定积分与微积分练习题及答案

定积分与微积分练习题及答案

一、选择题：

1如图，阴影部分面积等于( )

A ．2 3

B ．2－ 3 C.323 D.35

3

[答案] C

[解析] 图中阴影部分面积为

S ＝??-31 (3－x2－2x)dx ＝(3x －13x3－x2)|1－3＝32

3.

2.??0

24－x2dx ＝( )

A ．4π

B ．2π

C ．π

D.π2

[答案] C

[解析] 令y ＝4－x2，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝1

4

×π×22＝π.

3．(2012·山东日照模拟)向平面区域Ω＝{(x ，y)|－π4≤x≤π

4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该

点落在曲线y ＝cos2x 下方的概率是( )

A.π

4

B.12

C.π

2

－1

D.2π

[答案] D[解析] 平面区域Ω是矩形区域，其面积是

π

2

，在这个区

4．设f(x)＝?

???

?

x2， x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则

2

?

f(x)dx 等于 ( )

A.34

B.45

C.5

6 D ．不存在

解析：数形结合，

2

?

f(x)dx=

1

?

x2dx+

2

1

?

(2-x)dx

=

321211(2)3021x x x +-=3115(422)326x +--+=

.答案：C 5．如图，函数y ＝－x2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合 图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 ( ) A ．1 B.4

3

C. 3 D ．2

解析：函数y ＝－x2＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积等于

2

?

(－x2＋2x ＋1－1)dx ＝

2

?

(－x2＋2x)dx ＝4

3

.答案：B

6.(2010·烟台模拟)若y ＝

x

?

(sint ＋costsint)dt ，则y 的最大值是 ( )

A ．1

B ．2

C ．－7

2 D ．0

解析：y ＝

x

?

(sint ＋costsint)dt ＝

x

?

(sint ＋1

2

sin2t)dt

＝(－cost －14cos2t)0x

＝－cosx －14cos2x ＋54＝－cosx －14(2cos2x －1)＋54＝－12cos2x －cosx ＋32＝－1

2

(cosx ＋1)2＋2≤2. 答案：B

7．(2010·惠州模拟)??0

2(2－|1－x|)dx ＝________.[答案] 3

[解析] ∵y ＝?

????

1＋x 0≤x≤1

3－x 1

＝(x ＋12x2)|10＋(3x －12x2)|21＝32＋3

2

＝3.

8．(2012·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx ＋1，则??1e lnxdx ＝( )

A ．1

B ．e

C ．e －1

D ．e ＋1

[答案] A[解析] 由(xlnx)′＝lnx ＋1，联想到(xlnx －x)′＝(lnx ＋1)－1＝lnx ，于是??1e

lnxdx ＝(xlnx －x)|e 1＝(elne －e)－(1×ln1－1)＝1.

9．若函数f(x)＝????

?

－x －1 －，π

2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )

A.2＋π

4

B.12

C ．1 D.3

2

[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋???0 π2cosxdx ＝12＋sinx|π20＝3

2.

二、填空题：

1．已知函数y ＝x2与y ＝kx(k ＞0)的图象所围成的阴影部分 (如图所示)的面积为4

3

，则k ＝________.

解析：直线方程与抛物线方程联立先求出积分区间为[0，k]，

再由

k

?

(kx －x2)dx ＝(kx22－x33)0k

＝k36＝4

3

求得k ＝2.答案：2

2．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x2向点A(2,4)移动， 记直线OP 、曲线y ＝x2及直线x ＝2所围成的面积 分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P 的坐标为________． 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx, P 点的坐标为(x ，y)， 则

x

?

(kx －x2)dx ＝

2x

?

(x2－kx)dx ，

即(12kx2－13x3)0x ＝(13x3－12kx2)2

x ，

解得12kx2－13x3＝83－2k －(13x3－1

2

kx2)，

解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为(43，169)．答案：(43，169)

3．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米．

解析：据题意，v 与t 的函数关系式如下：

v ＝v(t)＝?????

