NaHS等等 NaHCO3 + HCl == NaCl + CO2↑ + H2O NaHCO3 + NaOH == Na2CO3 + H2O NaHS + HCl == NaCl + H2S↑NaHS + NaOH == Na2S + H2O （5）弱酸弱碱盐，如CH3COONH4、(NH4)2S等等 2CH3COONH4 + H2SO4 == (NH4)2SO4 + 2CH3COOH CH3COONH4 + NaOH == CH3COONa + NH3↑+ H2O (NH4)2S + H2SO4 == (NH4)2SO4 + H2S↑ (NH4)2S +2NaOH == Na2S + 2NH3↑+ 2H2O （6）氨基酸，如甘氨酸等 H2NCH2COOH + HCl → HOOCCH2NH3Cl H2NCH2COOH + NaOH → H2NCH2COONa + H2O

《过秦论》知识点归纳(答案版)

《过秦论》文言知识归纳 一、文学文化常识 1．贾谊 西汉政论家、文学家。代表作有：政论文：《论积贮疏》、《过秦论》、《陈政事疏》； 辞赋：《吊屈原赋》、《鵩鸟赋》。 2．战国四公子 齐国的孟尝君（田文），赵国的平原君（赵胜），楚国的春申君（黄歇），魏国的信陵君（魏无忌）。四人均以“善养士”闻名，都是当时仅次于国君的当政者。又称“战国四君子”。3．天下的别称 宇内、四海、八荒，都是“天下”的意思。 4．九州 古时天下分九州，关于九州的说法不一，一般认为包括兖州、冀州、青州、徐州、豫州、荆州、扬州、雍州、梁州。九州常用来代指“中国”。 5．山东、关中、河 山东：指崤山以东。 关中：指函谷关以西的地区。 河：特指黄河。如“河南”指黄河以南，“河北”指黄河以北。 6．五岳 东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山。 7．合纵、连横 合纵：是联合六国共同对付秦国的策略。亦作“合从”。 连横：是一种离间六国，使他们各自同秦国联合，从而各个击破的策略。亦作“连衡”。 二、通假字 ①外连衡．而斗诸侯 / 约从离衡．（衡，通“横”） ②孝公既没．（没，通“殁”，死亡） ③合从．缔交/约从．离衡 / 于是从．散约败（从，通“纵”，指战国时期六国联合共同对付秦国的策略，称为“合纵”） ④倔．起阡陌之中（倔，通“崛”，崛起） ⑤赢粮而景．从（景，通“影”，像影子一样） ⑥百有．余年矣（有，通“又”） ⑦威振．四海（振，通“震”，震动） 三、古今异义（只写古义） ①于是 ．．之外（于是，在这种情况下；西河：黄河以西。）．．秦人拱手而取西河 ②于是 ．．六国之士，有宁越、徐尚、苏秦、杜赫之属为之谋；（在这时） ③秦人开关 ．．延敌（开关：打开函谷关） ④山东 ．．豪俊遂并起（山东：崤山以东，即东方诸国。） 四、一词多义 1．固 ①据崤函之固（险要的地势，形容词用作名词） ②君臣固守以窥周室（牢固，顽强，形容词）

大学有机化学知识点总结(推荐文档)

