一元八次方程求根公式

一元三次方程求根公式的解法

一元三次方程求根公式的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化为 (11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。 二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。 三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推

求实系数一元三次方程根的实用公式

求实系数一元三次方程根的实用公式 在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程： 设， 则它的三个根的表达式如下： 其中， 我们先用该公式解一个一元三次方程：。 解： p=- 9，q=6，∴T=- 3，D=- 18， ?? ∴原方程的三个根为

这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处： 其一、当时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的、 、表达式不明确。 其二、当时，以及（如此例中的）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。 因此，用“卡丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实用、不直观、不严密的。 下面我们推导一个实用的改进型求根公式。 实系数一元三次方程可写为（1） 令，代入（1）得（2） 其中， 不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程的求根公式即可。 不妨设p、q均不为零，令y=u+v（3） 代入（2）得，（4） 选择u、v，使得，即（5） 代入（4）得，（6）

将（5）式两边立方得，（7） 联立（6）、（7）两式，得关于的方程组： ，且 问题归结于上述方程组的求解。 即求关于t的一元二次方程的两根、， 设，，， 又记的一个立方根为，则另两个立方根为，， 其中，为1的两个立方虚根。 以下分三种情形讨论： 1）若，即D>0，则、均为实数， 可求得，， 取，， 在，组成的九个数中， 有且只有下面三组满足，

即、；、；、， 也就是满足， ∴方程（2）的根为，，，这是方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，， 其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式， 这里的根式及都是在实数意义下的。 2）若，即时， 可求得，取 同理，可求得 ∴方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。3）若，即D<0时， ，∴p<0，， 则、均为虚数，求出、并用三角式表示， 就有，，

三次方程的一般解法

一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式” 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 + p = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x. 除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。参见同济四版的高等数学。 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。我归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3

高次方程求根公式的故事

高次方程求根公式的故事 1545年意大利学者卡丹将一元三次方程ax3 +bx2+cx+d=0的求根公式公开发表，后来人们就把它叫做“卡丹公式（也有人译作“卡尔丹公式”）。事实上，发现公式的人并不是卡丹本人，而是塔尔塔利亚。 塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了。他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各出30道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚30道三次方程的解全做了出来，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。 后来，意大利医生兼数学家卡丹请求塔尔塔利亚把解方程的方法告诉他，但遭到了拒绝。尽管卡丹千方百计地想探听塔尔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔尔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡丹一再恳切要求，而且说要推荐他去当西班牙炮兵顾问，还发誓对此保守秘密，于是塔尔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡丹，但是并没有给出详细的证明。 六年后，卡丹不顾原来的信约，在他的著作中将经过改进的三次方程的解法公开发表。他在书中写道：“这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友——布里西亚的塔尔塔利亚。塔尔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。”从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为“卡丹公式”，而塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，正如他的真名在口吃以后被埋没了一样。 卡丹没有遵守誓言，因而受到塔尔塔利亚及许多文献资料的指责。但是卡丹在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔尔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡丹自己给出的，说明卡丹也做了工作。卡丹用自己的工作对塔尔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。 一元三次方程应有三个根。塔尔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

解一元三次方程的方法

解一元三次方程的方法 解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题，虚数概念的引进、复数理论的建立，就是起源于解三次方程问题。一元三次方程应用广泛，如电力工程、水利工程、建筑工程、机械工程、动力工程、数学教学及其他领域等。那么，以下是我分享给大家的关于解一元三次方程的方法，欢迎大家的参考学习! 解一元三次方程的方法 解法一是意大利学者卡尔丹发表的卡尔丹公式法。 解法二是中国学者范盛金发表的盛金公式法。 这两种方法都可以解答标准型的一元三次方程，但是卡尔丹公式解题方便。 相关内容： 一元三次方程的解法的历史 人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。 在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢?历史事实并不是这样。