3

2t ，0≤t ＜20，

50－t ，20≤t ＜40，

10，

40≤t≤60.

所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为

s ＝

60

()d v t t

?

＝

20

3d 2t t ?

＋4020(50)d t t -?＋60

4010d t ?＝34t2200＋(50t －12

t2)

4020＋10t

40

20＝900米．答案：

900

4.已知函数f(x)＝3x2＋2x ＋1，若??-11f(x)dx ＝2f(a)成立，则a ＝________.

解析：??-1

1 (3x2＋2x ＋1)dx ＝(x3＋x2＋x)| 1-1＝4，

所以2(3a2＋2a ＋1)＝4，即3a2＋2a －1＝0，解得a ＝－1或a ＝13.答案：－1或1

3

5．(2010·温州模拟)若f(x)是一次函数，且1

?

f(x)dx ＝5，

1

?

xf(x)dx ＝

17

6

，那么2

1

?

f(x)x

dx 的值是________．

解析：∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax ＋b(a≠0)，由1

?

(ax ＋b)dx ＝5得(12

ax2＋bx)1

0＝

1

2

a ＋

b ＝5， ①由1

?

xf(x)dx ＝

17

6

得1

?

(ax2＋bx)dx ＝

17

6

，即 (13ax3＋12bx2) 1

0＝17

6，∴13a ＋12b ＝176

，②解①②得a ＝4，b ＝3，∴f(x)＝4x ＋3， 于是

2

1

?

f(x)

x

dx ＝2

1

?

4x ＋3

x

dx ＝2

1

?

(4＋3x

)dx ＝(4x ＋3lnx)2

1＝8＋3ln2－4＝4＋3ln2. 答案：4＋3ln2

6．抛物线y2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________． [答案] 18

[解析] 由方程组?

????

y2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y2

2、

x ＝4－y ，

∴S ＝??-4

2 [(4－y)－y22]dy ＝(4y －y22－y3

6)|2－4＝18.

7．如果??01f(x)dx ＝1，??02f(x)dx ＝－1，则??12f(x)dx ＝________.

解析：∵??02f(x)dx ＝??01f(x)dx ＋??1

2f(x)dx ， ∴??12f(x)dx ＝??02f(x)dx －??0

1f(x)dx ＝－1－1＝－2.答案：－2 8．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若??01f(x)dx ＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．

[答案]

33

[解析] ??01f(x)dx ＝??01(ax2＋c)dx ＝(ax33＋cx)|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax20＋c ，即ax20＝a

3，

又a≠0，所以x20＝13，又0≤x0≤1，所以x0＝33.故填3

3

.

9．(2010·安徽合肥质检)抛物线y2＝ax(a>0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为4

3，若

直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．

[答案] 16x －8y ＋1＝0[解析] 由题意知??01axdx ＝2

3，∴a ＝1，

设l ：y ＝2x ＋b 代入y2＝x 中，消去y 得， 4x2＋(4b －1)x ＋b2＝0，由Δ＝0得，b ＝1

8，

∴l 方程为16x －8y ＋1＝0.

10．设n ＝??12(3x2－2)dx ，则(x －2

x )n 展开式中含x2项的系数是________．

[答案] 40

[解析] ∵(x3－2x)′＝3x2－2，∴n ＝??12(3x2－2)dx ＝(x3－2x)|21 ＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －

2x )5的通项公式为Tr ＋1＝Cr 5x5－r(－2

x

)r ＝(－2)rCr 5x

5－

3r

2 ，令5－3r

2

＝2，得r ＝2，

∴x2项的系数是(－2)2C25＝40. 三、解答题： 1．计算以下定积分： (1) 2

1

?

(2x2－1

x

)dx ；(2)

32

?

(x ＋1

x

)2dx ；(3)

30

π

?

(sinx －sin2x)dx ；

(4)

1

1

-?

|x|dx; (5)??0

πcos2x

2dx ；

解：(1)

2

1

?

