第1章 集 合
§1.1 集合的含义及其表示
重难点:集合的含义与表示方法,用集合语言表达数学对象或数学内容;区别元素与集合等概念及其符
号表示;用集合语言(描述法)表达数学对象或数学内容;集合表示法的恰当选择.
考纲要求:①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系;
②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
经典例题:若x ∈R ,则{3,x ,x 2
-2x }中的元素x 应满足什么条件?
当堂练习:
1.下面给出的四类对象中,构成集合的是( )
A .某班个子较高的同学
B .长寿的人
C
D .倒数等于它本身的数
2.下面四个命题正确的是( )
A .10以内的质数集合是{0,3,5,7}
B .由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}
C .方程2
210x x -+=的解集是{1,1} D .0与{0}表示同一个集合
3. 下面四个命题: (1)集合N 中最小的数是1; (2)若 -a ?Z ,则a ∈Z ;
(3)所有的正实数组成集合R +
;(4)由很小的数可组成集合A ;
其中正确的命题有( )个
A .1
B .2
C .3
D .4
4.下面四个命题: (1)零属于空集; (2)方程x 2
-3x+5=0的解集是空集;
(3)方程x 2
-6x+9=0的解集是单元集; (4)不等式 2 x-6>0的解集是无限集;
其中正确的命题有( )个
A .1
B .2
C .3
D .4 5. 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( )
A . {x,y 且0,0x y <>}
B . {(x,y)0,0x y <>} C. {(x,y) 0,0x y <>} D. {x,y 且0,0x y <>} 6.用符号∈或?填空:
0__________{0}, a __________{a }, π
__________Q ,
2
1
__________Z ,-1__________R ,
0__________N , 0 Φ.
7.由所有偶数组成的集合可表示为{x x = }.
8.用列举法表示集合D={2
(,)8,,x y y x x N y N =-+∈∈}为 . 9.当a 满足 时, 集合A ={30,x x a x N +-<∈}表示单元集. 10.对于集合A ={2,4,6},若a ∈A ,则6-a ∈A ,那么a 的值是__________. 11.数集{0,1,x 2
-x }中的x 不能取哪些数值?
12.已知集合A ={x ∈N|126x
-∈N
},试用列举法表示集合A .
13.已知集合A={2
210,,x ax x a R x R ++=∈∈}.
(1)若A 中只有一个元素,求a 的值; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.
14.由实数构成的集合A 满足条件:若a ∈A, a ≠1,则
11A a
∈-,证明:
(1)若2∈A ,则集合A 必还有另外两个元素,并求出这两个元素; (2)非空集合A 中至少有三个不同的元素。
§1.2 子集、全集、补集
重难点:子集、真子集的概念;元素与子集,属于与包含间的区别;空集是任何非空集合的真子集的理解;补集的概念及其有关运算.
考纲要求:①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;
②在具体情景中,了解全集与空集的含义;
③理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
经典例题:已知A={x|x=8m+14n,m、n∈Z},B={x|x=2k,k∈Z},问:
(1)数2与集合A的关系如何?
(2)集合A与集合B的关系如何?
当堂练习:
1.下列四个命题:①Φ={0};②空集没有子集;③任何一个集合必有两个或两个以上的子集;④空集是任何一个集合的子集.其中正确的有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.若M={x|x>1},N={x|x≥a},且N?M,则()
A.a>1 B.a≥1 C.a<1 D.a≤1
3.设U为全集,集合M、N U,且M?N,则下列各式成立的是()
A.u M?u N B.u M?M
C.u M?u N D.u M?N
4. 已知全集U={x|-2≤x≤1},A={x|-2<x<1 =,B={x|x2+x-2=0},C={x|-2≤x<1 =,则()
A.C?A B.C?u A
C.u B=C D.u A=B
5.已知全集U={0,1,2,3}且u A={2},则集合A的真子集共有()
A.3个 B.5个 C.8个D.7个
6.若A
B ,A
C ,B ={0,1,2,3},C ={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A 为________.