数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛?冯塔纳(Niccolo Fontana)。 冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”(Tartaglia)，也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。 经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世。 当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。 卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺公式”。 卡尔丹诺剽窃他人的学术成果，并且据为已有，这一行为在人类数学史上留下了不甚光彩的一页。这个结果，对于付出

一元四次方程的解法

一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 + p3 = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。 费拉里发现的一元四次方程的解法和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程一般形式中的三次项。所以只要考虑下面形式的一元四次方程：x4=px2+qx+r 关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。考虑一个参数 a，我们有(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2 等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即 q2 = 4(p+2a)(r+a2) 这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以 解出参数a。这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x 的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。最后，对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数 解法(即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开 方运算)，这称为阿贝耳定理 一元四次求根公式 对于一般一元四次方程： ax4+bx3+cx2+dx+e=0 设方程的四根分别为： x1=(-b+A+B+K)/(4a) x2=(-b-A+B-K)/(4a) x3=(-b+A-B-K)/(4a) x4=(-b-A-B+K)/(4a) (A,B,K三个字母足以表示任意三个复数，根据韦达定理： 方程四根之和为-b/a,所以当x1，x2，x3的代数式为原 方程的三根时，那么x4形式的代数式必是方程的第四个 根。) 将这四个代数式代入到韦达定理中可整理得： x1+ x2+ x3+ x4= -b/a x1x2 +x1x3+ x1x4+ x 2 x3 + x2x4+ x3 x4=(1/8a2)(3b2-A2-B2-K2)=c/a x1x2x3 +x1x2x4+ x1 x3 x4+ x2 x3 x4= (1/16a3)(-b3+bA2+bB2+Bk2+2ABK)= -d/a x1x2 x3 x4=(1/256a4)(b4+ A4+B4+K4-2b2A2-2b2B2-2b2K2-2A2B2-2A2K2-2B2K2-8bA BK)=e/a 整理后为： A2+B2+K2=3b2-8ac———————————————— 记为p A2B2+A2K2+B2K2=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3e— —记为q A2B2K2=(b3-4abc+8a2d)2————————————— —记为r 由此可知：A2，B2，K2是关于一元三次方程 y3-py2+qy-r=0的三根 从而可解得±y11/2,±y21/2,±y31/2是A，B，K的解。 若y11/2, y21/2, y31/2是A，B，K的一组解（A，B，K 具有轮换性，所以在代入时无须按照顺序） 那么另外三组为 （ y11/2,- y21/2,- y31/2 （- y11/2, y21/2, -y31/2 （-y11/2,- y21/2, y31/2 从而将以上任意一组解代入到所设代数式中，均可解得 原四次方程的四根。 由这种方法来解一元四次方程，只需求界一个一元三次 方程即可，而费拉里的公式则需先解一个三次方程，再 转化成两个复杂的一元二次方程，并且若要以其系数来 表示它的求根公式的话，其形式也是相当复杂的。我的 求解方法尽管在推导公式的过程中有一定的计算量，但 如果要运用于实际求根，尽用结论在计算上绝对要比费 拉里公式简便。那么我下面再介绍一下有关一元三次方 程的改进公式： 对于一般三次方程： ax3+bx2+cx+d=0 设方程的三根分别为： x1=(-b+A+B)/(3a) x2=(-b+wA+w2B)/(3a) x3=(-b+w2A+wB)/(3a) 则 A3+B3=-2b3+9abc-27a2d————记为p A3B3=(b2-3ac)2————— ———记为q 则A3，B3是关于一元二次方程： y2-py+q=0的两根

一元方程求根公式

solve ax+b=0 for x Isolate terms with x to the left hand side. Solve for x. solve ax^2+bx+c=0 for x Write the quadratic equation in standard form.

２ Solve the quadratic equation by completing the square. Take one half of the coefficient of x and square it,then add it to both sides. Factor the left hand side. Eliminate the exponent on the left hand side. Look at the first equation:Solve for x.

