华南理工《离散数学》模拟题及答案
1. A．1＋101＝110
C．全体起立!
B．中国人民是伟大的。D．计算机机房有空位吗?
在上面句子中, 是命题的是( B)
2．设Q( x) : x是有理数, R( x) : x是实数。命题”某些实数是有理数”在谓词逻辑中的符号化公式是( D)
A．( ?x) ( Q( x) → R( x) ) C．( ?x) ( Q( x) → R( x) ) B．( ?x) ( Q( x) ∧R( x) ) D．( ? x) ( Q( x) ∧ R( x) )
3.对于集合{1, 2, 3}, 下列关系中不等价的是( B)
A．R={<1,1>, <2,2>, <3,3>}
B．R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,4>}
C．R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3, 2>,<2,3>}
D．R={<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>,<1,3>, <3,1>,,<3,3>,<2,3>,<3,2>}
4．设A={1, 2, 3, 4, 5}, B={a, b, c, d, e}, 以下哪个函数是从A到B的
双射函数( B)
A．F ={<1, b>, <2, a>, <3, c>, <1, d>, <5, e>}
B．F={<1, c>, <2, a>, <3, b>, <4, e>, <5, d>}
C．F ={<1, b>, <2, a>, <3, d>, <4, a>}
D．F={<1, e>, <2, a>, <3, b>, <4, c>, <5, e>}
5．下列判断不正确的是( D)
A．{n 2 n∈ N}关于普通加法构成群
B．{n 2 n∈ N}关于普通乘法构成独异点
C．所有实数对< a,b >关于 运算, 其中< a,b > < c,d >=< a + c,b+ d >构成群D．实数集R关于 运算构成半群, 其中a b = 2(a + b)
二、判断题( 本大题20分, 每小题4分)
1、命题公式p→(?p∧q)是重言式。( ×)
( √) 2、 ( ( ?x) A( x) → B) ?( ?x) ( A( x) → B) 。
3、设A={a, b, c}, R∈ A×A且R={< a, b>,< a, c>},则R是传递的。( √)
4、n阶无向完全图K n的每个顶点的度都是n。( ×)
( ×) 5、根树中除一个结点外, 其余结点的入度为1。
三、解答题( 计算或者证明题: 本大题50分, 每小题10分)
1．设命题公式为? Q ∧( P → Q) → ? P。
( 1) 求此命题公式的真值表;
( 2) 求此命题公式的析取范式;
( 3) 判断该命题公式的类型。
P Q ?Q P→Q ? Q ∧( P → Q) ? P ? Q ∧( P → Q) → ? P
0 0 1
0 1 0
1 0 1 1 1 0 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( 2) ? Q ∧( P → Q) → ? P? ?( ? Q ∧( ?P∨ Q) ) ∨? P
?( Q∨ ?( ?P∨ Q) ) ∨? P? ?( ?P∨ Q) ∨( Q∨ ? P) ? 1( 析取范式) ?( ?P∧?Q) ∨( ?P∧Q) ∨( P∧?Q) ∨( P∧Q) ( 主析取范式)
( 3) 该公式为重言式
2．用直接证法证明:
前提: ( ?x) ( C( x) → W( x) ∧R( x) ) , ( ?x) ( C( x) ∧Q( x) )
结论: ( ?x) ( Q( x) ∧R( x) ) 。
2、证(1)( ?x) ( C( x) ∧Q( x) )
(2)C( c) ∧Q( c) P
ES (1)
(3)( ?x) ( C( x) → W( x) ∧R( x) ) P
(4) C( c) → W( c) ∧R( c)
(5) C( c)
(6)W( c) ∧R( c)
(7)R( c) US(3) T(2)I T(4,5)I T(6)I T(2)I
(8)Q( c)
(9)Q( c) ∧R( c) T(7,8)I
EG(9)
(10)( ?x) ( Q( x) ∧R( x) )
3．设R是集合 A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}上的整除关系。
(1)给出关系R;
( 2) 给出COV A
( 3) 画出关系R的哈斯图;
( 4) 给出关系R的极大、极小元、最大、最小元。
3、解R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,6>, <1,12>,<2,4>,<2,6>, <2,12>, <3,6>, <3,12>, <4,12>,<6,12>}∪I A
COV A={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<2,6>, <3,6>, <4,12>, <6,12>}
作哈斯图如右: 12
6
4
极小元和最小元为1;
2
极大元和最大元为 12
4．如图所示带权图, 用避圈法(Kruskal算法)求一棵最小生成树并计算它的权值。
解
1
3 2
5
4
C(T)=1+ 3+ 4+ 5+ 2 =15
5、设字母a,b,c,d,e, f在通讯中出现的频率为: a:30%,b:25%,c:20%,
d :10%,e:10%, f :5%。试给出传输这6个字母的最佳前缀码? 问传输1000个字符需要多少位二进制位?