7.如果M ={x |x =a 2
+1,a ∈N*},P ={y |y =b 2
-2b +2,b ∈N +},则M 和P 的关系为M _________P . 8.设集合M ={1,2,3,4,5,6},A ?M ,A 不是空集,且满足:a ∈A ,则6-a ∈A ,则满足条件的集合A 共有_____________个.
9.已知集合A={13x -≤≤},
u
A={|37x x <≤},
u
B={12x -≤<},则集合B= .
10.集合A ={x |x 2
+x -6=0},B ={x |mx +1=0},若B A ,则实数m 的值是 .
11.判断下列集合之间的关系:
(1)A={三角形},B={等腰三角形},C={等边三角形};
(2)A={2|20x x x --=},B={|12x x -≤≤},C={2
|44x x x +=}; (3)A={10|110x x ≤≤},B={2
|1,x x t t R =+∈},C={|213x x +≥}; (4)11{|,},{|,}.2
4
4
2
k k A x x k Z B x x k Z ==+
∈==
+
∈
12. 已知集合{
}
2
|(2)10A x x p x x R =+++=∈,,且?A {负实数},求实数p 的取值范围.
13..已知全集U={1,2,4,6,8,12},集合A={8,x,y,z},集合B={1,xy,yz,2x},其中6,12z ≠,若A=B, 求u
A..
14.已知全集U ={1,2,3,4,5},A ={x ∈U |x 2
-5qx +4=0,q ∈R}.
(1)若u
A =U ,求q 的取值范围; (2)若
u A 中有四个元素,求
u
A 和q 的值;
(3)若A 中仅有两个元素,求u
A 和q 的值.
§1.3 交集、并集
重难点:并集、交集的概念及其符号之间的区别与联系.
考纲要求:①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;
②能使用韦恩图(Venn )表达集合的关系及运算.
经典例题:已知集合A={}2
0,x x x -= B={}2
240,x ax x -+=且A ?B=B ,求实数a 的取值范围.
当堂练习:
1.已知集合{}{}{}2
2
20,0,2M x x px N x x x q M N =++==--=?=且,则
q p ,的值为 (
).
A .3,2p q =-=-
B .3,2p q =-=
C .3,2p q ==-
D .3,2p q ==
2.设集合A ={(x ,y )|4x +y =6},B ={(x ,y )|3x +2y =7},则满足C ?A ∩B 的集合C 的个数是( ). A .0
B .1
C .2
D .3
3.已知集合{}{}|35|141A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤+,,A B B ?=且, B φ≠,则实数a 的取值范围是( )
. .1.01A a B a ≤≤≤ .0
.41C a D a ≤-≤≤
4.设全集U=R ,集合{}{}()()0,()0,0()
f x M x f x N x
g x g x =====则方程
的解集是( ).
A .M
B . M ∩(u
N ) C . M ∪(
u
N ) D .M N ?
5.有关集合的性质:(1) u
(A ?B)=(
u
A )∪(
u
B ); (2)
u (A ?B)=(
u
A )?(
u
B )
(3) A ? (
u
A)=U (4) A ? (
u
A)=Φ 其中正确的个数有( )个.
A.1 B . 2 C .3 D .4
6.已知集合M ={x |-1≤x <2=,N ={x |x —a ≤0},若M ∩N ≠Φ,则a 的取值范围是 .
7.已知集合A ={x |y =x 2
-2x -2,x ∈R },B ={y |y =x 2
-2x +2,x ∈R },则A ∩B = . 8.已知全集{}1,2,3,4,5,U A =?且(u
B ){
}1,2,
=u
A ){}4,5
B ?=, ,A B φ?≠
则A= ,B= .
9.表示图形中的阴影部分 . 10.在直角坐标系中,已知点集A={
}
2(,)
21
y x y x -=-,B={}(,)2x y y x =,则
(
u
A) ? B= .
11.已知集合M={}{}{}2
2
2
2,2,4,3,2,46,2a a N a a a a M N +-=++-+?=且,求实数a 的的值.
12.已知集合{}{}2
2
0,60,,A x x bx c B x x mx A B B A =++==++=?=且B ?={}2,求实数b,c,m 的值.
13. 已知A
?
B={3},
(
u
A)∩B={4,6,8}, A ∩
(u
B)={1,5},(
u
A)∪
(u
B)={*
10,,3x x x N x <∈≠},试求
u
(A ∪B),A ,B .
