年广州市高三一模文科数学试卷及答案
2017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试(一）
第Ⅰ卷
一、选择题：本小题共12题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.复数
2
1i
+的虚部是( ）A ．2- Ｂ.1- Ｃ.1 D.2 2．已知集合}
{}{
2
001x x ax ,+==，则实数a 的值为（ ）
A ．1-
B ．0 Ｃ.1 Ｄ.2 3．已知tan 2θ=,且θ∈0,2π??
???
，则cos2θ=（ ) A.
45 Ｂ．35 Ｃ．35
- D ．45-
４.阅读如图的程序框图. 若输入5n =,则输出k 的值为( )
A ．2
B ．3 Ｃ．4 Ｄ.5 ?
5.已知函数()12
2,0,
1log ,0,+?≤=?->?x x f x x x 则()()3=f f ( )
A.43 Ｂ．23
C ．4
3- D ．3-
6．已知双曲线C 22
2:14
x y a -
=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别是双曲线 C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上， 且12=PF , 则2PF 等于（ )
A ．4 Ｂ.6 C ．8 D.10
7.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为( ）A.
14 B ．716 Ｃ．12 D.916
８.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形） 和侧视图，且该几何体的体积为
8
3
,则该几何体的俯视图可以是( ）
9．设函数()3
2
f x x ax =+，若曲线()=y f x 在点()()
00,P x f x 处的切线方程为0+=x y ，则点
P 的坐标为( )
A ．()0,0
B ．()1,1- Ｃ．()1,1- D ．()1,1-或()1,1-
1０.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥-P ABC 为鳖臑,PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==,4AC =，三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面 积为（ ）
A ．8π Ｂ.12π C.20π Ｄ.24π
1１.已知函数()()()()sin cos 0,0=+++><<ω?ω?ω?πf x x x 是奇函数,直线2y =
()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2
π
，则（ )
A ．()f x 在0,
4π?? ???上单调递减 Ｂ．()f x 在3,88ππ?? ???上单调递减 C ．()f x 在0,
4π?
? ??
?上单调递增 D.()f x 在3,88ππ?? ???
上单调递增 １２．已知函数()1cos 212x f x x x π+?
?=+- ?-??, 则2016
1
2017k k f =??
???
∑的值为( ) A.2016 B ．1008 C.504 Ｄ．0
第Ⅱ卷
二、填空题:本小题共４题，每小题5分
13．已知向量a ()1,2=，b (),1=-x ，若a //()a b -,则a b ?=
１4.若一个圆的圆心是抛物线2
4=x y 的焦点,且该圆与直线3+=x y 相切,则该圆的标准方_____ 15.满足不等式组???≤≤≥-++-a
x y x y x 00
)3)(1(的点(),x y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值是_
＿_＿＿ 1６.在ABC ?中，1
60,1,2
ACB BC AC AB ?∠=>=+,当ABC ?的周长最短时，BC 的长是
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1７. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n S a =-(*N n ∈) (Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 求数列{}n S 的前n 项和n T １８.(本小题满分１2分）
某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题.该企业为了检查生产该产品的甲,乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本,测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(]195,210内,则为合格品，否则为不合格品.表1是甲流水线样本的频数分布表,图１是乙流水线样本的频率分布直方图
(Ⅰ）根据图１,估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数;
(Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了50０0件产品,则甲、乙两条流水线
分别生产出不合格品约多少件？
(Ⅲ)根据已知条件完成下面22?列联表,并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关”？
附：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++(其中=+++n a b c d 为样本容量)
()2P K k ≥ ０．１5
0.10 ０.05 0.025 0.01０ 0.0０5 0．001 k
2.０７2 2．70６
3.8４１ 5．02４ 6.63５
７.879
10.8２8
19．（本小题满分１２分）
如图１，在直角梯形ABCD 中,AD //BC ,AB ⊥BC ,BD ⊥DC ,点E 是BC 边的中点,将ABD ?沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ,DE ，得到如图2所示的几何体 (Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ； ABD (Ⅱ）若1=AD ,AC 与其在平面6,求
内的正投影所成角的正切值为点B 到平面ADE 的距离
２0．(本小题满分１2分)
已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的离心率为23
，且过点)1,2(A
(Ⅰ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ）若Q P ,是椭圆C 上的两个动点，且使PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值?若是，求出该值;若不是,说明理由
2１．（本小题满分１2分)
已知函数)0(ln )(>+
=a x
a
x x f (Ⅰ）若函数)(x f 有零点，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)证明:当e a 2≥时，x
e
x f ->)(
请考生在第２2～２3题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分 2２．（本小题满分1０分）选修４－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,
(1,
=-??