解先求传输100个字符所需要的位数。a:30,b:25,c:20,d :10,e:10, f :5是依照出现频率得出的个数。构造最优二叉树如下:
5 10 10 20 25 30
15 10 20 25 30 100
45 55
25 20 25 30
25 45 30
45 55
25 10 11
30
01
10 20 25
00110
10
0001
5
0000
100
需要二进制位数为10W (T) =10?{4?(5+10)+3?10+ 2?(20+ 25+30)}= 2400
《离散数学》模拟试题
专升本 .12
一．填空
( 1) 设 P: 你努力。Q: 你失败。在命题逻辑中, 命题: ”除非你努力, 否则你
将失败。”可符号化为: ( ?P →Q )。
( 2) 对于命题公式A, B, 当且仅当( A →B )是重言式时, 称”A 蕴含B”, 并
记为A ?B 。
( 3) 设P , Q 是命题公式, 德·摩根律为: ?( P ∧ Q) ?( ?P ∨?Q )。 ( 4) 令M(x): x 是大学生,P(y): y 是运动员, H(x, y): x 钦佩y 。则命题”有
些大学生不钦佩所有运动员。”可符号化为( ?x(M(x) ∧?y (P(y)→ ?H(x, y))) )。
( 5) 设集合E={a,b,c}, E 的幂集P(E)＝ ({Φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c}, {b, c}, {a, b, c}})。
( 6) 设R 为定义在集合A 上的一个关系, 若R 是(自反的, 对称的, 传递的),
则R 称为是集合A 上的等价关系。
( 7) 设集合A 上的关系R 和S, R={<1,a>,<3,b>,<4,d>,<2,e>}, S={ b>, ( 8) 一个代数系统＜S, *＞, 其中S 是非空集合。*是S 上的一个二元运算, 如果(运算*是封闭的 ), 则称代数系统＜S, *＞为广群。 ( 9) 设图G=＜V, E ＞, 如果有图G ˊ=＜V ˊ, E ˊ＞, 且(V '?V 则称G ˊ是G 的子图。 'E ?E ), ( 10) 一棵有n 个顶点的树含有( n －1 )边。 P322 (11)如果二元运算运算*对集合A 封闭, 则意味着对任意的 a ,b ∈ A 有 ( a*b ∈A )。 (12)设非空集合A 的幂集为 ρ(A ), 则在代数系统< ρ(A ), , >中, 对于∪运算 的幺元是( Φ ); (13)设G 是个具有5个结点的简单无向完全图, 则G 有( 5*(5-1)/2 )条边。 (14)设G 是个无自环的无向图, 其中有 2个结点的度数为 4, 其余结点的度为 2, 有6条边。则G 中共有( 2 )个结点。因此, G 是个(多重 )图。 二．判断下列命题的对错。正确的在括号内填√,错误的在括号内填×。 1. 2.命题”如果雪是黑的, 那么太阳从东方出”是假命题。 3. (?x)(A(x)→B(x))? (?x)A(x)→ (?x)B(x)。P70 4.命题公式 (?Q ∧(P →Q))→?P 是重言式。 P19,永真式 5.命题公式( P ∧Q ) ∨( ?R →T ) 是析取范式。P31析取范式定义 6. R(x): ”x 是大学生。”是命题。 ”我们要努力学习”是命题。 ( ×) ( ×) ( √) ( ×) ( ×) ( ×) ( √) ( ×) 7.设 A , B 是任意集合, 则 A ⊕ B ＝(A -B )∪(B -A )。P92 8.集合 A={1,2,3}上的关系{<1,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>}是对称的。 9.集合 A 的幂集 ρ(A )上的包含关系是偏序关系。 P140 ( √) 10.每个元素都有逆元的半群是群。不一定有幺元 ( ×) 11.设 X={1, 2, 3}, Y={a, b }。关系 F={<1, a>,<2, b>,<2, a>}是函数。( ×) P147 12. n 阶无向完全图 K n 的每个顶点的度都是 n 。 ( ×) 顶点数-1 13.设 I 是整数集, ＋是 I 上的普通加法, 则代数系统 14.经过图中每条边一次且仅一次的回路称为汉密尔顿回路。 15.根树中除根结点外, 其余结点的入度都为 1。 ( ×) ( √) 16.设 A , B 都是合式公式, 则 A ∧B →?B 也是合式公式。 17. P → Q ? ? P ∨Q 。 ( √) ( √) 18.对谓词公式( ?x ) ( P ( y ) ∨Q ( x,y ) ) ∧ R ( x,y ) 中的自由变元进行代入后 得到公式( ?x ) ( P ( z ) ∨Q ( x, z ) ) ∧ R ( x,y ) 。 ( √) 19.对任意集合 A 、 B 、 C , 有(A - B ) - C = (A - C ) - (B - C )。P95 ( √) 20. 三、 在每小题的备选答案中只有一个正确答案, 将正确答案序号填入下列叙述 一个结点到另一个结点可达或相互可达。 P284 (× ) 中的 内。 1． (1 )如果天气好, 那么我去散步。 (3 ) x=3。 (2 )天气多好呀! (4 )明天下午有会吗? 在上面句子中 是命题。 ( 1) 2．设: P : 王强身体很好; Q : 王强成绩很好。命题”王强身体很好, 成绩也 很好。”在命题逻辑中可符号化为 ( 1) P ∨ Q ( 3) P ∧?Q 。( 4) ( 2) P → Q ( 4) P ∧ Q 3．设 S ( x ) : x 是学生, J ( y ) : y 是教师, L ( x , y ) : x 钦佩 y 。命题”所有 学生都钦佩一些教师”的符号化公式是 。( 3) ( 1) ?x ( S ( x ) ∧ ? y ( J ( y ) ∧ L ( x , y ) ) ) ( 2) ?x ?y ( S ( x ) →( J ( y ) → L ( x , y ) ) ) ( 3) ?x ( S ( x ) → ?y ( J ( y ) ∧ L ( x , y ) ) ) ( 4) ?y ?x ( S ( x ) →( J ( y ) ∧ L ( x , y ) ) ) 4．下列式子是合式公式的是 ( 1) ( P ∨ Q ∧ → Q ) ( 3) ( P ? Q ) 。( 2) P9 ( 2) ?( P ∧( Q ∨ R ) ) ( 4) ∧ Q → ∧ R → P 。( 4) 5．下列式子中正确的是 ( 1) ?( ?x ) P ( x ) ?( ?x ) P ( x ) ( 2) ?( ?x ) P ( x ) ?( ?x ) ? P ( x ) ( 3) ?( ?x ) P ( x ) ?( ?x ) ? P ( x ) ( 4) ?( ?x ) P ( x ) ?( ?x ) ? P ( x ) 6．设 S={Φ, 3, a , {a}}, 则 S 的幂集 P ( S ) 有 个元素。( 3) P85 ( 1) 8 7．设 R 为定义在集合 A 上的一个关系, 若 R 是 ( 2) 12 ( 3) 16 ( 4) 32 , 则 R 为等价关系。( 2) ( 1) 反自反的, 对称的和传递的( 2) 自反的, 对称的和传递的 ( 3) 自反的, 反对称的和传递的( 4) 对称的, 反对称的和传递的 8．设 A={1, 2, 3}, B={1, 2}, 则下列命题不正确的是 。( 3) ( 1) A∩B={1, 2} ( 3) A⊕B={2, 3} ( 2) A－B={ 3} ( 4) B?A P90 9．命题公式P蕴涵Q是指 ( 1) P与Q都是重言式 ( 3) P→ Q为重言式 。( 3) ( 2) P∧Q是重言式 ( 4) Q ? R为重言式 10．设A={1, 2, 3, 4, 5}, B={6, 7, 8, 9, 10}, 以下哪个关系是从A到 B 的入(单)射函数。( 2) 一一对应 ( 1) F = {<1, 7>, <2, 6>, <3, 5>, <1, 9>, <5, 10>} ( 2) F = {<1, 8>, <2, 6>, <3, 7>, <4, 9>, <5, 10>} ( 3) F = {<1, 7>, <2, 6>, <3, 5>, <4, 6>} ( 4) F = {<1, 10>, <2, 6>, <3, 5>, <4, 8>, <5, 10>} 11．