(2x2－1x )dx ＝(23

x3－lnx)2

1 ＝163－ln 2－23＝

14

3

－ln 2.

(2)

32

?

(x ＋

1

x

)2dx ＝32

?

(x ＋1

x

＋2)dx

＝(12x2＋lnx ＋2x)3

2＝(9

2＋ln 3＋6)－(2＋ln 2＋4)＝ln 32＋92

. (3) 3

π

?

(sinx －sin2x)dx ＝(－cosx ＋12

cos2x)3

0π

＝(－12－14)－(－1＋12)＝－1

4

.

(4)??1－1|x|dx ＝2??0

1xdx ＝2×12x2|10＝1.

(5)??0πcos2x 2dx ＝??0π1＋cosx 2dx ＝12x|π0＋12sinx|π0＝π

2

2．设y ＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x －2. (1)求y ＝f(x)的表达式；

(2)求y ＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．

解：(1)设f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax ＋b.又f′(x)＝2x －2， 所以a ＝1，b ＝－2，即f(x)＝x2－2x ＋c.

又方程f(x)＝0有两个相等实根，所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f(x)＝x2－2x ＋1. (2)依题意，所求面积为

S ＝??0

1(x2－2x ＋1)dx ＝(13x3－x2＋x)|10＝1

3.

3．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，??01f(x)dx ＝－2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值． 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax ＋b.

由f(－1)＝2，f′(0)＝0，得????? a －b ＋c ＝2b ＝0，即?????

c ＝2－a b ＝0

. ∴f(x)＝ax2＋(2－a)．

又??01f(x)dx ＝??01 [ax2＋(2－a)]dx

＝[13ax3＋(2－a)x]|10＝2－23

a ＝－2.

∴a ＝6，∴c ＝－4.从而f(x)＝6x2－4. (2)∵f(x)＝6x2－4，x ∈[－1,1]，

所以当x ＝0时，f(x)min ＝－4；当x ＝±1时，f(x)max ＝2. 4．设f(x)＝

1

?

|x2－a2|dx.

(1)当0≤a≤1与a ＞1时，分别求f(a)； (2)当a≥0时，求f(a)的最小值． 解：(1)0≤a≤1时， f(a)＝

1

?

|x2－a2|dx ＝

a

?

(a2－x2)dx ＋

1

a

?

(x2－a2)dx

＝(a2x －13x3)0a ＋(x33－a2x)1

a ＝a3－13a3－0＋0＋13－a2－a33＋a3

＝43a3－a2＋1

3. 当a ＞1时，

f(a)＝

1

?

(a2－x2)dx ＝(a2x －13

x3)1

0＝a2－13

.

∴f(a)＝32

241(0),331(>311).

a a a a a ?-+???

?-??

≤≤

(2)当a ＞1时，由于a2－1

3在[1，＋∞)上是增函数，故f(a)在[1，＋∞)上的最小值是f(1)

＝1－13＝23

.

当a ∈[0,1]时，f′(a)＝4a2－2a ＝2a(2a －1)，由f′(a)＞0知：a ＞1

2或a ＜0，

故在[0，12]上递减，在[12，1]上递增．因此在[0,1]上，f(a)的最小值为f(12)＝1

4.

综上可知，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为1

4

.

5．有一条直线与抛物线y ＝x2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于4

3

，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．

[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A(a ，a2)，B(b ，b2)，不妨设a

b2－a2

b －a

(x －a)，即y ＝(a ＋b)x －ab.

则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝??a b [(a ＋b)x －ab －x2]dx ＝(a ＋b

2x2－abx －

x33)|b a ＝16(b －a)3，∴16(b －a)3＝4

3

， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P(x ，y)， 其中???

x ＝a ＋b

2

，y ＝a2＋b2

2

.将b －a ＝2代入得?

????

x ＝a ＋1，

y ＝a2＋2a ＋2.消去a 得y ＝x2＋1.

∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x2＋1.