=+?x t t y t 为参数).在以坐标原点为极点,x 轴正
半轴为极轴的极坐标系中, 曲线:22cos .4??=-
??
?
πρθC
（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值 23．（本小题满分10分)选修4－5:不等式选讲
已知函数()12=+-+-f x x a x a .
(Ⅰ)若()13 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 不合格品 合计 E D C B A ２017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试（一)答案 评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分． 3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分． 一、选择题 （１)B （2)A （3）C （4)B （5）A (６)Ｃ （7)B (8)D (９)D （１0)C (11）D （12)B 二、填空题 （13)52 - （１4）()22 12x y +-= （15）3 （ 16)12+ 三、解答题 (17） 解: （Ⅰ）当1n =时,1122S a =-，即1122a a =-, ………………………………………1分 解得12a =． ………………………………………………………2分 当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ………………3分 即12n n a a -=， ………………………………………………………4分 所以数列{}n a 是首项为2,公比为2的等比数列．……………………………………５分 所以1222n n n a -=?=(n ∈N *). ………………………………………………６分 （Ⅱ) 因为12222n n n S a +=-=-, ………………………………………………8分 所以12n n T S S S =++???+ ………………………………………………9分 2312222n n +=++???+- ……………………………………………… １0分 ()412212 n n ?-= -- (1) 2242n n +=--． ………………………………………………12分 (18） 解: (Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为 ()()0.480.0120.0320.05250.50.0120.0320.0520.07650.86=++?<<+++?=， ………………………………… ……１分 则()()0.0120.0320.05250.0762050.5,x ++?+?-= ……………………………3分 解得3900 19 x = ． ………………………………………4分 （Ⅱ）由甲,乙两条流水线各抽取的５0件产品可得，甲流水线生产的不合格品有１5件， 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为153 ,5010P = =甲 ………………………５分 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为()1 0.0120.02855 P =+?=乙 , ………6分 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了50０0件产品，则甲，乙两条流水线生产 的不合格品件数分别为： 31 5000=1500,5000=1000105 ? ?. …………………………8分 （Ⅲ) 列联表： 1０分 则()2 2 1003506004 1.3505075253 K ?-==≈???， ……………………………………………11分 因为1.3 2.072,< 所以没有８5%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线 的选择有关”． ……………………………………………………12分 (19) 解： (Ⅰ） 因为平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD 平面BCD BD =， 又BD ⊥DC ,所以DC ⊥平面ABD . …………………………………1分 因为AB ?平面ABD ，所以DC ⊥AB …………………………………2分 又因为折叠前后均有AD ⊥AB ,DC ∩AD D =, …………………………………3分 所以AB ⊥平面ADC ． …………………………………4分 （Ⅱ) 由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影为AD , 即∠CAD 为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角. ……………………………5分 依题意6tan ==∠AD CD CAD ， 因为1AD ,= 所以6=CD . …………………………6分 设()0AB x x =>，则12+= x BD , 因为△ABD ～△BDC ，所以BD DC AD AB = ， ………………………………7分 即1 612+=x x , 解得x = 3,3,2===BC BD AB . ………………………………8分 由于AB ⊥平面ADC ,AB ⊥AC , E 为BC 的中点， 由平面几何知识得AE 3 22 BC ==, 同理DE 3 22==BC , 所以2 2 =?ADE S . …………………………９ 分 因为DC ⊥平面ABD ,所以3 331=?=-ABD BCD A S CD V . ………………………１0分 设点B 到平面ADE 的距离为d , 则6 3213 1====?