运算”－”是整数集I上的普通减法, 则代数系统 ( 1) 结合律 12．下列为欧拉图的是 。( 4) ( 2) 交换律( 3) 有零元 ( 4 ) 封闭性 。( 4) P301, P302 13．设I是整数集, N是自然数集, P( S) 是S的幂集, ”×, ＋, ∩”是普通的乘法, 加法和集合的交运算。下面代数系统中 ( 1) 是群。( 2) ( 3) 14．下列四个有6个结点的图是连通图。P281( 3) (1) (2) (3) (4) 15．有m条边的图的结点度数总和为____________。P274( 4) ( 1) m ( 3) 2( m-1) ( 2) m－1 ( 4) 2m 16.设: p: 刘平聪明。q: 刘平用功。在命题逻辑中, 命题: ”刘平不但聪明, 而且用功”可符号化为: 。( 1) ( 1) P ∧ Q ( 3) P ∨ ?Q ( 2) ?P ∨ Q ( 4) P ∧?Q 17.对于命题公式A, B, 当且仅当 记为A?B。( 2) 是重言式时, 称”A蕴含B”, 并 ( 1) ?A → ?B ( 3) A → ?B ( 2) A → B ( 4) ?A →B 18．设 Q ( x ) : x 是有理数, R ( x ) : x 是实数。命题”每一个有理数是实数” 在谓词逻辑中的符号化公式是 ( 1) ( 1) ( ?x ) ( Q ( x ) → R ( x ) ) ( 2) ( ?x ) ( Q ( x ) ∧R ( x ) ) ( 3) ( ?x ) ( Q ( x ) → R ( x ) ) ( 4) ( ? x ) ( Q ( x ) ∧ R ( x ) ) 19.设 [a,b]和( c,d ) 分别表示实数集上的闭区间和开区间, 则 ([0,4]∩ [2,6])-(1,3)= ( 1) ( 1) [3, 4] 20.对于集合{1, 2, 3}, 下列关系中不等价的是 ( 2) (3,4) ( 3) {3,4} ( 4) [0, 1]∪[3,6] ( 2) ( 1) R={<1,1>, <2,2>, <3,3>} ( 2) R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,4>} ( 3) R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3, 2>,<2,3>} ( 4) R={<1,1>,<2,2>,<1,2>,<2,1>,<1,3>, <3,1>,,<3,3>,<2,3>,<3,2>} 21．集合 S 的幂集 P(S)关于集合的并运算”∪”的零元为 ( 2) ( 1) Φ ( 2) S ( 3) 没有 ( 4) P(S) 22．给定无孤立点无向图 G 的边集: {( 1, 2) , ( 1, 3) , ( 2, 3) , ( 2, 4) , ( 2, 5) , ( 3, 4) , ( 3, 5) }, 找出图 G 的一棵生成树为 ( 1) {( 1, 2) , ( 1, 3) , ( 2, 4) , ( 3, 5) } ( 2) {( 1, 2) , ( 1, 3) , ( 2, 3) , ( 2, 4) } ( 3) {( 1, 2) , ( 1, 3) , ( 3, 5) , ( 4, 5) } ( 4) {( 1, 2) , ( 3, 4) , ( 3, 5) , ( 4, 5) } 四、 完成下列问题 P324( 1) ( 1) 求此命题公式( ? Q ∧( P → Q ) ) → ? P 的真值表; ( 2) 求命题公式( P ∧( Q →R ) ) →S 的析取范式。 真值表: P 0 0 1 1 Q 0 1 0 1 ?Q 1 0 1 0 P →Q ?Q ∧(P →Q) ?P (?Q ∧(P →Q)) →?P 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 析取范式: P31 ( P ∧( Q → R ) ) → S ? ?( P ∧ (?Q ∨R ) ) ∨ S ? ? P ∨?(?Q ∨R ) ) ∨ S ? ? P ∨ (Q ∧?R ) ∨ S 六、 用推理规则证明 P75 ?x ( P ( x ) → Q ( x ) ) ??x P ( x ) → ?x Q ( x ) 证明: ① ( ?x)P(x) ② P(u) P ( 附加前提) US(全称指定规则),① ③ (?x)(P(x)→Q(x)) ④ P(u)→Q(u) ⑤ Q(u) P US,③ T,②,④,I 11 ⑥ (?x)Q(x) UG(全称推广规则),⑤ ⑦ ( ?x)P(x)→(?x)Q(x) CP 七、 求下面公式的主析取范式与主合取范式, 并写出相应的成真赋值 (( ) ( )) (( ) ) ? P → Q ∧ R → P ∨? R →?Q →?P P34 ?((P →Q )∧(R → P ))∨?((R →?Q →?P ) ) P Q R T T T T T F T F T T F F F T T F T F F F T F F F F T T T F T F F 主析取范式: m 110∨m 101∨m 100∨m 010 = (P ∧Q ∧┐R)∨(P ∧┐Q ∧R)∨(P ∧┐Q ∧┐R)∨(┐P ∧Q ∧┐R) 主合取范式: m 111∧m 011∧m 001∧m 000 =(P ∨Q ∨R)∧(┐P ∨Q ∨R)∧(┐P ∨┐Q ∨R)∧(┐P ∨┐Q ∨┐R) 八、 用直接证法证明: 前提: ( ?x ) ( C ( x ) →( W ( x ) ∧R ( x ) ) ) , ( ?x ) ( C ( x ) ∧Q ( x ) ) 结论: ( ?x ) ( Q ( x ) ∧R ( x ) ) 。 证明: 前提:(?x)(C(x) →( W(x)∧R(x))) (?x)(C(x)∧Q(x)) 结论:(?x)(Q(x)∧R(x)) 推理: ① (?x)(C(x)→( W(x)∧R(x))) ② (?x)(C(x)∧Q(x)) P P ③ C(a)∧Q(a) ES(存在指定规则),② US,① ④ C(a)→( W(a)∧R(a)) ⑤ ⑥W(a)∧R(a) ⑦ Q(a) C(a) T,③,I 1 T,④⑤,I 11 T,③,I 2 ⑧ R(a) T,⑥,I 2 ⑨ Q(a)∧R(a) (?x)(Q(x)∧R(x)) T,⑦,⑧,I 9 EG(存在推广规则),⑨ ⑩ P140 九、设R是集合 A = {1, 3, 4, 6, 8, 9, 18}上的整除关系。 ( 1) 给出关系R; ( 2) 给出COV A ( 3) 画出关系R的哈斯图; ( 4) 给出关系R的极大、极小元、最大、最小元。 解 (1)R={<1,1>,<1,3>,<1,4>,<1,6>,<1,8>,<1,9>,<1,18>,<3,3>,<3,6>,<3 ,9>,<3,18>,<4,4>,<4,8>,<6,6>,<6,18>,<8,8>,<9,9>,<9,18>,<18,18>} (2) COVR={<1,3>,<1,4>,<3,6>,<3,9>,<4,8>,<6,18>,<9,18>} 18 (3) 6 9 8 3 4 1 ( 4) R的极大元为8和18、没有最大元, 极小元为1、最小元是 1. 十、求带权图G的最小生成树, 并求最小生成树的权。P326 7 4 3 10 最小生成树的权W(T)＝3＋4＋7＋10＝24 十一、 给定权为 1, 9, 4, 7, 6和 3,构造一颗最优二叉树, 并求此 最优二叉树的权。P334 解 1 3 4 6 9 4 4 6 7 8 6 7 9 7 9 8 13 9 13 17 30 30 17 8 4 13 1 3 4 9 6 7 t 片树叶 V i (i=1,2,…,t),带权 W i , L(V i )为 V i 的层数,最优 二叉树的权。 W(T)= W 1*L(V 1)+ W 2*L(V 2)+…+ W t *L(V t ) 最优二叉树的权 W(T)=(1+3)*4+4*3+(9+6+7)*2=72 第一章命题逻辑·第一节命题与联结词 当前页有10 题，你已做10 题，已提交10 题，其中答对10 题 1. (单选题) 在下面句子中，是命题的是( ) A ．明年“五一”是晴天。 B ．这朵花多好看呀！。 C ．这个男孩真勇敢啊！ D ．明天下午有会吗？ 参考答案：A 2. (单选题) 在下面句子中，是命题的是( ) A．