角平分线、线段的垂直平分线定理专题复习

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图1

D

A B

C

m 图2

D A B C

j i

k

图3O

B C A

图5C D O A B

P E

F

I

R

Q

A 图4C D O A

B F E 角平分线定理、线段垂直平分线定理专题复习

一、知识梳理：

（一）线段垂直平分线的性质： 1、（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ， 若点C 在直线m 上，则AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理

（1）线段垂直平分线的逆定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，

且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.

3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂 直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.

（二）角平分线的性质定理： 1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点， 若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；

角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.

2、角平分线性质定理的逆定理：

角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.

定理的数学表示：如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ， 若PC ＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上.

定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意：角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.

3、关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.

定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；

② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI.

定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

A （1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.

二、典型例题：

例1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边 AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm

及时练习：

（1）如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=_________;

（2）如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是______;

（3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果∠A=28度，那么∠EBC=___. 例2、已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE.

及时练习：

已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC. 求证：点O 在BC 的垂直平分线.

例3、在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。

及时练习：

在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B 的大小为________________。

例4、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ，求证：BD ＝AC ＋CD.

C

A

P

B

F E C

例5、已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。求证：PE=PF

及时练习：

已知： PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。

例6、如图10，已知在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，E 为BC 中点，连接AE 、DE ，DE 平分∠ADC ，求证：AE 平分∠BAD.

及时练习：

如图所示，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：DE=DF 。

例7、如图11，已知在四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，且∠BAD 与∠BCD 互补， 求证：AD ＝CD.

三、课堂练习：

1.如图，AC=AD ，BC=BD ，则（ ）

A. CD 垂直平分AD

B. AB 垂直平分CD

C. CD 平分∠ACB

D. 以上结论均不对

2.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ） A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

图

7E D A C B 3. △ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC=5 cm ，BC=4cm ，那么△DBC 的周长是（ ） A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm

4. 如图所示，AB//CD ，O 为∠A 、∠C 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ， 且OE=2，则AB 与CD 之间的距离等于______________。

5. 已知，如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ， 求证：AO ⊥B C.

6. 如图7，在△ABC 中，AC ＝23，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，△ACE 的周长为50，求BC 边的长.

7. 已知：如图所示，∠ACB ，∠ADB 都是直角，且AC=AD ，P 是AB 上任意一点，求证：CP=DP .

8. 如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ．

(1)如果BE 平分∠ABC ，求证：点E 是

DC 的中点； (2)如果E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC ．

C A B D

P

9. 如图，在△ABC中，AB=BC=AC，AD⊥BC于D，E、F分别为AB、AC中点．求证：DA平分∠EDF．

10. 如图，在直线MN上找一点P，使点P到直线AB和射线OC的距离相等．

四、课外作业：

1.下列命题中正确的命题有（）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；

②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；

④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；

⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2. △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。

，，表示三条互相交叉的公路，现在要建一个货物中转站，要求它到三条公路的3. 如图所示，直线l l l

123

距离相等，则可供选择的地址有（）

A. 一处

B. 二处

C. 三处

D. 四处

4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.

求证：CM=2BM.

5. 如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.

6. 如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数．

线段的垂直平分线典型例题

典型例题 例1．如图，已知：在ABC ?中，?=∠90C ，?=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D . 求证：D 在AB 的垂直平分线上. 分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明DA BD =即可. 证明：∵?=∠90C ，?=∠30A （已知）， ∴ ?=∠60ABC （?Rt 的两个锐角互余） 又∵BD 平分ABC ∠（已知） ∴ A ABC DBA ∠=?=∠=∠302 1. ∴AD BD =（等角对等边） ∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 例2．如图，已知：在ABC ?中，AC AB =，?=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。 求证：BF CF 2=。 分析：由于?=∠120BAC ，AC AB =，可得?=∠=∠30C B ，又因为EF 垂直平分AB ，连结AF ，可得BF AF =. 要证BF CF 2=，只需证AF CF 2=，即证?=∠90FAC 就可以了. 证明：连结AF ， ∵EF 垂直平分AB （已知） ∴FB FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等） ∴B FAB ∠=∠（等边对等角）