6．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．

[解析] 由题意得S1＝t·t2－??0t x2dx ＝2

3t3，

S2＝??t 1x2dx －t2(1－t)＝23t3－t2＋1

3，

所以S ＝S1＋S2＝43t3－t2＋1

3(0≤t≤1)．

又S′(t)＝4t2－2t ＝4t ????t －1

2， 令S′(t)＝0，得t ＝1

2

或t ＝0.

因为当0

2

0.

所以S(t)在区间????0，12上单调递减，在区间????1

2，1上单调递增． 所以，当t ＝12时，Smin ＝1

4.

高等数学定积分应用习题答案

第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y

4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 2 2 =+ b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 体的体积。 旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133=== 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x a x ch a y ==== ;,2sin )2(轴绕与x x y x y π = = ; ,)2 0(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π ≤≤== ; 0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-= ; , 16)5()6(22轴绕y y x =+- 。产生的旋转体的体积旋转 轴绕轴所围的图形处的切线和及其在求由抛物线x x x y )2,0()1(4.152-= 积。轴旋转所得旋转体的体所围图形绕求x y x y x 2223,4.16≥ ≤+ 求其体积。 ， 图面都是等边三角形为底，垂直于长轴的截一立体以椭圆)26(125 100.1722 -≤+y x

不定积分练习题及答案

不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝?? ?0 1(x 2－x )d x B ．S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x C ．S ＝?? ?0 1 (y 2－y )d y D ．S ＝??? 1 (y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图 形的面积S ＝?? ?0 1 (x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S ＝??? -3 1 (3－x 2 －2x )d x ＝(3x －1 3x 3－x 2)|1 －3＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积

不定积分例题及参考答案

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)2 2x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

定积分及微积分基本定理练习题及答案

1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a2，c ＝??02sinxdx ＝－ cosx|02＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

§定积分的应用习题与答案

第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2 2 1x y =与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1 =与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3 cos =，t a y 3 sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 ２、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积

３、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3 x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的 立体体积 ６、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3 cos =，t a y 3 sin =的全长 ８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→ F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ）成

正比，即：kS =→ F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3 ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与水 面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积

定积分及微积分基本定理练习题及答案

定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a2，c ＝??0 2sinxdx ＝－cosx|02 ＝1－cos2∈(1,2)， ∴c

高中数学之定积分与微积分基本定理含答案

专题06 定积分与微积分基本定理 1．由曲线,直线轴所围成的图形的面积为（） A．B．4C．D．6 【答案】A 【解析】 联立方程得到两曲线的交点（4，2）， 因此曲线y，直线y＝x﹣2及y轴所围成的图形的面积为： S． 故选:A． 2．设f（x）=|x﹣1|，则=（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】 画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定积分为 ，故选A.

3．曲线与直线围成的封闭图形的面积是（） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】 令，则，所以曲线围成的封闭图形面积为 ，故选D 4．为函数图象上一点，当直线与函数的图象围成区域的面积等于时，的值为 A．B．C．1D． 【答案】C 【解析】 直线与函数的图象围成区域的面积S dx ＝

∴ 故选：C 5．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为( ) A．B．1C．D． 【答案】B 【解析】 题目所求封闭图形的面积为定积分，故选B. 6．如图，矩形中曲线的方程分别是，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A．B．C．D． 【答案】A 【解析】 依题意的阴影部分的面积，根据用几何概型概率计算公式有所求概率为，故选A. 7．（） A．B．-1C．D． 【答案】C 【解析】 解：

． 故选：C． 8．，则T的值为 A．B．C．D．1 【答案】A 【解析】 由题意得表示单位圆面积的四分之一，且圆的面积为π， ∴， ∴． 故选A． 9．下列计算错误 ．．的是（） A．B． C．D． 【答案】C 【解析】 在A中，， 在B中，根据定积分的几何意义，， 在C中，， 根据定积分的运算法则与几何意义，易知，故选C.

§_5_定积分习题与答案

第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数

dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?

? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx

定积分练习习题及标准标准答案.doc

第五章 定积分 (A 层次 ) 1． 2 sin x cos 3 xdx ； 2 ． x 2 a 2 x 2 dx ； 3 ． 3 dx ； a 1 x 2 1 x 2 1 4． 1 xdx ； 4 5． 5 4x 1 dx ； 1 dx ； x 1 6． 3 1 x 1 4 e 2 7． 1 dx ； dx ； 9 ． 1 cos2xdx ； 8 ． x 2 2x 2 x 1 ln x 2 10． x 4 sin xdx ； 11 ． 2 4 cos 4 xdx ； 12 ． 3 sin 2 x dx ； 5 x 2 5 x 4 2x 2 1 13． 3 x dx ； 14 ． 4 ln x dx ； 15 ． 1 xarctgxdx ； 2 1 4 sin x x 16． 2 e 2x cosxdx ； 17 x sin x 2 dx ； 18 e ． 0 ． 1 sin ln x dx ； 0 19． 2 cos x cos 3 xdx ； 20 ． 4 sin x dx ； 21 ． x sin x dx ； 4 0 1 sin x 0 1 cos 2 x 1 1 x 1 x 2 2 x ln dx ； 23 ． 24 ． 2 ln sin xdx ； 22． 0 1 x 1 x 4 dx ； 0 25． dx dx 0 。 1 x 2 1 x (B 层次 ) y t x 所决定的隐函数 对 的导数 dy 。 1．求由 cos 0 y x e dt tdt dx 2．当 x 为何值时，函数 I x x te t 2 dt 有极值？ 3． d cos x 2 dt 。 cos t dx sin x 4．设 f x x 1, x 1 2 ，求 f x dx 。 1 2 , x 1 0 2 x x arctgt 2 5． lim 0 dt 。 x 2 x 1

定积分及其应用练习 带详细答案

定积分及其应用 题一 题面： 求由曲线2(2)y x =+与x 轴，直线4y x =-所围成的平面图形的面积． 答案：323 ． 变式训练一 题面： 函数f (x )＝???? ? x ＋2(－2≤x <0)，2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 为( ) A.5 2 B ．2 C ．3 D ．4 答案：D. 详解： 画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2＋∫π 202cos x d x ＝2＋2sin x |π20＝4. 变式训练二 题面： 由直线y ＝2x 及曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 3 B ．9－2 3 C.353 D.323 答案： 详解：

注意到直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2的交点A ，B 的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y ＝2x 与曲线y ＝3－x 2围成的封闭图形的面积为??－3 1 (3－x 2－2x )d x ＝? ????3x －13x 3－x 2??? 1 －3 ＝3×1－13×13－12－ ? ?? 3× －3 －13× －3 3 ]－ －3 2 ＝323，选D. 题二 题面： 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )． A ．1 B ．1 C ．1 D ．17 变式训练一 题面： 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的导函数y ＝f ′(x )的部分图象如图所示，其中，P 为图象与y 轴的交点，A ，C 为图象与x 轴的两个交点，B 为图象的最低点．

定积分与微积分含答案

定积分与微积分基本定理 基础热身 1．已知f (x )为偶函数，且 ??0 6f(x)d x ＝8，则? ?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 2． 设f(x)＝??? x 2，x ∈[0，1]， 1 x ，x ∈1，e ] (其中e 为自然对数的底数)，则??0 e f(x)d x 的值为( ) B ．2 C ．1 3．若a ＝??0 2x 2d x ，b ＝??0 2x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关 系是( ) A ．a

A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．以上均不对 9．如果10 N 的力能使弹簧压缩10 cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6 cm ，则力所做的功为( ) A ． J B ． J C ． J D ． J 10．设函数y ＝f(x)的定义域为R ＋，若对于给定的正数K ，定义函 数f K (x )＝????? K ，fx ≤K ，fx ，fx >K ， 则当函数f (x )＝1x ，K ＝1时，定积分??214f K (x)d x 的值为________． (x －x 2)d x ＝________. 12． ∫π 20(sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数a ＝________. 13．由抛物线y 2 ＝2x 与直线x ＝12及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为________． 14．(10分)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图K 15－2所示，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围 成的区域(阴影)面积为27 4，求f(x)的解析式． 图K 15－2 15．(13分)如图K 15－3所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t (00)，

