最新北师大版八年级上册数学全册知识点大全(完美版)
《数学》（八年级上册）知识点总结（北师大版）
第一章 勾股定理
1、勾股定理-----已知直角三角形，得边的关系
直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2
2
2
c b a =+ 2、勾股定理的逆定理-----由边的关系，判断直角三角形
如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2
2
2
c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足2
2
2
c b a =+的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数。
常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）……
规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a 为奇
数且a ＜b 时，如果2
b c a +=，那么a,b,c 就是一组勾股数. 如：（3,4,5）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）……
（2）大于2的任意偶数，2n(n ＞1)都可构成一组勾股数分别是：2
2
2,1,1n n n -+
如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）……
第二章 实数
1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。
20200002233..无理数的表示算术平方根定义如果一个非负数的平方等于，即那么这个非负数就叫做的算术平方根，记为，算术平方根为非负数平方根正数的平方根有个，它们互为相反数的平方根是负数没有平方根定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就
叫做的平方根，记为立方根正数的立方根是正数负数的立方根是负数的立方根是定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根，记为x a x a x a a a a x a a a x a x a x a a =≥???????=±???
????=???
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???
3
.实数及其相关概念
概念有理数和无理数统称实数
分类
有理数
无理数
或
正数
负数
绝对值、相反数、倒数的意义同有理数
实数与数轴上的点是一一对应
实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则
运算规律相同。
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一、实数的概念及分类
1、实数的分类
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无限不循环小数
负无理数
正无理数
无理数
数
有限小数与无限循环小
负有理数
正有理数
有理数
实数
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?
负实数
正实数
实数0
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。
2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算. 注意：（1）近似计算时，中间过程要多保留一位；
（2）要求记忆：414.12=
732.13= 236.25=.
三、平方根、算数平方根和立方根 1．平方根和算术平方根：
（1）概念：如果2
x a =，那么x 是a
的平方根，记作：a ”，
叫做a 的算术平方根，读作根号a 。
（2）性质：①当a ≥0
0； 当a
②
2
＝a ； ③
a = 。（区分②、③）
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （3）开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
注意 ：a
的双重非负性：00a ≥??≥ （开平方的被开方数的条件）
（算术平方根的非负性）
2．立方根：
（1）概念：若3
x a =，那么x 是a 的立方根（或三次方根）
（2
a =；
②
3
a =；
＝
性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-， 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 区分：平方根、立方根的性质
根源：开平方是平方的逆运算；开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只有非
负数才可以开平方，因此一个非0正数开平方后有2个；而任何数的立方后的符号与原数的 符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有1个，符号与原数的符号也一 致。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右 边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表 示的数大。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a 、b 是实数，
,0b a b a >?>- ,0b a b a =?=- b a b a
（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数，
;1;1;1b a b
a
b a b a b a b a ?> （4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a 。 （5）平方法：
① 设 0,0a b >>，则 2
2
a b a b >?> ② 设 0,0a b <<，则 b a b a <
?>2
2
。
③ 同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。 如：比较
2
与3.4；（6）倒数法：设0,0a b >> ，则11a b a b >?<；设0,0a b << ，则11a b a b
>?< 规律：同号取倒（数）反向 五、算术平方根有关计算（二次根式） 1
、含有二次根号“”； 被开方数a 必须是非负数，即：0a ≥。
六、实数的运算
（1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方 （2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
第三章 位置的确定
一、 在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。 二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；x 轴和y 轴统称坐标轴。它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 第二象限、
第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P 分别x 轴、y 轴向作垂线，垂足在上x 轴、y 轴对应的数a ，b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标，有序数对（a ，b ）叫做点P 的坐标。
点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间 有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对， 当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +（由勾股定理可得） 三、坐标变化与图形变化的规律：
第四章 一次函数
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。 二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（偶次根式）（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点
（1）关系式（解析）法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法
把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b=0时（即kx y =）（k 为常数，k ≠0），称y 是x 的正比例函数。 2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
①、一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。
②、由于一次函数y kx b =+的图象是一条直线，所以一次函数y kx b =+的图象也称为直线y kx b =+。 ③、由于两点确定一条直线，因此在画一次函数y kx b =+的图象时，只要描出：与x 轴的交点（令0y =，求出
b x k =-），与y 轴的交点（令0x =，求出y b =），即（(0,),(,0)b
b k - 两点即可，画正比例函数y kx =的图
象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可。
④、k 的正负决定直线的倾斜方向，k 的大小决定直线的倾斜程度，即k 越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大
（直线陡），k 越小，直线与x 轴的相交的锐角度数越小（直线缓）。 ⑤、b 的正负决定直线与y 轴交点的位置。
当0b >时，直线与y 轴的交于正半轴上。当0b <时，直线与y 轴交于负半轴上。 当0b =时，直线经过原点，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、一次函数、正比例函数的图象和性质。
当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势； 当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。
()()()
32100
0.0k ??