∵AC AB =（已知）， ∴C B ∠=∠（等边对等角） 又∵?=∠120BAC （已知）， ∴?=∠=∠30C B （三角形内角和定理） ∴?=∠30BAF ∴?=∠90FAC ∴FA FC 2=（直角三角形中，?30角所对的直角边等于斜边的一半） ∴FB FC 2= 说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题. 例3．如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。 求证：CAF B ∠=∠。 分析：B ∠与CAF ∠不在同一个三角形中，又B ∠，CAF ∠所在的两个三角形不全等，所以欲证CAF B ∠=∠，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质. 那么注意到EF 垂直平分AD ，可得FD FA =，因此ADF FAD ∠=∠，又因为CAD FAD CAF ∠-∠=∠，BAD ADF B ∠-∠=∠，而BAD CAD ∠=∠，所以可证明B CAF ∠=∠. 证明：∵EF 垂直平分AD （已知）， ∴FD FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）. ∴ADF FAD ∠=∠（等边对等角） ∵BAD ADF B ∠-∠=∠（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， CAD FAD CAF ∠-∠=∠，

线段中垂线的性质定理

线段中垂线的性质定理 教学目的：1、掌握线段中垂线的性质定理； 2、学会线段中垂线的性质定理在几何证明及计算中的应用。 教学重点：线段中垂线的性质定理 教学难点：例2教学 教学过程： 一、复习引入： 1、 什么叫轴对称图形？ 2、 已知线段AB ，如何作出其对称轴？（学生口述， 教师作图如图1） 这条对称轴就是线段AB 的中垂线。 3、 提出问题：MN 是线段AB 的中垂线，则C 为垂足， C 也是中点，故CA=CB 。 现在，在MN 上任取一点P ，是否也有PA=PB 呢？本 节课我们要进一步研究线段的中垂线。（揭示课题：线段中垂线的性质定理） 二、新课讲授： 1、 线段中垂线的性质定理： 在线段的中垂线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 证明方法：⑴全等证法；（学生口述简证）⑵利用轴对称证法。（学生了解） 2、 线段中垂线的性质定理的应用 Ⅰ图形认识强化： ⑴如图2，已知DF ，EH 分别为AB ，AB 的中垂 线，所能得到的结论是： ⑵如图3，已知AE 是BC 的中垂线，所能得到 的结论是： ⑶如图4，已知DE 是AB 的中垂线，所能得到的结论是： A B C D E 图3B A C E D 图4 Ⅱ例题教学 例1分析： A M N C B P 图1B A E C D 图2

⑴从已知出发考虑问题，AE垂直平分CF能推出什么?AC=AF，从而能更进一步推出 什么？∠AFC=∠ACF. ⑵再从已知考虑问题，由CD⊥AB，能推出∠1与∠AFC有什么关系？由∠ACB=90， 能推出∠2和哪个角互余？ ⑶由∠AFC=∠ACF能推出∠1=∠2吗？根据什么？ 写出规范证明过程. 例2分析： 4 三、练习巩固： 1、P66练习1； 2、P66练习2； 四、课堂小结： 1、线段中垂线的性质定理; 2、要避免在已知线段中垂线条件下不用性质避免而用全等繁证一些结论，例如：上 图3中若要证∠DEC=∠DCE，有同学通过证明△DEC≌△DCE来证，虽能证得，但方法很繁。 3、在已知中垂线的条件下，注意适当添线可创造中垂线性质定理的使用条件，如例2。 五、作业布置： Ⅱ 六、课后记录：

线段的垂直平分线与角平分线专题复习精编版

线段的垂直平分线与角平分线专题复习 知识点复习： 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等. 定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD ∴ AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论 （1）关于三角形三边垂直平分线的性质： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。 4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF. 图1 图2

定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理： 角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5， ∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 6、关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）. 7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图： （1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形. 精品习题： 1．在△ABC 中，∠C=90o，BD 是∠ABC 的平分线.已知，AC=32，且AD ：DC=5：3，则点D 到AB 的距离为_______. 2．如图，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:A B C A C D S S ?? = （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定

北师大版七年级数学下册《线段垂直平分线与角平分线的应用类型》专题试题(附答案)