有机化学复习总结 一．有机化合物的命名 1. 能够用系统命名法命名各种类型化合物： 包括烷烃，烯烃，炔烃，烯炔，脂环烃（单环脂环烃和多环置换脂环烃中的螺环烃和桥环烃），芳烃，醇，酚，醚，醛，酮，羧酸，羧酸衍生物（酰卤，酸酐，酯，酰胺），多官能团化合物（官能团优先顺序：－COOH ＞－SO3H ＞－COOR ＞－COX ＞－CN ＞－CHO ＞>C ＝O ＞－OH(醇)＞－OH(酚)＞－SH ＞－NH2＞－OR ＞C ＝C ＞－C ≡C －＞(－R ＞－X ＞－NO2)，并能够判断出Z/E 构型和R/S 构型。 2. 根据化合物的系统命名，写出相应的结构式或立体结构式（伞形式，锯架式，纽曼投影式，Fischer 投影式）。 立体结构的表示方法： 1 ）伞形式： COOH OH H 3 2）锯架式：CH 3 OH H H OH C 2H 5 3） 纽曼投影式： H H 4）菲舍尔投影式：COOH CH 3 OH H 5）构象(conformation) (1) 乙烷构象：最稳定构象是交叉式，最不稳定构象是重叠式。 (2) 正丁烷构象：最稳定构象是对位交叉式，最不稳定构象是全重叠式。 (3) 环己烷构象：最稳定构象是椅式构象。一取代环己烷最稳定构象是e 取代的椅 式构象。多取代环己烷最稳定构象是e 取代最多或大基团处于e 键上的椅式构象。 立体结构的标记方法 1. Z/E 标记法：在表示烯烃的构型时，如果在次序规则中两个优先的基团在同一侧，为Z 构型， 在相反侧，为E 构型。 CH 3 C H C 2H 5CH 3C C H 2H 5Cl (Z)－3－氯－2－戊烯 (E)－3－氯－2－戊烯 2、 顺/反标记法：在标记烯烃和脂环烃的构型时，如果两个相同的基团在同一侧，则为顺式； 在相反侧，则为反式。

高一数学必修1第一章知识点总结

高一数学必修1第一章知识点总结 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性, (2)元素的互异性, (3)元素的无序性, 3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印 度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记

作A B(或B A) ③如果A?B, B?C ,那么A?C ④如果A?B 同时B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 运算 类型 交集并集补集 定义由所有属于A且属 于B的元素所组成 的集合,叫做A,B的 交集．记作A B （读作‘A交B’）， 即A B=｛x|x∈A， 且x∈B｝． 由所有属于集合A或 属于集合B的元素所 组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A并B’）， 即A B ={x|x∈A， 或x∈B})． 设S是一个集合，A是 S的一个子集，由S中 所有不属于A的元素 组成的集合，叫做S中 子集A的补集（或余 集） 记作A C S ，即 C S A=} , |{A x S x x? ∈且 韦恩图示A B 图1 A B 图2 S A

过秦论-知识点整理【可直接使用】.doc

《过秦论》学案 【学习目标】 1、理解并积累文言实词、虚词和句式。 2. 了解作者反对暴政、提倡仁政的政治主张。 3. 培养科学的正确的历史观和独立判断能力，明白“以史为鉴”“古为今用”的意义。 【文学常识】 1、贾谊（前200-前168），世称贾太傅、贾长沙、贾生。洛阳人。西汉初期著名的政论家、文学家（辞赋家）。主要文学成就是政论文，代表作有《过秦论》上、中、下三篇，《陈政事疏》，《论积贮疏》等，赋有《吊屈原赋》、《鵩鸟赋》。 2、《过秦论》中的过，就是指出过失之意。 【写作特点】 1. 以史实为论据，用观点统率材料，用叙事来说理。 2. 对比论证方法的巧妙运用。 3. 大量运用修辞手法，富有文采。 作者总结秦王朝覆灭的历史教训，意在借古讽今，即从反面说明“牧民之道，务在安之而已”，而“安之”之策莫大于施行仁义，目的是劝汉文帝对人民实行宽松的政策。 行文思路： 第一部分（1~4）叙述秦王朝的兴亡过程。 第二部分（5）阐述秦王朝迅速灭亡的原因。 【通假字】 1、合从．缔交（“从”通“纵”） 2、制．其弊（“弊”通“敝”，困乏，疲惫） 3、陈利兵而谁何．（“何”通“呵”，呵问） 4、倔．起阡陌之中（“倔”通“崛”） 5、赢粮而景．从（“景”通“影”，像影子一样） 6、百有．余年（“有”通“又”） 7、外连衡．而斗诸侯（“衡”通“横”） 8、始皇既没．（“没”通“殁”，死） 【词类活用】 A．名词作状语 1、天下云．集响．应（像云一样）（像回声一样） 2、赢粮而景．从（像影子一样） 3、有席．卷天下，包．举宇内，囊．括四海之意（像用席子）（像用包布）（像用口袋） 4、内．立法度（对内） 5．外．连衡而斗诸侯（对外） 6、南．取汉中，西．举巴蜀，东．割膏腴之地，北．收要害之郡（向南）（向西）（向东）（向北） B.名词作动词 1、过．秦论（指出过失） 2、瓮牖．绳枢．（用破瓮作，用草绳系） 3、执敲扑 ．．而鞭笞天下（用鞭子打，用竹杖打） 4、子孙帝王 ．．万世之业也（称帝称王） 5、履．至尊而制六合（登上） 6、序．八州而朝同列（引，招致） C.动词作名词 1、追亡．逐北．（逃亡的敌兵，败北的敌兵） D.形容词作动词 且夫天下非小弱 ．．也（变小变弱） E.形容词作名词 1、自以为关中之固．（险固的地方） 2、因利．乘便．（有利的形势） F．使动用法