?
??<=>>b b b ()()()
32100
0.0k ??
?
??<=>
（1）当0k >时，y 随x 的增大而增
大，图象必经过一三象限。 ①0b >时，过一二三象限 ②0b =时，只过一三象限 ③0b <时，过一三四象限时
（2）当0k <时，y 随x 的增大而减
小，图象必过二四象限。 ①0b >时，过一二四象限 ②0b =时，只过二四象限 ③0b <时，过二三四象限
正比例函数
y kx =
x
y y x
00
图象过原点
⑴当0k >时，y 随x 的增大而增大，图象必过一三象限
⑵当0k <时，y 随x 的增大而减小， 图象必过二四象限。
5、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。解这类问题的一般方法是待定系数法。 （1）、确定正比例函数及一次函数表达式的条件
①由于正比例函数(0)y kx k =≠中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对,x y 的值或一个点）就可求得k 的
值。
②由于一次函数(0)y kx b k =+≠中有两个待定系数,k b ，需要两个独立的条件确定两个关于,k b 的方程，求得,k b 的值，这两个条件通常是两个点或两对,x y 的值。 （2）待定系数法
先设式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出式子的方法叫做待定系数法。 （3）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤
① 设函数表达式为y kx b =+。
② 将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组）。 ③ 求出k b 与的值，得函数表达式。 6、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b
（k 、b 为常数，k ≠0）．当函数值0y =时，?即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值0y =时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b 确定它与x 轴交点的横坐标值． 7、一次函数y kx b =+的图象与坐标轴交点求法： 与x 轴的交点：令0y =，求出b x k =-
，得(,0)b
k
-； 与y 轴的交点：令0x =，求出y b =，得 (0,)b
第五章 二元一次方程组
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 3、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。 4二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 5、二元一次方程组的解法
（1）代入（消元）法 （2）加减（消元）法
（无论是代入消元法还是加减消元法，其目的都是将“二元一次方程”变为“一元一次方程”，所谓之“消元”） 6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：
（1）一次函数与二元一次方程的关系：
每个二元一次方程都可以看成一次函数，直线y=kx+b 上任意一点的坐标(,)m n 都是它所对应的二元一次方程
0kx y b -+=的解x m
y n =??=?
（2）一次函数与二元一次方程组的关系：
求二元一次方程组的解，可看成求两个一次函数图象的交点。
二元一次方程组 111222
a x
b y
c a x b y c +=??+=? 的解x m y n =??=?可看作两个一次函数 1111a c
y x b b =-+
和2222
a c
y x b b =-
+ 的图象的交点(,)m n 。反之，可以通过求二元一次方程组的解，求出两个一次函数图象的交点 当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。
第六章 数据的代表
1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数
2、平均数
（1）平均数：一般地，对于n 个数,,,,21n x x x 我们把)(1
21n x x x n
+++ 叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记为x 。
（2）加权平均数：
①、一组数据,,,,21n x x x 的权分加为123,,,....,n w w w w ，则称112233123........n n
n
x w x w x w x w w w w w ++++++++
为这n 个数的加权平均数。
（如：对某同学的数学、语文、科学三科的考查，成绩分别为72，50，88，而三 项成绩的“权”分别为4、3、1，则加权平均数为：
724503881
431
?+?+?++）
②、如果n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现f k 次（12f f n k
f ++
=），
那么这n 个的平均数可表示为1122x f x f x f
k k
x n
++=
，这样的平均数x 叫加权平均数，其中12,,k f f f 叫做权。
如：某小组在一次数学测试中，有3人为85分，2人为90分，5人为100分，则该小组的平均分为：
853*******
93.5325
?+?+?=++
3、众数
众数指的是一组数据中出现次数最多的那个数据。
附送教师精彩课堂用语（不需要可自
行删除） （听说读问写）
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 听 ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 1、谢谢大家听得这么专心。