14.已知集合A=}{2
40x R x x ∈+=,B=}{2
2
2(1)10x R x a x a ∈+++-=,且A ∪B=A ,试求a 的取值范围.
A B
C
第1章 集 合
§1.4 单元测试
1.设A={x|x ≤4},
)
(A ){a} A (B )a ?A (C ){a}∈A (D )a ?A 2.若{1,2} A ?{1,2,3,4,5},则集合A 的个数是( )
(A )8 (B )7 (C )4 (D )3 3.下面表示同一集合的是( )
(A )M={(1,2)},N={(2,1)} (B )M={1,2},N={(1,2)} (C )M=Φ,N={Φ} (D )M={x|2
210}x x -+=,N={1}
4.若P ?U ,Q ?U ,且x ∈C U (P ∩Q ),则( )
(A )x ?P 且x ?Q (B )x ?P 或x ?Q (C )x ∈C U (P ∪Q) (D )x ∈C U P 5. 若M ?U ,N ?U ,且M ?N ,则( )
(A )M ∩N=N (B )M ∪N=M (C )C U N ?C U M (D )C U M ?C U N 6.已知集合M={y|y=-x 2
+1,x ∈R},N={y|y=x 2
,x ∈R},全集I=R ,则M ∪N 等于( )
(A )
{(x,y)|x=1,,}2
2
y x y R =
∈ (B )
{(x,y)|x 1,,}2
2
y x y R ≠≠
∈
(C ){y|y ≤0,或y ≥1} (D ){y|y<0, 或y>1}
7.50名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格40人和31人,两项测试均不及格的有4人,则两项测试成绩都及格的人数是( )
(A )35 (B )25 (C )28 (D )15 8.设x,y ∈R,A={}(,)x y y x =,B= {
}
(,)1y x y x
=,则A 、B 间的关系为( )
(A )A
B (B )B
A (C )A=
B (D )A ∩B=Φ
9. 设全集为R ,若M={}1x x ≥ ,N= {}05x x ≤<,则(C U M )∪(C U N )是( )
(A ){}0x x ≥ (B ) {}15x x x <≥或 (C ){}15x x x ≤>或 (D ) {}05x x x <≥或 10.已知集合{|31,},{|32,}M x x m m Z N y y n n Z ==+∈==+∈,若00,,x M y N ∈∈ 则
00y x 与集合,M N 的关系是 ( )
(A )00y x M ∈但N ?(B )00y x N ∈但M ?(C )00y x M ?且N ?(D )00y x M ∈且N ∈
11.集合U ,M ,N ,P 如图所示,则图中阴影部分所表示的集合是( ) (A )M ∩(N ∪P ) (B )M ∩C U (N ∪P ) (C )M ∪C U (N ∩P ) (D )M ∪C U (N ∪P ) 12.设I 为全集,A ?I,B A,则下列结论错误的是( )
(A )C I A
C I B (B )A ∩B=B (C )A ∩C I B =Φ (
D ) C I A ∩B=Φ
?
≠ ? ≠
13.已知x ∈{1,2,x 2
},则实数x=__________.
14.已知集合M={a,0},N={1,2},且M ∩N={1},那么M ∪N 的真子集有 个. 15.已知A={-1,2,3,4};B={y|y=x 2
-2x+2,x ∈A},若用列举法表示集合B ,则B= . 16.设{}1,2,3,4I =,A 与B 是I 的子集,若{}2,3A B =,则称(,)A B 为一个“理
想配集”,那么符合此条件的“理想配集”的个数是 .(规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的
“理想配集”)
17.已知全集U={0,1,2,…,9},若(C U A)∩(C U B)={0,4,5},A ∩(C U B)={1,2,8},A ∩B={9}, 试求A ∪B .
18.设全集U=R,集合A={}14x x -<<,B={}1,y y x x A =+∈,试求C U B, A ∪B, A ∩B,A ∩(C U B), ( C U A) ∩(C U B).
19.设集合A={x|2x 2+3px+2=0};B={x|2x 2
+x+q=0},其中p ,q ,x ∈R ,当A ∩B={}
12
时,求p 的值
和A ∪B .