高中有机化学基础知识点归纳(全)

一、重要的物理性质 1．有机物的溶解性 （1）难溶于水的有：各类烃、卤代烃、硝基化合物、酯、绝大多数高聚物、高级的（指分子中碳原子数目较多的，下同）醇、醛、羧酸等。 （2）易溶于水的有：低级的[一般指N(C )≤4]醇、（醚）、醛、（酮）、羧酸及盐、氨基酸及盐、单糖、二糖。（它们都能与水形成氢键）。 二、重要的反应 1．能使溴水（Br 2/H 2O ）褪色的物质 （1）有机物① 通过加成反应使之褪色：含有、—C ≡C —的不饱和化合物 ② 通过取代反应使之褪色：酚类 注意：苯酚溶液遇浓溴水时，除褪色现象之外还产生白色沉淀。③ 通过氧化反应使之褪色：含有—CHO （醛基）的有机物（有水参加反应）注意：纯净的只含有—CHO （醛基）的有机物不能使溴的四氯化碳溶液褪色 ④ 通过萃取使之褪色：液态烷烃、环烷烃、苯及其同系物、饱和卤代烃、饱和酯 （2）无机物① 通过与碱发生歧化反应 3Br 2 + 6OH - == 5Br - + BrO 3- + 3H 2O 或Br 2 + 2OH - == Br - + BrO - + H 2O ② 与还原性物质发生氧化还原反应，如H 2S 、S 2-、SO 2、SO 32-、I -、Fe 2+ 2．能使酸性高锰酸钾溶液KMnO4/H+褪色的物质 1）有机物：含有、—C≡C —、—OH （较慢）、—CHO 的物质 苯环相连的侧链碳上有氢原子的苯的同系物（但苯不反应） 2）无机物：与还原性物质发生氧化还原反应，如H 2S 、S 2-、SO 2、SO 32-、Br -、I -、Fe 2+ 3．与Na 反应的有机物：含有—OH 、—COOH 的有机物 与NaOH 反应的有机物：常温下，易与—COOH 的有机物反应加热时，能与卤代烃、酯反应（取代反应） 与Na 2CO 3反应的有机物：含有—COOH 的有机物反应生成羧酸钠，并放出CO 2气体； 与NaHCO 3反应的有机物：含有—COOH 的有机物反应生成羧酸钠并放出等物质的量的CO 2气体。 4．既能与强酸，又能与强碱反应的物质 （1）氨基酸，如甘氨酸等 H 2NCH 2COOH + HCl → HOOCCH 2NH 3Cl H 2NCH 2COOH + NaOH → H 2NCH 2COONa + H 2O （2）蛋白质分子中的肽链的链端或支链上仍有呈酸性的—COOH 和呈碱性的—NH 2，故蛋白质仍能与碱和酸反应。 5．银镜反应的有机物 （1）发生银镜反应的有机物：含有—CHO 的物质：醛、甲酸、甲酸盐、甲酸酯、还原性糖（葡萄糖、麦芽糖等） （2）银氨溶液[Ag(NH 3)2OH]（多伦试剂）的配制： 向一定量2%的AgNO 3溶液中逐滴加入2%的稀氨水至刚刚产生的沉淀恰好完全溶解消失。 （3）反应条件：碱性、水浴加热．．．．．．． 酸性条件下，则有Ag(NH 3)2+ + OH - + 3H + == Ag + + 2NH 4+ + H 2O 而被破坏。 （4）实验现象：①反应液由澄清变成灰黑色浑浊；②试管内壁有银白色金属析出 （5）有关反应方程式：AgNO 3 + NH 3·H 2O == AgOH↓ + NH 4NO 3 AgOH + 2NH 3·H 2O == Ag(NH 3)2OH + 2H 2O 银镜反应的一般通式： RCHO + 2Ag(NH 3)2OH 2 A g ↓+ RCOONH 4 + 3NH 3 + H 2O 【记忆诀窍】： 1—水（盐）、2—银、3—氨 甲醛（相当于两个醛基）：HCHO + 4Ag(NH 3)2OH 4Ag↓+ (NH 4)2CO 3 + 6NH 3 + 2H 2O 乙二醛： OHC-CHO + 4Ag(NH 3)2OH 4Ag↓+ (NH 4)2C 2O 4 + 6NH 3 + 2H 2O 甲酸： HCOOH + 2 Ag(NH 3)2OH 2 A g ↓+ (NH 4)2CO 3 + 2NH 3 + H 2O 葡萄糖：（过量）CH 2OH(CHOH)4CHO +2Ag(NH 3)2OH 2A g ↓+CH 2OH(CHOH)4COONH 4+3NH 3 + H 2O （6）定量关系：—CHO ～2Ag(NH)2OH ～2 Ag HCHO ～4Ag(NH)2OH ～4 Ag 6．与新制Cu(OH)2悬浊液（斐林试剂）的反应 （1）有机物：羧酸（中和）、甲酸（先中和，但NaOH 仍过量，后氧化）、醛、还原性糖（葡萄糖、麦芽糖）、甘油等多羟基化合物。 （2）斐林试剂的配制：向一定量10%的NaOH 溶液中，滴加几滴2%的CuSO 4溶液，得到蓝色絮状悬浊液（即斐林试剂）。 （3）反应条件：碱过量、加热煮沸．．．．．．．． （4）实验现象： ① 若有机物只有官能团醛基（—CHO ），则滴入新制的氢氧化铜悬浊液中，常温时无变化，加热煮沸后有（砖）红色沉淀生成； ② 若有机物为多羟基醛（如葡萄糖），则滴入新制的氢氧化铜悬浊液中，常温时溶解变成绛蓝色溶液，加热煮沸后有（砖）红色沉淀生成； （5）有关反应方程式：2NaOH + CuSO 4 == Cu(OH)2↓+ Na 2SO 4 RCHO + 2Cu(OH)2RCOOH + Cu 2O↓+ 2H 2O HCHO + 4Cu(OH)2CO 2 + 2Cu 2O↓+ 5H 2O OHC-CHO + 4Cu(OH)2HOOC-COOH + 2Cu 2O↓+ 4H 2O HCOOH + 2Cu(OH)2 CO 2 + Cu 2O↓+ 3H 2O CH 2OH(CHOH)4CHO + 2Cu(OH)2CH 2OH(CHOH)4COOH + Cu 2O↓+ 2H 2O （6）定量关系：—COOH ～? Cu(OH)2～? Cu 2+ （酸使不溶性的碱溶解） —CHO ～2Cu(OH)2～Cu 2O HCHO ～4Cu(OH)2～2Cu 2O 7．能发生水解反应的有机物是：卤代烃、酯、糖类（单糖除外）、肽类（包括蛋白质）。 HX + NaOH == NaX + H 2O (H)RCOOH + NaOH == (H)RCOONa + H 2O