Look at the second equation:Solve for x. solve ax^3+bx^2+cx+d=0 for x Look for a simple substitution that eliminates the quadratic term of a x3 b x2 c x d. Write the cubic polynomial on the left hand side in standard

Write the cubic equation in standard form. Change coordinates by substituting y z Κ z ,where Κis a constant value that will be determined later. Transform the rational equation into a polynomial equation Find an appropriate value forΚ in order to make the coefficients of z2and z4both ４

元高次方程求解方法

一元高次方程的漫漫求解路 若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程 20,0,ax bx c a ++=≠ ① 由韦达定理，①的根可以表示为x =. 若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程.于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？ 数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题.有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？ n 次方程的一般表达式是 101100,0,n n n n a x a x a x a a --++???++=≠ 而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++???++称为n 次多项式，其中00a ≠.当系数01,,a a 1,,n n a a -???都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式.如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根. 1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根. 根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算.这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积.” 代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法. 要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程 1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++???++= ② 的求解公式，如二次方程①的求根公式那样.众所周知，方程①的解早在古代的巴比伦、埃

一元三次方程及解法简介

一元三次方程 一元三次方程的标准型为02 3 =+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且。一元三次方 程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程。 【盛金公式】 一元三次方程02 3 =+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且 重根判别式：bd c C ad bc B ac b A 3:9;32 2 -=-=-=，总判别式：Δ=AC B 22 -。 当A=B=0时，盛金公式①： c d b c a b x x x 33321- =-=- ===，当Δ=AC B 22 ->0时，盛金公式②：a y y b x 33 123 111---= ； i a y y a y y b x 63623 12 3 113 223 1 13,2-±++-=；其中 2 )4(322 ,1AC B B a Ab y -±-+=,12-=i .当Δ=AC B 22 -=0时，盛金公式③： K a b x +- =1；232K x x -==，其中)0(≠=A A B K .当Δ= AC B 22-<0时，盛金公式④：a Cos a b x 3321θ --= ，a Sin Cos A b x 3)333(3 ,2θ θ±+-= ； 其中arcCosT =θ，)11,0(),232( <<->-=T A A aB Ab T . 【盛金判别法】 ①：当A=B=0时，方程有一个三重实根； ②：当Δ=AC B 22 ->0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当Δ=AC B 22 -=0时，方程有三个实根， 其中有一个两重根； ④：当Δ=AC B 22 -<0时，方程有三个不相等的实根。 【盛金定理】 当0,0==c b 时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A ≤0时，盛金公式④无意义；当T ＜-1或T ＞1时，盛金公式④无意义。当0,0==c b 时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A ≤0的值？盛金公式④是否存在T ＜-1或T ＞1的值？盛金定理给出如下回答： 盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。 盛金定理2：当A=B=0时，若b ≠0，则必定有c ≠0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。

元次方程的求根公式及其推导

一元三次方程的求根公式及其推导 有三个实数根。有三个零点时，当有两个实数根。 有两个零点时，当有唯一实数根。有唯一零点时，当。，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。 点的个数即方程零即方程则设实数根的判定： 程即可。 因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴 三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(81 1)()(0)()(0)1281(81 1)()(0)()(0)1281(81 1)()(3 3: 0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=?<+=?=?=+=?=?>+=?--==- ===<=?===?=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC A B A B x A B C A B x A D Cx Bx Ax βαβαβαβα

33 2332323233 232332313223 2132323 2333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(81 1)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(81 1)27(4027 27,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(81 10)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--?? ???+--==++-==??? ????+--=++-=>+=--=-+?????-=+-=?? ????????-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=?=++=+=?=++>+=?+=?>+≥式，为： 实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。故由以，小于零时会出现虚数等于零时只能解出一个但却又无法直接解出（二或三个实数根，，虽然我们清楚方程有若判别式顺序，则有，如果不考虑。则有，若判别式的两根。为一元二次方程，易知，。，即可令， 对比。 即有， 故， 由于。 ，就是设法求出下面的工作为两个待定的代数式。，的形式。其中，程的求根公式应为了一元三次方根公式的归纳，我得到及特殊一元高次方程求一元一次，一元二次以得到。通过对出的，通常由归纳思维式由演绎推理是很难解一元三次方程的求根公实根式的推导： ）（求根公式的推导： 有三个实数根。 时，方程有两个实数根。 时，方程有唯一实数根。 时，方程，则有以下结论：。令一定有时， ，则当时方程很容易求解同时为不同时为为研究方便，不妨设