20.设集合A={2
(,)462x y y x x a
=++,B={}(,)2x y y x a =+,问:
(1) a 为何值时,集合A ∩B 有两个元素; (2) a 为何值时,集合A ∩B 至多有一个元素.
21.已知集合A={}1234,,,a a a a ,B={
}2
2
2
2
1234
,,,a a a a ,其中1
2
3
4
,,,a a a a 均为正整数,且
1234a a a a <<<,A ∩B={a 1,a 4}, a 1+a 4=10, A ∪B 的所有元素之和为124,求集合A 和B .
22.已知集合A={x|x 2
-3x+2=0},B={x|x 2
-ax+3a -5},若A ∩B=B ,求实数a 的值.
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.1.1 函数的概念和图象
重难点:在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y =f (x )”的含义,掌握函数定义域与值域的求法; 函数的三种不同表示的相互间转化,函数的解析式的表示,理解和表示分段函数;函数的作图及如何选点作图,映射的概念的理解.
考纲要求:①了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;
②在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;
③了解简单的分段函数,并能简单应用;
经典例题:设函数f (x )的定义域为[0,1],求下列函数的定义域: (1)H (x )=f (x 2
+1);
(2)G (x )=f (x +m )+f (x -m )(m >0).
当堂练习:
1. 下列四组函数中,表示同一函数的是( )
A .(),()f x x g x ==
.2
(),()f x x g x ==
C .2
1(),()11
x f x g x x x -=
=+- D .()()f x g x ==2.函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为( )
A .必有一个
B .1个或2个
C .至多一个
D .可能2个以上 3.已知函数1()1
f x x =
+,则函数[()]f f x 的定义域是( )
A .{}1x x ≠
B .{}2x x ≠-
C .{}1,2x x ≠--
D .{}1,2x x ≠-
4.函数1()1(1)
f x x x =
--的值域是( )
A .5[,)4+∞
B .5(,4
-∞ C . 4[,)3
+∞ D .4(,]3
-∞
5.对某种产品市场产销量情况如图所示,其中:1l 表示产品各年年产量的变化
规律;2l 表示产品各年的销售情况.下列叙述: ( )
(1)产品产量、销售量均以直线上升,仍可按原生产计划进行下去; (2)产品已经出现了供大于求的情况,价格将趋跌;
(3)产品的库存积压将越来越严重,应压缩产量或扩大销售量;
(4)产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.你认为较合理的是( ) A .(1),(2),(3) B .(1),(3),(4) C .(2),(4) D .(2),(3)
6.在对应法则,,,x y y x b x R y R →=+∈∈中,若25→,则2-→ , →6. 7
数()f x 对任何x R
+
∈恒有12
1
()
(
)()f x x f x f x ?
=+,已知(8)
3f =,则
)f = .
8.规定记号“?”表示一种运算,即a b a b a b R +
?=+∈,、. 若13k ?=,
则函数()f x
k x
=?的值域是___________.
9.已知二次函数f(x)同时满足条件: (1) 对称轴是x=1; (2) f(x)的最大值为15;(3) f(x)的两根立方和等于17.则f(x)的解析式是 . 10.函数2
522
y x x =
-+的值域是 .
11. 求下列函数的定义域 : (1)()121
x f x x =
-
- (2)0
(1)
()x f x x x
+=
-
12.求函数y x =-
13.已知f(x)=x 2
+4x+3,求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值
g(t)和最大值h(t).
14.在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ,从点B 开始,沿折线BCDA 向A 点运动,设M 点运动的距离为x ,△ABM 的面积为S . (1)求函数S=的解析式、定义域和值域; (2)求f[f(3)]的值.
B
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.1.2 函数的简单性质
重难点:领会函数单调性的实质,明确单调性是一个局部概念,并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性,领会函数最值的实质,明确它是一个整体概念,学会利用函数的单调性求最值;函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定;函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性、单调性的理解和应用;了解映射概念的理解并能区别函数和映射.
考纲要求:①理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;
并了解映射的概念;
②会运用函数图像理解和研究函数的性质.