不定积分_定积分复习题与答案

上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<

微积分定积分练习题(有答案)

1利用定积分的几何意义计算」''1 - x2dx. 2. 计算定积分"2(x+ 1)dx. J i 3. 定积分"bf(x)dx的大小() ?a A .与f(x)和积分区间［a, b］有关，与E的取法无关 B.与f(x)有关，与区间［a，b］以及&的取法无关 C .与f(x)以及8的取法有关，与区间［a, b］无关 D .与f(x)、区间［a，b］和8的取法都有关 4. 在求由x= a，x= b(a

8. 10 利用定积分的几何意义求 —9 — x — 3 2dx. (1)| 2(x 2+ 2x + 1)dx ; 广n (2) 1 (sinx — cosx)dx ； (3)| J* 2 / 、 1 x — X 2 +_ 1 丿。 1 < X 丿 (4) 0-?cosx + e x )dx. ⑹p (2x + 1)dx ; ⑺ 丿0 1 2x + 一 dx x 广1 ⑺f; x (8) 1x 3dx ; ■ 0 (9) 1e x dx. 11 求 y = — x 2与 y = x — 2围成图形的面积S. 15 A.— 4 17 B.— 4 1 C.—|n 2 2 D . 2ln2 已知"2 f(x)dx = 3，贝U 2 [f(x) + 6]d 1 1 12 .由直线x =2，x =2，曲线y =严x 轴所围图形的面积为 13.已知 f 1— 1(x 3 + ax + 3a — b)dx= 2a + 6 且 f(t) = f (x 3 + ax + 3a — b)dx 为偶函数， 求下列定积分: dx ; 2 1 x 2dx

定积分练习题及答案(基础)

第六章 定积分练习题及答案 一、填空题 (1) 根据定积分的几何意义，?-=+2 1)32(dx x 12 =-?dx x 2 024π ,=?π0 cos xdx ____0____ (2）设?-=1110)(2dx x f ，则?-=1 1)(dx x f _____5____， ?-=1 1)(dx x f ____-5___，?-=+1 1]1)(2[51dx x f 512 . (3) =?102sin dx x dx d 0 (4) =?2 2sin x dt t dx d 4sin 2x x 二、选择题 （1） 定积分?12 21ln xdx x 值的符号为 （B ） .A 大于零 .B 小于零 .C 等于零 .D 不能确定

三、计算题 1.估计积分的值：dx x x ?-+3 121 解：设1)(2+=x x x f ，先求)(x f 在]3,1[-上的最大、最小值， ,) 1()1)(1()1(21)(222222++-=+-+='x x x x x x x f 由0)(='x f 得)3,1(-内驻点1=x ，由3.0)3(,5.0)1(,5.0)1(==-=-f f f 知,2 1)(21≤≤- x f 由定积分性质得 221)()21(2313131=≤≤-=-???---dx dx x f dx 2.已知函数)(x f 连续，且?- =10)()(dx x f x x f ，求函数)(x f . 解：设 a dx x f =?10)(，则a x x f -=)(，于是 a adx xdx dx a x dx x f a -=-=-==????2 1)()(1 0101010， 得41=a ，所以4 1)(+=x x f . 3. dx x x x ?++1 31 222) 1(21 解：原式=dx x x dx x x x x )111()1(1213 121312222++=+++?? 3112+-= π 4. ?--1 12d x x x 解：原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 5. ?--1 12d x x x 解：原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 6. ?-1 02dx xe x

不定积分-定积分复习题及答案-精品

不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则() f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx = ? ，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 二、填空题：（每小格3分，共30分）