一元四次方程求根公式

一元四次方程的求根公式-完整 (2012-01-12 14:42:01) 转载▼ 我以前发过了此文，但文中有缺少部分，此次经过更正2013.06.02 一元三次方程求解，中国的范盛金推导的求根公式较为合理，简明 实质上B2-4AC >0时情况可以作为一个通用公式，因为一般实数均可用复数形式表述。按下述方法可以简明地判断重根。 与三次方程不同的是，四次方程求解需要复数运算支持，因为中间数据均会出现复数。我已经发表的复数系统可作为计算的工具使用。关于四次方程求解程序我暂时无时间写，不过可利用QR方法求任意实数多项式方程的所有根（QR 程序我也已发表于博客中，可以引用)。 一元四次方程一般式：ax4+bx3+cx2+dx+e=0（a≠0,a,b,c,d,e∈R）p=-(3b2-8ac) q=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3e r=-(b3-4abc+a2d) 2 A=p2-3q B=pq-9r C=q2-3pr 若A=B=0 y1=y2=y3=-p/3=-q/p=-3r/q x1=1/4a(-b+√y1+√y2+√y3) X3=1/4a(-b+√y1-√y2-√y3) X2=1/4a(-b-√y1+√y2-√y3) X4=1/4a(-b-√y1-√y2+√y3) 若B2-4AC=0 y1=-p+k y2=y3=-k/2 k=B/A A<>0 ///新补充 x1=1/4a(-b+√y1+√y2+√y3) X3=1/4a(-b+√y1-√y2-√y3) X2=1/4a(-b-√y1+√y2-√y3) X4=1/4a(-b-√y1-√y2+√y3) 若B2-4AC<0 T=(2Ap-3B)/(2A1.5 )

一般三次方程谢国芳求根公式的推导方法1(利用复三角函数的方法)

一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则 —— 谢国芳 Email: roixie@https://www.sodocs.net/doc/445867976.html, 【摘要】 本文利用复三角函数推导出了远比卡丹公式简明快捷的可直接用来求解 一般三次方程（包括复系数情形）320ax bx cx d +++=的新求根公式，进而又针对实系数的情形讨论了根的情况，得到了方便的根的判别法则。 【关键词】 三次方程 复三角函数 欧拉公式 求根公式 判别法 1 一般三次方程的简化 对于一个一般形式的三次方程320ax bx cx d +++= (0)a ≠, 两边同除以a ，即可化为首项系数为1的三次方程 320b c d x x x a a a + ++=, 然后作变量代换 3b x y a =- , （1） 可消去二次项，将它化为下面的形式： 30y py q ++=, （2） 其中 2233b ac p a -=-, 323922727abc b a d q a --=-. （3） 下面我们把形如式（2）的三次方程称为简约三次方程. 并约定其一次项系数0p ≠.[1] 2 简约三次方程的三角函数解法和求根公式 在方程（2）中作变量代换[2] y z =, （4） 利用三倍角公式 3cos34cos 3cos z z z =-,