1＋101＝110 B ．中国人民是伟大的。 C．这朵花多好看呀！ D ．计算机机房有空位吗？ 参考答案：B 3. (单选题) 在下面句子中( )是命题 A ．如果天气好，那么我去散步。 B ．天气多好呀！ C．x=3 。 D ．明天下午有会吗？ 参考答案：A 4. (单选题) 下面的命题不是简单命题的是( ) A．3是素数或4是素数B．2018 年元旦下大雪 C．刘宏与魏新是同学D．圆的面积等于半径的平方与之积参考答案：A 5. (单选题) 下面的表述与众不一致的一个是( ) A．P ：广州是一个大城市B．：广州是一个不大的城市 C．：广州是一个很不小的城市 D ．：广州不是一个大城市 参考答案：C 6. (单选题) 设，P：他聪明；Q：他用功。在命题逻辑中，命题： “他既聪明又用功。” 可符号化为：( ) 参考答案：A 7. (单选题) 设：P ：刘平聪明。Q：刘平用功。在命题逻辑中，命题： “刘平不但聪明，而且用功” 可符号化为：( ) 参考答案：A 8. (单选题) 设：P：他聪明；Q：他用功。则命题“他虽聪明但不用功。” 在命题逻辑中可符号化为( ) 参考答案：D 9. (单选题) 设：P：我们划船。Q：我们跑步。在命题逻辑中，命题： “我们不能既划船又跑步。” 可符号化为：( ) 参考答案：B 10. (单选题) 设：P：王强身体很好；Q：王强成绩很好。命题“王强身体很好，成绩也很好。”在命题逻辑中可符号化为( ) 参考答案：D 11. (单选题) 设：P：你努力；Q：你失败。则命题“除非你努力，否则你将失败。”在命题逻辑中可符号化为( ) 12. （单选题）设：p：派小王去开会。q：派小李去开会。则命题： “派小王或小李中的一人去开会” 可符号化为：（） 参考答案：C 语文-随堂练习 第一章千古风骚 1.(单选题) 《诗经·采薇》是一首（） A、征战诗 B、思妇诗 C、送别诗 D、爱情诗 参考答案：A 2.(单选题) 《楚辞》作为一部诗歌总集，为西汉时期的学者________所编。（） A、屈原 B、宋玉 C、刘向 D、司马迁 参考答案：C 3.(单选题) 诗经最具代表性的章法结构是（） A．重章叠句，一唱三叹 B.层层递进 C．首尾呼应 D.赋、比、兴 参考答案：A 4.(单选题) 屈原作品中带有自传性质的长篇抒情诗是（） A、《九歌》 B、《天问》 C、《九章》 D、《离骚》 参考答案：D 5.(多选题) 《诗经》的三种表现手法是（） A．风 B. 比 C. 雅 D．赋Ｅ．兴 参考答案：BDE 6.(判断题) 诗经又叫“诗三百”，它共收有西周中叶到东周的300首歌谣。（） 参考答案：错 7.(判断题) 屈原是我国伟大的现实主义诗人，我国第一位有稽可考的诗人。（） 参考答案：错 8.(判断题) 《短歌行》发出了时光短促、人生几何的慨叹，表现出曹操的精神状态是消极颓唐的。（） 参考答案：错 9.(判断题) 《古诗十九首》是汉代无名氏的作品，且非一人一时所作，梁代萧统将其收入《文选》后才题为此名。（） 参考答案：对 10.(判断题) 汉末魏初，以曹操、曹丕、曹植父子为核心，加上孔融、王粲、刘桢、陈琳等所谓“建安七子”，创造了建安文学的辉煌。（） 参考答案：对 A、《论语》 B、《庄子》 C、《孟子》 D、《老子》 参考答案：A 2.(单选题) 《大学》最早来源于（）。 A、朱熹的《四书章句集注》 B、《礼记》 C、程颢、程颐的整理 D、《论语》 参考答案：B 3.(单选题) 下列著作中，其文汪洋恣肆，仪态万方；想象丰富，构思奇特；幽默机智，妙趣横生；辞藻瑰丽，富有诗意的是（） A、《论语》 B、《庄子》 C、《孟子》 D、《老子》 参考答案：B 4.(多选题) “大学之道，_______，______，_______。”（《大学？大学之道》） （） A．明明德 B．亲民 C．新民 D．止于至善 E．为政 参考答案：ABD 5.(判断题) 孔子把《大学》列为“四书”之首，它与《论语》、《孟子》、《中庸》一起成为儒家经典。（） 参考答案：错 6.(判断题) “富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈”的提出者是孟子。（） 参考答案：对 7.(判断题) 《山木》的“游于道德之乡”，与《逍遥游》中的“无己、无功、无名”，与自然化而为一的意思基本相同。（） 参考答案：对 8.(判断题) “知止而后有定，定而后能静，静而后能安，安而后能虑，虑而后能得。”这句使用了“顶针”的修辞手法。（） 参考答案：对 离散数学考试（试题及答案） 一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？ (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下。 解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(B∧C)，CD必须同时成立。因此 (ACD)∧(B∧C)∧(CD) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧(B∨C)∧(C∨D) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧((B∧C)∨(B∧D)∨C∨(C∧D)) (A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧C)∨(A∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧ D∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D F∨F∨(A∧C)∨F∨F∨(C∧ D∧B)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨(C∧D)∨F (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D∧B)∨(C∧D) (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D) T 故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。 二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。 解：论域：所有人的集合。()：是专家；()：是工人；()：是青年人；则推理化形式为： (()∧())，()(()∧()) 下面给出证明： (1)() P (2)(c) T(1)，ES (3)(()∧()) P (4)( c)∧( c) T(3)，US (5)( c) T(4)，I (6)( c)∧(c) T(2)(5)，I (7)(()∧()) T(6) ，EG 三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。 证明：ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A)x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB))(x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。 四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪I A＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>， <5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>} R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2 t(R)＝R i＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。 华南理工大学网络教育平台-*高等数学B(下)-随堂练习参考答案2013-4-10 1.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 2.