北师大版七年级数学下册专题训练系列（附解析

专训2线段垂直平分线与角平分线的应用类型名师点金：本章内容除了等腰三角形之外，还有两类特殊的轴对称图形——线段和角，灵活运用它们的轴对称的性质可以求线段的长度、角的度数，说明数量关系等，还可以解决实际生活中的问题． 利用线段垂直平分线的性质求线段的长 1．如图，AB比AC长3 cm，BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长． (第1题) 利用线段垂直平分线的性质求角的度数 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE 交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠1∶∠2＝2∶5，求∠ADC的度数． (第2题)

利用线段垂直平分线的性质解决实际问题 3．如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ (第3题) 利用角平分线的性质解决面积问题 4．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3 cm，求△ABC的面积． (第4题)

利用角平分线的性质说明线段的数量关系 5．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D.试说明：PC＝PD. (第5题)

答案 1．解：因为△ACD的周长是14 cm， 所以AD＋CD＋AC＝14 cm. 又因为DE是BC的垂直平分线， 所以BD＝CD.所以AD＋CD＝AD＋BD＝AB. 所以AB＋AC＝14 cm. 因为AB－AC＝3 cm，所以AB＝8.5 cm，AC＝5.5 cm. 2．解：因为∠1∶∠2＝2∶5， 所以设∠1＝2x，则∠2＝5x. 因为DE是线段AB的垂直平分线， 所以AD＝BD. 所以∠B＝∠2＝5x. 所以∠ADC＝180°－∠ADB＝∠2＋∠B＝10x. 因为在△ADC中，2x＋10x＝90°， 解得x＝7.5°，所以∠ADC＝10x＝75°. (第3题) 3．解：如图，连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．点拨：解决作图选点类问题，若要找到某两个点的距离相等的点，

线段的垂直平分线综合提高测试带答案

线段的垂直平分线 一、选择题（共8小题） 1、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的错误！未找到引用源。AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（） A、7 B、14 C、17 D、20 2、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE的值是（） A、6错误！未找到引用源。 B、4错误！未找到引用源。 C、6 D、4 3、如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（） A、6 B、5 C、4 D、3 4、如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（） A、80° B、70° C、60° D、50° 5、如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）

6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（） A、AE=BE B、AC=BE C、CE=DE D、∠CAE=∠B 7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（） A、△ABC的三条中线的交点 B、△ABC三边的中垂线的交点 C、△ABC三条角平分线的交点 D、△ABC三条高所在直线的交点 8、如图，AC=AD，BC=BD，则有（） A、AB垂直平分CD B、CD垂直平分AB C、AB与CD互相垂直平分 D、CD平分∠ACB 二、填空题（共12小题） 9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________． 10、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_________度． 11、如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_________°． 12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC

《线段的垂直平分线(1)》说课稿

《线段的垂直平分线（1）》说课稿 各位老师： 大家好！我说课的内容是北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》第三节《线段的垂直平分线》第一课时。下面我就从教材、学情、教法与学法、教学过程、板书设计这五个方面把我的理解与认识说一下。 一、教材分析： 1、地位与作用 线段的垂直平分线性质，在今后学习中经常要用到，这部分内容是后面学习的基础。它是在认识了轴对称的基础上进行学习的，是今后证明线段相等、直线垂直的依据。因此，本节课具有承上启下的作用。 2、教学目标 知识与技能：会画线段垂直平分线，了解线段垂直平分线的性质，会用线段垂直平分线的性质进行简单的推理、判断、证明。 过程与方法：自己动手探究发现线段垂直平分线的性质，培养学生观察、推理能力。 情感、态度与价值观：要求学生在学习几何知识的过程中，感受几何知识的乐趣与运用美。 3、教学重点 探究线段的垂直平分线性质定理，并给出证明。 4、教学难点 能够应用线段的垂直平分线性质定理解决简单问题。 二、学情分析： 八年级学生已经具备了一定的独立思考问题的能力和探究问题的能力，并能在探究问题的过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐步完善自己的想法。学生已经基本掌握了用全等三角形证明线段相等、角相等，这为学习线段的垂直平分线性质提供了知识准备；在七年级时已经学习了轴对称的性质，这也对线段的垂直平分线有了一定的认识。但学生基础差，底子薄，努力程度不够，对线段的垂直平分线性质定理的掌握存在较大困难。 三、教法与学法：采用引导发现法 教师通过精心设置的一个个问题链激发学生的求知欲。学生在教