方程（2）即化为 cos3z = , （5） 定义参数 χ= , （6） 称之为三次方程3 0y py q ++=的关键比(key ratio)，于是式（5）即 cos3z χ=. （7） 当χ为实数且1χ≤时，令1 cos θχ-=，可得其一般解为 32z n θπ=±+, 即 23 3n z θ π =± + ()n ∈ 取0,1,1n =-，即可得到z 在一个周期内的六个值： 22, , 33333z θθπθπ =±±+±- 但cos z 只取下面这三个值： 22cos cos , cos(), cos() 33333z θθπθπ =+- 代入式（4），即得方程3 0y py q ++=的三个根： 1 2 332cos()332)33y y y θθπθπ ?=?? ?? =+?? ?=-??? （8） 其中1 cos θχ-= , χ= (, 1) c c 危. 当关键比χ为绝对值大于1的实数或虚数时，方程（7）在实数域内无解，但如果我们 把三角函数的定义域扩大到复数域，即考虑复变量的三角函数，则对于任意复数χ都可求得其解. 根据复三角余弦函数的定义（欧拉公式）： cos 2 iz iz e e z -+=, （9） 方程（7）等价于

一般实系数四次方程的谢国芳公式-绝对准确可靠又最简明快捷的求根公式

一般实系数四次方程的谢国芳求根公式 作者：谢国芳（Roy Xie ） Email: roixie@https://www.sodocs.net/doc/445867976.html, 【摘要】本文给出了一个绝对准确可靠又最简明快捷的一般实系数四次方程的求根公式，其中涉及的运算全部为实数运算，可以在普通的科学计算器上进行。 以下把一般四次方程的形式设为 432 4640ax bx cx dx e ++++= 在系数中引入数字因子4, 6, 4是为了使后面各参数的表达式尽可能地简洁，注意五个系数的数字因子1, 4, 6, 4, 1恰好是二项式系数（ 4432(1)4641x x x x x +=++++ ）. 一般实系数四次方程的谢国芳求根公式 对于实系数四次方程 432 4640a x b x c x d x e ++++= (0)a > , 定义参数 2 H b ac =-, 2 43I ae bd c =-+, 23 32G a d abc b =-+, 3 2 2 3 4H a H I G J a --= , 3 2 27I J ?=-, 称0G ≠,220I J +≠（即, I J 不同时为0）的情形为一般情形，又可以分为下面这两种情况[1]：

（一）一般情形的求根公式Ⅰ 当32 270 I J ?=-<时，方程的四个根为 1,2 3,4 (sgn(/ (sgn(/ x b G a x b G a ?=-- ? ? ?=-+ ? 其中sgn() G为G的符号（sign）, 1 (0) sgn() 1 (0) G G G > ? =? -< ? 2 a t H =+. （二）一般情形的求根公式Ⅱ 当32 270 I J ?=-≥时，方程的四个根为 1 2 3 4 (/ (/ (/ (/ x b a x b a x b a x b a ?=-+++ ? ?=-+ ? ? =--+- ? ? =---+ ?? 其中 1 ) 3 y H θ =+ , 2,3 2 ) 33 y H θπ =±+, 1 cos J θ- - =. s是一个符号因子（sign factor），等于1或1-，视实数 123 ,, y y y的符号 而定：当 123 ,, y y y全为正数时sgn() G s=-，否则sgn() G s=. （三）特殊情形的求根公式

一元n次方程的求根公式a

一元 n 次方程的求根公式（一） 寻玉殿 当n 为不小于5的奇数时，一元n 次实系数方程 12 32 2 24 36 120 n n n n n n x nAx t A x t A x t A x B -----++++++= 有解，且必有一根为x = + 。 其中自然数i 满足3 21n i -≤≤，对于不同的奇数n ，i t 是特定的常数。 特别的（1）当5n =时， 15t = 原方程化为 532550 x Ax A x B +++= 则此方程必有一根为 5 x = + 。 （2）当7n =时，114t = 27t = 原方程化为 7523371470 x Ax A x A x B ++++= 则此方程必有一根为 x = + 。

（3）当9n =时，127t = 230t = 39t =原方程化为 97253349273090 x Ax A x A x A x B +++++= 则此方程必有一根为x = + 。 （4）当11n =时，144t = 277t = 355t = 411t = 原方程化为 119273543511447755110 x Ax A x A x A x A x B ++++++= 则此方程必有一根为 x = + 等等！ 对于不同的奇数n ，有着相对应之特定的i t 值，就决定了这套5至n 次 系列高次方程的存在形式及数学模型。