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 3.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 4.函数定义域为（） （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 5.,则的定义域为（） （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 6.下列函数为同一函数的是（） （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 7. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 8. （A）（B） （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 9. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：D 问题解析： 10. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 11. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：B 问题解析： 12. （A）（B）（C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：A 问题解析： 13. （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 参考答案：C 问题解析： 14. （A）（B）0 （C）（D） 答题： A. B. C. D. （已提交） 华南理工大学网络教育学院 2014–2015学年度第一学期 《离散数学》作业 （解答必须手写体上传，否则酌情扣分） 1．设命题公式为?Q∧（P→Q）→?P。 （1）求此命题公式的真值表； （2）求此命题公式的析取范式； （3）判断该命题公式的类型。 解：（1）真值表如下： P Q ?Q P →Q ?Q∧（P→Q）?P ?Q∧（P→Q）→?P 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 （2）?Q∧（P→Q）→?P??(?Q∧(?P∨ Q)) ∨? P ?( Q∨? (?P∨ Q)) ∨? P ?? ( ?P∨ Q) ∨ (Q∨?P) ?1（析取范式） ?(?P∧? Q) ∨ (?P∧ Q) ∨ (P∧? Q) ∨（P∧ Q）（主析取范式） （3）该公式为重言式 2．用直接证法证明 前提：P∨Q，P→R，Q→S 结论：S∨R 解：（1）?S P (2)Q →S P (3) ? Q (1)(2) (4)P∨ Q P (5)P (3)(4) (6) P → R P (7)R (5)(6) (8)?S→ R （1）（7） 即SVR得证 3．在一阶逻辑中构造下面推理的证明 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行。 令F(x)：x喜欢步行。G(x)：x喜欢坐汽车。H(x)：x喜欢骑自行车。 解：前题：?x (F (x) →?G(x)), ?x (G (x) ∨H (x)) ? x ?H (x) 结论:? x ?F (x) 证：（1）? x ?F (x) p (2) ?H (x) ES(1) (3) ?x (G (x) ∨H (x))P (4)G(c) vH(c)US(3) (5)G(c) T(2,4)I (6)?x (F (x) →?G(x)), p (7)F (c) →?G(c) US(6) (8) ?F (c) T(5,7)I (9)( ? x) ?F (x) EG(8) 4．用直接证法证明： 前提：（?x）（C（x）→W（x）∧R（x）），（?x）（C（x）∧Q（x）） 结论：（?x）（Q（x）∧R（x））。 证： （1）（?x）（C（x）∧Q（x））P (2) C (c) ∧Q（c）ES(1) (3)（?x）（C（x）→W（x）∧R（x））P 1 离散数学模拟试题Ⅰ 一、单项选择题(本大题共15小题,每题1分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分 1.设 }16{2<=x x x A 是整数且,下面哪个命题为假( A )。 A 、A ?}4,2,1,0{; B 、A ?---}1,2,3{; C 、A ?Φ; D 、A x x x ?<}4{是整数且。 2.设}}{,{,ΦΦ=Φ=B A ,则B －A 就是( C )。 A 、}}{{Φ; B 、}{Φ; C 、}}{,{ΦΦ; D 、Φ。 3.右图描述的偏序集中,子集},,{f e b 的上界为 ( B )。 A 、b,c; B 、a,b; C 、b; D 、a,b,c 。 4.设f 与g 都就是X 上的双射函数,则1)(-g f ο为( C )。 A 、11--g f ο; B 、1)(-f g ο; C 、11--f g ο; D 、1-f g ο。 5.下面集合( B )关于减法运算就是封闭的。 A 、N ; B 、}2{I x x ∈; C 、}12{I x x ∈+; D 、}{是质数x x 。 6.具有如下定义的代数系统>*<,G ,( D )不构成群。 A 、G={1,10},*就是模11乘 ; B 、G={1,3,4,5,9},*就是模11乘 ; C 、G=Q(有理数集),*就是普通加法; D 、G=Q(有理数集),*就是普通乘法。 7.设 },32{I n m G n m ∈?=,*为普通乘法。则代数系统>*<,G 的幺元为( B )。 f 2 A 、不存在 ; B 、0032?=e ; C 、32?=e ; D 、1132--?=e 。 8.下面集合( C )关于整除关系构成格。 A 、{2,3,6,12,24,36} ; B 、{1,2,3,4,6,8,12} ; C 、{1,2,3,5,6,15,30} ; D 、{3,6,9,12}。 9.设},,,,,{f e d c b a V =, },,,,,,,,,,,{><><><><><><=e f e d d a a c c b b a E ,则有向图 >= 华南理工离散数学作业题 版 The document was prepared on January 2, 2021 华南理工大学网络教育学院 2014–2015学年度第一学期 《离散数学》作业 （解答必须手写体上传，否则酌情扣分）1．设命题公式为Q（P Q）P。 （1）求此命题公式的真值表； （2）求此命题公式的析取范式； （3）判断该命题公式的类型。 解：（1）真值表如下： P Q Q P Q Q（P Q）P Q（P Q）P 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 （2） Q （P Q）P( Q (P Q)) P ( Q (P Q)) P ( P Q) (QP) 1（析取范式） (P Q) (P Q) (P Q) （P Q）（主析取范式） （3）该公式为重言式 2．用直接证法证明 前提：P Q，P R，Q S 结论：S R 解：（1）S P (2)Q S P (3) Q (1)(2) (4)P Q P (5)P (3)(4) (6) P R P (7)R (5)(6) (8) S R （1）（7） 即SVR得证 3．在一阶逻辑中构造下面推理的证明 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行。 令F(x)：x喜欢步行。G(x)：x喜欢坐汽车。H(x)：x喜欢骑自行车。 解：前题：x (F (x) →G(x)), x (G (x) H (x)) x H (x) 结论: x F (x) 证：（1） x F (x) p (2) H (x) ES(1) (3) x (G (x) H (x)) P (4)G (c) vH (c) US(3) (5)G (c) T(2,4)I (6) x (F (x) →G(x)), p (7)F (c) →G(c) US(6) (8) F (c) T(5,7)I (9)( x) F (x) EG(8) 4．