师的引导与合作下，通过自主、合作、交流、发现问题，并解决问题。引导学生观察、测量、猜想、探究、总结出线段的垂直平分线性质，培养学生善于观察、乐于思考、勤于动手、勇于表达的学习习惯，提高学生的学习能力。 四、教学过程 本节课设计了七个教学环节：第一环节：引入新课，忆一忆；第二环节：新课探究，找一找；第三环节：合作交流，做一做；第四环节：定理小结，说一说；第五环节：讲练结合，思路活；第六环节：课堂小结，谈收获；第七环节：作业布置，练一练。 第一环节：忆一忆 （1）什么叫线段的垂直平分线？ （2）线段是轴对称图形吗？ （3）怎样做出一条线段的垂直平分线？ （回顾旧知，导入新课，动手操作，激发探究学习兴趣。） 第二环节：找一找 线段垂直平分线的画法有哪些？你会用尺规作图吗？ 已知：线段AB。 求作：线段AB的垂直平分线。 作法： （1）分别以端点A、B为圆心，大于?AB长为半径画弧，两弧相交于点E、F. （2）作直线EF. 则EF就是线段AB的垂直平分线. 思考：直线EF是不是线段AB的垂直平分线呢？ （通过动手操作，激发学生学习及探究的兴趣，变“要我学”为“我要学”，充分调动了学生的积极性、求知欲。） 第三环节：做一做 在EF上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？由此你能得到什么规律？你会证明这一结论吗？ 1、让学生大胆猜测发现的结论是什么。但是，我们仅仅凭观察就能说明这个结论的正确性吗？ 2、给学生留有时间和空间，交流讨论，如何证明结论的正确性。

(完整版)中考复习2角平分线专题

角平分线专题 【类型一】角平分线倒角模型 例1、把一副学生用三角板)9060 30(???、、和)904545(???、、如图(1)放置在平面直角坐标系中,点A 在y 轴正半轴上,直角边AC 与y 轴重合,斜边AD 与y 轴重合,直角边AE 交x 轴于F,斜边AB 交x 轴于G,O 是AC 中点,8=AC . (1)把图1中的AED Rt ?绕A 点顺时针旋转α度)900(?<≤α得图2,此时AGH ?的面积是10,AHF ?的面积是8,分别求F 、H 、B 三点的坐标; (2)如图3,设AHF ∠的平分线和AGH ∠的平分线交于点M,EFH ∠的平分线和FOC ∠的平分线交于点N,当改变α的大小时,M N ∠+∠的值是否会改变?若改变,请说明理由;若不改变,请求出其值. 检测1、如图，已知点A 是y 轴上一动点，B 是x 轴上一动点，点C 在线段OB 上，连接AC ，AC 正好是OAB ∠的角平分线，DBx ABD ∠=∠，问动点A ，B 在运动的过程中，AC 与BD 所在直线的夹角是否发生变化，请说明理由；若不变，请直接写出具体值。 x y

检测2、如图探究与发现： 探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系． 探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？ 已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B的数量关系． 探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？ 请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．

线段的垂直平分线经典习题及答(精.选)

线段的垂直平分线 一、选择题（共8小题） 1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的2 1 AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ， 交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（ ） A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20 第1题 第2题 第3题 2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（ ） A 、6 B 、4 C 、6 D 、4 3、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 4、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ） A 、80° B 、70° C 、60° D 、50° 第4题 第 5题 第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下： （甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求； （乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ） A 、两人都正确 B 、两人都错误 C 、甲正确，乙错误 D 、甲错误，乙正确 6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（ ） A 、AE=BE B 、AC=BE C 、CE=DE D 、∠CAE=∠B 7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A 、△ABC 的三条中线的交点 B 、△AB C 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点 D 、△ABC 三条高所在直线的交点 第7题 第8题 8、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（ ） A 、A B 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB C 、AB 与C D 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB

线段的垂直平分线各种证明

证明线段的垂直平分线的性质的逆定理 线段的垂直平分线 一、学生知识状况分析 学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： ①经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理． ②能够利用尺规作已知线段的垂直平分线． 2．能力目标： ①经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． ②体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神． ③学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． 3．情感与价值观要求