而对于n为偶数时，只要设 2 y x ，依然可以采用此套求根公式！ 所以这一套高次方程的模型不一而足，穷尽n次。 此方程的原雏产生于1995年，当时我就其中n等于5时一例在《中学生 数理化》刊物投过稿件，但没有被采纳，所以搞得此方程泥牛入海，一直搁浅至今。当时虽然没有完善到n次，但足以奠定并拓开了我日后的探索之路。本来欲将此高次方程向数学学会申报定理，但由于“黑规矩”肆无忌惮的盗稿窃稿，本人一直心有余悸，畏葸犹豫。几十年的经验总结及对此方程的不断更进完善，方形成这套较令人乐观的数学模型。今天，偶见互联网上已经有涉及此 5次方程课题的文志！唯恐被他人误为抄袭之嫌，所以，挑灯不寐，连夜及时将我这套高次方程的数学模型整理打印出炉，大白于天下，作为我申报定理的一个-“前哨站”，希望互联网有一片正大光明的天地为我们莘莘学子的科学探索之路打开通途。 作者寻玉殿 2017年5月3日星期三整理完毕

一元四次方程求根公式(精度高)

目录 前言 一·一元三次方程求根公式 二·笛卡尔待定系数法结合一元三次方程韦达定理 三·费拉里配方法 四·误差计算方法 五·两个求根公式精度对比 六·计算器使用注意事项 附录一·一元四次方程有一三重根时的另一种求根公式 附录二·一元四次方程有一对重根时的另一种求根公式 附录三·43x x 取第一种算法的证明过程 附录四·费拉里配方法的详细计算过程

前言 该文档是在word2003编辑的，如果用更高版本的word 浏览或编辑，某些数学公式可能无法正常显示。 一元四次方程有两种解法，一种是笛卡尔待定系数法，一种是费拉里配方法。两种解法都需要求解一元三次方程。因此先介绍一元三次方程的解法。 在求根公式计算过程中，经常会发生相近数相减，因此精度会随之下降，这里给出两个数发生相近数相减的判定条件： 将两个数写成a+b 的形式，在判断是否发生相近数相减前，先计算两个中间变量b a i +， b a d +： 1·0≥ab 0=+b a i ，b a d +=1 2·0

一元二次方程的解法—公式法

课题：1.2一元二次方程的解法 (4) 班级 姓名 【学习目标】 1、会用公式法解一元二次方程. 2、用配方法推导一元二次方程的求根公式，明确运用公式求根的前提条件是b 2 －4ac ≥0． 【重点难点】 重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程。 难点：掌握一元二次方程的求根公式及代入时的符号问题. 【新知导学】 读一读：阅读课本P 14-P 16 想一想: 1. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 2. 用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 因为0a ≠，方程两边都除以a ，得 把常数项移到方程右边，得 配方，得 即2224()24b b ac x a a -+= 当 0≥时 ，2422b b ac x a a -+=± 即42b b ac x a -±-= 。 3.在上述配方过程中，若240b ac -≥＜ 0时，方程有实数根吗？ 练一练： 1.方程4-x 2=3x 中a= ，b= ，c= ， b 2-4ac= 2. 用公式法解方程0232 =+-x x 【新知归纳】 一般的，对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax

（1） 当_____________时，它的实数根是_________________.这个公式叫一元二次方程的求根 公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫公式法。 （2） 当_____________时，方程没有实数根。 【例题教学】 例1.用公式法解方程： （1）22330 x x -+= （2）x x 2322=- （3）a a a =-+)2)(2(51 （4）23(1)y y += 例2.已知y 1＝2x 2＋7x －1，y 2＝6x ＋2，当x 取何值时y 1＝y 2？ 【当堂训练】 1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（ ） A.x=21214412-± B. x=2 1214412-±- C. x= 21214412+± D. x=64814412-± 2.用公式法解下列方程： （１）2220x x +-=； （２）2 30x x -=