2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。
3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。
4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。
5、我不知道我这样说是否合适。
6、不知我说清了没有，说明白了没有。
7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。
8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？
9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。
10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆说☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。
2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。
3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。
4、××说得还不完全，请哪一位再补充。
5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。
6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。
7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！
8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。
9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？
10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常注意哦。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆读☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
1、“读”是我们学习语文最基本的方法之一，古人说，读书时应该做到“眼到，口到，心到”。我看，你们今天达到了这个要求。
2、大家自由读书的这段时间里，教室里只听见琅琅书声，大家专注的神情让我感受到什么叫“求知若渴”，我很感动。
3、经过这么一读，这一段文字的意思就明白了，不需要再说明什么了。
4、请你们读一下，将你的感受从声音中表现出来。
5、读得很好，听得出你是将自己的理解读出来了。特别是这一句，请再读一遍。
6、读的要求应该分出层次。首先是通读，将句子读顺口，不认识的字借助工具读准字音。对于这一点，我们同学的认识是清楚的，态度是重视的，做得很好。
7、听你们的朗读是一种享受，你们不但读出了声，而且读出了情，我很感谢你们。
8、默读时，贵在边读边思考。现在我们将默读的思考心得交流一下。
9、默读，要讲究速度。现在我请大家在十分钟内看完这段文字，并请思考……
10、“读书百遍，其义自见”，我请各位再把这部分内容多读几遍，弄懂它的意思。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆问☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
1、“学贵有疑”，问题是思考的产物，你们的问题提得很好，很有质量，这是善于思考的结果。
2、你们的问题很有价值，看来你读书时是用心思考的。
3、这里有同学提出了这样一个问题，请大家看看是否有答案。
4、你们现在真能问，能问在点子上，能抓住要点来提问。
5、我们同学的思想变得很敏锐，这些问题提得很好。
6、这个问题提得很有意思，让我试着回答，也不一定准确。
7、今天我们提问已大大地超出了课文的范围，反映了我们同学学习的积极性及强烈的求知欲望。
8、有些问题我们可先问自己，自己有能力解决的，就不必向别人提出，让我们试试看，刚才新提出的问题，哪些是自己有答案的？
9、有一个问题，是我要求教大家的，谁能帮我解决。
10、我从同学们的提问中，看到的是思维的火花，非常烂灿，与其说是我在教你们，不如说是你们在教我，你们的学习能力是在提高。
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆写☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆
1、同学们养成了良好的学习习惯，作业本很干净，书写也端正。我很高兴，感谢大家。
2、请同学们看（用手扬起一大叠本子）我今天要表扬这么多同学，让我来介绍他们的名字。这些同学的作业字迹端正，行款整齐很少有错别字，文句通顺，进步很大。
3、同学们写下了自己的所见、所闻、所思，我也写了一点，现在我念给大家听，希望大家能喜欢。
4、写文章的目的是与别人交流，将自己的感情和思想用文字表达出来，让别人了解。我们的作文也应该有读者，有读者群。我建议大家互相交流。看完后将自己的体会，用一两句话写下来，目的是互相鼓励。
5、优秀的作文是全班的财富，应该让大家来共享，请大家出出主意，如何使这些财富充分地发挥作用，让每一位同学得益，特别请这些财富的创造者出出主意。
6、用自己的笔写自己心里的话，这一点很重要。我们班×同学做得比较好，他的作文虽然也有缺点，却给人一种真诚的感受。
7、“有纳才能吐”，有积累才能够表达。我们有些同学作文中的词语是丰富的，看得出他们课外有较大的阅读量。
8、××同学从生活中找写作材料的本领很大，即使一件不起眼的小事，他也能留心观察，作为原始材料积累起来，他的写作材料总是那么新鲜、独到。
9、刚刚过了××节，同学们一定还有深刻的印象，就“××节”为题，写一遍作文，好吗？
10、文章写完了，自己应该小声读两遍，注意有没有词句的毛病和写错、写漏的字。