①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． ②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．4．教学重点、难点 重点是写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题。难点是两者的应用上的区别及各自的作用。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探究新课；第三环节：想一想；第四环节：做一做；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。 第一环节：创设情境，引入新课 教师用多媒体演示： 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用． 在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点

线段的垂直平分线与角平分线专题复习教程文件

线段的垂直平分线与角平分线专题复习

线段的垂直平分线与角平分线专题复习 知识点复习： 1、线段垂直平分线的性质 （1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD ∴ AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC ∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论 （1）关于三角形三边垂直平分线的性质： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点； 若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。 图1 图2

4、角平分线的性质定理： 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4， ∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理： 角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5， ∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 6、关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 图4

角平分线辅助线专题练习

D A B C 角平分线专题 1、 轴对称性: 内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。 思路和方法:边角等 造全等,也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图, 2、 角平分线的性质定理：注意两点(1)距离相等 （2）一对全等三角形 3、 定义：带来角相等。 4、 补充性质：如图，在△AB Ｃ中,AD 平分∠BAC ，则有ＡB:ＡC=BD:DC 针对性例题: 例题1：如图，AB=2ＡC ,∠ＢＡＤ＝∠ＤAC ，DA ＝ＤB 求证：DC ⊥AC

B 例题2：如图,在△ＡB Ｃ中，∠Ａ等于60°,BE 平分∠ＡBC,C Ｄ平分∠ACB 求证:ＤH=E Ｈ 例题3:如图1，B Ｃ>A Ｂ,BD 平分∠A ＢC,且∠A+∠Ｃ=18０0， 求证:AD=D Ｃ．: 思路一:利用“角平分线的对称性”来构造 因为角是轴对称图形,角平分线是其对称轴，因此,题中若有 角平分线,一般可以利用其对称性来构成全等三角形. 证法1:如图１，在ＢC 上取B Ｅ=ＡB,连结DE ，∵BD 平分 ∠A ＢＣ，∴∠A ＢＤ=∠D ＢE ，又BD=BD,∴△ABD ≌△EBD （S ＡＳ), ∴∠A ＝∠DB Ｅ,ＡＤ＝D Ｅ,又∠A+∠C=1８00，∠D ＥＢ+∠DE Ｃ=1８０0,∴∠Ｃ=∠D ＥC,D Ｅ=ＤC ， 则AD ＝DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、B Ｄ于E 、F ， 连结DE,由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△ＥBF,则ＡB=B Ｅ, ＢD 平分∠A ＢC,BD ＝ＢD ，∴△ＡBD ≌△E ＢＤ(SA Ｓ）, ∴AD ＝ED ，∠ＢAD ＝∠DEB,又∠BA Ｄ+∠Ｃ=1８０0, ∠BED+∠CE Ｄ=180０ ,∴∠C=∠DEC ，则ＤE=DC,∴AD=DC ． 说明:证法１,2，都可以看作将△ＡB Ｄ沿角平分线BD 折向B Ｃ而构成 全等三角形的． 证法3:如图３，延长BA 至E ，使BE=B Ｃ，连结D Ｅ, ∵BD 平分∠A ＢＣ，∴∠CBD ＝∠DBE ，又BD=BD ，∴△CB Ｄ≌△EBD （SAS)， ∴∠C=∠E ，ＣD=ＤＥ，又∠BA Ｄ+∠C=１８00,∠DA Ｂ+∠D ＡＥ=１800, ∴∠E=∠D ＡＥ，DE ＝ＤA ，则AD=ＤC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线B Ｄ折向B Ａ而构成全等三角形的． B A C D E 图1 B A C D E F 图2 B A C D E 图3

角平分线、线段的垂直平分线定理专题复习

m 图1 D A B C m 图2 D A B C j i k 图3O B C A 图5C D O A B P E F I R Q A 图4C D O A B F E 角平分线定理、线段垂直平分线定理专题复习 一、知识梳理： （一）线段垂直平分线的性质： 1、（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ， 若点C 在直线m 上，则AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）线段垂直平分线的逆定理： 到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ， 且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上. 定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于三角形三边垂直平分线的定理 （1）关于三角形三边垂直平分线的定理： 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂 直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC. 定理的作用：证明三角形内的线段相等. （2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系： 若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形. （二）角平分线的性质定理： 1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，已知OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点， 若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ，则CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 2、角平分线性质定理的逆定理： 角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，已知点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ， 若PC ＝PD ，则点P 在∠AOB 的平分线上. 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意：角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. 3、关于三角形三条角平分线的定理： （1）关于三角形三条角平分线交点的定理： 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么： ① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ； ② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系： 三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.