用直接证法证明： 前提：（x）（C（x）→W（x）∧R（x）），（x）（C（x）∧Q（x）） 结论：（x）（Q（x）∧R（x））。 证： （1）（x）（C（x）∧Q（x）） P (2) C (c) ∧Q（c） ES(1) (3)（x）（C（x）→W（x）∧R（x）） P (4)（C（c）→W（c）∧R（c）US(3) (5) C(c) T(2)I (6) W（c）∧R（c） T(4,5)I (7)R (c) T(6)I (8) Q（c） T(2)I (9) Q（c）∧R（c） T(7,8)I (10) （x）（Q（x）∧R（x）） EG(9) 5．设R是集合A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}上的整除关系。 北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个 第七章 多元函数微分学 作业1 多元函数 1．填空题 （1）已知函数22,y f x y x y x ? ?+=- ???，则(),f x y =()() 222 11x y y -+； （2）49 arcsin 222 2-+++=y x y x z 的定义域是(){} 22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是 (){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+?<<≤+； （4）函数??? ??=≠=0, 0,sin ),(x y x x xy y x f 的连续范围是 全平面 ； （5）函数2222y x z y x +=-在2 2y x =处间断. 2．求下列极限 （1 ）00 x y →→； 解：0000 1 6x t t y →→→→===- （2）2 2 () lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞ +）. 解：3 y x =22()2() lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞ →+∞ →+∞ ??+=+-??）） 由于1lim e lim lim 0t t t t t t t t e e -→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0t t t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====， 故22() 2()lim (e lim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞ →+∞→+∞ →+∞ ??+=+-=??）） 3．讨论极限2630 0lim y x y x y x +→→是否存在. 解：沿着曲线()()3 ,,0,0y kx x y =→,有3 36626262000 lim lim 1x x y kx x y kx k x y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26 30 0lim y x y x y x +→→不存在 4．证明?? ???=+≠++=0,00,2),(22222 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续. 解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡ 从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线 ()(),,0,0y kx x y =→,有22 22222000 222lim lim 1x x y kx xy kx k x y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0 lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续. 华南理工大学网络教育学院 《离散数学》练习题 第一章命题逻辑 一填空题 （1）设：p：派小王去开会。q：派小李去开会。则命题： “派小王或小李中的一人去开会”可符号化 为：。 （2）设A，B都是命题公式，A?B，则A→B的真值是。 （3）设：p：刘平聪明。q：刘平用功。在命题逻辑中，命题： “刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：。（4）设A , B 代表任意的命题公式，则等价式 A → B?。 （5）设，p：径一事；q：长一智。在命题逻辑中，命题： “不径一事，不长一智。”可符号化为：。（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德?摩根律为 ?（A ∧ B）?。 （7）设，p：选小王当班长；q：选小李当班长。则命题：“选小王或小李中的一人当班长。”可符号化为：。（8）设，P：他聪明；Q：他用功。在命题逻辑中，命题： “他既聪明又用功。”可符号化为：。 （9）对于命题公式A，B，当且仅当是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A?B。 （10）设：P：我们划船。Q：我们跑步。在命题逻辑中，命题：“我们不能既划船又跑步。”可符号化为：。（11）设P , Q是命题公式，德·摩根律为： ?（P∨Q）?。 （12）设P：你努力。Q：你失败。在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。”可符号化为：。 （13）设p：小王是100米赛跑冠军。q：小王是400米赛跑冠军。在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军。”可符号化为： 。 （4）设A，C为两个命题公式，当且仅当为一重言式时，称C可由A逻辑地推出。 二．判断题 1.设A，B是命题公式，则等价式A→B??A∧B。（） 2.命题公式?p∧q∧?r是析取范式。（） 3.陈述句“x + y > 5”是命题。（） 4.110 (p=1,q=1, r=0)是命题公式((?(p∧q))→r)∨q 的成真赋值。（） 5.命题公式p→(?p∧q) 是重言式。（） 6.设A，B都是合式公式，则A∧B→?B也是合式公式。（） 7.A∨(B∧C)?( A∨B)∨(A∨C)。 （） 8.陈述句“我学英语，或者我学法语”是命题。（） 9.命题“如果雪是黑的，那么太阳从西方出”是假命题。（） 10.“请不要随地吐痰！”是命题。（） 11.P →Q ??P∧Q 。（） 12.陈述句“如果天下雨，那么我在家看电视”是命题。（） 13.命题公式（P∧Q）∨（?R→T）是析取范式。（） 14.命题公式(P∧?Q)∨R∨ (?P∧Q) 是析取范式。（） 三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的内。 1．设：P：天下雪。Q：他走路上班。则命题“只有天下雪，他才走路上班。” 可符号化为。 （1）P→Q （2）Q → P （3）? Q →? P （4）Q ∨?P 《离散数学》模拟试题 一、 填空题（每小题2分，共20分） 1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A 得幂集合p （A ）=_____ _。 2. 设集合E ={a , b , c , d , e }, A = {a , b , c }, B = {a , d , e }, 则A ∪B =___ ___， A ∩ B =____ __，A －B =___ ___，～A ∩～B =____ ____。 3. 设A ，B 是两个集合，其中A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}，则A －B =____ ___， ρ（A ）－ρ（B ）=_____ _ _。 4. 已知命题公式，则G 的析取范式为 。 5. 设P ：2＋2＝4，Q ：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。”符号化 ，其真值为 。 