---BCD A BDE A ADE B ADE V V V S d ， …………………………11分 所以2 6 =d ， 即点B 到平面ADE 的距离为26. …………………………12分 (2０) 解:(Ⅰ） 因为椭圆C , 且过点()2,1A , 所以2241 1a b +=, c a = ………………………………………………2分 因为222a b c =+, 解得28a =, 22b =, ………………………………………………3分 所以椭圆C 的方程为22 182 x y +=． ……………………………………………４分 (Ⅱ)法1:因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对 称. 设直线PA 的斜率为k , 则直线AQ 的斜率为k -. ………………………………5分 所以直线PA 的方程为()12y k x -=-,直线AQ 的方程为()12y k x -=--． 设点(),P P P x y ， () ,Q Q Q x y ， 由()2212, 1,8 2y k x x y -=-???+=??消去y ,得()()222214168161640k x k k x k k +--+--=． ① 因为点()2,1A 在椭圆C 上， 所以2x =是方程①的一个根, 则22 16164 214P k k x k --=+, ……………………………………………６分 所以22 882 14P k k x k --=+. ……………………………………………7分 同理22 882 14Q k k x k +-=+. ……………………………………………8分 所以2 1614P Q k x x k -=-+. ……………………………………………9分 又()2 8414P Q P Q k y y k x x k -=+-=-+. ……………………………………………１0分 所以直线PQ 的斜率为1 2 P Q PQ P Q y y k x x -==-． …………………………………………11分 所以直线PQ 的斜率为定值,该值为1 2 ． ……………………………………………1２分 法2：设点()()1122,,,P x y Q x y , 则直线PA 的斜率1112PA y k x -= -, 直线QA 的斜率221 2 QA y k x -=-. 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以PA QA k k =-， 即1 112y x --221 02 y x -+=-, ① ………………………………………5分 因为点()()1122,,,P x y Q x y 在椭圆C 上, 所以22 11182x y +=,② 2222 182 x y +=. ③ 由②得()() 2 2114410x y -+-=， 得 () 111112 241y x x y -+=--+， ④ ………………………6分 同理由③得 () 222212 241y x x y -+=--+, ⑤ ………………………………………………7分 由①④⑤得 ()() 121222 04141x x y y +++=++, 化简得()()12211212240x y x y x x y y ++++++=, ⑥ ……………………………８分 由①得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=, ⑦ ……………………………9分 ⑥-⑦得()12122x x y y +=-+. …………………………………………10分 ②-③得 2222 1212082x x y y --+=，得()121212121 42 y y x x x x y y -+=-=-+. …………………1１分 所以直线PQ 的斜率为12121 2 PQ y y k x x -= =-为定值. …………………………………12分 法3:设直线PQ 的方程为y kx b =+，点()()1122,,,P x y Q x y ， 则1122,y kx b y kx b =+=+, 直线PA 的斜率1112PA y k x -= -, 直线QA 的斜率221 2 QA y k x -=-. ………………………5分 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴, 所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称. 所以PA QA k k =-， 即1112y x --2 21 2 y x -=--, ……………………………………………6分 化简得()()12211212240x y x y x x y y +-+-++=. 把1122,y kx b y kx b =+=+代入上式, 并化简得 ()()1212212440kx x b k x x b +--+-+=. (＊） …………………………………7分 由22,1,8 2y kx b x y =+?? ?+=??消去y 得()222418480k x kbx b +++-=， (*＊) 则2121222848 ,4141kb b x x x x k k -+=-=++, ……………………………………………8分 代入(＊)得()() 2222488124404141 k b kb b k b k k -----+=++, ……………………………9分 整理得()()21210k b k -+-=, 所以1 2 k = 或12b k =-． ...................................................10分 若12b k =-, 可得方程(**）的一个根为2,不合题意． (1) 若1 2 k =时， 合题意. 