经典例题:定义在区间(-∞,+∞)上的奇函数f (x )为增函数,偶函数g (x )在[0,+∞ )上图象与f (x )的图象重合.设a >b >0,给出下列不等式,其中成立的是
① f (b )-f (-a )>g (a )-g (-b ) ②f (b )-f (-a )<g (a )-g (-b ) ③f (a )-f (-b )>g (b )-g (-a ) ④f (a )-f (-b )<g (b )-g (-a )
A .①④
B .②③
C .①③
D .②④
当堂练习:
1.已知函数f (x )=2x 2
-mx +3,当()2,x ∈-+∞时是增函数,当(),2x ∈-∞-时是减函数,则f (1)等于 ( )
A .-3
B .13
C .7
D .含有m 的变量 2
.函数1()x f x -=
是( )
A . 非奇非偶函数
B .既不是奇函数,又不是偶函数奇函数
C . 偶函数
D . 奇函数 3.已知函数(1)()11f x x x =++-
, (2)()f x =
2
()33f x x x =+
(4)
0()
()1()R
x Q f x x C Q ∈=∈??
?,其中是偶函数的有( )个 A .1 B .2 C .3 D .4
4.奇函数y =f (x )(x ≠0),当x ∈(0,+∞)时,f (x )=x -1,则函数f (x -1)的图象为 ( )
5.已知映射f:A →B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的A a ∈,在B 中和它对应的元素是
a ,则集合B 中元素的个数是( )
A .4
B .5
C .6
D .7
6.函数2
()24f x x tx t =-++在区间[0, 1]上的最大值g(t)是 . 7. 已知函数f(x)在区间(0,)+∞上是减函数,则2
(1)f x x ++与()34
f 的大小关系是 .
8.已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x 1<0,x 2>0,且12x x <,则1()f x 和
2()f x 的大小关系是 .
9.如果函数y =f (x +1)是偶函数,那么函数y =f (x )的图象关于_________对称. 10.点(x,y)在映射f
作用下的对应点是2
2
,若点A 在f 作用下的对应点是B(2,0),则
点A 坐标是 .
13. 已知函数2
1
22()x x f x x
++
=,其中[1,)x ∈+∞,(1)试判断它的单调性;(2)试求它的最小值.
14.已知函数2
211()a f x a
a x
+=
-
,常数0>a 。
(1)设0m n ?>,证明:函数()f x 在[]m n ,上单调递增;
(2)设0m n <<且()f x 的定义域和值域都是[]m n ,,求n m -的最大值.
13.(1)设f(x)的定义域为R 的函数,求证: 1()[()()]2
F x f x f x =+-是偶函数;
1()[()()]2
G x f x f x =
--是奇函数.
(2)利用上述结论,你能把函数3
2
()323f x x x x =+-+表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式.
14. 在集合R 上的映射:2
1:1f x z x →=-,2
2:4(1)1f z y z →=--. (1)试求映射:f x y →的解析式; (2)分别求函数f 1(x)和f 2(z)的单调区间; (3) 求函数f(x)的单调区间.
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
§
1. 设集合P={}04x x ≤≤,Q={}02y y ≤≤,由以下列对应f 中不能..构成A 到B 的映射的是 ( )A .12
y x =
B . 13
y x =
C . 23
y x =
D . 18
x y =
2.下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=x+1; (3)y=x 2
-1; (4)y=1x
,其中定义域与值域相同的是( )
A .(1)(2)
B .(1)(2)(3)
C .2)(3)
D .(2)(3)(4) 3.已知函数7
()2c f x ax bx x
=++
-,若(2006)10f =,则(2006)f -的值为( )
A .10
B . -10
C .-14
D .无法确定 4.设函数1(0)
()1(0)
x f x x ->=
?
?,则()()()()2a b a b f a b a b ++-?-≠的值为( ) A .a B .b C .a 、b 中较小的数 D .a 、b 中较大的数
5.已知矩形的周长为1,它的面积S 与矩形的长x 之间的函数关系中,定义域为( ) A .{
}
104
x x <<
B . {
}
102
x x <<
C . {
}
114
2
x
x <<
D . {
}
114
x
x <<
6.已知函数y=x 2