二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。） 1. 设A 、B 是两个集合，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,2}，则A －B 为（ ）. A. {1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有（ ）。 A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X ＝{x , y }，则ρ（X ）＝（ ）。 A. {{x },{y }} B. {φ,{x },{y }} C. {φ,{x },{y },{x , y }} D. {{x },{y },{x , y }} 4. 设集合 A ＝{1,2,3}，A 上的关系 R ＝ {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}， 则R 不具备（ ）. 三、计算题（共50分） R Q P G →∧?=)( 离散数学 同步练习册 学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿＿＿教学中心＿＿＿＿＿＿＿＿ 华南理工大学 二O一O年九月 第一章命题逻辑 一填空题 （1）设：p：派小王去开会。q：派小李去开会。则命题： “派小王或小李中的一人去开会”可符号化 为：p∨q。 （2）设A，B都是命题公式，A?B，则A→B的真值是T 。 （3）设：p：刘平聪明。q：刘平用功。在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：﹃p∧﹃ q 。 （4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为 A → B?﹃P∨Q 。 （5）设，p：径一事；q：长一智。在命题逻辑中，命题： “不径一事，不长一智。”可符号化为：﹃p→﹃ q 。 （6）设A , B 代表任意的命题公式，则德?摩根律为 ?（A ∧ B）?﹃A∨﹃B 。 （7）设，p：选小王当班长；q：选小李当班长。则命题：“选小王或小李中的一人当班长。”可符号化为：(A∧﹃B)∨(﹃A∧ B) 。 （8）设，P：他聪明；Q：他用功。在命题逻辑中，命题： “他既聪明又用功。”可符号化为：P∧Q 。（9）对于命题公式A，B，当且仅当A→B 是重言式时，称“A 蕴含B”，并记为A?B。 （10）设：P：我们划船。Q：我们跑步。在命题逻辑中，命题：“我们不能既划船又跑步。”可符号化为：﹃(P∧ Q) 。 （11）设P , Q是命题公式，德·摩根律为： ?（P∨Q）?﹃P∧﹃Q 。 （12）设P：你努力。Q：你失败。在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。”可符号化为：﹃P→ Q。 （13）设p：小王是100米赛跑冠军。q：小王是400米赛跑冠军。在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军。”可符号化为： p∨q。 （4）设A，C为两个命题公式，当且仅当 A →C 为一重言式时，称C可由A逻辑地推出。 二．判断题 1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A→B??A∧B。（F ） 2.命题公式?p∧q∧?r是析取范式。（T ） 3.陈述句“x + y > 5”是命题。（T ） 4.110 (p=1,q=1, r=0)是命题公式((?(p∧q))→r)∨q 的成真赋值。（T ） 5.命题公式p→(?p∧q) 是重言式。（ F ） 6.设A，B都是合式公式，则A∧B→?B也是合式公式。（ F ） 7.A∨(B∧C)?( A∨B)∨(A∨C)。（F ） 8.陈述句“我学英语，或者我学法语”是命题。（T ） 9.命题“如果雪是黑的，那么太阳从西方出”是假命题。（T ） 10.“请不要随地吐痰！”是命题。（ F ） 11.P →Q ??P∧Q 。（ F ） 12.陈述句“如果天下雨，那么我在家看电视”是命题。（T ） 13.命题公式（P∧Q）∨（?R→T）是析取范式。（T ） 14.命题公式(P∧?Q)∨R∨ (?P∧Q) 是析取范式。（T ） 三、选择题：在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的内。 1．设：P：天下雪。Q：他走路上班。则命题“只有天下雪，他才走路上班。” 可符号化为（1）。 （1）P→Q （2）Q → P （3）? Q →? P （4）Q ∨?P 华南理工大学网络教育学院 2018–2019学年度第一学期 《离散数学》作业 1、用推理规则证明?（P∧?Q），?Q∨R，? R??P 证（1）?Q∨R P （2）? R P （3）?Q（1）（2）析取三段论 （4）?（P∧?Q）P （5）?P ∨ Q （4）等价转换 （6）?P （3）（5）析取三段论 2、用推理规则证明Q，?P → R，P → S，? S?Q∧R 证（1）P → S P （2）? S P （3）?P（1）（2）拒取式 （4）?P → R P （5）R （3）（4）假言推理 （6）Q P （7）Q∧R（5）（6）合取 3．设命题公式为?Q∧（P→Q）→?P。 （1）求此命题公式的真值表； （2）求此命题公式的析取范式； （3）判断该命题公式的类型。 解（1）真值表如下 P Q ?Q P→Q ?Q∧（P→Q）?P?Q∧（P→Q）→?P 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 （2）?Q∧（P→Q）→?P??（?Q∧（?P∨Q））∨?P ?（Q∨?（?P∨Q））∨?P??（?P∨Q）∨（Q∨?P）?1（析取范式）?（?P∧?Q）∨（?P∧Q）∨（P∧?Q）∨（P∧Q）（主析取范式） （3）该公式为重言式 4．在一阶逻辑中构造下面推理的证明 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行。 令F(x)：x喜欢步行。G(x)：x喜欢坐汽车。H(x)：x喜欢骑自行车。 解前提：?x（F（x）→? G（x）），?x（G（x）∨H（x））， ? x? H（x）。 结论：? x ?F（x）。 证(1)? x ?H（x）P (2)?H（c）ES(1) (3)?x（G（x）∨H（x））P (4) G（c）∨H（c）US(3) (5) G（c）T(2，4)I (6)?x（F（x）→? G（x））P (7)F（c）→? G（c）US(6) (8)? F（c）T(5,7)I (9)（?x）? F（x）EG(8) 5．用直接证法证明： 前提：（?x）（C（x）→W（x）∧R（x）），（?x）（C（x）∧Q（x）） 结论：（?x）（Q（x）∧R（x））。 证(1)（?x）（C（x）∧Q（x））P (2)C（c）∧Q（c）ES(1) (3)（?x）（C（x）→W（x）∧R（x））P (4) C（c）→W（c）∧R（c）US(3) (5) C（c）T(2)I (6)W（c）∧R（c）T(4,5)I (7)R（c）T(6)I (8)Q（c）T(2)I (9)Q（c）∧R（c）T(7,8)I (10) （?x）（Q（x）∧R（x））EG(9) 6．设R是集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}上的整除关系。 （1）给出关系R；（2）画出关系R的哈斯图； （3）指出关系R的最大、最小元，极大、极小元。 解R={<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>，<1,7>,<1,8>,<1,9>,<2,4>,<2,6>，<2,8>，<3,6>，<3,9>，<4,8>}∪I A COV A={<1,2>,<1,3>,<1,5>,<1,7>,<2,4>,<2,6>，<3,6>，<3,9>，<4,8>} 作哈斯图如右： 极小元和最小元为1； 极大元为5,6,7,8,9, 无最大元 8 离散数学考试试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1) (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C ) (A∧(P Q ))C。