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为1 2 . ……………………………………………12分 (2１） 解: (Ⅰ)法1: 函数()ln a f x x x =+ 的定义域为()0,+∞. 由()ln a f x x x =+ , 得()221a x a f x x x x -'=-=． ……………………………………1分 因为0a >,则()0,x a ∈时, ()0f x '<;(),x a ∈+∞时, ()0f x '>. 所以函数()f x 在()0,a 上单调递减, 在(),a +∞上单调递增. ………………………2分 当x a =时, ()min ln 1f x a =+????． …………………………………………………3分 当ln 10a +≤, 即0a <≤1 e 时, 又()1ln10=+=>f a a ， 则函数()f x 有零点. …4分 所以实数a 的取值范围为10,e ?? ?? ? . ……………………………………………………5分 法2:函数()ln a f x x x =+ 的定义域为()0,+∞． 由()ln 0a f x x x =+ =， 得ln a x x =-. …………………………………………………1分 令()ln g x x x =-,则()()ln 1g x x '=-+. 当10,x e ??∈ ???时, ()0g x '>; 当1,x e ??∈+∞ ??? 时, ()0g x '<. 所以函数()g x 在10,e ? ? ??? 上单调递增, 在1,e ??+∞ ??? 上单调递减. ……………………2分 故1x e =时, 函数()g x 取得最大值1111ln g e e e e ?? =-= ??? . …………………………3分 因而函数()ln a f x x x =+有零点， 则10a e <≤. ………………………………………4分 所以实数a 的取值范围为10,e ?? ?? ? . …………………………………………………５分 （Ⅱ) 要证明当2 a e ≥ 时, ()->x f x e , 即证明当0,x >2a e ≥时, ln x a x e x -+>, 即ln x x x a xe -+>.………………………６分 令()ln h x x x a =+， 则()ln 1h x x '=+. 当10x e << 时, ()0f x '<;当1 x e >时, ()0f x '>． 所以函数()h x 在10,e ?? ???上单调递减， 在1,e ??+∞ ??? 上单调递增. 当1x e =时, ()min 1 h x a e =-+????. ……………………………………………………7分 于是,当2a e ≥时, ()11 .h x a e e ≥-+≥ ① ……………………………………8分 令()x x xe ?-=， 则()()1x x x x e xe e x ?---'=-=-. 当01x <<时, ()0f x '>;当1x >时, ()0f x '<． 所以函数()x ?在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减. 当1x =时, ()max 1 x e ?= ????. ……………………………………………………9分 于是, 当0x >时, ()1 .x e ?≤ ② ……………………………………………………10分 显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. …………………………………11分 故当2 a e ≥时, ()->x f x e . ……………………………………………………12分 (２2）解： (Ⅰ) 由3, 1,=-?? =+?x t y t 消去t 得40+-=x y , ………………………………………1分 所以直线l 的普通方程为40+-=x y . ………………………………………２分 由4??=- ???πρ θcos cos sin sin 2cos 2sin 44?=+=+??ππθθθθ， ……3分 得2 2cos 2sin =+ρρθρθ. ………………………………………4分 将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入上式, 得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()2 2 112-+-=x y . ………５分 (Ⅱ) 法１:设曲线C 上的点为() 1,1ααP , ………………………………6分 则点P 到直线l 的距离为= d 分 = =………………………………………8分 当sin 14?? + =- ? ? ? πα时， max =d ………………………………………９分 所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为１0分 法2: 设与直线l 平行的直线为:0l x y b '++=, ………………………………………６分 当直线l '与圆C 相切时, = ………………………………………7分 解得0b =或4b =-(舍去)， 所以直线l '的方程为0x y +=. ………………………………………8分 所以直线l 与直线l ' 的距离为d = = …………………………………9分 所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为. ………………………………10分 (23)解: (Ⅰ） 因为()13 ① 当0≤a 时，得()123-+- 3 >-a ,所以2 03 - <≤a ; ……………２分 ② 当102<-a ，所以1
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