中考数学专题复习：角与角平分线,平行线

角与角平分线 典题探究 例1 把15°30′化成度的形式，则15°30′＝____度． 例2 命题“相等的角是对顶角”是______命题.（填“真”或“假”） 例3 已知∠A =67°，则∠A 的余角等于 度. 例4 如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 是BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE =4㎝，则点P 到边 BC 的距离为 ㎝. E P D C B A 课后练习 A 组 1．如图，表示下列各角： （1） （2） （3） 2．下列各图中有多少个小于180度的角？并把它们表示出来。 （1） （2） 3.下列四个图中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一个的是（ ） 4. 计算：① 57.3°=______°=______′； ②18°15′= ° ；

③ 33°52′+21°54′=__________； ④28°23′×2 － 6°2′= __________； ⑤ 90°—43°18′= __ ； ⑥360°÷7≈ ___ （精确到分） 5.按图填空： 6.下列四个图形中2∠大于1∠的是（ ） 7.如图，OC 平分∠AOB ，如果∠COB=42°,那么∠AOB=_________° B 组 8.尺规作图：求作一个角，使它等于已知角∠AOB ，不写作法，保留作图痕迹。 结论： 9.尺规作图：已知∠AOB ，求作∠AOB 的角平分线。不写作法，保留作图痕迹。 结论： 10. Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于点D ，2CD ＝， 则点D 到AB 的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

线段的垂直平分线专题复习课件

线段的垂直平分线复习讲义 知识梳理 1、线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到的距离相等。 2、线段垂直平分线的判定定理 到线段两端点距离相等的点在线段的上。 例1、如图1，DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，△ABD的周长为。 练习1：如图2，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=6，△ABD的周长为24．△ABC的周长是． 练习2：如图3，在△ABC中，BC=10，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．△ADE的周长是． 图1 图2 图3 例2、如图4，在△ABC中，DE垂直平分AC交BC于点D，∠C=30°，∠ABC=70°，∠BAD= 度。 练习、如图5，O是△ABC的两条垂直平分线的交点，∠BAC=70°，∠BOC的度数为。 图4 图5 例3、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB,AC的垂直平分线交BC 于E,G,求证：E,G分别是BC的三等分点。 A D F B E G C 练习：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=4∠B，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM．

例4、如图，△ABC中，AB=AC，∠DBC=∠DCB， 求证：直线AD是线段BC的垂直平分线． 练习：如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上。 求证：BE=CE。 例5、AB=CD，AC、BD的垂直平分线相交于E． 求证：∠ABE=∠CDE． 练习：在三角形ABC中∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线相交于D点，DN⊥AC，DM⊥AB。 （1）求证：BM=CN． （2）求证：AB+AC=2AM．

线段的垂直平分线中考题含答案

线段的垂直平分线中考题（含答案） 一．填空题（共7小题） 1．（2011?长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________ ． 2．（2011?莱芜）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= _________ cm． 3．如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上，且DE⊥BC于E，若AB=1，则DB= _________ ． 4．如图，在等边三角形ABC的边BC、AC上分别取点D、E，使BD=CE，AD与BE相交于点P．则∠APE的度数为_________ °． 5．如图，D是等边△ABC的AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE=DB，△ABC的周长是9，则∠E= _________ °，CE= _________ ． 6．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8cm，则CD= _________ ．

二．解答题（共1小题） 7．（2011?香洲区一模）△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°． （1）利用尺规作B的角平分线BD，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．