定积分习题及答案

第五章 定积分 (A 层次) 1．?20 3 cos sin π xdx x ； 2．?-a dx x a x 2 2 2 ； 3．? +3 1 2 2 1x x dx ； 4．?--11 45x xdx ； 5．? +4 1 1 x dx ； 6．?--1 4 3 1 1x dx ； 7．? +2 1 ln 1e x x dx ； 8．? -++0 222 2x x dx ； 9．dx x ?+π02cos 1； 10．dx x x ?-π πsin 4 ； 11．dx x ?- 22 4 cos 4π π； 12．?-++5 5242 312sin dx x x x x ； 13．?3 4 2sin π πdx x x ； 14．?41ln dx x x ； 15．?10xarctgxdx ； 16．?20 2cos π xdx e x ； 17．()dx x x ? π 2 sin ； 18．()dx x e ?1 ln sin ； 19．?- -24 3 cos cos π πdx x x ； 20．?+4 sin 1sin π dx x x ； 21．dx x x x ?+π02cos 1sin ； 22．? -+21 11ln dx x x x ； 23．?∞+∞-++dx x x 42 11； 24．?20sin ln π xdx ； 25．( )() ?∞ +++0 211dx x x dx α ()0≥α。 (B 层次) 1．求由0cos 0 =+??x y t tdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数 dx dy 。 2．当x 为何值时，函数()?-=x t dt te x I 0 2 有极值？ 3． () ?x x dt t dx d cos sin 2 cos π。 4．设()??? ??>≤+=1,2 11 ,12x x x x x f ，求()?20dx x f 。

不定积分-定积分复习题及答案

（A ） F ( x ) = ? ；（B ） F ( x ) = ? ? -e - x + c , x < 0 ? -e - x + c + 2, x < 0 3、设 f ( x ) = ?0, x = 0 , F ( x ) = ? f (t )dt ，则（ ） ? -1, x < 0 ? t sin tdt ? t 2dt 2 上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格 3 分，共 30 分） 1、设 sin x f (ax ) 为 f ( x ) 的一个原函数，且 a ≠ 0 ，则 ? x a dx 应等于（ ） （A ） sin ax sin ax sin ax sin ax + C ； （B ） + C ； （C ） + C ； （D ） + C a 3 x a 2 x ax x 2、若 e x 在 (-∞, +∞) 上不定积分是 F ( x ) + C ，则 F ( x ) = （ ） ?e x + c , x ≥ 0 ?e x + c , x ≥ 0 1 2 ?e x , x ≥ 0 ?e x , x ≥ 0 （C ） F ( x ) = ? ；（D ） F ( x ) = ? ? -e - x + 2, x < 0 ? -e - x , x < 0 ?1, x > 0 ? x ； ? （A ） F ( x ) 在 x = 0 点不连续； （B ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，在 x = 0 点不可导； （C ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，且满足 F '( x ) = f ( x ) ； （D ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，但不一定满足 F '( x ) = f ( x ) 。 4、极限 lim x →0 x 0 x ＝（ ） （A ）－1； （B ）0； （C ）1； （D ）2 5、设在区间[a , b ] 上 f ( x ) > 0, f '( x ) < 0, f ''( x ) > 0 。令 s = ? 1 b a f ( x )dx ， s = f (b )(b - a ) 2 1 s = [ f (a ) + f (b )](b - a ) ，则（ ） 3 （A ） s < s < s ； （B ） s < s < s ； （C ） s < s < s ； （D ） s < s < s 1 2 3 2 1 3 3 1 2 2 3 1 二、填空题：（每小格 3 分，共 30 分）

1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版

定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??0 1(x 2－x )d x B ．S ＝??0 1(x －x 2)d x C ．S ＝??0 1(y 2－y )d y D ．S ＝??0 1(y － y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( ) — A ．2 3 B ．2－3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为

S ＝??-3 1 (3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3 ＝32 3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π [答案] C [解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积， / ∴S ＝1 4×π×22＝π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( ) A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面 B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面 C ．在t 0时刻，两车的位置相同 D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后 的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v 甲的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的面积大于v 乙的图象与t 轴和t ＝0，t ＝t 0围成区域的