平面向量练习题集答案
平面向量练习题集答案
典例精析
题型一向量的有关概念
【例1】下列命题：
①向量AB的长度与BA的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；
④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.
其中真命题的序号是.
【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD 是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.
【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.
【变式训练1】下列各式：
a?；
①|a|＝a
②(a?b) ?c＝a?(b?c)；
③OA－OB＝BA；
④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋DC＝2MN；
⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b).
其中正确的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
a?正确；(a?b) ?c≠a?(b?c)；OA－OB＝BA正确；如下图所示，【解析】选D.| a|＝a
MN=MD+DC+CN且MN=MA+AB+BN，
两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确；
因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，
即得(a＋b)⊥(a－b).
所以命题①③④⑤正确.
题型二 与向量线性运算有关的问题
【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且DM =DO 31，点N 在线段OC 上,且ON =OC 31,设AB =a , AD =b ,试用a 、b 表示AM ，AN ，MN . 【解析】在?ABCD 中，AC ，BD 交于点O ， 所以DO ＝12DB ＝12(AB －AD )＝12(a －b )， AO ＝OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )＝1
2(a ＋b ).
又DM ＝13DO ， ON ＝13
OC ， 所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋13
DO ＝b ＋13×12(a －b )＝16a ＋56b ， AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋1
3OC
＝43OC ＝43×12(a ＋b )＝23
(a ＋b ). 所以MN ＝AN －AM
＝23(a ＋b )－(16a ＋56b )＝12a －16
b . 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.
【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP ＝
OA ＋λ(AB ＋AC )，若λ＝12
时，则PA ?(PB ＋PC )的值为 . 【解析】由已知得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，
即AP ＝λ(AB ＋AC )，当λ＝12时，得AP ＝12
(AB ＋AC )， 所以2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ，
所以BP ＝PC ，
所以PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0，
所以PA ? (PB ＋PC )＝PA ?0＝0，故填0.
题型三 向量共线问题
【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.
(1)若AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.
【解析】(1)证明：因为AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )，
所以BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB ，
所以AB ， BD 共线.又因为它们有公共点B ，
所以A ，B ，D 三点共线.
(2)因为k a ＋b 和a ＋k b 共线，
所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，
所以(k －λ)a ＝(λk －1)b .
因为a 与b 是不共线的两个非零向量，
所以k －λ＝λk －1＝0，所以k 2－1＝0，所以k ＝±1.
【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的
区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
【变式训练3】已知O 是正三角形BAC 内部一点，OA +2OB +3OC =0，则△
OAC 的面积与△OAB 的面积之比是（
） A.32
B.23
C.2
D.13 【解析】如图，在三角形ABC 中， OA ＋2OB ＋3OC ＝0，整理可得OA ＋OC ＋2(OB ＋OC )＝0.
令三角形ABC 中AC 边的中点为E ，BC 边的中点为F ，则点O 在点F 与点E 连线的13
处，即OE ＝2OF . 设三角形ABC 中AB 边上的高为h ，则S △OAC ＝S △OAE ＋S △OEC ＝12?OE ? (h 2＋h 2)＝12
OE ·h ， S △OAB ＝12AB ?12h ＝14
AB ·h ， 由于AB ＝2EF ，OE ＝23
EF ，所以AB ＝3OE ，
所以S △OAC S △OAB ＝h h AB OE ??4
121＝23.故选B. 总结提高
1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.
2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.
3.当向量a 与b 共线同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |；
?(2x ＋1，3)＝(6－3x ，3)，
所以2x ＋1＝6－3x ，解得x ＝1.
(2)u ∥v ?(2x ＋1，3)＝λ(2－x ，1)
??
??=-=+λλ3),2(12x x ?(2x ＋1)－3(2－x )＝0?x ＝1.
【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.
【变式训练2】已知向量a n ＝(cos n π7，sin n π7
)(n ∈N *)，|b|＝1.则函数y ＝|a 1＋b|2＋|a 2＋b|2＋|a 3＋b|2＋…＋|a 141＋b|2的最大值为 .
【解析】设b ＝(cos θ，sin θ)，所以y ＝|a 1＋b|2＋|a 2＋b|2＋|a 3＋b|2＋…＋|a 141＋b|2＝(a 1)2＋b 2＋2(cos π7
，sin π7)(cos θ，sin θ)＋…＋(a 141)2＋b 2＋2(cos 141π7，sin 141π7)(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(π7
－θ)，所以y 的最大值为284.
题型三 平行(共线)向量的坐标运算
【例3】已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2).
(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；
(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3
，求△ABC 的面积. 【解析】(1)证明：因为m ∥n ，所以a sin A ＝b sin B .
由正弦定理，得a 2＝b 2，即a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形.
(2)因为m ⊥p ，所以m ·p ＝0，即
a (
b －2)＋b (a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab .
由余弦定理，得4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，
所以(ab )2－3ab －4＝0.
所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去).
所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32
＝ 3. 【点拨】设m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则
①m ∥n ?x 1y 2＝x 2y 1；②m ⊥n ?x 1x 2＋y 1y 2＝0.