参考答案与试题解析 一．填空题（共7小题） 1．（2011?长春）如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为 6 ． 考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形． 分析：由ED垂直平分BC，即可得BE=CE，∠EDB=90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解． 解答：解：∵ED垂直平分BC， ∴BE=CE，∠EDB=90°， ∵∠B=30°，ED=3， ∴BE=2DE=6， ∴CE=6． 故答案为：6． 点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与直角三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用． 2．（2011?莱芜）如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD= 2 cm． 考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形． 专题：计算题． 分析：连接BD，根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出DC=2BD，根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，即可求出答案． 解答： 解：连接BD． ∵AB=BC，∠ABC=120°， ∴∠A=∠C=（180°﹣∠ABC）=30°， ∴DC=2BD， ∵AB的垂直平分线是DE， ∴AD=BD， ∴DC=2AD， ∵AC=6， ∴AD=×6=2， 故答案为：2．

24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理

24.7线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 课前预习 1.线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 2.线段垂直平分线定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。 当堂训练 知识点1：线段垂直平分线的性质 1.如图所示，用两根钢索加固直立的电线杆，若要 使钢索AB 与AC 的长度相等，?需加_ _______条件，理由是___ _____． 2.（09钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ） A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与C D 互相垂直平分D ．CD 平分∠ACB 3.如图所示，CD 是AB 的垂直平分线，若AC=1.6cm ，BD=2.3cm ，则四边 形ABCD 的周长是（ ）． A ．3.9cm B ．7.8cm C ．4cm D ． 4.6cm 4.如图所示，∠C=90°，AB 的垂直平分线交BC 于 D ，连接 AD ， 若∠CAD=20°，则∠B=（ ）． A ．20° B ．30° C ．35° D ．40° 知识点2：线段垂直平分线定理的逆定理 5.AB =AD ，BC =CD ，AC 、BD 相交于点E ．则AB 是线段CD 的___ _____． 课后作业 6.给出以下两个定理： ①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 应用上述定理进行如下推理，如图，直线l 是线段MN 的垂直平分线． ∵点A 在直线l 上， ∴AM=AN （ ）． ∵BM=BN ， ∴点B 在直线l 上（ ）． ∵CM≠CN，∴点C 不在直线l 上． 这是因为如果点C 在直线l 上， 那么CM ＝CN （ ）． 这与条件CM≠CN 矛盾． 以上推理中各括号内应注明的理由依次是（ ） A ．②①① B ．②①② C ．①②② D ．①②① 证明某一条直线是另一条线段

【复习专题】中考数学复习：角与角平分线,平行线

【复习专题】中考数学复习：角与角平分线，平行线 三只钟的故事 一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。 一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。可是我有点担心，你走完三千两 百万次以后，恐怕会吃不消的。”“天哪！三千两百万次。”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办 不到！”另一支旧钟说：“别听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就 行了。”“天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。” 小钟很轻松地每秒滴答摆一下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。 成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。 例1把15°30′化成度的形式，则15°30′＝____度． 例2命题“相等的角是对顶角”是______命题.（填“真”或“假”） 例3已知∠A=67°，则∠A的余角等于度. 例4如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4㎝，则点P到边BC的距离为㎝. 练习一角与角平分线 A组 1．如图，表示下列各角： （1）（2）（3） 2．下列各图中有多少个小于180度的角？并把它们表示出来。

（1）（2） 3.下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个的是（） 4.计算：① 57.3°=______°=______′；②18°15′= °； ③ 33°52′+21°54′=__________；④28°23′×2－ 6°2′= __________； ⑤ 90°—43°18′= __ ；⑥360°÷7 ___ （精确到分） 5.按图填空： 6.下列四个图形中大于的是（） 7.如图，OC平分∠AOB，如果∠COB=42°,那么∠AOB=_________° B组 8.尺规作图：求作一个角，使它等于已知角∠AOB，不写作法，保留 作图痕迹。 结论： 9.尺规作图：已知∠AOB，求作∠AOB的角平分线。不写作法，保留作图痕迹。 结论： 10. 的角平分线AD交BC于点D，， 则点D到AB的距离是（） A．1B．2 C．3D．4 11.已知：如图，是的角平分线，且，则与的面积之比为（） A．B． C.D． 12．已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2. 求证：AB=AC+CD.

线段的垂直平分线与角的平分线训练专题培优

线段的垂直平分线与角的平分线专题 一、选择题： 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30? ，∠CAD=65? ，则∠ACD 等于 （ ） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ??= （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90? ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90? ，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ） A ．PD>PC B ．PD