P<->Q=(p->Q)合取（Q->p） 证明: (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C) (P ∨Q ∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C) ((P ∨Q ∨A)∧(A∨P∨Q))∨C反用分配律 ((P∧Q∧A)∨(A ∧P ∧Q))∨C ( A∧((P∧Q)∨(P ∧Q)))∨C再反用分配律 GAGGAGAGGAFFFFAFAF ( A∧(P Q))∨C (A∧(P Q ))C 2) (P Q)P Q。 证明：(P Q)((P∧Q))(P ∨Q))P Q。 二、分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。 主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。 主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 证明： 公式法：因为(P(Q ∨R))∧(P∨(Q R)) (P∨Q∨R)∧(P∨(Q ∧R )∨(Q ∧R)) (P∨Q ∨R)∧(((P∨Q)∧(P ∨R ))∨(Q ∧R ))分配律 (P∨Q∨R)∧(P∨Q ∨Q)∧(P∨Q ∨R)∧(P∨R ∨Q)∧(P∨R ∨R) (P∨Q ∨R)∧(P∨Q ∨R )∧(P ∨Q∨R) M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为0 4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 所赋真值，即100，二进制为4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 第一章命题逻辑 1.1命题与联结词 一、单项选择题 1、A .明年“五一”是晴天 B .这朵花多好看呀! C.这个男孩真勇敢啊! D .明天下午有会吗? 在上面句子中，是命题的是 2. A . 1 + 101 = 110 ?中国人民是伟大 的。 C.这朵花多好看呀! 计算机机房有空位吗? 在上面句子中，是命题的是 3. A .如果天气好，那么我去散步。 B ?天气多好呀! C. x=3。?明天下午有会吗? 在上面句子中（）是命题 下面的命题不是简单命题的是 4. A. 3是素数或4是素数） .2018年元旦下大雪 C. 刘宏与魏新是同学?圆的面积等于半径的平方与之积 5. 下面的表述与众不一致的一个是 A. P :广州是一个大城市（） .P:广州是一个不大的城市 C. 6 .设，P:他聪明；Q:他用功。在命题逻辑中，命题： “他既聪明又用功。”可符号化为：（） A. P Q B . P Q C. P Q D . P Q 7.设：P :刘平聪明。Q刘平用功。在命题逻辑中，命题： “刘平不但聪明，而且用功”可符号化为：（） A. P Q B . P Q C. P Q D . P Q &设：P:他聪明；Q:他用功。则命题“他虽聪明但不用功。” 在命题逻辑中可符号化为() A. P Q B . P Q C. P Q D . P Q 9 .设：P:我们划船。Q：我们跑步。在命题逻辑中，命题： “我们不能既划船又跑 步 。”可符号化为：（） A. P Q B . (P Q C. P Q D . P Q 10 .设: P：王强身体很好；Q:王强成绩很好。命题“王强身体很好 化为（) A. P Q B . P Q C. P Q D . P Q P :广州是一个很不小的城市D. P:广州不是一个大城市 11 .设：P：你努力；Q你失败。则命题“除非你努力，否则你将失败 ，成绩也很好。”在命题逻辑中可符号 1.? ?一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为，瞬时速率为v，，某一时间内的平均速度为，平均速率为，它们之间的关系必定有： （A）?（B）（C）?（D）? 答题：??A.??B.??C.??D.?（已提交） 参考答案：D 问题解析： 2.? 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为?（其中a、b为常量）, 则该质点作? (A) 匀速直线运动． (B) 变速直线运动． (C) 抛物线运动． (D)一般曲线运动．? 答题：??A.??B.??C.??D.?（已提交） 参考答案：B 问题解析： 3.? 如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设 该人以匀速率收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是? (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动．? 答题：??A.??B.??C.??D.?（已提交） 参考答案：C 问题解析： 4.? 一飞机相对空气的速度大小为 200 km/h, 风速为56 km/h，方向从西向东．地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h，方向是? ? (A) 南偏西°．? (B) 北偏东°? (C) 向正南或向正北． (D) 西偏北°．(E) 东偏南°．? 答题：??A.??B.??C.??D.?（已提交） 参考答案：C 问题解析： 5.? 对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的：? (A) 切向加速度必不为零．? (B) 法向加速度必不为零（拐点处除外）．? (C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零．? (D) 若物体作匀速率运动，其总加速度必为零．? 《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？ 注意看参考答案 1. A．明年国庆节是晴天。 B．在实数范围内，x+y〈3。 C．请回答这个问题！ D．明天下午有课吗？ 在上面句子中，是命题的只有（） 答题： A. B. C. D. 参考答案：A 2. 在上面句子中，是命题的是( ) A．雪是黑色的。 B．这朵花多好看呀！。 C．请回答这个问题！ D．明天下午有会吗？ 答题： A. B. C. D. 参考答案：A 3. A．现在开会吗？ B．在实数范围内，x+y >5。 C．这朵花多好看呀！ D．离散数学是计算机科学专业的一门必修课。 在上面语句中，是命题的只有( ) 答题： A. B. C. D. 参考答案：D 4. A．1＋101＝110 B．中国人民是伟大的。 C．全体起立！ D．计算机机房有空位吗？ 在上面句子中，是命题的是( ) 答题： A. B. C. D. 参考答案：B 5.下面的命题不是简单命题的是( ) A．3是素数或4是素数 B．2018年元旦下大雪 C．刘宏与魏新是同学 D．圆的面积等于半径的平方与之积 答题： A. B. C. D. 参考答案：A 6.设：p：派小王去开会。q：派小李去开会。则命题： “派小王或小李中的一人去开会” 可符号化为：（） A． B． C． D． 答题： A. B. C. D. 参考答案：B 7.下面“”的等价说法中，不正确的为 A．p是q的充分条件 B． q是p的必要条件 C．q仅当p D．只有q才p 答题： A. B. C. D. 参考答案：C 8. p,q都是命题，则p→q的真值为假当且仅当( ) A．p为假，q为真 B．p为假，q也为假 C．p为真，q也为真 D．p为真，q也为假 答题： A. B. C. D. 参考答案：D 9.个命题变元组成的命题公式，有( )种真值情况 A． B． C． D．2 答题： A. B. C. D. 参考答案：C 10. 答题： A. B. C. D. 参考答案：C 11.设F（x）：x是火车，G（x）：x是汽车，H（x，y）：x比y快。命题“说19春华南理工《离散数学》随堂练习答案
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