【变式训练3】已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1).若m ⊥n ，且a ＋b ＝10，则△ABC 周长的最小值为( )
A.10－5 3
B.10＋5 3
C.10－2 3
D.10＋2 3
【解析】由m ⊥n 得2cos 2C －3cos C －2＝0，解得cos C ＝－12
或cos C ＝2(舍去)，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ，由10＝a ＋b ≥2ab ?ab ≤25，所以c 2≥75，即c ≥53，所以a ＋b ＋c ≥10＋53，当且仅当a ＝b ＝5时，等号成立.故选B.
典例精析
题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题
【例1】 已知a ，b 夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：
(1)|a ＋b |；
(2)(a ＋2b ) ·(a ＋b )；
(3)a 与(a ＋b )的夹角θ.
【解析】(1)(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b
＝16＋4－2×4×2×12
＝12， 所以|a ＋b |＝2 3.
(2)(a ＋2b ) ·(a ＋b )＝a 2＋3a ·b ＋2b 2
＝16－3×4×2×12
＋2×4＝12. (3)a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝16－4×2×12
＝12. 所以cos θ＝||||)(b a a b a a ++?＝124×
23＝32，所以θ＝π6. 【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.
【变式训练1】已知向量a ，b ，c 满足：|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则a 与b 的夹角大小是 .
【解析】由c ⊥a ?c ·a ＝0?a 2＋a ·b ＝0，
所以cos θ＝－12
，所以θ＝120°. 题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题
【例2】 在△ABC 中，AB ＝(2，3)， AC ＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值.
【解析】①当∠A ＝90°时，有AB ·AC ＝0， 所以2×1＋3·k ＝0，所以k ＝－23； ②当∠B ＝90°时，有AB ·BC ＝0， 又BC ＝AC －AB ＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，
所以2×(－1)＋3×(k －3)＝0?k ＝113
； ③当∠C ＝90°时，有AC ·BC ＝0，
所以－1＋k ·(k －3)＝0，
所以k 2－3k －1＝0?k ＝3±132
. 所以k 的取值为－23，113或3±132
. 【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.
【变式训练2】△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6，
求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB .
【解析】因为2AB ·BC ＋2BC ·CA ＋2CA ·AB
＝(AB ·BC ＋CA ·AB )＋(CA ·AB ＋BC ·CA )＋(BC ·CA ＋BC ·AB )
＝AB ·(BC ＋CA )＋CA ·(AB ＋BC )＋BC ·(CA ＋AB )
＝AB ·BA ＋CA ·AC ＋BC ·CB
＝－42－62－52＝－77.
所以AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝－772
. 题型三 平面向量的数量积的综合问题
【例3】数轴Ox ，Oy 交于点O ，且∠xOy ＝π3
，构成一个平面斜坐标系，e 1，e 2分别是与Ox ，Oy 同向的单位向量，设P 为坐标平面内一点，且OP ＝x e 1＋y e 2，则点P 的坐标为(x ，y )，已知Q (－1，2).
(1)求|OQ |的值及OQ 与Ox 的夹角；
(2)过点Q 的直线l ⊥OQ ，求l 的直线方程(在斜坐标系中).
【解析】(1)依题意知，e 1·e 2＝12
， 且OQ ＝－e 1＋2e 2，
所以OQ 2＝(－e 1＋2e 2)2＝1＋4－4e 1·e 2＝3. 所以|OQ |＝ 3. 又OQ ·e 1＝(－e 1＋2e 2) ·e 1＝－e 21＋2e 1?e 2＝0.
所以OQ ⊥e 1，即OQ 与Ox 成90°角.
(2)设l 上动点P (x ，y )，即OP ＝x e 1＋y e 2，
又OQ ⊥l ，故OQ ⊥QP ，
即[(x ＋1)e 1＋(y －2)e 2] ·(－e 1＋2e 2)＝0.
所以－(x ＋1)＋(x ＋1)－(y －2) ·12
＋2(y －2)＝0， 所以y ＝2，即为所求直线l 的方程.
【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势.
【变式训练3】在平面直角坐标系xOy 中，点A (5，0).对于某个正实数k ，存在函数f (x )＝ax 2(a ＞0)，使得OP ＝λ? (||OA OA ＋|
|OQ OQ )(λ为常数)，其中点P ，Q 的坐标分别为(1，f (1))，(k ，f (k ))，则k 的取值范围为( )
A.(2，＋∞)
B.(3，＋∞)
C.(4，＋∞)
D.(8，＋∞)
【解析】如图所示，设|
|OA OA ＝OM ，||OQ OQ ＝ON ，OM ＋ON ＝OG ，则OP ＝λOG .因为P (1，a )，Q (k ，ak 2)，OM ＝(1，0)，ON ＝(
k
k 2＋a 2k 4，ak 2k 2＋a 2k 4)，OG ＝(k k 2＋a 2k 4＋1，ak 2k 2＋a 2k 4)，则直线OG 的方程为y ＝ak 2k ＋
k 2＋a 2k 4x ，又OP ＝λOG ，所以P (1，a )在直线OG 上，所以a ＝ak 2k ＋k 2＋a 2k 4，所以a 2＝1－2k
. 因为|OP |＝
1＋a 2＞1，所以1－2k ＞0，所以k ＞2. 故选A.